小学奥数排列组合复习PPT课件
合集下载
排列与组合优秀课件
备用课堂训练
1.(2019·福州调研)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为
()
A.144
B.120
C.72
D.24
解析 “插空法”，先排 3 个空位，形成 4 个空隙供 3 人选择就座，因此任何两人
不相邻的坐法种数为 A34＝4×3×2＝24. 答案 D
2.(2018·全国Ⅰ卷)从2位女生、4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选， 则不同的选法共有________种(用数字作答). 解析 法一 可分两种情况：第一种情况，只有 1 位女生入选，不同的选法有 C12C24 ＝12 种；第二种情况，有 2 位女生入选，不同的选法有 C22C14＝4 种.根据分类加法 计数原理知，至少有 1 位女生入选的不同的选法有 12＋4＝16 种. 法二 从 6 人中任选 3 人，不同的选法有 C36＝20 种，从 6 人中任选 3 人都是男生， 不同的选法有 C34＝4 种，所以至少有 1 位女生入选的不同的选法有 20－4＝16 种. 答案 16
答案 (1)B (2)D
课堂小结
1.对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑 (1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素. (2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置. (3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数.
2.排列、组合问题的求解方法与技巧 (1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列、组合混合问题先选后排； (4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)正难则反，等价条件.
反思总结
规律方法 组合问题常有以下两类题型变化： (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出， 再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取. (2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少” 与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解， 通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.
排列组合ppt课件
排列的分类与计算方法
01
02
03
排列的定义
排列是指从给定个数的元 素中取出指定个数的元素 进行排序。
排列的分类
根据取出的元素是否重复 ，排列可分为重复排列和 不重复排列。
排列的计算方法
排列的计算公式为 nPr=n!/(n-r)!，其中n为 总元素个数，r为要取出的 元素个数。
组合的分类与计算方法
后再合并答案。
利用对称性
在某些问题中，可以利用对称性 来简化计算，例如在计算圆周率 时可以利用对称性来减少计算量
。
学会推理和猜测
在某些问题中，需要学会推理和 猜测，尝试不同的方法和思路，
以寻找正确的答案。
解题注意事项与易错点
注意细节
在解题过程中要注意细节，例如元素的重复、遗漏等问题，避免 出现错误。
组合的定义
组合是指从给定个数的元 素中取出指定个数的元素 进行组合，不考虑排序。
组合的分类
根据取出的元素是否重复 ，组合可分为重复组合和 不重复组合。
组合的计算方法
组合的计算公式为 nCr=n!/(r!(n-r)!)，其中n 为总元素个数，r为要取出 的元素个数。
排列组合的复杂应用
排列与组合的应用
另一个应用是解决组合问题，例如，在从n个不同元素中 选出m个元素的所有组合的问题中，可以使用排列组合的 方法来解决。
排列组合在物理中的应用
排列组合在物理中也有着广泛的应用，其中最常见的是在量子力学和统计物理中 。例如，在量子力学中，波函数的对称性和反对称性可以通过排列组合来描述。
在统计物理中，分子和原子的分布和运动可以通过排列组合来描述。例如，在理 想气体中，分子的分布和运动可以通过组合数学的方法来描述。
排列组合问题17种方法ppt课件
C
6 9
一
二
三
四
五
六
七
班
班
班
班
班
班
班
30
将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素 排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为
C m 1 n 1
31
练习题
1. 10个相同的球装5个盒中,每盒至少一 有多少装法？
C4 9
2 .x+y+z+w=100求这个方程组的自然数解 的组数
A
5 5
A A A
2 4
1 4
5 5
一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究.
前排
后排
20
练习题
有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并 且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是______
346
21
重排问题求幂策略
把6名实习生分配到7个车间实习,共有 多少种不同的分法
解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配 到车间有 种分法.
