第二章Petri网的基本概念及性质

活性
Petri网活性（Liveness）概念的提出源于对实际系统运行中是否会出现死锁的探索 的需要。
定义2.6. 设PN=(P,T;F, M0)为一个Petri网， M0为初始标识，tT。如果对任意 M R(M0)，都存在M’ R(M)，使得M’[t>，则称变迁t为活的。 如果每个 tT 都是活的，则称PN为活的Petri网。
有界性和安全性
定义2.4. 设PN=(P,T;F, M0)为一个Petri网, pP。若存在正整数 B, 使得 M R(M0): M(p)B, 则称库所p为有界的(bounded)。 并称满足此条件的最小正整数B为库所p的界，记为B(p)。即 B(p)=min{B| M R(M0): M(p)B} 当B(p)=1时，称库所p为安全的（safe）。
（1） M0 R(M0)； （2）若M R(M0)，且存在tT，使得M[t>M’，
则M’ R(M0)
可达性
定理2.1. 设PN=(P,T;F, M0)为一个Petri网， M0为初始标识。则：
(1) 对任意M R(M0)，都有R(M) R(M0) ； (2) 对任意M1 , M2 R(M0)， R(M1)= R(M2)当且
(2.1)
从M可达的一切标识的集合记为R(M)，约定M R(M)
如果记变迁序列t1, t2, t3,,tk为，则(2.1)式也可记为M [ >Mk
可达性
设初始标识M0表示系统的初始状态，R(M0)给 出系统运行过程中可能出现的全部状态的集合。
定义2.2. 设PN=(P,T;F, M0)为一个Petri网, M0为初始标识。PN的可达标识集R(M0)定义为 满足下面两条件的最小集合：
t3
t5
(0, 0, 0, 1, 0)
(0, 0, 1, 0, 0)
t4
t6
(0, 0, 0, 0, 1)
活性
定义2.8.设PN=(P,T;F, M0)为一个Petri网， tT。 若 M R(M0)： M[t>，则称变迁t为死的。
p1
t1
t2
p2
t3
？如果一个Petri网中没有死变迁， 那么它是活的吗？是弱活的吗？
可达性
可达性是Petri网的最基本的动态性质，其余各种性质都要通过可达 性来定义
定义2.1. 设PN=(P,T;F,M)为一个Petri网。
如果存在tT，使M[t>M’，则称M’为从M直接可达的
如果存在变迁序列t1, t2, t3,,tk和标识序列M1,M2, M3,,Mk使得
M[t1>M1[t2>M2,,Mk-1 [tk>Mk 则称Mk为从M可达的
仅当M1 R(M2)且M2 R(M1) 。
证：(1) 由于M R(M0)，所以M’ R(M): M’
R(M0) ，从而R(M) R(M0) 。 同理可证(2)。
可达性
定义2.3. 设PN=(P,T;F, M0)为一个Petri网，M R(M0)。如果M’ R(M0)，都有M R(M’ )，则 称M为PN的一个可返回标识或一个家态（home state）。
定义2.5. 设PN=(P,T;F, M0)为一个Petri网。如果每个pP都是有 界的，则称PN为有界Petri网。称
B(PN)=max{B(p)| p P} 为PN的界。当B(PN)=1时，称PN为安全的。
有界性和安全性
p1
t1
t2
t0 t3
p2 t4
p3
p4
p1
t1
p2
t2
p3
t5
p4
t3 p5
p1
不活的
p1
t1
t2
t3
p2 t1和t2是活的， t3是不活的
t1
t2
t3
2
p2
p3
p4
t4 活的
活性
与实际系统中的无死锁概念更为接近的定义。 定义2.7. 设PN=(P,T;F, M0)为一个Petri网， 如果对M
R(M0)， 使得 tT：M[t>，则称M为PN的一个死标识 （dead marking）。如果PN中不存在死标识，则称PN为弱 活的（weak live）或者不死的（non-dead）。 定理2.3.设PN=(P,T;F, M0)为一个Petri网。若PN中有一个 变迁是活的，则PN是弱活的。
定义2.4. 设PN=(P,T;F, M0)为一个Petri网。如果M0 是一个家态，则称PN为可逆网系统（reversible net system），或称可回复系统。
网系统家态的存在是一个良好性质，在评测系统性能或在系统模拟过程中 具有非常关键的作用。
可达性
推论2.1. 设PN=(P,T;F, M0)为一个Petri网， M1 , M2是PN的家态，则 R(M1)= R(M2) 。 证明：因为M1 , M2是PN的家态， 所以首先有M1 R(M0)，M2 R(M0)， 进而M1 R(M2)， M2 R(M1)。 根据定理2.1(2)，则有R(M1)= R(M2)。
t4 p6
p0
库所p3无界 其它库所的界为1
B(p1) =B(p2) =B(p3)=2 其它库所界为1
Petri网的有界性（boundedness）反映 被模拟系统运行过程中对有关资源的容量要求
有界性和安全性
定理2.2. 设PN=(P,T;F, M0)为一个Petri网。R(M0)为有限集当且仅当 PN是有界的。 证：
第二部分 Petri网的动态性质
提纲
网系统(以原型Petri网为模型)运行过程中的一些 性质统称为动态性质(dynamic properties) 或行为性质(behavioral properties)
这些性质同Petri网所模拟的实际系统运行过程中 的某些方面的性质有密切的联系
提纲
可达性 有界性和安全性 活性 公平性 持续性
t3是死变迁
公平性
在Petri网中引入公平性（fairness）概念，旨在讨论网系统中两个变迁的 发生之间的相互关系。这种关系反映被模拟系统的各个部分在资源竞争中的 无饥饿性问题。
证：用反证法。假设PN不是弱活的，则必存在一个死标识M
R(M0)， 即 tT：M[t>。从而不存在M’ R(M)，使得 M’[t>。即任一个变迁都不是活的，这同假设矛盾。
活性
t5
p4
t1
p2
p1
t3
p3
t4
t2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱt6
p5
PN是弱活的，但不是活的
(1, 0, 0, 0, 0)
t1
t2
(0, 1, 0, 0, 0)