导数在研究函数中应用(含简答)
导数在研究函数中的应用
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翻 豳 苣 ｌ ｉ 餮 ｌ … 一 … 、 一 一 … … … … … … 一 一 ～ 一 一 一 … … ～ … … … … … ＼
思索 前 后 两个 函 数 都 有 一 个
ａ
形 式 可 以分 成 ａ ＝ ０ ， ａ ＞ Ｏ ， ａ ＜ Ｏ 三 种 情 况进行 讨论 ． 通过 数形 结合进行 选择 ．
合 的 思 想 和 转 化 变 换 的 思 想 研 究
重 点 ：了解 函数 单 调 性 和 导 数 的 关 系 ．能 利 用 导数 研 究 函数 的单 调性 ， 会 求 函数 的单 调 区 间 ； 了解 函 数 在某 点取 得 极 值 的 必要 条 件 和充 分条件 ； 会 用 导 数 求 函 数 的极 大值 、
基 础 知识 进 行 考 查 的 同 时 ，还 注重
结到位 ． 并 不 断进 行训 练． ３ ．要 加 强 交 汇 ．注 意 导 数 与 函
出一 个 “ 用” 字， 其 中利 用 导 数 判 断 单 调性 起 着 基 础 性 的 作 用 ，对 导 数
数、 方程 、 不 等 式 等 知识 的 交 汇，由 导 数 方法 研 究 方 程 、 不等式时 ， 一 般
是 先 构造 一 个 函数 ，这 里要 考 虑是
在 解 决 函数 单 调 性 、 最值、 极 值 等方
面 的应 用 ． 要做到抓 主线 ， 攻重点 ， 熟 知方 法 ， 并 不 断 进行 训 练 ．要 注 意
考 查 能力 ， 特 别 是 解 导 数解 答 题 ， 往
往 要 站在 数 学 思 想 方 法 的 高 度去 考 虑 问题 ．对 求 解 目标 的理 解 应 该 如
《导数在函数中的应用实例》
摘要：导数是高等数学中一个重要的概念，它在研究函数的性质、解决实际问题等方面具有广泛的应用。
本文将通过几个具体的实例，详细阐述导数在函数中的应用，包括求切线、研究函数的单调性、求极值和最值等。
一、引言导数是函数在某一点的瞬时变化率，它反映了函数在该点的局部性质。
导数在数学分析、物理、工程等领域有着广泛的应用。
本文将通过实例，展示导数在函数中的应用，以帮助读者更好地理解导数的概念和意义。
二、导数在求切线中的应用1. 实例一：求函数f(x) = x²在点P(2,4)处的切线方程。
解：首先，求出函数f(x)的导数f'(x)。
根据求导法则，f'(x) = 2x。
将x=2代入f'(x)，得到f'(2) = 4。
因此，点P(2,4)处的切线斜率为4。
接下来，利用点斜式方程求出切线方程。
点斜式方程为y - y₁ = m(x - x₁)，其中m为切线斜率，(x₁, y₁)为切点坐标。
将切点坐标和斜率代入，得到切线方程为y- 4 = 4(x - 2)，即y = 4x - 4。
2. 实例二：求函数f(x) = ln(x)在点A(1,0)处的切线方程。
解：求出函数f(x)的导数f'(x)。
根据求导法则，f'(x) = 1/x。
将x=1代入f'(x)，得到f'(1) = 1。
因此，点A(1,0)处的切线斜率为1。
利用点斜式方程求出切线方程。
将切点坐标和斜率代入，得到切线方程为y - 0 = 1(x - 1)，即y = x - 1。
三、导数在研究函数单调性中的应用1. 实例一：研究函数f(x) = x³在区间(-∞, +∞)上的单调性。
解：求出函数f(x)的导数f'(x)。
根据求导法则，f'(x) = 3x²。
由于x²≥0，所以f'(x)≥0。
因此，函数f(x)在区间(-∞, +∞)上单调递增。
导数在研究函数中的应用 2
导数在研究函数中的应用1．函数的单调性、极值都是定义域内的局部性质，因此利用导数讨论函数的性质时，首先要研究函数的定义域，再利用导数f′(x)解决．2．通过判断函数定义域被导数为零的点或不可导点所划分的各区间内导数f′(x)的符号，来判断函数f(x)在该区间上的单调性；f′(x)>0(或f′(x)<0)在区间(a，b)上成立只是f(x)在这个区间上递增(递减)的充分条件，而不是必要条件，因此，由函数单调性求其所含参数的取值问题时，对于导数值为零的点需要单独验证，以免出错．3．根据极值的定义，导数为0的点只是可疑点，不一定是极值点，只有在该点两侧导数的符号相反，即函数在该点两侧的单调性相反时，该点才是函数的极值点，另一方面，极值点处的导数也不一定为零，还要考察函数在该点处的导数是否存在．4．一般地，要证明不等式f(x)>g(x)在区间I上恒成立，则可构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，通过讨论h′(x)在区间I上的取值范围，判断出函数h(x)的单调性，然后由函数h(x)在区间I上的一个初始值，证得不等式成立．5.