初中数学竞赛辅导求代数式的值
初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第讲 从创新构造入手
第31讲从创新构造入手有些数学问题直接求解比较困难,可通过创造性构造转化问题而使问题获解．所谓构造法,就是综合运用各种知识和方法,依据问题的款件和结论给出的信息,把问题作适当的加工处理．构造与问题相关的数学模式,揭示问题的本质,从而沟通解题思路的方法．构造法是1种创造性思维,是建立在对问题结构特点的深刻认识基础上的．构造法的基本形式是以已知款件为“原料”,以所求结论为“方向”,构造1种新的数学形式,初中阶段常用的构造解题的基本方法有：1．构造方程。
2．构造函数。
3．构造图形。
4．对于存在性问题,构造实例。
5．对于错误的命题,构造反例。
6．构造等价命题等．【例题求解】【例1】设...都为实数,,满足,求证：．思路点拨可以从展开已知等式.按比例性质变形已知等式等角度尝试．仔细观察已知等式特点,.可看作方程的两根,则,通过构造方程揭示题设款件与结论的内在规律,解题思路新颖而深刻．注：1般说来,构造法包含下述两层意思：利用抽象的普遍性,把实际问题转化为数学模型。
利用具体问题的特殊性,给所解决的问题设计1个框架,强调数学应用的数学建模是前1层意思的代表,而后1层意思的“框架”含义更为广泛,如方程.函数.图形.“抽屉”等．【例2】求代数式的最小值．思路点拨用1般求最值的方法很难求出此代数式的最小值．,于是问题转化为：在轴上求1点C(1,0),使它到两点A(11,1)和B(2,3)的距离和(CA+CB)最小,利用对称性可求出C点坐标．这样,通过构造图形而使问题获解．【例3】已知.为整数,方程的两根都大于且小于0,求和的值．思路点拨利用求根公式,解不等式组求出.的范围,这是解本例的基本思路,解法繁难．由于2次函数与2次方程有深刻的内在联系,构造函数,令,从讨论抛物线与轴交点在与0之间所满足的约束款件入手．【例4】如图,在矩形ABCD中,AD=,AB=,问：能否在Ab边上找1点E,使E点与C.D的连线将此矩形分成3个彼此相似的3角形?若能找到,这样的E点有几个?若不能找到,请说明理由．思路点拨假设在AB边上存在点E,使Rt△ADE∽Rt△BEC∽Rt△ECD,又设AE=,则,即,于是将问题转化为关于的1圆2次方程是否有实根,在1定款件下有几个实根的研究,通过构造方程解决问题．【例5】试证：世界上任何6个人,总有3人彼此认识或者彼此不认识．思路点拨构造图形解题,我们把“人”看作“点”,把2个人之间的关系看作染成颜色的线段．比如2个人彼此认识就把连接2个人的对应点的线段染成红色。
初中数学竞赛代数专题讲义之代数式求值含例题习题及详解
代数式求值由数与字母经有限次代数运算（加、减、乘、除、乘方、开方）所组成的表达式叫做代数式。
已知一个代数式，把式中的字母用给定数值代替后，运算所得结果叫做在字母取给定数值时代数式的值。
一、专题知识1.基本公式（1）立方和公式：2233()()a b a ab b a b +-+=+（2）立方差公式：2233()()a b a ab b a b-++=-（3）完全立方和：33223()33a b a a b ab b +=+++（4）完全立方差：33223()33a b a a b ab b -=-+-2.基本结论（1）33322()33a b a b a b ab +=+--（2）33322()33a b a b a b ab -=-+-（3）22()()4a b a b ab-=+-二、经典例题例题1已知y z x z x yx y z+++==求代数式y z x +的值。
【解】（1）0x y z ++≠，由等比性质得2()2x y z y zx y z x+++==++；（2）0x y z ++=，则y z x +=-，所以1y zx+=-。
例题2已知234100x y +-=，求代数式y x x y xy y x x 65034203152223--++++的值。
【解】32221532043506x x y xy y x x y++++--322222215205034103410105(3410)(3410)(3410)1010x xy x x y y y x y x x y y x y x y =+-++-++-+=+-++-++-+=例题3实数,,a b c满足条件：231224a b ab -=+=-，求代数式2a b c ++的值。
【解】22222442318224a b a ab b ab c ab ⎧-=⇒-+=⎪⎨+=-⇒+=-⎪⎩两式相加得，()2220a b ++=只有2=0a b +且0c =，所以20a b c ++=。
初中数学竞赛中最值问题求法应用举例
初中数学竞赛中最值问题求法应用举例初中数学竞赛中最值问题求法应用举例最值问题是数学竞赛中考试的重要内容之一，任何一级、任何一年的竞考差不多上必考内容。
现依照我在辅导学生过程中的体会归纳整理如下： （一）依照非负数的性质求最值。
1、若M =（X ±a ）2 +b ，则当X ±a = 0时M 有最小值b 。
2、若M = －（X ±a ）2 + b ,则当X ±a = 0 时M 有最大值b 。
3、用（a ±b ）2≥0 ，∣a ∣≥0,a ≥0的方法解题。
【说明：那个地点用到的专门重要的思想方法是配方法和整体代换思想。
】例题（1）、若实数a ，b ，c 满足a 2 + b 2 + c 2 = 9，则代数式 （a － b ）2+ （b —c ）2 +（c － a ）2的最大值是 （ ）A ．27B 、 18C 、15D 、 12 解：(a －b)2+(b －c)2+(c －a)2= 2(a 2+b 2+c 2)－2ab －2bc －2ca = 3(a 2+b 2+c 2)－a 2－b 2－c 2－2ab －2bc －2ca = 3(a 2+b 2+c 2)－(a 2+b 2+c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca)=3(a 2+b 2+c 2)－(a+b+c)2 = 27－(a+b+c)2 ≤ 27 . ∵a 2+b 2+c 2 = 9 , ∴ a,b,c 不全为0 。
当且仅当a + b + c = 0 时原式的最大值为 27 。
【说明，本例的关键是划线部份的变换，采纳加减(a 2＋b 2＋c 2)后用完全平方式。
】 例题（2）、假如关于不小于8的自然数N ，当3N+1是一个完全平方数时，N +1都能表示成K 个完全平方数的和，那么K 的最小值是 （ ） A 、 1 B 、 2 C 、 3 D 、 4解：设 ∵ 3N+1是完全平方数，∴ 设 3N+1 = X 2 （N ≥ 8），则3不能整除X ，因此X 能够表示成3P ±1的形式。
初中数学竞赛题汇编(代数部分2)
初中数学竞赛题汇编（代数部分2）江苏省泗阳县李口中学 沈正中 精编、解答例1：已知a 2＋b 2＝6ab ，且a ＞b ＞0，求 。
解：由已知得 (a ＋b)2＝8ab ， (a －b)2＝4ab ， 所以 ＝2，因a ＞b ＞0，所以a ＋b 、a －b 均为正数， 故 ＝ 。
例2：计算 的值 。
解：因 ＝2， 所以 ＝ 。
例3：已知 ，求 解：由已知得 2(a ＋b)2＝ab ，即 ＝－ 所以 ＝ ＝ 。
例4：已知 ， ，求 ＝？ 解：由 得 ，由 得 ， 所以 ＝ ＋ ＝1。
例5：已知若abc =1，求证 。
分析：所要求证的等式的左边是三个分母差异很大的式子，因而变形比较困难。
可以充分利用abc=1，将它们化成同分母。
在1++a ab a 的分子、分母上同乘c ，化成1++=++c ca ca c ac abc ac ，将1++b bc b 的分母1111=++++++++c ca c b bc b a ab a中的“1”换成abc 得ca c abc b bc b ++=++11，然后再相加即可得证。
证明：∵ abc =1 ∴ = + = =1 。
例6：已知bc=ad ，求证：ab(c 2-d 2)=(a 2-b 2)cd证明：因bc=ad ，所以 由比例的性质得……① ……② ……③ ①×②×③得 ， 所以ab(c 2-d 2)=(a 2-b 2)cd∴ab(c 2-d 2)=(a 2-b 2)cd 。
