数理逻辑总结

11.在一次研讨会上，3名与会者根据王教授的口音分别进行 下述判断： 甲说：“王教授不是苏州人，是上海人” 乙说：“王教授不是上海人，是苏州人” 丙说：“王教授不是杭州人，也不是上海人” 王教授听后笑道：“你们3人中有1人全说对了，有一人全说 错了，有1人对错各半”。 请问王教授是哪里人？
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22 12、有一逻辑学家误入某部落，被拘于牢狱，酋长意欲 放行，他对逻辑学家说：“今有两扇门，一为自由， 一为死亡，你可任意开启一门。为协助你逃脱，加派 两名战士负责回答你所提出的问题，唯可虑者，此两 名战士一名天性诚实，一名说谎成性，今后生死由你 自己选择”。逻辑学家沉思片刻，即向一战士发问， 然后开门从容离去，逻辑学家该如何发问？ • 解：逻辑学家手指一门问身边的战士说：“这扇门是 死亡门，他（指另一名战士）将说是对吗？” • 当被问战士回答“对”，则逻辑学家开启所指的门离 去。当被问战士回答“否”，他开启另一扇门离去。
(2) A(A(AB))(AB)(AB)
解： 左A(A(AB)) A(BB)(A(BB)(AB)) (AB)(AB)(AB)(AB)(AB) (AB)(AB)(AB)(AB) m00,m01 ,m10,m11 右(AB)(AB)(AB)(AB) (AB)(AB) (A(BB)B(AA))(AB) (AB)(AB)(AB)(AB)(AB) (AB)(AB)(AB)(AB) m00,m01 ,m10,m11 问题得证。
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解：本题的意思是求同时满足上面3个条件的派法。 由组合数学知C42=(4*3)/2=6种 这6种派法是：P1：AB ；P2：AC ；P3：AD P4：BC ；P5：BD ；P6：CD 但是由于P1不满足条件(1), P6不满足条件(3),P4 不满足条件(2)所以均被排除。剩下3种派法是P2： AC；P3：AD和 P5：BD
第一章 命题逻辑
4. 命题逻辑的推理理论 H1 H2 … Hn C (1) 推理的概念： (2) 推理规则：四个规则；
3
练习9-1
1.
（1） （2） 只有小孩才爱哭。 X+6=Y ( 是 假 )
4
判断下列语句哪些是命题，若是命题，则指出其真值。
( 不是 ) (是 真) ( 不是 )
（3）
总结
第一章
3. 命题公式间的关系 (1) 命题公式间的等价关系( A B )
2 命题逻辑
(2) 命题公式间的蕴含关系( A B )
(3) 基本的等价式；
(4) 基本的蕴含式；
(5) 判断公式类型的方法(真值表、等价公式变换、主范式)； (6) 判定两公式是否具有等价和蕴含关系的方法。
总结
9
10
7.符号化下列命题并推证其结论的有效性。 １、明天是晴天，或者是下雨；如果是晴天， 我就去看电影；如果我去看电影，我就不看 书。结论：如果我在看书，则天在下雨。 解：首先符号化，并令 Ｐ：明天是晴天。 Ｑ：明天下雨。 Ｒ：明天我去看电影。 Ｓ：明天我看书。于是问题可描述成：
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PQ,PR,RSSQ 1.S P规则(附加前提) 2.RS P规则 3.R T规则及１和２ 4.PR P规则 5.P T规则及3和4 6. PQ P规则 7.Q T规则及5和6 8. SQ CP规则及１和７
9.设计一盏灯的开关电路时，要求三个开关A，B，C的控制： 当且仅当AC同时关闭或者BC同时关闭时灯亮。用F表示灯 亮，p,q,r分别表示开关A，B，C关闭，求F=F(p,q,r)的逻辑 表达式以及F的主范式。
解：F=F(p,q,r)=(p ∧r) ∨(q ∧r) F的主析取范式为： F=(p ∧(q ∨ q) ∧r) ∨((p ∨ p) ∧ q ∧r) =(p ∧q ∧r) ∨(p ∧q ∧r) ∨(p ∧ q ∧r) ∨(p∧ q ∧r) =(p ∧q ∧r) ∨(p ∧q ∧r) ∨(p∧ q ∧r) =m111 ∨m101 ∨m011 = m3,5,7 = M0,1,2,4,5
总结
第二章