函数单调性的讨论往往归结为一个不等式，特别是一元二次不等式的讨论，对一元二次不等式，在二次项系数的符号确定后就是根据其对应的一元二次方程两个实根的大小进行，即分类讨论的标准是，先二次项系数、再根的大小．在指定区间上不等式的恒成立问题可转化为函数最值问题加以解决，如果函数在这个指定的区间上没有最值，则可转化为求函数在这个区间上的值域，通过值域的端点值确定问题的答案．[方法指导] 1.利用函数的导函数的正负性确定函数的单调性．2．两个单调递增(或递减)区间不能“并”起来．函数的单调性是函数在某一区间内的性质，讨论函数的单调性应在定义域范围内进行．3．函数的极值点必须满足在该点左右两侧导数值异号．当函数的导数可以归结为一个二次三项式时，这个二次三项式的判别式是否大于零，决定这个函数是否有极值点，而且研究函数的极值也应在定义域范围内进行．4．综合作答有下列规则：(1)当分类对象是问题的主元(或所求对象)时，综合作答时应将分类子集及子问题的答案分别“合并”；(2)当分类的对象不是问题的主元(或所求对象)，而是参变元时，再现各子问题的答案的形式或形状是否相同，则“合并”分类的子集作答；(3)否则，由问题所求的对象而定．需比较大小或优劣时，则应比较各子问题的答案作答(此时应“合并”分类的各子集)，其他情况均分别作答；(4)当出现多级分类讨论时，在第一级下，不同类中的第二级分类的某个子集相同，此时的答案应作合并，注意这里的“合并”有两种：其一是合并子问题的答案，其二是合并分类的子集．5．在闭区间[a ，b ]上的连续函数y ＝f (x )，在[a ，b ]上必有最大值与最小值．(1)求函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大值与最小值的一般步骤是：①求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的极值；②将函数y ＝f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．(2)极值与最值的区别：①函数的极值是在局部范围内讨论的问题，是一个局部概念，而函数的最值是对整个定义区间而言，是在整体范围内讨论问题，是一个整体性概念．②闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值．③函数在定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值则可能不止一个，也可能没有．(3)f (x )>m 恒成立等价于________；f (x )<m 恒成立等价于________．6．求解应用题的一般步骤(四步法)(1)读题：读懂和深刻理解题意，译为数学语言，找出主要关系；(2)建模：把主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题；(3)求解：化归为常规问题，选择合适的数学方法求解；(4)评价：对结果进行验证或评估，对错误加以调节，最后将结果应用于现实，作出解释或验证．探究点1 利用导数研究函数的单调性例1 [2011·北京卷] 已知函数f (x )＝(x －k )2e x k .(1)求f (x )的单调区间；(2)若对于任意的x ∈(0，＋∞)，都有f (x )≤1e，求k 的取值范围．探究点2利用导数研究函数的极值例2已知函数f(x)＝x3＋mx2＋nx－2的图象过点(－1，－6)，且函数g(x)＝f′(x)＋6x的图象关于y轴对称．(1)求m，n的值及函数y＝f(x)的单调区间；(2)若a>0，求函数y＝f(x)在区间(a－1，a＋1)内的极值．探究点3导数在方程、不等式中的应用例3[2011·烟台调研] 已知f(x)＝x ln x，g(x)＝－x2＋ax－3.(1)求函数f(x)在[t，t＋2](t＞0)上的最小值；(2)对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(3)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有ln x＞1e x－2e x成立．探究点4导数方法求解函数的最值问题例1设函数f(x)＝ln(2x＋3)＋x2.(1)讨论f(x)的单调性；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，14上的最大值和最小值．变式题 已知函数f (x )＝x 2e ax ，其中a ≤0，e 为自然对数的底数．(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)求函数f (x )的区间[0,1]上的最大值．[点评] 计算简单定积分的步骤：①把被积函数变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的和或差；②利用定积分的性质把所求的定积分化为若干个定积分的和与差；③分别用求导公式找到F(x)，使得F′(x)＝f(x)；④利用牛顿—莱布尼茨公式求出各个定积分的值；⑤计算所求定积分的值．