例7：已知x=by+cz ，y=cz+ax ，z=ax+by ，且x+y+z ≠0，.证明：1111=+++++cc b b a a 证明：解方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=(3) (2)(1) by ax z ax cz y cz by x (2)+(3)-(1) 得y+z-x=2ax ，所以xz y x a x x z y a 21 2++=+-+=则 所以 z y x x z y a a ++-+=+1 同理可得，z y x y z x b b ++-+=+1，z y x z y x c c ++-+=+1 所以 1111=++++=+++++zy x z y x c c b b a a 例8：已知x 、y 、z 满足关系式1=+++++y x z x z y z y x ， 证明：0222=+++++yx z x z y z y x 证明：将已知等式分别乘以x 、y 、z 得111++++++++c ca c b bc b a ab a 1++c ca ca 1+++c ca c ca c ++1111++++c ca c ca ()()()()b d ad c d c d b c b a b a 22-+=-+x y x xz x z xy z y x =+++++2 ① y yx yz x z y z y xy =+++++2 ② z yx z x z yz z y xz =+++++2③ ①+②+③ 得zy x y x yz y x xz x z yz x z xy z y xz z y xy y x z x z y z y x ++=+++++++++++++++++)()()(222所以z y x z y x yx z x z y z y x ++=++++++++222 即：0222=+++++yx z x z y z y x 例9：试用关于（x-1）的各次幂表示多项式322435x x x -+-。
七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第十讲代数式的化简与求值(含答案)
第十讲代数式的化简与求值趣题引路】如图10-1所示的八个点处各写一个数字，已知每个点处所写的数字等于和这个点有线段相连的三个点" + b + c + 〃 + *(e+ /" + &+力)</ + Z> + c + J- i(e + / + g + 〃)解答如下：-a=d + h + e , b=a + c+ f , J + 宀, d=a + c + h.3 3 3 32(a + b + c + d) + (e + f + g +力)/• a+b+e= ------------------ --------------------- .3设a+b+c+cl=/n, e+f+g+h=n ・• a. , . 2m + n■ ■ a+b+c+d= -----3. 2/n + n..m= ---------- ,3m=n.即a+b+c+d=e+f+g+h ・知识拓展】1.在前面几讲中我们分别学习了整式、分式以及根式的恒等变形与证明，苴中也涉及到它们的化简与求值.本讲主要是把这三种类型的代数式综合起来，其中求值问题是代数式运算中的非常重要的内容.2.对于代数式的化简、求值，常用到的技巧有：（1）因式分解，对所给的条件、所求的代数式实施因式分解，达到化繁为简的目的；（2）运算律，适当运用运算律，也有助于化简；（3）换元、配方、待定系数法、倒数法等；（4）有时对含有根式的等式两边同时实施平方，也不失为一种有效的方法.例1已知x=4-d,求"f—X+lh+T的值. x— 8x + 15处的数字的平均数，则代数式a + h + c + cl + ^(e+ f + f* + h)a + h + c + d --(e+ f + g+h)3 32m - n 32 3m一n2m -m 3 3-------- x --------- =—2 3m - m 4应填扌.图10-1解析：由已知得(x—4尸=3,即A2—8x+13=0.所以兀** - 6A?— 2f +1 8A' + 23 _ x2 (x"— 8x + 13) + 2x(才—8x +13) + (A*~— 8x + 13) + 10 _ 10 _、F x2-8x + 15 (X2-8X +13)+2 込—…点评：本题使用了整体代换的作法.例2已知A+Y+Z=3. (^),求匕上空学二遊二岀£2竺凹的值. (x-6/f+(y-t/f+(z-6/f解析：分式的分子、分母是轮换对称形式，可考虑用换元法.解：由x+y+z=3e 得(x—a)(y—a)(z~a)=0.设x—“=〃】, y—a=n> z~a—p>贝0 m+n+p=0・•••" = — (〃？+〃)・•『i 弋—mn + n P + m P —mn + P(m + n) —nm一(m + n)2_ -m2一mn一n2_1八m2 + n2 + p2 nf + n2 + p2 nr + n2 + (m + n)2 2(nr + mn + n2) 2 *点评：实际上，本例有巧妙的解法，将〃?+”+" = 0两边平方，得加2 + "2+卩2=一2(”山+ " + 〃初，.・.mn + np + mp _1m2 +n2 + 2 "例 3 已知" + i = + 求（“ + 〃）（/+、）（「+ “）的值.c b a abc解析：对于分式等式，如岀现两个（或两个）以上的等于号，可设为一个字母为h解：设c^b-c =a-b + c = -a + b + c=k cb aa + b-c = ck,① < a —b +c = bk 9 (^)-a + b + c = ak・③① + ②+③，得：R("+b+e)="+b+c・当“+b+e0 时，k=l,此时a+b=2c,“+c=2b, b+c=2a・.(a + h)(b + c)(c + a) _ 2a ■ 21} ■ 2cabc abc当“+〃+c=0 时♦“ + b= —Ct a + c= —b,〃+c= —a.・・.原式=(-“)•(如p)=_l.abc点评：注意本例须按a+h+c等于零和不等于零两种情况进行讨论.例4 已知“+b+c=l, a2-\-b2+c2=2. a3+b3+c3=39求(1) “be 的值;(2) a4+b4-^c4的值. 解析：•••以+胪+5=2, ：•(“+b+c)2—2(ab+be+ca)=2.A ab-¥bc~i rca = ——•2又•••帀+沪+"=3,(“+b+c)(</2+b2-\-c2— ab—be—ca) + 3abc=3 ・:.1x(2+ —)+3“bc=3・2:.abc=-,即"c的值为丄.6 6又•: a4+沪+c4=(a2+护+c2)2—2(crb2+b2c2+c2a2)=4 —2[(ab+be+ca)2—2abc{a + 方+c)]=4—2(丄4 cl ix 25—2x- xl)=—・6 6•••/+戸+疋的值为色.6点评：这道题充分体现了三个数的平方和，三个数的立方和，及三个数四次方和的常规用法，这些常用处理方法对我们今后的学习是十分重要的.好题妙解】佳题新题品味例1 (2003年河北初中数学应用竞赛题)同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整.甲商场：第一次提价的百分率为"，第二次提价的百分率为b：乙商场：两次提价的百分率都是⑺(">0, 2 b>0);丙商场：第一次提价的百分率为几第二次提价的百分率为"，则提价最多的商场是( )A.甲B.乙C•.丙 D.不能确定解析用代数式表示三个商场提价后的价格，再比较大小.解：(1)甲商场两次提价后，价格为(l+“)(l+b)=l+“+b+“b.(2)乙商场两次提价后，价格为(1 + 口)(1 + 口)=1+(“+坊+(口)2：2 2 2(3)丙商场两次提价后，价格为(1+")(1+“)=/+"+b+“b.因为(爭)2 —“b>0,所以(字)2>“b.故乙商场两次提价后，价格最髙.选B.例2已知非零实数“、b、c满足0+护+以=1, “(J.+J_)+b(丄+ b + c(丄+丄)=一3,求a+b+c的 b c a c a b 值.解析：因为ubc^O,在已知的第二个等式两边同乘以“be,得"2(c+b)+b2(c+")+c2(“+")= —3"bc, 即ab(a+/?)+bc(b-\-c)4-ac(a+c) + 3abc=0.将&历c 拆开为ubc+abc+ubc,可得ab(“+b+c)+bc(a+b+ c)+ac(a+/?+c)=0・于是(a+b+c)(ab+he+ac)=0.