7
把第二名实习生分配
到车间也有7种分法，
依此类推,由分步计
7 6 数原理共有 种不同的排法
允许重复的排列问题的特点是以元素为研究 对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排 各个元素的位置，一般地n不同的元素没有限 制地安排在m个位置上的排列数为 种
一个盒子装1个 （6）每个盒子至少1个
25
练习题 一个班有6名战士,其中正副班长各1人 现从中选4人完成四种不同的任务,每人 完成一种任务,且正副班长有且只有1人 参加,则不同的选法有________ 种 192
小学奥数排列组合复习PPT文档25页
小学奥数排列组合复习
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
13、遵守纪律的风气பைடு நூலகம்培养，只有领 导者本 身在这 方面以 身作则 才能收 到成效 。—— 马卡连 柯 14、劳动者的组织性、纪律性、坚毅 精神以 及同全 世界劳 动者的 团结一 致，是 取得最 后胜利 的保证 。—— 列宁 摘自名言网
15、机会是不守纪律的。——雨果
谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
13、遵守纪律的风气பைடு நூலகம்培养，只有领 导者本 身在这 方面以 身作则 才能收 到成效 。—— 马卡连 柯 14、劳动者的组织性、纪律性、坚毅 精神以 及同全 世界劳 动者的 团结一 致，是 取得最 后胜利 的保证 。—— 列宁 摘自名言网
15、机会是不守纪律的。——雨果
谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
排列组合的ppt课件免费
题目2：从7个不同元素 中取出4个元素的组合数 ，其中某特定元素可以 不被取出。
答案1：$A_{7}^{4} A_{6}^{3} = 7 times 6 times 5 times 4 - 6 times 5 times 4 = 336$
答案2：$C_{7}^{4} C_{6}^{3} = frac{7 times 6 times 5 times 4}{4 times 3 times 2 times 1} - frac{6 times 5 times 4}{3 times 2 times 1} = 28$
排列组合问题的变种与拓展
排列组合问题的变种
如“带限制的不同元素的排列组合” 、“重复元素的排列组合”等，需要 进一步拓展学生的思路。
拓展方法
通过变种问题的解析，引导学生深入 思考排列组合问题，并掌握其变化规 律，为解决更复杂的问题打下基础。
04
CATALOGUE
排列组合的数学原理
排列组合的数学原理简介
数学教育的核心
排列组合是数学教育中的 重要内容，对于培养学生 的数学素养和解决问题的 能力具有重要意义。
解决排列组合问题的方法与技能
乘法原理
加法原理
乘法原理是解决排列组合问题的基础，通 过将各个独立事件的产生概率相乘，可以 计算出复合事件的产生概率。
加法原理用于计算具有互斥性的事件的概 率，通过将各个互斥事件的产生概率相加 ，可以得到总的产生概率。
解析方法
通过实例演示和讲授，帮助学生理解排列组合的基本概念和计算方法，同时引导 学生思考如何解决实际问题。
实际问题的排列组合解决方案
实际问题的排列组合
如“安排会议”、“排定演出节目单”、“安排生产计划” 等，需要结合具体情境进行分析。
《排列组合复习》PPT课件
A.
C
3 4
B.
P
3 4
C. 3 4
D. 4 3
（ 选 C）
完整版ppt
6
例2 有不同的数学书7本，语 文书5多少 种不同的取法？
（7×5 + 7×4 + 5×4 = 83）
完整版ppt
7
例3 将数字1、2、3、4 填入标号 为1、2、3、4 的四个方格里 , 每格填一 个数字，则每个方格的标号与所填的数 字都不相同的填法共有
完整版ppt
26
7. 由数字 0 , 1 , 2 , 3 ,4 , 5 组成 没有重复数字的六位数,其中个位数 字小于十位数字的共有多少个?
完整版ppt
27
8. 四名同学分配到三个办公室 去搞卫生,每个办公室至少去一名学 生,不同的分配方法有多少种?
完整版ppt
28
四、复习建议
1. 回顾听课过程,理解重点 知识,剖析典型例题,概括基本 方法,体会解题思路.