注：求函数f(x)在某个区间上的定积分，关键是求函数f(x)的一个原函数，正确运用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系；若原函数不易寻找时，先把f(x)进行变形．探究点1 利用微积分基本定理求定积分例1 (1) ⎠⎜⎜⎛-13(4x －x 2)d x ； (2) ⎠⎜⎜⎛121(x －1)5d x ； (3⎠⎜⎜⎛-π2 π2cos 2x d x.探究点2 利用定积分的几何意义求定积分探究点3 定积分在图形面积方面的应用 变式题 (1)求函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 3（0≤x≤1），x （），2x －14（）在区间[0,5]上的定积分；(2)求⎠⎜⎜⎛12|3－2x|d x. 例2 利用定积分的几何意义求⎠⎜⎜⎛-a a a 2－x 2d x(a>0)的值． 例3 (1)[2011·课标全国卷] 由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( )A .103B ．4C .163D ．6(2)[2011·郑州一中模拟] 抛物线y ＝x 2－1与直线x ＝2，y ＝0所围成的图形的面积为( )A ．4B ．3C .73D .83。
导数在研究函数中的应用
导数在研究函数中的应用导数作为微积分的重要概念，在研究函数中应用广泛。
导数的概念最早由牛顿和莱布尼茨独立提出，它描述了函数变化的速率。
导数的定义是函数在其中一点的变化率，表示函数在这一点附近的斜率。
在函数研究中，导数的应用主要体现在以下几个方面：1.切线和法线：导数可以用来求解函数曲线上其中一点的切线和法线。
切线是函数曲线在其中一点上切过该点的直线，而法线是与切线相垂直的直线。
利用导数的定义，我们可以确定函数曲线上其中一点的斜率，进而得到其切线和法线的方程。
2.极值与拐点：导数可以帮助我们找到函数的极值点和拐点。
在函数的极值点上，导数等于零。
根据这个性质，我们可以利用导数来确定函数的极大值和极小值点。
此外，导数还可以帮助我们确定函数上的拐点，即函数曲线由凸向上转为凹向上或由凹向上转为凸向上的点。
3.函数的单调性：导数还可以帮助我们研究函数的单调性。
如果函数在一些区间上的导数恒大于零（或恒小于零），那么函数在该区间上是递增的（或递减的）。
通过分析函数的导数，我们可以确定函数在一些区间上是递增还是递减。
4.函数的凹凸性：导数还可以用来确定函数的凹凸性。
如果函数在一些区间上的导数恒大于零，那么函数在该区间上是凸的；如果函数在一些区间上的导数恒小于零，那么函数在该区间上是凹的。
通过分析函数的导数的变化情况，我们可以确定函数的凹凸区间。
5.近似计算：导数还可以用于近似计算。
在很多实际问题中，函数的导数可以用来近似表示函数在其中一点的变化率。
通过导数近似表示函数的变化率，我们可以很方便地进行问题求解和计算。
总之，导数在研究函数中的应用非常广泛，涵盖了函数的局部性质、全局性质以及近似计算等方面。
通过对导数的研究，我们可以全面了解函数的变化规律和特性，为解决实际问题提供了有力的工具。
导数在函数研究中的运用
相矛盾；
⑤当a>e时，显然函数f(x)在［1,e］上单调递减，其最小值为
3 a f e 1 2， 仍与最小值是 2 相矛盾； e
综上所述，a的值为
e.
2 练习1：已知a为实数， f ( x ) ( x 4)( x a ) （Ⅰ）求导数 f ( x )； （Ⅱ）若 f (1) 0 ，求 f ( x ) 在 [-2 ， 2] 上的最大值 和最小值； （Ⅲ）若 f ( x )在（-∞，-2]和[2，+∞）上都是递增 的，求a的取值范围.
2、已知函数f ( x) 2 x3 6 x 2 a在 2， 2 上有最小值 37
1 求实数a的值； 2 上的最大值. 2 求f ( x)在 2，
1 函数f(x)的单调减区间是 ( ，＋). 2a
例4、已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在 x 2 与x=1处都取
3
得极值.(1)求a,b的值与函数f(x)的单调区间. (2)若对x∈［-1,2］，不等式f(x)<c2恒成立， 求c的取值范围.
解：(1)f′(x)=3x2+2ax+b，由题意得
3、最值的步骤： (1) 求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值)； (2) 将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)(端点处)比较,其中最大的一 个为最大值，最小的一个最小值.