所以a+h+c=0或ab+bc+ac=0.若ab+bc+ac=O.由(a+b+c)2=a2+b2+c2+2cd^2bc+2cic= 1 得“+b+c=±l ・ \ 所以“+"+c的值可能为6 — 1 >1.中考真题欣赏例1 （2003年陕西中考题）先化简，再求值:皆胃L岳，其中眉存—x + 1 (x2+1)(A+ l)(x-l) x-3 _ x-1 x-3 _ 2 尿 = - : 一 = — =0+1 (x + 1) A +1x + 1 x + 1 x + 1解析:当x= 73 + 1时，原式== 4一2逅.V3+2例2 （重庆市）阅读下而材料：在计算3+5+7+9+11 + 13+15+17+19+21时，我们发现，从第一个数开始，以后的每个数与它的前一个数的差都是一个相同的左值.具有这种规律的一列数，除了直接相加外，我们还可以用公式5= 必+巴二12xd计算它们的和.（公式中的〃表示数的个数，“表示第一个数的值，〃表示这个相差的泄值）, 2那么3+5+7+9+11 + 13+15 + 17+19+21 = 10x3+巴” x2=120・2用上而的知识解决下列问题：为保护长江，减少水上流失，我市某县决泄对原有的坡荒地进行退耕还林.从1995年起在坡荒地上植树造林，以后每年又以比上一年多植相同面积的树木改造坡荒地.由于每年因自然灾害、树木成活率、人为因素等的影响，都有相同数量的新坡荒地产生，下表为1995、1996、1997年的坡荒地面积和植树的面积的统汁数据•假设坡荒地全部种上树后，不再有水上流失形成新的坡荒地，问到哪一年，可以将全县所有的坡荒地全部种上树木.解析:1997 年减少了24 000-22 400=1 600.m年减少了1 200+400x(/?/-1 996)・1 200+1 600+…+ 1 200+400(加一1 996)=25 200.令n=m—\ 995»得必1200 + 盲_><400一1)=400x HX3+———-=25200. 2 ..・.％ +竺匸—6326n+n(n-1)=126n：+5n-126=0.m 二9,血二一14 (舍去).m=1995+9=2004.••• 到2004年，可以将坡荒地全部种上树木°竞赛样题展示例1 (2003年“信利杯”)某校初三两个毕业班的学生和教师共100人一起在台阶上拍毕业照留念，摄影师要将苴排列成前多后少的梯形队阵(排数>3),且要求各行的人数必须是连续的自然数，这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空挡处，那么，满足上述要求的排法的方案有( )A. 1种B.2种C. 4种D. 0种解析设最后一排有k个人，共有n排，那么从后往前各排的人数分别为k, k+1, lc+2,…，k+ (n-l),由题意可知如+ 答丄= 100,即〃[2« + (“-1)] = 200.因为k, n都是正整数，且n$3,所以n<2k+ (n-l),且n与2k+ (n-l)的奇偶性不同。
数学培优竞赛新方法(九年级)-第6讲-代数最值
A、B，且使得 SOAB OA OB 3 . （1）用 b 表示 k ；（2）求 OAB 面积的最小值。
（浙江竞赛题）
10.设 x1 ，x2 是关于 x 的一元二次方程 x2 ax a 2 的两个实数根，则 (x1 2x2 )(x2 x1) 的最大值
为
11.若抛物线 y x2 (k 1)x k 1与 x 轴的交点为 A、B，顶点为 C，则 ABC 的面积最小值为 .
x2
4y2 6xy 11y2
。
）
（太原市竞赛题）
D.3
例 3.（1）设 a、b 为实数，求代数式 a2 ab b2 a 2b 的最小值。（全国初中数学联赛题）
(2)实数 x、y、z 满足 x y z 5 ， xy yz xz 3 ，求 z 的最大值。（全国初中数学联赛题）
思路点拨 对于（1），引入参数设 a2 ab b2 a 2b t ，将等式整理成关于 a 的二次方程 a2 (b 1)a (b2 2b t) 0 ，利用判别式求最小值，对于（2）， x y 5 z ， xy 3 z(x y) 3 z(5 z) z2 5z 3 ，运用韦达定理构造方程。
九年级数学培优竞赛辅导讲座
第 6 讲 代数最值
在生活实践中，人们经常面对带有“最’字的问题，如在一定的方案中，花费最低、消耗最少、 产值最高、获利最大等；解数学题时，我们也常常碰到求某个变量的最大值或最小值之类的问题，这 就是我们要讨论的最值问题，求最值问题的方法归纳起来有如下几点;
1.运用配方法求最值 2.构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值 3.建立函数模型求最值 4.利用基本不等式或不等式分析法求最值 【例题求解】
A、B 到原点的距离都小于 1，求 a b c 的最小值。
初中数学竞赛题汇编(代数部分2)
初中数学竞赛题汇编（代数部分2）江苏省泗阳县李口中学 沈正中 精编、解答例1：已知a 2＋b 2＝6ab ，且a ＞b ＞0，求 。
解：由已知得 (a ＋b)2＝8ab ， (a －b)2＝4ab ，所以 ＝2，因a ＞b ＞0，所以a ＋b 、a －b 均为正数，故 ＝ 。
例2：计算 的值 。
解：因＝2， 所以 ＝ 。
例3：已知 ，求解：由已知得 2(a ＋b)2＝ab ，即 ＝－所以 ＝ ＝ 。
例4：已知 ， ，求 ＝？解：由 得 ，由 得 ，所以 ＝ ＋ ＝1。
例5：已知若abc =1，求证 。
分析：所要求证的等式的左边是三个分母差异很大的式子，因而变形比较困难。
可以充分利用abc=1，将它们化成同分母。
在1++a ab a 的分子、分母上同乘c ，化成1++=++c ca ca c ac abc ac ，将1++b bc b的分母1111=++++++++c ca c b bc b a ab a中的“1”换成abc 得cac abc b bc b ++=++11，然后再相加即可得证。
证明：∵ abc =1 ∴ = + = =1 。
例6：已知bc=ad ，求证：ab(c 2-d 2)=(a 2-b 2)cd证明：因bc=ad ，所以 由比例的性质得……① ……② ……③ ①×②×③得 ， 所以ab(c 2-d 2)=(a 2-b 2)cd∴ab(c 2-d 2)=(a 2-b 2)cd 。
例7：已知x=by+cz ，y=cz+ax ，z=ax+by ，且x+y+z ≠0，. 证明：1111=+++++cc b b a a 证明：解方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=(3) (2)(1) by ax z ax cz y cz by x (2)+(3)-(1) 得y+z-x=2ax ，所以xz y x a x x z y a 21 2++=+-+=则 所以 z y x x z y a a ++-+=+1 同理可得，z y x y z x b b ++-+=+1，z y x z y x c c ++-+=+1 所以 1111=++++=+++++zy x z y x c c b b a a 例8：已知x 、y 、z 满足关系式1=+++++y x z x z y z y x ， 证明：0222=+++++yx z x z y z y x 证明：将已知等式分别乘以x 、y 、z 得111++++++++c ca c b bc b a ab a 1++c ca ca 1+++c ca c ca c ++1111++++c ca cca ()()()()b d ad c d c d b c b a b a 22-+=-+x yx xz x z xy z y x =+++++2 ① y yx yz x z y z y xy =+++++2 ② z yx z x z yz z y xz =+++++2③ ①+②+③ 得zy x y x yz y x xz x z yz x z xy z y xz z y xy y x z x z y z y x ++=+++++++++++++++++)()()(222所以z y x z y x yx z x z y z y x ++=++++++++222 即：0222=+++++yx z x z y z y x 例9：试用关于（x-1）的各次幂表示多项式322435x x x -+-。
七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第九讲求代数式的值(二)