组合数性质
完整版ppt
3
二、重点难点
1. 两个基本原理
2. 排列、组合的意义
3. 排列数、组合数计算公式
4. 组合数的两个性质
5. 排列组合应用题
完整版ppt
4
1. 两个基本原理
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
完整版ppt
5
例1 某校组织学生分4个组 从3处风景点中选一处去春游,则 不同的春游方案的种数是
2. 结合自学过程,整理所做 习题,找到失误原因,及时进行 总结.
完整版ppt
29
排列组合复习二重点难点一知识结构三综合练习四复习建议基本本原理排列排列数公式应用问问题一知识结构组合组合数公式组合数性质二重点难点1
排列组合复习课解排列组合问题的常用技巧课件
交通安排
在城市中选择最佳的交通 路径，涉及排列组合中的 排列问题。
彩票中奖
计算彩票中奖的概率，涉 及排列组合中的组合问题。
排列组合在计算机科学中的应用
算法设计
计算机程序设计中，算法 的复杂度分析涉及排列组 合中的计算。
数据结构
在数据结构中，对数据的 排列和组合涉及排列组合 中的相关知识。
加密算法
密码的生成和破解，涉及 排列组合中的排列和组合 问题。
2023
REPORTING
排列组合复习课：解 排列组合问题的常用 技巧
• 排列组合基本概念 • 排列组合问题的常用解题技巧 • 排列组合问题中的计数原理 • 排列组合问题中的实际应用 • 排列组合问题的模拟试题与解析
2023
PART 01
排列组合基本概念
REPORTING
排列的定义与计算公式
排列的定义
反面思考法
总结词
在解决排列组合问题时，有时候从正面思考比较困难，可以采用反面思考法来解决问题。
详细描述
反面思考法是一种常用的解题技巧，它主要用于解决从正面思考比较困难的问题。具体来说，反面思考法是通过 考虑问题的反面情况来解决问题。这种方法特别适用于涉及对立事件或不可能事件的问题，它可以简化计算过程 并提高准确性。
分步乘法计数原理
要点一
总结词
分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基本方法之一， 其核心思想是将问题按照不同的步骤分为若干个小的步骤， 然后分别计算每个步骤的数量，最后将各个步骤的数量相 乘得到总数量。
要点二
详细描述
分步乘法计数原理的步骤是首先确定问题的不同步骤，然 后对每一步进行计数，最后将各个步骤的计数结果相乘。 这个原理在排列组合问题中广泛应用，例如在解决排列问 题、组合问题以及概率问题时非常有效。
小学奥数排列组合复习(课堂PPT)
分析：由于4人中必须有一个人拍照，所以，每张照片只能有3人，可以看成有3个位置由 这3人来站．由于要选一人拍照，也就是要从四个人中选3人照相，所以，问题就转化 成从四个人中选3人，排在3个位置中的排列问题．要计算的是有多少种排法．
解：由排列数公式，共可能有：
p
3 4
=4×3×2=24
种不同的拍照情况．
分析：要在42人中选3人去参加夏令营，那么，所有的选法只与选出的同学 有关，而与三名同学被选出的顺序无关.所以，应用组合数公式，共有C343 种不同的选法.
要在42人中选出3人站成一排，那么，所有的站法不仅与选出的同学 有关，而且与三名同学被选出的顺序有关.所以，应用排列数公式，共有 P342种不同的站法.
排列数公式: 从n个不同元素取 m个
（1 mn)的不同排列总数为：
pn mn(n 1 )n (2)(nm 1 )(n n !m )!
m = n时称全排列
P n n p n n ( n 1 )n ( 2 ) 2 1 n !
9
第1次选取 A
B C
第2次选取 B C D
第3次选取
C 例如：n=4, m =3
排列组合复习
1
主要内容
乘法原理 加法原理 排列 组合 例题讲解
习题
2
基本计数原理
1. 乘法原理
设完成一件事有m个步骤，
第一个步骤有n1种方法， 第二个步骤有n2种方法, 则完成这件事共有
…； 第m个步骤有nm种方法,
n 1n2nm
必须通过每一步骤,
种不同的方法 .