3 2 f ( x ) x 3 x 9 x a, 例1：已知函数
(1)求f ( x ) 的单调减区间 (2)若f ( x ) 在区间[2, 2] 上的最大值为 20 , 求该区间上的最小值
f (1) a b c 5 2b － 3 或 3a c 2 3a
导数在研究函数中的应用
导数在研究函数中的应用大题第1卷评卷人得分一、解答题1、已知函数.1.求函数的单调递增区间;2.证明:当时,;3.确定实数的所有可能取值,使得存在,当时,恒有.2、已知函数,其中.1.设是的导函数,讨论的单调性;2.证明:存在,使得在区间内恒成立,且在区间内有唯一解.3、设.1.令,求的单调区间;2.已知在处取得极大值.求实数的取值范围.4、设函数.1.求曲线在点处的切线方程;2.设,若函数有三个不同零点,求的取值范围;3.求证:是有三个不同零点的必要而不充分条件5、设函数,,其中,为自然对数的底数.1.讨论的单调性;2.证明:当时,;3.确定的所有可能取值,使得在区间内恒成立.6、设函数,,其中.1.求的单调区间;2.若存在极值点,且,其中,求证:;3.设,函数,求证:在区间上的最大值不小于. 7、已知函数1.讨论的单调性;2.当有最大值,且最大值大于时,求的取值范围.8、已知函数.1.求曲线在点处的切线方程;2.求函数在区间上的最大值和最小值.9、已知函数.1.讨论的单调性;2.若,求的取值范围.10、已知函数.1.当时,求曲线在处的切线方程;2.设函数,讨论的单调性并判断有无极值由极值时求出极值。
11、设函数.1.讨论的单调性;2.当时,,求的取值范围.12、设.已知函数,.1.求的单调区间;2.已知函数和的图象在公共点处有相同的切线,(ⅰ)求证:在处的导数等于;(ⅱ)若关于的不等式在区间上恒成立,求的取值范围. 13、函数1.求的单调区间2.对任意,不等式恒成立,求实数的取值范围参考答案一、解答题1.答案：1.. 由得解得.故的单调递增区间是.2.证明:令,则有.当时,,所以在上单调递减,故当时,,即当时,.3.由2知,当时,不存在满足题意.当时,对于,有,则,从而不存在满足题意.当时,令,则有.由得,.解得,.当时,,故在内单调递增.从而当时,,即.综上,的取值范围是.2.答案：1.由已知,函数定义域为,,所以,①当时,,则在定义域上单调递增;②当时,在区间,上单调递增,在上单调递减.2.证明:由,解得.令,则,,故存在,使得,令,,由知,函数在区间上单调递增,所以,即。
导数在研究函数中的应用
导数在研究函数中的应用导数是微积分中的重要概念，它在研究函数中有着广泛的应用。
导数可以描述函数在某一点上的变化率，帮助我们理解函数的性质以及解决实际问题。
本文将从几个方面介绍导数在函数研究中的应用。
一、函数的极值问题导数在研究函数的极值问题中起着重要的作用。
通过求函数的导数，我们可以得到函数的驻点和拐点，从而确定函数的极值。
具体来说，当函数的导数为零或不存在时，该点可能是函数的极值点。
通过求导数并求解方程，我们可以求得这些驻点，然后用二阶导数的符号判断它们是极大值还是极小值。
这个过程在求解最优化问题、优化生产过程中都有着广泛的应用。
二、函数的图像与性质导数可以帮助我们研究函数的图像和性质。
通过求导数，我们可以得到函数的增减性和凹凸性。
具体来说，当导数大于零时，函数是增函数；当导数小于零时，函数是减函数。
而二阶导数的正负可以判断函数的凹凸性，当二阶导数大于零时，函数是凹函数；当二阶导数小于零时，函数是凸函数。
通过分析导数和二阶导数的变化，我们可以画出函数的图像，并对函数的性质进行准确的描述。
三、函数的近似计算导数在函数的近似计算中有着重要的应用。
当函数的表达式很复杂或很难求解时，我们可以通过导数来近似计算函数的值。
具体来说，我们可以利用导数的定义公式f'(x) = lim(h->0) (f(x+h)-f(x))/h 来计算函数在某一点的导数，然后通过导数的值和函数在该点的值来估计函数在附近点的值。
这种方法在数值计算、机器学习等领域中被广泛应用。
四、函数的最优化问题导数在函数的最优化问题中也有着重要的应用。
通过求函数的导数，我们可以找到函数的驻点，从而求解函数的最值。
具体来说，当函数在某一点的导数为零或不存在时，该点可能是函数的最值点。
通过求导数并求解方程，我们可以求得这些驻点，然后通过二阶导数的符号判断它们是极大值还是极小值。
这个方法在经济学、工程学等领域中常常用来解决最优化问题。
导数在函数的研究中有着广泛的应用。
导数在研究函数中的应用
3、函数的 f (x) x ln x的单调递减区间是
(0, 1] e
4、函数f（x） x3 3x 1在区间[3，0]上的最 大值与最小值分别为 3，-17
[温故]
1、导数与单调性：
设函数y=f(x)在某个区间内可导, 如果 f (x) >0,则f(x) 在这个区间内 单调递增; 如果 f (x) <0,则y=f(x) 在这个区间内的单调递减
“导数”为我们研究函数的性质（单调性、极值、最值） 提供了新的方法。本部分考题主要类型是以导数为工具 判断函数的单调性、求函数的单调区间、极值、最值等。 难点为含参数问题的分类讨论。
关注三次多项式函数
作业：完成《教学与测试》 上本节内容
(2)求f (x)在区间[0，2]上的最大值
(3)若关于x的方程f (x) 1有三个不同的实根， 求实数 a的取值范围
(4)当x [0,2]时，f (x) 1恒成立，求实数 a的 取值范围
[练习]
1、已知函数
f
(x)
2ax
1 x2
, 若f
( x)在x
(0,1]上
是增函数 ,求a的取值范围
①求y=f(x)在(a，b)内的极值； ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b) 比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.