第九讲求代数式的值（二）趣题引路】己知 a = 2003x + 2004, b = 2003x + 2003，c = 2003x4-2005 ,求代数式maUca 的值.解析已知条件中四个未知数，只有三个等量关系，显然求不出b. c、尤的值，要想办法把已知式或所求的代数式进行变形，观察代数式a2+b2+c2-ab-bc-ca,自然地想到对其进行配方，然后代入① b、c即可求得.a2 +b2 +c2 -ab-be-ca=i(2«:+2b2 + 2c2 - 2ab - 2bc- 2cci)=扌[(4_砺+("_^+(—°)打= |[l2+(-2)2+l2]=3知识延伸】将代数式通过逆用乘法运算律、乘法公式（分解因式）变形成含有已知条件所有的形式，整体代入求解，是求代数式的值的常用方法和有效途径.一、逆用乘法运算律对代数式进行变形求值例 1 已知X2+4X-1=0,求代数式2X4+8X3-4X2-8X +1的值.解析原式= 2x4 +8x3 -2x2 -2x2 -8x + 2-l=2x2 (x2 + 4 A- 1) - 2(x2 + 4x-1) -1而x2 +4x-l = 0 »则原式=—1点评显然，目前我们无法从X2+4A-1=0求出x的值，求代数式2X4+8X3-4X2-8X+1按照己知条件中从高次到低次项系数变化的规律进行配置，再将X2+4A-1= 0整体代入，求得代数式的值.这种题目通常还可以用竖式除法解答.二、运用乘法公式对代数式进行变形求值乘法公式是我们在研究整式的乘法时总结出来的，具有普遍意义，可以简化运算的一些结论.在求代数式的值时，对已知条件或所求代数式利用乘法公式进行适当变形，可以使一些问题简化，并得以解决.常用的乘法公式有：(a + b)~ =a2 + 2ab + b~；(a-b)~ =a2 - lab + b2；(a+b)(a -b) = cr -b~ • (^a+b)[cr -ab + b2^ = a3 +b3；(«-+ab + b2^ = a3 -b3；(a + b)3 =a3 + 3a2b + 3ab2 +b3；(a-bf = a3-3(rb4-3ab2 -b3在解决问题时，有时需要我们将这些公式反过来用，即因式分解公式.例 2 已知d + b + c = 3, (d-l)'+e-l)' + (c-l)' = O且"2,求代数式/+沪 + 云的值.解析把° = 2代入到前两个式子中，可得b+c=l, ①(/?-l)3+(c-l)3=-l, ②运用立方和公式将②式进行变形，得[(Z?-l) + (c-l)][(b-l)2-(b-l)(c-l) + (c-l)2] = -l即[b+c-2^b2 +c2 -2b-2c-bc+b+c+l^=-l将①代入上式得b2+c2-bc = l即(b + c)2一3bc = 1将①代入上式得l-3bc = l..bc = O..a2 +b2 +c2 = 22 + (b + c)2 - 2bc = 4 + l2 - 2x0 = 5点评在求代数式的值时，对代数式的相关知识要非常熟悉，有时代数式不一定是公式所具有的形式, 我们可以采取差什么添什么，添后再减的方法对代数式进行变形.例3若a、b、c都是有理数,且a + b + c = O,a3+b i+c3=O t求代数式a5+b5+c5的值.解析由a + b+c = O，得 c = -(a + b)/. a3 +b3 + C3 =a3+b3 + [-(a + b) 丁=a3 +b3 _(a + b)‘=a3 +b3 -a3 -3(rb-3ab2 -b3=-3crb一3ab2=3ab[-(a + b)]=3abc又a3 +b3+c‘ = 03abc = 0—、b、c中至少有一个数是0,不妨设a=0由a+b+c=0,得b= —c:.a5 +b5 +c5 = Q5 + (-c)5 +c5 = 0点评将a+b+c=0变形成c = -(a + b)是一种常见的方法，本题综合运用了等式的变形及乘法公式，在做题过程中，我们经常会感叹别人是怎么想到的，其实，只要我们对所学知识和方法非常熟悉，看到某11 些熟悉的式子即可联想到用什么方法，比如本题已知条件含有a +b +c = O,a i +b i + c 3=O 这样的条件，还 可以联想到公式a? +戻 +c‘ -3abe = (a + b + c)(a‘ +b 2 +c 2 -ab —bc-ca )将a + b + c = Q^a 3 +b 3 +c 3 = 0带入 上式即有3必=0,后面就容易解决了.本题如果是客观题，还可以寻找一组适合题意的值，代入所求代 数式中求值，如将a = 0,b = 0,c = 0代入a 5+b 5 + c 5即可求出答案为0.三、利用一些特殊的代数式形式求代数式的值某些代数式中隐含着一些特殊的关系，如x+丄=3,其中隐含了条件xx 丄=1,所以只要知道兀+丄的 X X X值，一般通过配成完全平方公式或其他乘法公式所需要的形式，即可求出许多相关代数式的值来.例4已知 —=丄，试求代数式4 的值.a~ +a + l 6 + a~ + 1 解析由已知条件值，。
初中数学竞赛“取特殊值”快速求出代数式的值(含答案)
“取特殊值”快速求出代数式的值（初一、初二）当已知条件是关于y x ,的二元不定方程()0,=y x f ，求关于y x ,的代数式()y x g ,的值时。
我们可以将满足二元不定方程()0,=y x f 的一组特殊的解，代入()y x g ,中，计算得到结果，这比用常规的整体代入的方法简洁，快速。
1 例1 若,010432=-+y x 则y x x y xy y x x 65034203152223--++++= .（第3届“希望杯”全国数学邀请赛初二试题）解：取二元不定方程010432=-+y x 的一组特殊的解：⎪⎩⎪⎨⎧==250y x ，代入待求式得： 原式=10152525625402=-=⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+ 注意：1.因为满足二元不定方程()0,=y x f 的解有无数组，所以，取满足二元不定方程()0,=y x f 一组特殊值的原则是：要求代入待求代数式()y x g ,中便于计算。
2.此题的常规解法是用因式分解的方法，凑出10432-+y x 这个因式，利用,010432=-+y x 整体代入求解。
y x x y xy y x x 65034203152223--++++=()101015)1043(2=+++-+y x y x3.相比较而言，取满足二元不定方程()0,=y x f 一组特殊值，再代入待求代数式()y x g ,来计算，这种解法要快速得多。
对解答填空题，不失为好方法。
4.对待这类求值问题，我们常规的解题方法是将()y x g ,恒等变形为含有()y x f ,的代数式：()y x g ,=()y x f ,()k y x +,ϕ其中()()的整式为关于为常数，y x y x k ,,ϕ 利用()0,=y x f 进而求出结果，即()k y x g =,。
例2．若1-=+y x ，则43222234585y xy xy y x y x y x x ++++++的值等（ ） （A ）0；（B ）－1；（C ）1；（D ）3（第14届“希望杯”全国数学邀请赛试题）分析与解答：因为满足不定方程1-=+y x 的y x ,有无数个，为了计算简便，不妨取特殊值1,0-==y x 直接代入待求多项式计算。
初中数学竞赛教程
8．已知 x2 x 1 0 ,求 x3 2x 1的值。
ab bc ca ５.已知 m2 mn 15, mn n2 6 ，求 3m2 mn 2n2 的值。
6.已知 abc 1,求 a b c 的值。 ab a 1 bc b 1 ac c 1
7.已知 ab 1，比较 M、N 的大小。 M 1 1 , 1 a 1b
N a b 。 1 a 1b
二、【典型例题解析】：
１. 如果 m 是大于 1 的有理数，那么 m 一定小于它的( )
A.相反数 B.倒数
C.绝对值
Ｄ．平方
2. 已 知 两 数 a 、 b 互 为 相 反 数 ， c 、 d 互 为 倒 数 , x 的 绝 对 值 是 2, 求
x2 (a b cd )x (a b)2006 (cd )2007 的值。
6.如果 abc 0，求 | a | | b | | c | 的值。 abc
7. x 是什么样的有理数时 | (x 2) (x 4) || x 2 | | x 4 | 等式成立?