才算完成这件事，
3
例如，若一个男人有三顶帽子和两件 背心，问他可以有多少种打扮？
14
例2、5个人并排站成一排，其中甲必须站在中间有 多少种不同的站法？
解：由排列数公式，共可能有：
p
3 4
=4×3×2=24
种不同的拍照情况．
分析：要在42人中选3人去参加夏令营，那么，所有的选法只与选出的同学 有关，而与三名同学被选出的顺序无关.所以，应用组合数公式，共有C343 种不同的选法.
要在42人中选出3人站成一排，那么，所有的站法不仅与选出的同学 有关，而且与三名同学被选出的顺序有关.所以，应用排列数公式，共有 P342种不同的站法.
排列数公式: 从n个不同元素取 m个
（1 mn)的不同排列总数为：
pn mn(n 1 )n (2)(nm 1 )(n n !m )!
m = n时称全排列
P n n p n n ( n 1 )n ( 2 ) 2 1 n !
9
第1次选取 A
B C
第2次选取 B C D
第3次选取
C 例如：n=4, m =3
排列组合复习
1
主要内容
乘法原理 加法原理 排列 组合 例题讲解
习题
2
基本计数原理
1. 乘法原理
设完成一件事有m个步骤，
第一个步骤有n1种方法， 第二个步骤有n2种方法, 则完成这件事共有
…； 第m个步骤有nm种方法,
n 1n2nm
必须通过每一步骤,
种不同的方法 .
才算完成这件事，
3
例如，若一个男人有三顶帽子和两件 背心，问他可以有多少种打扮？
14
例2、5个人并排站成一排，其中甲必须站在中间有 多少种不同的站法？
排列组合ppt课件
排列组合基本公式 • 排列组合的应用 • 排列组合的扩展知识 • 练习题与答案解析
01
排列组合基本概念
排列的定义
排列的定义
从n个不同元素中取出m个元素（ m≤n），按照一定的顺序排成一列， 称为从n个不同元素中取出m个元素的 排列。
组合公式推导
根据乘法原理，组合数等 于从n个不同元素中取出m 个元素的排列数除以这m 个元素的全排列数。
组合公式证明
通过数学归纳法证明组合 公式。
排列组合公式的推导与证明
排列组合公式的推导
通过数学归纳法和乘法原理，逐步推导出排列和组合的公式。
排列组合公式的证明
通过数学归纳法和反证法，证明排列和组合公式的正确性。
机器学习
03
在机器学习中，排列组合用于描述样本空间和事件发生的可能
性，例如在朴素贝叶斯分类器中。
在统计学中的应用
概率分布
在统计学中，排列组合用于描述概率分布和随机事件的组合数量 ，例如在二项分布、多项分布等概率分布中。
统计推断
在统计推断中，排列组合用于计算样本数据的可能性和置信区间 ，例如在贝叶斯推断和参数估计中。
从n个不同元素中取出m个元素的所有组合方式。
排列组合在概率论中的应用
总结词
排列组合在概率论中有广泛的应用，它们是概率论中的基本概念之一。
详细描述
在概率论中，排列组合被广泛应用于各种概率模型和随机事件的计算中。例如，在计算随机事件的概率时，可以 使用排列组合来计算样本空间的大小和基本事件的数量。在计算条件概率时，可以使用排列组合来计算条件事件 的基本事件的数量。此外，在概率分布的计算中，排列组合也起着重要的作用。
3
组合的特性
组合无方向性，即顺序不影响组合的唯一性。
01
排列组合基本概念
排列的定义
排列的定义
从n个不同元素中取出m个元素（ m≤n），按照一定的顺序排成一列， 称为从n个不同元素中取出m个元素的 排列。
组合公式推导
根据乘法原理，组合数等 于从n个不同元素中取出m 个元素的排列数除以这m 个元素的全排列数。
组合公式证明
通过数学归纳法证明组合 公式。
排列组合公式的推导与证明
排列组合公式的推导
通过数学归纳法和乘法原理，逐步推导出排列和组合的公式。
排列组合公式的证明
通过数学归纳法和反证法，证明排列和组合公式的正确性。
机器学习
03
在机器学习中，排列组合用于描述样本空间和事件发生的可能
性，例如在朴素贝叶斯分类器中。
在统计学中的应用
概率分布
在统计学中，排列组合用于描述概率分布和随机事件的组合数量 ，例如在二项分布、多项分布等概率分布中。
统计推断
在统计推断中，排列组合用于计算样本数据的可能性和置信区间 ，例如在贝叶斯推断和参数估计中。
从n个不同元素中取出m个元素的所有组合方式。
排列组合在概率论中的应用
总结词
排列组合在概率论中有广泛的应用，它们是概率论中的基本概念之一。
详细描述
在概率论中，排列组合被广泛应用于各种概率模型和随机事件的计算中。例如，在计算随机事件的概率时，可以 使用排列组合来计算样本空间的大小和基本事件的数量。在计算条件概率时，可以使用排列组合来计算条件事件 的基本事件的数量。此外，在概率分布的计算中，排列组合也起着重要的作用。
3
组合的特性
组合无方向性，即顺序不影响组合的唯一性。
(完整版)排列组合经典课件
好的6个元素中间包含首尾两个空位共有
种 A64不同的方法 由分步计数原理,节目的 不同顺序共有A55 A64 种
元素不相邻问题可先把没有位置要求的元素 进行排队再相把不相独邻元独素插入独中间相和两端
练习题
某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单， 开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节 目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么 不同插法的种数为（ ）