[真题] 08浙文21
已知a是实数，函数 f（x） x（2 x a）
(1)若f (1) 3,求a的值及曲线 y f (x)在点(1, f (1)) 处的切线方程
(1)如果在x0附近的左侧f (x) 0，右侧f (x) 0， 那么f (x0 )是极大值
(2)如果在x0附近的左侧f (x) 0，右侧f (x) 0， 那么f (x0 )是极小值
导数在研究函数中的应用
知识点：一、函数的单调性(一)导数的符号与函数的单调性：一般地，设函数在某个区间内有导数，则在这个区间上，①若，则在这个区间上为增函数；②若，则在这个区间上为减函数；③若恒有，则在这一区间上为常函数.反之，若在某区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；若在某区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）．注意：1、例如：而f(x)在R上递增. 2．只有在某区间内恒有，这个函数在这个区间上才为常数函数.3．注意导函数图象与原函数图象间关系.（二）利用导数求函数单调性的基本步骤：1. 确定函数的定义域；2. 求导数；3. 在定义域内解不等式，解出相应的x的范围；当时，在相应区间上为增函数；当时在相应区间上为减函数.或者令，求出它在定义域内的一切实数根。
把这些实数根和函数的间断点（即的无定义点）的横坐标按从小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间，判断在各个小区间内的符号。
4. 写出的单调区间.二、函数的极值（一）函数的极值的定义一般地，设函数在点及其附近有定义，（1）若对于附近的所有点，都有，则是函数的一个极大值，记作；（2）若对附近的所有点，都有，则是函数的一个极小值，记作.极大值与极小值统称极值.在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.（二）求函数极值的的基本步骤：①确定函数的定义域；②求导数；③求方程的根；④检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)注意：①可导函数的极值点一定是导函数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点.即是可导函数在点取得极值的必要非充分条件.例如函数y=x3，在x=0处，，但x=0不是函数的极值点.②可导函数在点取得极值的充要条件是且在两侧，的符号相异。
三、函数的最值（一） 函数的最大值与最小值定理 若函数在闭区间上连续，则在上必有最大值和最小值；在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值.如. 注意：① 函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得。
14导数、利用导数研究函数的单调性(含答案)
14导数:利用导数研究函数的单调性1.函数的单调性与导数的关系2.确定不含参数的函数单调区间的步骤(1)确定函数f(x)的定义域．(2)求f′(x)．(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间．(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．3.确定含参数的函数的单调性的基本步骤(1)确定函数f(x)的定义域．(2)求f′(x)，并尽量化为乘积或商的形式．(3)令f′(x)＝0，①若此方程在定义域内无解，考虑f′(x)恒大于等于0(或恒小于等于0)，直接判断单调区间．如举例说明中a≥1时，f′(x)>0，a≤0时，f′(x)<0.②若此方程在定义域内有解，则用之分割定义域，逐个区间分析f′(x)的符号确定单调区间．如举例说明中0<a<1时，f′(x)＝0有一个实根练习1.设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能的是( )答案 C解析由y＝f′(x)的图象易得，当x<0或x＞2时，f′(x)>0；当0<x<2时，f′(x)<0.所以函数y＝f(x)在(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递增，在(0,2)上单调递减，故选C.2.f(x)＝x3－6x2的单调递减区间为( )A．(0,4) B．(0,2)C．(4，＋∞) D．(－∞，0)答案 A解析f′(x)＝3x2－12x＝3x(x－4)，由f′(x)<0得0<x<4，所以f(x)的单调递减区间为(0,4)．3.函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是( )A．(－∞，2) B．(0,3)C．(1,4) D．(2，＋∞)答案 D解析函数f(x)＝(x－3)e x的导数为f′(x)＝[(x－3)e x]′＝e x＋(x－3)e x ＝(x－2)e x.由函数导数与函数单调性的关系，得当f′(x)>0时，函数f(x)单调递增，此时由不等式f′(x)＝(x－2)e x>0，解得x>2.4.函数f(x)＝e x－e x，x∈R的单调递增区间是( )A．(0，＋∞) B．(－∞，0)C．(－∞，1) D．(1，＋∞)答案 D解析 依题意得f ′(x )＝e x －e.由函数导数与函数单调性的关系，得当f ′(x )>0时，函数f (x )单调递增，此时由不等式f ′(x )＝e x －e>0，解得x >1.5．函数f (x )＝3xx 2＋1的单调递增区间是___________. 解析 函数f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝31－x 2x 2＋12＝31－x 1＋xx 2＋12.要使f ′(x )>0，只需(1－x )(1＋x )>0，解得x ∈(－1,1)．6．已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间．