1. 基本概念 (1) 个体词、谓词和量词： (2) 个体常元、个体变元、约束变元、自由变元； (3) 命题函数，个体域，全总个体域。 2. 谓词公式 (1) 原子公式，谓词公式： (2) 谓词公式的解释； (3) 谓词公式的分类：永真公式，永假公式，可满足公式。
27 谓词逻辑
总结
第二章
5
“如果嫦娥是虚构的，而如果圣诞老人也是虚构的，那 么许多孩子受骗了。”
解：令P：嫦娥是虚构的；Q：圣诞老人是虚构的；
R：许多孩子受骗了。 则一上语句可表示为： ( P Q) 3．判断下面一段论述是否为真：
R 或 P (Q R)
“ 是 无理数，并且，如果3是无理数，则 2 也是无理数， 另外，只有6能被2整除时，6才能被4整除”
E11
E1，E2 E7
∴（P → （Q → R）） （P → Q）∨（P → R）
5、求出下式的主析取范式 1）（PQ）（RP） 2）（PQ）（RP） 解：1）（PQ）（RP）=（PQ）（RP） =（PQ）（RP） =（PQR） （PQ） =（PQR） （PQ R）（PQ R） 2）（PQ）（RP）=（PQ）（RP） =（PQ）（RP） =（PQ）（RP） =（PR） （PQ R） =（PQR） （PQ R） =M0M2 =m1,m3,m4,m5,m6,m7 =(PQ R) (PQ R) (PQR) (PQR)
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6. 用主范式方法证明下列命题公式的等值关系
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（1）(AB)(AB)(AB)(BA) 解： 左(AB)(AB)((AB))(AB) (AB)(AB) m10,m11 右(AB)(BA) (AB)(BA) M00,M01 m10,m11 问题得证。
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• • • • • • • • • •
设P：被问战士是诚实人 Q：被问战士回答对 R：另一名战士的回答为“是” S：这扇门是死亡门 真值表如下： P Q R S 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0
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13、A、B、C、D 4个人中要派两个人出差， 按下述3个条件有几种派法？如何派？并编 程验证给出的结论。 (1)若A去，则C和D中要去一人； (2)B和C不能都去； (3)C去则D要留下
总结
第一章
1. 命题 (1) 命题；
1 命题逻辑
(2) 命题联结词：否定 ( ) ，合取 ( ) ，析取 ( ) ，异或 ( )，蕴含( )，等值( )； (3) 原子命题和复合命题； (4) 命题符号化。 2. 命题公式 (1) 命题常元，命题变元，命题公式(或称公式)； (2) 命题公式F(P1,P2,…,Pn)的真值指派，公式的真值表； (3) 命题公式的分类：重言式(或永真式)、矛盾式(或永假 式)和可满足公式；
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解
(1)∵ （P ↔ Q） （（P∧Q）∨（ P∧ Q）） E12 （P∧Q）∧（P∨Q） E10，E6 ∴ （P ↔ Q） （P∨Q）∧ （P∧Q）
（2）∵（P → Q）∨（P → R）
（ P∨ Q）∨（ P∨R）
（ P∨ P）∨（ Q∨R） P∨（ Q∨R） P → （Q → R）
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11、一家航空公司为了保证安全，用计算机复核 飞行计划。每台计算机能给出飞行计划正确或 者有误的回答。由于计算机也有可能发生故障， 因此采用3台计算机同时复核。由所给答案，根 据“少数服从多数”的原则作出判断。试将结 果用公式表示，并加以简化，画出电路图。 • 解：设C1，C2，C3分别表示3台计算机的答案， S表示判断结果，根据题意可有下面的真值表：
14.符号化下列命题，并用推理方法证明谁是做案者： （1）A或B盗窃了金项链 （2）若A作案，则作案时间不在营业时间 （3）若B提供的证据正确，则货柜不上锁 （4）若B提供的证据不正确，则作案时间在营业时间 （5）货柜上锁