第三讲 有理数(三)
一、【能力训练点】：
1、运算的分级与运算顺序;
2、有理数的加、减、乘、除及乘方运算的法则。
第二讲 有理数（二）
一、【能力训练点】：
1、绝对值的几何意义
① | a || a 0 | 表示数 a 对应的点到原点的距离。② | a b | 表示数 a 、 b 对应的两点间的距离。
2、利用绝对值的代数、几何意义化简绝对值。
二、【典型例题解析】:
１.若 2 a 0,化简| a 2 | | a 2 |
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第四讲 代数式一)
一、【能力训练点】:
(1）列代数式；
初中数学竞赛专题辅导 教案
初中数学竞赛专题辅导 因式分解(一)
多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．
x＝(a-b)k，y＝(b-c)k，z＝(c-a)k．
所以
x+y+z=(a-b)k＋(b-c)k+(c-a)k=0．
u+v+w=1，①
由②有
把①两边平方得
u2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=1，
所以u2+v2+w2=1，
即
两边平方有
所以
4．利用非负数的性质求值
若几个非负数的和为零，则每个非负数都为零，这个性质在代数式求值中经常被使用．
2．利用乘法公式求值
例3 已知x+y=m，x3+y3=n，m≠0，求x2+y2的值．
解 因为x+y=m，所以
m3=(x+y)3=x3+y3+3xy(x+y)=n+3m·xy，
所以
求x2+6xy+y2的值．
分析 将x，y的值直接代入计算较繁，观察发现，已知中x，y的值正好是一对共轭无理数，所以很容易计算出x+y与xy的值，由此得到以下解法．
(共30套)初中数学竞赛辅导讲义及习题解答大全 (含竞赛答题技巧)
（共30套）初中数学竞赛辅导讲义及习题解答大全适合中学教师作为辅导教材使用第一讲 走进追问求根公式形如02=++c bx ax （0≠a ）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法。
而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。
求根公式aacb b x 2422,1-±-=内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美。
降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决。
解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法。
【例题求解】【例1】满足1)1(22=--+n n n 的整数n 有 个。
思路点拨：从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程。
【例2】设1x 、2x 是二次方程032=-+x x 的两个根，那么1942231+-x x 的值等于（ ）A 、一4B 、8C 、6D 、0思路点拨：求出1x 、2x 的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如1213x x -=，2223x x -=。
【例3】 解关于x 的方程02)1(2=+--a ax x a 。
思路点拨：因不知晓原方程的类型，故需分01=-a 及01≠-a 两种情况讨论。
【例4】设方程04122=---x x ，求满足该方程的所有根之和。
思路点拨：通过讨论，脱去绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解。
【例5】 已知实数a 、b 、c 、d 互不相等，且x ad d c c b b a =+=+=+=+1111， 试求x 的值。
思路点拨：运用连等式，通过迭代把b 、c 、d 用a 的代数式表示，由解方程求得x 的值。
(初中数学竞赛希望杯)代数式的化简求值问题(2021年整理)
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代数式的化简求值问题初中数学中,全面实现了用字母代数。
这实现了学生对数认识的又一次飞跃。
这要求学生能体会用字母代替数后思维的扩展，体会一些简单的数学模型。
体会由特殊到一般，再由一般到特殊的重要方法。
1． “代数式”是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子。
它包括整式、分式、二次根式等内容，是初中阶段同学们应该重点掌握的内容之一。
2．用具体的数值代替代数式中的字母所得的数值,叫做这个代数式的值.注:一般来说，代数式的值随着字母的取值的变化而变化3．求代数式的值可以让我们从中体会简单的数学建模的好处,为以后学习方程、函数等知识打下基础。
例题精讲【试题来源】【题目】若多项式()x y x x x mx 537852222+--++-的值与x 无关，求()[]m m m m +---45222的值.【答案】—4【解析】分析：多项式的值与x 无关，即含x 的项系数均为零因为()()83825378522222++-=+--++-y x m x y x x x mx所以 m=4将m=4代人，()[]44161644452222-=-+-=-+-=+---m m m m m m利用“整体思想”求代数式的值【知识点】代数式的化简求值问题【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】x=-2时，代数式635-++cx bx ax 的值为8,求当x=2时，代数式635-++cx bx ax 的值。
奥数-初中数学竞赛辅导-字母表示数1
学科：奥数年级：初一版本：不分版本期数：347本周教学内容：字母表示数《经验谈》字母和数字本身就是密不可分的，它们在数学中的作用可谓“旗鼓相当”。
高中的数学中用字母代替来解题是很常见的，一道题从头到尾全部是字母的现象是很多的，可见字母表示数在今后的学习中应用的广泛性，用字母代替数字确实是学习中要过的一个坎，但当你过了这个坎，你会发现前面的路会很阔很平，认真读完这篇教程后，你会受益非浅的。
【内容综述】在代数中，常用英文字母或希腊字母来代替数，这是数学的一大进步，也是从小学过渡到中学的一个门坎，代数总结了算术中的一般规律，因此方法上具有普遍性，英国伟大的科学家牛顿写的代数教科书，就叫作《普遍算术》，牛顿在这本书里写了一段话：“要解答一个问题，如果里面包含着数量间的抽象关系，只要把题目从日常的语言译成代数的语言就行了。
”为此，必须掌握“日常的语言到代数的语言”的翻译技巧。
【要点讲解】1、巧列代数式：所谓巧列代数式，就是要恰当地用字母代替数，准确地将日常语言翻译成字母的运算式★例1.（1）一块木板被切成m块边长为x 厘米的正方形与n块边长为y厘米的正方形后，无任何多余的边料，问木板面积是多少？（2）一幢大楼取暖需m吨煤，现已从中用去n吨，为了使余下的还能用t天，今后必须每天用多少吨煤？（3）某厂预定在一定期限内生产a套工具，因此计划每天生产b套，由于工人们突破定额，每天比原计划多生产m套，结果该厂比原计划提前几天完成任务？（4）已知容器盛满浓度为a%的盐水100克，倒出x克后，又用水加满，问后来盐水浓度为百分之几？（5）某人上班时步行，回家时乘车，路上共用a小时，如果往返都乘车，则共需b小时，那么往返都步行需要多少小时？解：（1）（2）（3）（4）（5）说明在列代数式时同学们应注意以下几点：（1）在同一问题中，不同的对象或不同的数量，必须用不同的字母来表示。