解 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝14－a x 2－1x ，由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x ，知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54.(2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32(x >0)．则f ′(x )＝x 2－4x －54x 2.令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5. 但－1∉(0，＋∞)，舍去． 当x ∈(0,5)时，f ′(x )<0； 当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0.∴f (x )的增区间为(5，＋∞)，减区间为(0,5)．7.已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的单调递增区间是.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2解析 因为f (x )＝x sin x ＋cos x ，所以f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x . 令f ′(x )>0，得x cos x >0. 又因为－π<x <π，所以－π<x <－π2或0<x <π2， 所以f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.8.讨论函数f (x )＝(a －1)ln x ＋ax 2＋1的单调性． 解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a －1x ＋2ax ＝2ax 2＋a －1x .①当a ≥1时，f ′(x )>0， 故f (x )在(0，＋∞)上单调递增；②当a ≤0时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减； ③当0<a <1时，令f ′(x )＝0，解得x ＝1－a2a， 则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－a 2a 时，f ′(x )<0； 当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫1－a2a ，＋∞时，f ′(x )>0， 故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－a 2a 上单调递减， 在⎝⎛⎭⎪⎫1－a2a ，＋∞上单调递增． 综上所述，当a ≥1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减； 当0<a <1时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－a 2a 上单调递减， 在⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a2a ，＋∞上单调递增．9.已知函数f (x )＝(x －1)e x －x 2，g (x )＝a e x －2ax ＋a 2－10(a ∈R )．(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)讨论函数h(x)＝f(x)－g(x)(x>0)的单调性．解(1)由题意，得f′(x)＝x e x－2x，则f′(1)＝e－2.又f(1)＝－1，故所求切线方程为y－(－1)＝(e－2)(x－1)，即y＝(e－2)x＋1－e.(2)由已知，得h(x)＝f(x)－g(x)＝(x－a－1)e x－x2＋2ax－a2＋10.此函数的定义域为(0，＋∞)．则h′(x)＝e x＋(x－a－1)e x－2x＋2a＝(x－a)(e x－2)．①若a≤0，则x－a>0.当0<x<ln 2时，h′(x)<0，当x>ln 2时，h′(x)>0.所以h(x)在(0，ln 2)上单调递减，在(ln 2，＋∞)上单调递增．②若0<a<ln 2，则当0<x<a或x>ln 2时，h′(x)>0.当a<x<ln 2时，h′(x)<0.所以h(x)在(0，a)上单调递增，在(a，ln 2)上单调递减，在(ln 2，＋∞)上单调递增．③若a＝ln 2，则h′(x)≥0，所以h(x)在(0，＋∞)上单调递增．④若a>ln 2，则当0<x<ln 2或x>a时，h′(x)＞0；当ln 2<x<a时，h′(x)<0.所以h(x)在(0，ln 2)上单调递增，在(ln 2，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增．10．设函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(3)＝0，则不等式f(x)g(x)>0的解集是?解析∵f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，即[f(x)g(x)]′>0.∴f(x)g(x)在(－∞，0)上单调递增，又f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，∴f(x)g(x)为奇函数，f(0)g(0)＝0，∴f(x)g(x)在(0，＋∞)上也是增函数．∵f(3)g(3)＝0，∴f(－3)g(－3)＝0.∴f(x)g(x)>0的解集为(－3,0)∪(3，＋∞)．11．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x ，a ≠0.(1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，求a 的取值范围； (2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上单调递减，求a 的取值范围． 解 (1)h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x ∈(0，＋∞)，所以h ′(x )＝1x－ax －2，由于h (x )在(0，＋∞)上存在单调递减区间， 所以当x ∈(0，＋∞)时， 1x－ax －2<0有解，即a >1x 2－2x有解．