练习题
1. 同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来, 然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张 贺年卡不同的分配方式有多少种？ (9)
2.给图中区域涂色,要求相邻区
域不同色,现有4种可选颜色,则
不同的着色方法有_7_2__种
3
14 2
5
练习题 我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、 副班长、团支部书记至少有一人在内的 抽法有多少种?
练习题
5个男生3个女生排成一排,3个女生 要排在一起,有多少种不同的排法?
共有A
6 6
A
3 3
=4320种不同的排法.
三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个
独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出 场顺序有多少种？
解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共 有 A55 种，第二步将4舞蹈插入第一步排
十一.实际操作穷举策略
例15.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2
3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五
个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且
恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,.
有多少投法
解：从5个球中取出2个与盒子对号有__C_52__种
还剩下3球3盒序号不能对应，利用实际
操作法，如果剩下3,4,5号球, 3,4,5号盒
种 A64不同的方法 由分步计数原理,节目的 不同顺序共有A55 A64 种
元素不相邻问题可先把没有位置要求的元素 进行排队再相把不相独邻元独素插入独中间相和两端
练习题
某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单， 开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节 目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么 不同插法的种数为（ ）
练习题
1. 同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来, 然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张 贺年卡不同的分配方式有多少种？ (9)
2.给图中区域涂色,要求相邻区
域不同色,现有4种可选颜色,则
不同的着色方法有_7_2__种
3
14 2
5
练习题 我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、 副班长、团支部书记至少有一人在内的 抽法有多少种?
练习题
5个男生3个女生排成一排,3个女生 要排在一起,有多少种不同的排法?
共有A
6 6
A
3 3
=4320种不同的排法.
三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个
独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出 场顺序有多少种？
解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共 有 A55 种，第二步将4舞蹈插入第一步排
十一.实际操作穷举策略
例15.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2
3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五
个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且
恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,.
有多少投法
解：从5个球中取出2个与盒子对号有__C_52__种
还剩下3球3盒序号不能对应，利用实际
操作法，如果剩下3,4,5号球, 3,4,5号盒
排列和组合复习 20页PPT文档
2)出现O: C 1 3C9 2A 4 433 624 2592 3)出现Q: C 1 3C9 2A 4 433 624 2592 4)出现0 : C3 2C 1 9A 4 43924 648
不同排法种数=8424
（07浙江高考）某书店有11种杂
志，2元1本的8种，1元1本的3种。
共63种
2) 2人到12层; C32 515
其中12层无人去情况共有: 53种.