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另 P：A盗窃了金项链 Q：B盗窃的金项链 R：作案时间在营业时间 S：B提供的证据正确 G：货柜上锁
解：令P： 是无理数；
S：6能被2整除 Q：3是无理数： H：6能被4整除 R： 2是无理数 语句符号化为： P (Q R) ( H S ) 1 0 1 0 1 命题的真值为真。
4. 证明下列命题公式的等值关系
（1） （P ↔ Q） （P∨Q）∧ （P∧Q） （2）（P → （Q → R）） （P → Q）∨（P → R）
银是白的。
（4） 起来吧，我的朋友。 2． 将下列命题符号化
（1） 我看见的既不是小张也不是老李。 解 令P：我看见的是小张；Q：我看见的是老李。 则该命题可表示为¬ P∧¬ Q （2） 如果晚上做完了作业并且没有其它的事，他就会 看电视或听音乐。 解 令 P：他晚上做完了作业；Q：他晚上有其它的事； R：他看电视； S：他听音乐。 则该命题可表示为（P∧¬ Q）→（R∨S）
Hale Waihona Puke Baidu
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10.某电路中有1只灯泡和3个开关A，B，C。已知当且仅当 在下述4种情况之一灯亮。 （1）C的搬键向上，A和B的搬键向下。 （2）A的搬键向上，B和C的搬键向下。 （3）B和C的搬键都向上，A的搬键向下。 （4）A和B的搬键都向上，C的搬键向下。 求灯亮的逻辑表达式以及主范式。
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解：另F表示灯亮，p,q,r分别表示A,B,C的搬键向上，则 F=F(p,q,r) =(p∧q∧r)∨(p∧q∧r)∨(p∧q∧r) ∨(p∧q∧ r) =m001 ∨m100 ∨m011 ∨m110 = m1,3,4,6 = M0,2,5,7 =(p∨q∨r)∧(p∨q∨r)∧(p∨q∨r)∧(p∨q∨r)
3. 谓词公式间的关系 (1) 谓词公式间的等价关系( A B ) (2) 谓词公式间的蕴含关系( A B ) (3) 基本的等价式； (4) 基本的蕴含式；
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２.如果今天我没课，则我就去机房上机或去 图书馆查资料；若机房没有空机器，那麽 我没法上机；今天我没课，机房也没空机 器．所以今天我去图书馆查资料。 解；首先定义下列符号： Ｐ：今天我没课。 Ｑ：我去机房上机。 Ｒ：我去图书馆查资料。 Ｓ：机房没有空机器。 于是问题可描述为：
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P(QR),SQ,PS R 1.PS Ｐ规则 2. P T规则和1 3. S T规则和1 4. SQ Ｐ规则 5. Q T规则3和4 6. P(QR) Ｐ规则 7. QR T规则2和6 8. R T规则5和7
14 • 前面我们曾经介绍过等价变换和逻辑联结词最小功能 完备集的概念，当一个实际问题用命题逻辑表达出来 后我们可以利用等价变换使之仅含逻辑联结词、、 ，然后可以选用逻辑部件组成其逻辑电路。 • 逻辑联结词和逻辑部件的对应关系如下： • ：
• ：
•
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• 8、给定命题公式: • P (Q R) S给出对应的逻辑电路 • 解： P (Q R) S ( P (Q R)) S • P Q R S./*黑板画*/
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• • • • • • • • •
C1 0 0 0 0 1 1 1 1
C2 0 0 1 1 0 0 1 1
C3 0 1 0 1 0 1 0 1
S 0 0 0 1 0 1 1 1
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• 并且S=(C1 C2 C3) (C1 C2 C3) (C1 C2 C3) (C1 C2 C3) • = (C1 C2) (C1 C2 C3) (C1 C2 C3).