设G (x )＝1x 2－2x，所以只要a >G (x )min 即可．而G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1，所以G (x )min ＝－1.所以a >－1. 又因为a ≠0，所以a 的取值范围为(－1,0)∪(0，＋∞)． (2)因为h (x )在[1,4]上单调递减， 所以当x ∈[1,4]时，h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立，即a ≥1x 2－2x 恒成立．由(1)知G (x )＝1x 2－2x，所以a ≥G (x )max ， 而G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1，因为x ∈[1,4]，所以1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1，所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)，所以a ≥－716，又因为a ≠0，所以a 的取值范围是 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－716，0∪(0，＋∞)． 12．已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则f (x )的图象可能是( )答案 D解析 当x <0时，由导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c <0，知相应的函数f (x )在该区间内单调递减；当x >0时，由导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可知，导函数在区间(0，x 1)内的值是大于0的，则在此区间内函数f (x )单调递增．只有D 项符合题意．13．已知函数f (x )＝x 3＋ax ，则“a >0”是“f (x )在R 上单调递增”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 当a ≥0时，f ′(x )＝3x 2＋a ≥0，f (x )在R 上单调递增，“a >0”是“f (x )在R 上单调递增”的充分不必要条件．故选A.14.已知函数f (x )＝3x ＋2cos x ，若a ＝f (32)，b ＝f (2)，c ＝f (log 27)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a答案 D解析 ∵f (x )＝3x ＋2cos x 的定义域为R ，f ′(x )＝3－2sin x >0，∴f (x )为R 上的单调递增函数．又y ＝log 2x 为(0，＋∞)上的单调递增函数，∴2＝log 24<log 27<log 28＝3.∵y ＝3x 为R 上的单调递增函数，∴32>31＝3，∴2<log 27<3 2.∴f (2)<f (log 27)<f (32)，即b <c <a .15．若函数f (x )＝e x －(a －1)x ＋1在(0,1)上单调递减，则a 的取值范围为( )A．(e＋1，＋∞) B．[e＋1，＋∞)C．(e－1，＋∞) D．[e－1，＋∞)答案 B解析由f(x)＝e x－(a－1)x＋1，得f′(x)＝e x－a＋1.因为函数f(x)＝e x －(a－1)x＋1在(0,1)上单调递减，所以f′(x)＝e x－a＋1≤0在(0,1)上恒成立，即a≥e x＋1在(0,1)上恒成立，令g(x)＝e x＋1，x∈(0,1)，则g(x)在(0,1)上单调递增，所以g(x)<g(1)＝e＋1.所以a≥e＋1.所以实数a的取值范围为[e＋1，＋∞)．故选B.16．已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足xf′(x)－f(x)<0，其中f′(x)是函数f(x)的导函数．若2f(m－2019)>(m－2019)f(2)，则实数m的取值范围为( )A．(0,2019) B．(2019，＋∞)C．(2021，＋∞) D．(2019,2021)答案 D解析令h(x)＝f xx，x∈(0，＋∞)，则h′(x)＝xf′x－f xx2.∵xf′(x)－f(x)<0，∴h′(x)<0，∴函数h(x)在(0，＋∞)上单调递减，∵2f(m－2019)>(m－2019)f(2)，m－2019>0，∴f m－2019m－2019>f22，即h(m－2019)>h(2)．∴m－2019<2且m－2019>0，解得2019<m<2021.∴实数m的取值范围为(2019,2021)．17．已知f(x)＝1＋ln x2ax(a≠0，且a为常数)，求f(x)的单调区间．解因为f(x)＝1＋ln x2ax(a≠0，且a为常数)，所以f′(x)＝－2a ln x2ax2＝－ln x2ax2，x>0.所以①若a>0，当0<x<1时，f′(x)>0；当x>1时，f′(x)<0.即a>0时，函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．②若a<0，当0<x<1时，f′(x)<0；当x>1时，f′(x)>0.即a <0时，函数f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)． 18．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋2x －1.(1)若函数f (x )在区间[1,3]上单调递增，求实数a 的取值范围； (2)若函数f (x )在区间[－2，－1]上单调递减，求实数a 的取值范围． 解 由f (x )＝x 3＋ax 2＋2x －1，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋2.(1)因为函数f (x )在区间[1,3]上单调递增，所以f ′(x )≥0在[1,3]上恒成立．即a ≥－3x 2－22x 在[1,3]上恒成立．令g (x )＝－3x 2－22x ，则g ′(x )＝－3x 2＋22x 2，当x ∈[1,3]时，g ′(x )<0，所以g (x )在[1,3]上单调递减，所以g (x )max ＝g (1)＝－52，所以a ≥－52.(2)因为函数f (x )在区间[－2，－1]上单调递减，所以f ′(x )≤0在[－2，－1]上恒成立，即a ≥－3x 2－22x 在[－2，－1]上恒成立，由(1)易知，g (x )＝－3x 2－22x 在[－2，－1]上单调递减，所以a ≥g (－2)，即a ≥72.。