3) 1人到12层
可能情况共有63 – 53 =源自91种另2人同层: C13 515
6
另2人异层: C13 A52 60
5
可能情况共有1+15+15+60 = 91种
4
3
2
1
（05浙江高考）从集合{O,P,Q,R,S}与{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
总数=24+48+12=84种 解(间接元素分析法) 无限制: 44. 扣除:
总数=24+48+12=84种 解(间接位置分析法) “扣红”---直接 无限制: 44. 扣除: “后红”---间接
用1种: 4
用2种: 3+1
2+2
C14C24A22 48 A24A22 24
用3种 C14A34 96
典型回顾:
例2.用0~9这10个数字，可以组成多少个没有重复数 字的三位数？
（08年全国一12）
如图，一环形花坛分成四块，现有
4种不同的花供选种，要求在每块里种 1种花，且相邻的2块种不同的花，则 不同的种法总数为（ ）
A．96 B．84
A
D
C．60 D．48
B
C
（08年全国一12）如图，一环形花坛分成四块，现有4种不
排列组合复习课课件.ppt
性质2：如果二项式的幂指数是偶数，中间一 项的二项式系数最大；如果二项式的 幂指数是奇数，中间两项的二项式系
性质3性：质数3最：大.
性质3： Cn0 Cn1 Cn2 Cnk Cnn 2n
性质4：(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系 数的和等于偶数项的二项式系数和.
练习
1.某段铁路上有12个车站，共需准备
多少种普通客票？
P122
2.某段铁路上有12个车站，问有
多少种不同的票价？ C122
3.用3，5，7，9四个数字，一共可组成 多少个没有重复数字的正整数
P41 P42 P43 P44
N
二项式定理（公式）
(a+b) n= Cn0an C1nan1b Crnanrbr Cnnbn
（2）运用对称思想，因为在6个人的 全排列中，甲在乙的左边与甲、乙对 调后排列一一对应且各占一半，故有 P66/2=360种站法。
（3）（插入法）第一步先让甲、乙 以外的4个人站队，有P44种站法。第 二步再让甲乙4个人形成的5个空隔中， 有P52种站法，则共有P44*P52=480种站 法。
（4）（直接法）分三步从甲、
1
C
m n
C
m n
n(n 1) (n n! m!
m!(n m)!
m
C
0 n
1)
1
Pnm
C
m n
Pmm
， C C m n
nm n
Cm n1
Cnm
C m1 n
全排列：n个不同元素全部取出的一个排列.全排列数公式：所
有全排列的个数，即：Pnn n(n 1)(n 2)21
性质3性：质数3最：大.
性质3： Cn0 Cn1 Cn2 Cnk Cnn 2n
性质4：(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系 数的和等于偶数项的二项式系数和.
练习
1.某段铁路上有12个车站，共需准备
多少种普通客票？
P122
2.某段铁路上有12个车站，问有
多少种不同的票价？ C122
3.用3，5，7，9四个数字，一共可组成 多少个没有重复数字的正整数
P41 P42 P43 P44
N
二项式定理（公式）
(a+b) n= Cn0an C1nan1b Crnanrbr Cnnbn
（2）运用对称思想，因为在6个人的 全排列中，甲在乙的左边与甲、乙对 调后排列一一对应且各占一半，故有 P66/2=360种站法。
（3）（插入法）第一步先让甲、乙 以外的4个人站队，有P44种站法。第 二步再让甲乙4个人形成的5个空隔中， 有P52种站法，则共有P44*P52=480种站 法。
（4）（直接法）分三步从甲、
1
C
m n
C
m n
n(n 1) (n n! m!
m!(n m)!