（2）字母与字母相乘时，可省去乘号。
（3）代数式中不要使用带分数，带分数与字母相乘时，必须把带分数化为假分数。
七年级数学竞赛专题4代数式的值
3ab+2b-2a），则= 6、若a、b、c、d为互不相等的整数，且abcd=25，则a+b+c+d= 、已知 ，求代数式，求代数式 的值的值 变式题：已知 =3，求分式 的值．8、已知关于x的二次多项式a（x3-x2+3x）+b（2x2+x）+x3-5，当x=2时，多项式的值为-17，求当x=-2时，该多项式的值．时，该多项式的值．9、把（x2-x-1）n展开得a2n x2n+a2n-1x2n-1+…+a2x2+a1x+a0，求a0+a2+a4+…+a2n的值．当x=1时，有a2n+a2n-1+…+a2+a1+a0=（x2-x-1）n=（-1）n，当x=-1时，有a2n-a2n-1+…+a2-a1+a0=（x2-x-1）n=1 ∴a0+a2+a4+…+a2n= ．练习：已知已知（（2x-1）5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0是关于x的恒等式．求：（1）a0+a1+a2+a3+a4+a5的值；2）a0-a1+a2-a3+a4-a5的值（3）a0+a2+a4值10、已知：、已知： ，求证x+y+z=0．11、设100个实数a1、a2、a3，、…、a100满足（n-2）a n-（n-1）a n-1+1=0（2≤n≤100），并且已知a100=199，求a1+a2+a3+…+a100的值．的值．解：已知a100=199，得a99=197，依次求出，依次求出a98、a97、a96、…a2、a1分别为195、193、191、…、3、1，所以a1+a2+a3+…+a100=1+3+5+…+197+199 =（1+199）+（3+197）+（5+195）+…+（99+101）=50×=50×200=10000200=10000．12、设f（x）=ax7+bx3+cx-5，其中a、b、c为常数，已知f（-7）=7，求f（7）的值．）的值．13、已知x+y=1，求代数式x3+y3+3xy的值．的值．变式题：已知x2+4x-1=0，求代数式14、已知a 为有理数，为有理数，且且a 3+a 2+a+1=0，求代数式1+a+a 2+a 3+…+a 1995的值．的值．15、求代数式5x 2-4xy+y 2+6x+25的最小值．的最小值．16、已知m=4x 2-12xy+l0y 2+4y+9，当x 、y 各取何值时，m 的值最小？的值最小？ 17、已知a 2+b 2+c 2=ab+bc+ac ，且a=1，求代数式（a+b-c ）2004的值．的值．19、已知a 、b 、c 满足a+b+c=0，且abc ＞0，，，求代数式x 2000-6xy+y 3的值．的值．20、已知a+b+c=0，a 2+b 2+c 2=1，求代数式a （b+c ）+b （a+c ）+c （a+b ）的值．）的值．21、若、若 ，求，求的值．的值．22、已知a+b+c=3，（a-1）3+（b-1）3+（c-1）3=0，且a=2，求代数式a 2+b 2+c 2的值．的值．23、已知a 是方程2x 2+3x-1=0的一个根，求代数式 的值．的值．24、已知a=2004x+2005，b=2004x+2006，c=2004x+2007，求多项式a2+b 2+c 2-ab-bc-ca 的值．值．25、小明做一道数学题，“求代数式10x 9+9x 8+8x 7+7x 6+6x 5+5x 4+4x 3+3x 2+2x+1，当x=-1时的值”？由于将式中某一项前的“+”号看为“-”号，误求得代数式的值为7，问小明同学看错了第几项前的符号？几项前的符号？ 26、，求代数式3a 3-（a+a 3-2a 2-2）-2（1+a 2+a 3-6a ）的值）的值代数式的值一、选择题（共1小题，每小题3分，满分3分）1、若3x3-x=1，则9x4+12x3-3x2-7x+1999的值等于（于（ ）A、1997 B、1999 C、2001 D、2003 二、填空题（共2小题，每小题4分，满分8分）2、已知x=1999，则|4x2-5x+1|-4|x2+2x+2|+3x+7= -199903、已知a2+bc=14，b2-2bc=-6，则3a2+4b2-5bc= 18．三、解答题（共30小题，满分149分）分）4、已知a-b=5，ab=-1，求代数式（2a+3b-2ab）-（a+4b+ab）-（3ab+2b-2a）的值．（21）5、若x+7y=y-3x，求的值．（）6、若a、b、c、d 为互不相等的整数，且abcd=25，求a+b+c+d的值．（a，b，c，d分别是±1，±5 0 ）7、已知已知 ，求代数式求代数式 的值．的值． 8、已知关于x的二次多项式a（x3-x2+3x）+b（2x2+x）+x3-5，当x=2时，多项式的值为-17，求当x=-2时，该多项式的值．时，该多项式的值．（b=-1当x=-2时，原式=6b+5=-1）9、把（x2-x-1）n展开得a2n x2n+a2n-1x2n-1+…+a2x2+a1x+a0，求a0+a2+a4+…+a2n的值．的值．当x=1时，有a2n+a2n-1+…+a2+a1+a0=（x2-x-1）n=（-1）n，当x=-1时，有a2n-a2n-1+…+a2-a1+a0=（x2-x-1）n=1 ∴a0+a2+a4+…+a2n= ．10、已知：、已知： ，求证x+y+z=0．11、设100个实数a1、a2、a3，、…、a100满足（n-2）a n-（n-1）a n-1+1=0（2≤n≤100），并且已知a100=199，求a1+a2+a3+…+a100的值．的值．解：已知a100=199，根据（n-2）a n-（n-1）a n-1+1=0可得，98×98×199-99×199-99×199-99×a a99+1=0，解得，a99=197，依次可以求出a98、a97、a96、…a2、a1分别为195、193、191、…、3、1，所以a1+a2+a3+…+a100=1+3+5+…+197+199=（1+199）+（3+197）+（5+195）+…+（99+101）=50×=50×200=10000200=10000．12、设f（x）=ax7+bx3+cx-5，其中a、b、c为常数，已知f （-7）=7，求f （7）的值．）的值．（a（-7）7+b（-7）3-7c-5=7，∴a77+b73+7c=-12，∴f （7）=-12-5=-17）13、已知x+y=1，求代数式x3+y3+3xy的值．的值．（x3+3xy+y3=（x+y）（x2-xy+y2）+3xy=1）14、已知a 为有理数，为有理数，且且a 3+a 2+a+1=0，求代数式1+a+a 2+a 3+…+a 1995的值．的值．（0） 15、求代数式5x 2-4xy+y 2+6x+25的最小值．的最小值． （5x 2-4xy+y 2+6x+25=（2x-y ）2+（x+3）2+16） 16、已知m=4x 2-12xy+l0y 2+4y+9，当x 、y 各取何值时，m 的值最小？（m=4x 2-12xy+l0y 2+4y+9=（2x-3y ）2+（y+2）2+5）17、已知a 2+b 2+c 2=ab+bc+ac，且a=1， 求代数式（a+b-c ）2004的值．的值．