基本初等函数I知识点总结

第二章 基本初等函数

一、指数函数

（一）指数与指数幂的运算

1．根式的概念：一般地，如果a x n

=，那么x 叫做a 的n 次方根，

其中n >1，且n ∈N *

．

◆ 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。 当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时，⎩

⎨⎧<≥-==)0()

0(||a a a a a a n

n

2．分数指数幂

正数的分数指数幂的意义，规定：

)

1,,,0(*>∈>=n N n m a a a

n m n

m

，

)1,,,0(1

1*>∈>=

=

-

n N n m a a a

a

n

m

n

m n

m

◆ 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质

（1）r

a ·s

r r a a +=

),,0(R s r a ∈>； （2）rs

s r a a =)(

),,0(R s r a ∈>；

（3）s

r

r

a a a

b =)(

),,0(R s r a ∈>． （二）指数函数及其性质

1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x

且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ．

注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．

注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在[a ，b]上，

)1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [；

（2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈；

（3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x

≠>=且，总有a )1(f =；

二、对数函数 （一）对数

1．对数的概念：一般地，如果N a x

=)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式）

说明：○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ；

○

2 x N N a a x

=⇔=log ； ○

3 注意对数的书写格式． 两个重要对数：

○

1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○

2 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 指数式与对数式的互化

幂值 真数

（二）对数的运算性质

如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ○

1 M a (log ·=)N M a log ＋N a log ； ○

2 =N

M

a log M a log －N a log ； ○

3 n a M log n =M a log )(R n ∈． 注意：换底公式

a

b

b c c a log log log =

（0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）．

利用换底公式推导下面的结论 （1）b m n

b a n a m log log =

；

（2）a b b

a log 1log =． （二）对数函数

1、对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．

注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：x y 2log 2=，5

log 5x y = 都不是对数函数，而只能称

其为对数型函数．

○2 对数函数对底数的限制：0(>a ，且)1≠a ．

（三）幂函数

1、幂函数定义：一般地，形如αx

y=)

(R

a∈的函数称为幂函数，其中α为常数．

2、幂函数性质归纳．

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）；

（2）0

>

α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间)

,0[+∞上是

增函数．特别地，当1

>

α时，幂函数的图象下凸；当1

0<

<α时，

幂函数的图象上凸；

（3）0

<

α时，幂函数的图象在区间)

,0(+∞上是减函数．在第一

象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴

正半轴，当x趋于∞

+时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴．

例题：

1. 已知a>0，a0，函数y=a x与y=log a(-x)的图象只能是 ( )

2.计算：①=

64

log

2

log

27

3 ;②3

log

42

2+= ；2

log

2

27

log5

5

3

1

25+= ;

③

2

1

3

4

3

1

01

.0

16

]

)2

[(

)

8

7

(

064

.075.0

3

0+

+

-

+

-

--

-

- =

3.函数y=log

2

1

(2x2-3x+1)的递减区间为

4.若函数)1

0(

log

)(<

<

=a

x

x

f

a

在区间]

2,[a

a上的最大值是最小值的3倍，则a=

5.已知1

()log(01)

1a

x

f x a a

x

+

=>≠

-

且，（1）求()

f x的定义域（2）求使()0

f x>

的x的取值范围.