m
C
0 n
1)
1
Pnm
C
m n
Pmm
， C C m n
nm n
Cm n1
Cnm
C m1 n
全排列：n个不同元素全部取出的一个排列.全排列数公式：所
有全排列的个数，即：Pnn n(n 1)(n 2)21
《排列组合复习》课件
进阶练习题
在5个不同元素中取出3个元素进行排列，其中某一个 特定元素必须被取到，这样的排列数是多少？
输入 标题
答案解析
首先从5个元素中取出一个特定元素，然后从剩下的4 个元素中取出2个元素进行排列，即$A_{5}^{1} times A_{4}^{2} = 5 times 24 = 120$。
题目1
详细描述
特殊元素优先法是指在解决排列组合问题时，优先考虑特殊元素或特定条件，将 其先固定下来，再对其他元素进行排列或组合。这种方法可以简化问题，降低计 算难度，提高解题效率。
分组法
总结词
分组法是一种将问题分解成若干个较小 的部分，分别解决后再综合的解题技巧 。
VS
详细描述
分组法在排列组合问题中，常常用于处理 有特定分组要求的问题。首先将问题分解 成若干个较小的部分，对每一部分进行排 列或组合，然后再根据问题的具体要求， 将各部分的解进行综合，得出最终答案。 这种方法可以降低问题的复杂度，使问题 更容易解决。
感谢您的观看
05
练习题与答案解析
基础练习题
题目1
从5个不同元素中取出3个元素的排列数是多少？
答案解析
从5个不同元素中取出3个元素进行排列，即$A_{5}^{3} = 5 times 4 times 3 = 60$。
题目2
从7个不同元素中取出4个元素的组合数是多少？
答案解析
从7个不同元素中取出4个元素进行组合，即$C_{7}^{4} = frac{7 times 6 times 5 times 4}{4 times 3 times 2 times 1} = 35$。
详细描述
排列组合的分组问题通常涉及到将一组元素分成若干个不同的组，并考虑这些组之间的 排列或组合关系。解决这类问题需要理解分组的基本原则，并能够根据实际情况选择合
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
GEC Program18来自例4、某班要在42名同学中选出3名同学去参加夏令营，问共 有多少种选法？如果在42人中选3人站成一排，有多少种 站法？
分析：要在42人中选3人去参加夏令营，那么，所有的选法只与选出的同学有关，而与
三名同学被选出的顺序无关.所以，应用组合数公式，共有C432 种不同的选法.
第3次选取
C 例如：n=4, m =3
D B D B
C
P43 4 3 2 24
……
D
4、组合：一般地，从n个不同元素中取出m个 （m≤n）元素组成一组不计较组内各元素的次序， 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
由组合的定义可以看出，两个组合是否相同，只与这两个组 合中的元素有关，而与取到这些元素的先后顺序无关.只有 当两个组合中的元素不完全相同时，它们才是不同的组合。
种不同的方法 .
才算完成这件事，
例如，若一个男人有三顶帽子和两 件背心，问他可以有多少种打扮？
可以有 3 2 种打扮
基本计数原理
2. 加法原理
设完成一件事有m种方式，
第一种方式有n1种方法，
第二种方…式；有n2种方法,
则完成这件事总共 有n1 + n2 + … + nm
第m种方式有nm种方法, 种方法 .
GEC Program
17
例4、某班要在42名同学中选出3名同学去参加夏令营， 问共有多少种选法？如果在42人中选3人站成一排，有 多少种站法？
分析：要在42人中选3人去参加夏令营，那么，所有的选法只与选出的同学 有关，而与三名同学被选出的顺序无关.所以，应用组合数公式，共有C343 种不同的选法.
3、排列：一般地，从n个不同的元素中任取出m个 （m≤n）元素，按照一定的顺序排成一列．叫做从 n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
由排列的定义可以看出，两个排列相同，不仅要求这两个排列 中的元素完全相同，而且各元素的先后顺序也一样．如果两个 排列的元素不完全相同．或者各元素的排列顺序不完全一样， 则这就是两个不同的排列。 从n个不同元素中取出m个（m≤n）元素的所有排列的个数， 叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作 pnm 。
无论通过哪种方法都可以
完成这件事，
例如，某人要从甲地到乙地去, 可以乘火车, 也可以乘轮船.