解得：（a-b ）2+（b-c ）2+（a-c ）2=0 故（a+b-c ）2004=（1+1-1）2004=1 18、已知a 、b 、c 、d 都是正整数，并且a 5=b 4，c 3=d 2，c-a=9，求a-b 的值．的值．根据已知a 5=b 4，c 3=d 2，得出a ，b ，c ，d 之间的关系，进而求出（关系，进而求出（ ）（ - ）=9，进一步得出得出 =5， =4，从而可以求出a-b=16-32=-16．19、已知a 、b 、c 满足a+b+c=0，且abc ＞0，，，求代数式x 2000-6xy+y 3的值．的值．判断a 、b 、c 的符号两负一正，以及当a ＞0时，时， =1，当a ＜0时，时， =-1，可求x=-1，将y 的不等式变形为等式变形为+ + ，由a+b+c=0，得b+c=-a ，a+c=-b ，a+b=-c ，可求y=-3，∴x2000-6xy+y 3=1-18-27=-44．20、已知a+b+c=0，a 2+b 2+c 2=1，求代数式a （b+c ）+b （a+c ）+c （a+b ）的值．）的值．解：将等式a+b+c=0左右两边同时平方，得，（a+b+c ）2=0，变形得，a 2+b 2+c 2+ab+ac+ba+bc+ca+cb=0，∵a 2+b 2+c 2=1， ∴1+ab+ac+ba+bc+ca+cb=0，∴ab+ac+ba+bc+ca+cb=-1， 即：a （b+c ）+b （a+c ）+c （a+b ）=-1．21、若、若，求，求的值．的值．解：解法1：（1）若a+b+c≠0，由等比定理有，由等比定理有若= =1，所以a+b-c=c ，a-b+c=b ，-a+b+c=a ，于是有于是有 = =8．（2）若a+b+c=0，则a+b=-c ，b+c=-a ，c+a=-b ，于是有于是有 = =-1． 解法2：若：若=k ，则a+b=（k+1）c ，①a+c=（k+1）b ，②，②b+c=（k+1）a ．③；①+②+③有2（a+b+c ）=（k+1）（a+b+c ），所以（a+b+c ）（k-1）=0，故有k=1或a+b+c=0．当k=1时，时， = =8．当a+b+c=0时，时，= =-1．22、已知已知 ，试求代数式试求代数式的值．由 ， 2a 2-5a+2=0，∴（2a-1）（a-2）=0，∴2a-1=0，a-2=0，解得a= 或a=2，故为23、已知a 是方程2x 2+3x-1=0的一个根，求代数式的值．的值．（将（将逐步转化为含有2a 2+3a 因式的形式用1代替，代替， 得）24、已知a=2004x+2005，b=2004x+2006，c=2004x+2007，求多项式a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca 的值．（可知a-b=-1，b-c=-1，a-c=-2 故为3）25、小明做一道数学题，“求代数式10x 9+9x 8+8x 7+7x 6+6x 5+5x 4+4x 3+3x 2+2x+1，当x=-1时的值”？由于将式中某一项前的“+”号看为“-”号，误求得代数式的值为7，问小明同学看错了几项前的符号？项前的符号？（把x=-1代入得-10+9-8+7-6+5-4+3-2+1=-5，误求得代数式的值为7，比-5大12，则12÷12÷2=62=6，系数为6，五次项） 26、，求代数式3a 3-（a+a 3-2a 2-2）-2（1+a 2+a 3-6a ）的值．（11a= ）27、已知已知=3，求分式求分式的值．（提示：分式的分子与分母同除以a ，b ）（= ）28、当x=-5时，代数式ax 4+bx 2+c 的值是3，求当x=5时，代数式ax 4+bx 2+c 的值．的值． （3） 29、已知（2x-1）5=a 5x 5+a 4x 4+a 3x 3+a 2x 2+a 1x+a 0是关于x 的恒等式．求：（1）a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+a 5的值；（2）a 0-a 1+a 2-a 3+a 4-a 5的值；的值； （3）a 0+a 2+a 4的值．的值．（1）令x=1，得a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=（2×2×1-11-1）5=1； （2）令x=-l ，得a 0-a 1+a 2-a 3+a 4-a 5=[2×（-1）-1]5=-243； （3）将上面两式相加，得2a 0+2a 2+2a 4=-242， 解得a 0+a 2+a 4=-121．30、已知x 2+4x-1=0，求代数式2x 4+8x 3-4x 2-8x+1的值．的值．解：原式=2x 2（x 2+4x-1）-2（x 2+4x-1）-1=-1．31、已知a+b+c=3，（a-1）3+（b-1）3+（c-1）3=0，且a=2，求代数式a 2+b 2+c 2的值．的值．把a=2代入得b+c=1，bc=0，∴a 2+b 2+c 2=22+（b+c ）2-2bc=5 32、若a 、b 、c 都是有理数，且a+b+c=0，a 3+b 3+c 3=0，求代数式a 5+b 5+c 5的值．的值．根据a 3+b 3+c 3-3abc=（a+b+c ）（a 2+b 2+c 2-ab-bc-ac ）=0，进而判断abc=0，故可判断代数式a 5+b 5+c 5的值．的值．解答：解：a 3+b 3+c 3-3abc=（a+b+c ）（a 2+b 2+c 2-ab-bc-ac ）=0，得abc=0∴a 5+b 5+c 5=0，故答案为0．33、已知已知，试求代数式试求代数式 的值．解：由已知条件知a≠a≠00， ∵ ，∴，∴ ，即 ，∴，∴ ．。
代数式与代数式的值——初一数学竞赛系列讲座(6)
答 ：有鸡 ２ ， １ Ｏ只 兔 Ｏ只． 代数解 法 的优越 性不 言 而喻 ．
方程思想是代数的灵魂 ， 而代数式是方程的基础．
ｊ圆
基本 知识
１ ．代 数 式是 用 运 算符 号 把数 和 表 示数 的字 母连 接 而成 的式 子． 单
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（０ ３ ） （ ２ ８ — ０Ｘ ２ ÷ ４— ）一 １（ 子数 ） ０兔 ，
３ Ｏ一 １ ０— ２ （ ｏ 鸡数 ） ．
代数解 法 ： 鸡有 ｚ只 ， 兔有 （Ｏ 设 则 ３ —ｚ） ， 是 只 于
２ ｚ＋ ４ ３ （０一ｚ）一 ８ ， ０
解 之 ｚ一 ２ ， ０
３ 一ｚ一 １． ０ ０
解 一人 一天 能完 成这 项工 作 的
， 则 人一 天可 完
成项 作 这 工 的南
丛± 尘 天
．
，以 完 这 工 需 — — 所 ， 成 项 作 — 音 一一 人
干
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暑 期 竞赛 集
评注
题 迎 刃 而解 ．
（ ）基 本 思路 ， 求 出一人 一 天 完成 的工作 量 ， 余 问 １ 先 其
过 任 意两点 作直 线 ， 共可 作几 条直 线？
蹙 １ ４某 考 ，成 排 后 序前 ０ 平 成 是 ＂ ￣ １ 次 试按 绩 先 顺 ， １名 均 绩 口
分 ， ８名 平均 成绩 是 ｂ分 ， ９名 比第 １ 前 第 ０名 多 ｃ分 ， 问第 １ 的成 绩 ０名 是 多少分？
解
依题意 ， １ 前 ０名学 生 总 成 绩 为 １口， ８名学 生 总 成 绩 ０ 前
为 ８ ， 以第 ９ ０两 名同学 的成 绩 和为 １ａ ８ ， 为 第 ９名 比第 １ ６所 、１ ０ － ｂ因 ０ 名多 ｃ ， 第 １ 分 故 ０名同学成 绩 的 （Ｏ －８ －ｃ分． １ａ ｂ ） 评注 （）解题 关键 在 于 由均分 求 出总分． １
【精】初中数学竞赛辅导资料(47-48)配方法 非负数
初中数学竞赛辅导资料（47-48）配方法 非负数 【附详细解答】配方法【甲】难点点拨1. 配方：这里指的是在代数式恒等变形中，把二次三项式a 2±2ab+b 2写成完全平方式（a ±b ）2. 有时需要在代数式中添项、折项、分组才能写成完全平方式. 常用的有以下三种：①由a 2+b 2配上2ab ， ②由2 ab 配上a 2+b 2， ③由a 2±2ab 配上b 2. 2. 运用配方法解题，初中阶段主要有：① 用完全平方式来因式分解例如：把x 4+4 因式分解.原式＝x 4+4＋4x 2－4x 2=(x 2+2)2－4x 2＝…… 这是由a 2+b 2配上2ab.② 二次根式化简常用公式：a a =2，这就需要把被开方数写成完全平方式.例如：化简625-.我们把5－26写成 2－232＋3＝2)2(－232＋2)3( ＝（2－3）2.这是由2 ab 配上a 2+b 2.③ 求代数式的最大或最小值，方法之一是运用实数的平方是非负数，零就是最小值.即∵a 2≥0， ∴当a=0时， a 2的值为0是最小值. 例如：求代数式a 2+2a －2 的最值. ∵a 2+2a －2= a 2+2a+1－3=(a+1)2－3当a=－1时, a 2+2a －2有最小值－3. 这是由a 2±2ab 配上b 2④ 有一类方程的解是运用几个非负数的和等于零，则每一个非负数都是零，有时就需要配方.例如:：求方程x 2+y 2+2x-4y+5=0 的解x, y. 解：方程x 2+y 2+2x-4y+1＋4＝0.配方的可化为 （x+1）2+(y －2)2=0. 要使等式成立，必须且只需⎩⎨⎧=-=+0201y x .解得 ⎩⎨⎧=-=21y x此外在解二次方程中应用根的判别式，或在证明等式、不等式时，也常要有配方的知识和技巧.【乙】典型例题例1. 因式分解：a 2b 2－a 2+4ab －b 2+1.解：a 2b 2－a 2+4ab －b 2+1＝a 2b 2+2ab+1+(－a 2+2ab －b 2) （折项，分组）＝（ab+1）2－(a －b)2（配方）＝（ab+1+a-b ）(ab+1-a+b) （用平方差公式分解）本题的关鍵是用折项，分组，树立配方的思想. 例2. 化简下列二次根式：①347+； ②32-； ③223410+-. 解：化简的关键是把被开方数配方①347+＝33224+⨯+＝2)32(+＝32+＝2＋3.②32-＝2322-＝2324-＝2)13(2-＝2)13(2-＝226-.③223410+-＝2)12(410+-＝）＋（12410- ＝246-＝22224+⨯-＝2)22(-=2－2.例3. 求下列代数式的最大或最小值：① x 2+5x+1； ② －2x 2－6x+1 .解：①x 2+5x+1＝x 2+2×2`5x+225⎪⎭⎫ ⎝⎛－425+1＝（x+25）2－421. ∵（x+25）2≥0，其中0是最小值. 即当x=25时，x 2+5x+1有最小值－421.②－2x 2－6x+1 ＝－2（x 2+3x-21）=－2(x 2+2×23x+4949-－21)＝－2（x+23）2+211 ∵－2（x+23）2≤0，其中0是最大值， ∴当x=－23时，－2x 2－6x+1有最大值211.例4. 解下列方程：①x 4－x 2+2xy+y 2+1=0 ； ②x 2+2xy+6x+2y 2+4y+10=0. 解：①（x 4－2x 2＋1）＋（x 2+2xy+y 2）=0 . （折项，分组） (x 2－1)2+(x+y)2=0. （配方）根据“几个非负数的和等于零，则每一个非负数都应等于零”.得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=-012y x x∴⎩⎨⎧-==1,1y x 或⎩⎨⎧=-=11y x ②x 2+2xy+y 2+6x+6y+9+y 2－2y+1=0 . (折项，分组) (x+y)2+6（x+y ）+9+y 2－2y+1=0.(x+y+3)2+(y －1)2＝0. （配方） ∴⎩⎨⎧=-=++0103y y x ∴⎩⎨⎧=-=14y x例5.已知：a, b, c, d 都是整数且m=a 2+b 2, n=c 2+d 2, 则mn 也可以表示为两个整数的平方和，试写出其形式. （1986年全国初中数学联赛题） 解：mn=( a 2+b 2)( c 2+d 2)= a 2c 2+ +a 2d 2 +b 2 c 2+ b 2 d 2= a 2c 2+ b 2 d 2+2abcd+ a 2d 2 +b 2 c 2－2abcd (分组，添项) =(ac+bd)2+(ad-bc)2例6. 求方程 x 2+y 2-4x+10y+16=0的整数解 解：x 2-4x+16+y 2+10y+25=25 (添项) （x －4）2+(y+5)2＝25 （配方）∵25折成两个整数的平方和，只能是0和25；9和16.∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=-⎪⎩⎪⎨⎧=+=-⎪⎩⎪⎨⎧=+=-⎪⎩⎪⎨⎧=+=-9)5(16)4(16)5(9)40)5(25)4(25)5(0)422222222y x y x y x y x 或（或或（ 由⎩⎨⎧=+=-5504y x 得⎩⎨⎧==04y x同理，共有12个解⎩⎨⎧-==104y x ⎩⎨⎧==5-9y x ⎩⎨⎧-=-=51y x ……【丙】模拟考场 1. 因式分解：①x 4+x 2y 2+y 4 ；②x 2-2xy+y 2-6x+6y+9 ； ③x 4+x 2-2ax-a 2+1. 2. 化简下列二次根式：①25204912422+-+++x x x x （－23＜x<25）； ②2234432++-+-+x x x x x (1<x<2)； ③21217-； ④53+；⑤324411-+； ⑥5353-++； ⑦（14＋65）÷（3＋5）； ⑧（x -3）2＋1682+-x x . 3求下列代数式的最大或最小值： ①2x 2+10x+1 ； ②－21x 2+x-1. 4.已知：a 2+b 2－4a －2b+5 . 求：223-+b a 的值.5.已知：a 2+b 2+c 2=111, ab+bc+ca=29 . 求：a+b+c 的值.6.已知：实数a, b, c 满足等式a+b+c=0, abc=8 . 试判断代数式cb a 111++值的正负. （全国初中数学联赛题） 7.已知：x=3819- .求：1582316262234+-++--x x x x x x . （全国初中数学联赛题） 8.已知：a 2+c 2+2(b 2-ab-bc)=0 . 求证：a=b=c. 9. 解方程：①x 2-4xy+5y 2-6y+9 ； ②x 2y 2+x 2+4xy+y 2+1=0 ； ③5x 2+6xy+2y 2-14x-8y+10=0. 10.求下列方程的整数解：①（2x-y －2）2＋(x+y+2)2=5； ②x 2-6xy+y 2+10y+25=0. 【丁】答案精析1. ②（x －y －3）22. ①8， ②0.5x ， ③3－22， ④2210+， ⑤2＋3， ⑥10 ⑦3＋5， ⑧7－2x （x ≤3） 3. ①当x=－25时，有最小值－223 ②x=1时，有最大值－214. a=2, b=1 代数式值是3＋225. ±136.负数。