火车有两班
甲地 回答是 3 + 2 种方法
乙地
轮船有三班
乘坐不同班次的火车和轮船，共有几种方法?
乘法原理和加法原理是两个很重要 计数原理，它们不但可以直接解决不少 具体问题，同时也是推导下面常用排列 组合公式的基础 .
THANK YOU
2019/7/31
一般地，求从n个不同元素中取出m个元素排成一列的排列数 pnm 可以 分两步求得：
第第一二步步：：从将n每个一不个同组元合素中中的取m出个m元个素元进素行组全成排一列组，，共共有有pCmmnm种种排方法法.； 故由乘法原理得到：
pnm = Cnm· pmm 因此
这就是组合数公式.
GEC Program
14
5、例题讲解
例1、有4个同学一起去郊游，照相时，必须有一名同学给其 他3人拍照，共可能有多少种拍照情况？（照相时3人站成 一排）
分析：由于4人中必须有一个人拍照，所以，每张照片只能有3人，可以看成有3个位置由 这3人来站．由于要选一人拍照，也就是要从四个人中选3人照相，所以，问题就转化 成从四个人中选3人，排在3个位置中的排列问题．要计算的是有多少种排法．
GEC Program
16
例题3、某校举行排球单循环赛，有12个队参加.问：共需要 进行多少场比赛？
分析：因为比赛是单循环制的，所以，12个队中的每两个队都要进行一场比赛，并且比 赛的场次只与两个队的选取有关而与两个队选出的顺序无关.所以，这是一个在12个队 中取2个队的组合问题。
解： 由组合数公式知，共需进行 C122 =12×11÷2=66 场比赛。
排列组合复习
GEC Program
1
主要内容
乘法原理 加法原理 排列
组合
例题讲解
习题
2010 06 18
2
基本计数原理
1. 乘法原理
设完成一件事有m个步骤，
第一个步骤有n1种方法， 第二个步骤有n2种方法, 则完成这件事共有
…； 第m个步骤有nm种方法,
n1 n2 nm
必须通过每一步骤,
GEC Program
8
排列数公式: 从n个不同元素取 m个
（1 mn)的不同排列总数为：
pnm
n(n
1)(n
2)(n
m
1)
(n
n! m)!
m = n时称全排列
Pnn pn n(n 1)(n 2)2 1 n!
第1次选取 A
B C
第2次选取 B C D
解：由排列数公式，共可能有： p43 =4×3×2=24 种不同的拍照情况．
GEC Program
15
例2、5个人并排站成一排，其中甲必须站在中间有 多少种不同的站法？
分析：由于甲必须站在中间，那么问题实质上就是剩下的四个人去站其余四个位置的问 题，是一个全排列问题，且n=4．
解：由全排列公式，共有 p44 =4×3×2×1=24 种不同的站法．
要在42人中选出3人站成一排，那么，所有的站法不仅与选出的同学 有关，而且与三名同学被选出的顺序有关.所以，应用排列数公式，共有 P342种不同的站法.
解： 由组合数公式，共有 C432= 42×41×40÷3÷2=11480 种不同的选法； 由排列数公式，共有
p432 ＝42×41×40＝68880 种不同的站法.
要在42人中选出3人站成一排，那么，所有的站法不仅与选出的同学有关，而且
与三名同学被选出的顺序有关.所以，应用排列数公式，共有 p432种不同的站法.
解： 由组合数公式，共有 C432 = 42×41×40÷3÷2=11480 种不同的选法； 由排列数公式，共有 p432 ＝42×41×40＝68880 种不同的站法.
从n个不同元素中取出m个元素（m≤n）的所有组合的个数， 叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的组合数.记作 。
Cnm
GEC Program
11
组合数公式: 从n个不同元素取 m个
（1 m n)的不同组合总数为：
Cnm
Pnm m!
n! (n m)!m!
Pnm Cnm m!
SUCCESS