导数在研究函数中应用(含简答)
1.3 导数在研究函数中的应用导学案1.3.1 单调性一、学习要求了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会求不超过三次的多项式函数的单调性二、学习重点与难点利用导数判定函数的单调性；求函数的单调区间；已知单调性求参数的范围 三、学习过程1.导数与函数的单调性问题1 函数2()43f x x x =-+的单调增区间为[2,)+∞ ,单调减区间为(,2)-∞ ；()f x '=24x -，由()0f x '>得x ∈(2,)+∞ ,由()0f x '<得x ∈(,2)-∞问题2 导数的符号与函数的单调性有怎样的关系在某个区间上，若导数大于0，则该区间为增区间；若导数小于0，则该区间为减区间问题3 如果()f x 在某区间上单调递增，那么在该区间上必有()0f x '>吗？不一定，也可能在一些孤立的点处导数等于0，如函数3()f x x =在(,)-∞+∞上为增函数，而(0)0f '=问题4 用导数判定函数的单调性或求函数的单调区间的步骤是什么？（1）确定定义域，求导函数 （2）令导数大于0，解得增区间令导数小于0，解得减区间（3）得结论，注意单调区间之间不可用并问题5 已知函数在某个区间上是单调的，那么它的导数符号怎样？如果已知某函数在某区间上为增函数，则其导数肯定是大于或等于0；如果是减函数，则其导数肯定小于或等于0 2.例题改编例2 求函数32()267f x x x =-++的单调减区间(,0),(2,)-∞+∞例3 求函数()sin ((0,2))f x x x π=∈的单调增区间3(0,),(,2)22πππ3.拓展探究(1)求函数()x f x x e =-单调减区间(0,)+∞(2)求函数2ln y x x =-的单调增区间1(,)2+∞ (3)求函数1()f x x=的单调区间 增区间(1,)+∞ 减区间(0,1)(4)求证：当1x >时，有13x>- (略)(5)判断函数()af x x x=+的单调性 （略）(6)若3()f x ax x =+恰有三个单调区间，试确定a 的取值范围，并求其单调区间0a <,略(7)函数21y x ax =-+在(0,)+∞上单调递增，则a 的取值范围是_____________(,0]-∞(8)若函数32()5f x ax x x =-+-在R 上单调递增，求实数a 的取值范围.13a ≥四、巩固提高1.求函数()ln f x x x =的递增区间1(,)e+∞ 2.若函数225y x bx =+-在区间(2,3)上为减函数，求b 的取值范围(,3]-∞-3.设a 为实数，函数322()(1)f x x ax a x =-+-在(,0)-∞和(1,)+∞上都是增函数，求a 的取值范围(,[1,)2-∞-⋃+∞ 4.函数2145ln 24a y x ax x +=-+是定义域上的增函数，求a 的取值范围5[,5]4- 1.3 导数在研究函数中的应用导学案1.3.2 极大值与极小值一、学习要求了解函数的极大（小）值与导数的关系；会求不超过三次的多项式函数的极大（小）值 二、学习重点与难点理解极值与导数符号的关系；明确求极值的方法步骤；会画多项式函数的简图；已知极值求参数 三、学习过程 1.函数极值的定义问题1 课本上是怎样对极值进行描述的？问题2 请分别从图形和代数的角度描述你对极值的理解？问题3 极大值一定比极小值大吗？问题4 闭区间端点对应的函数值是极值吗？ 问题5 如果称取得极值的自变量的值为极值点，请，请说明极值与极值点含义？ 2.导数与函数的极值问题1 判定函数的极值本质是就是在研究函数的什么性质？而该性质与导数又有怎样的关系？ 问题2 由例1归纳出求函数极值的方法步骤是什么？问题3 函数在某处的导数为0是能在该处能取得极值的充要条件吗？3.例题改编例1 求2()4f x x x =-+的极值 （略）例2 求311()433f x x x =-++的极值（请尝试在同一坐标系中画出该函数及其导函数的简图并思考之间的联系） （略） 4.拓展探究（1）函数2()365f x x x =++在(,1)-∞-上是单调递减的，在区间(1,)-+∞上是单调递增的，当x=1-时，()f x 取得极小值，其极小值为2 （2）函数32()23f x x x a =-+的极大值为6，则a=6（3）已知()f x '的图像如下图，则()f x 的单调增区间为(4,0)-、(5,)+∞，极小值点为1（4）求函数21x y x=+的极值2x =-时有极大值4-，0x =时有极小值0（5）求函数()2sin f x x x =+在区间(0,2)π内的极值23x π=时有极大值23π+43x π=时有极小值43π-（6）设3()f x ax x =+恰有两个不同的极值点，试确定a 的取值范围，并求其单调区间. 0a <，略（7）已知函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处的极值10，求,a b 的值4,11a b ==-（8）试研究函数3211()32f x ax bx cx d =+++ (0)a >的单调性、极值、简图（略）四、巩固提高1.如果函数32()3f x x x c =-+的极小值是3，求c 的值及()f x 极大值7,72. 函数32()1f x x mx x =+++在R 上无极值点，求的取值范围[3. 三次多项式函数当1x =时有极大值4，当3x =时有极小值0，且函数过原点，求此函数的解析式3269y x x x =-+4.已知函数32()32f x x ax bx =-+在1x =点处有极小值1-，试确定,a b 的值，并求出的单调区间11,32a b ==增区间1(1,),(,)3+∞-∞- 减区间1(,1)3-.1.3 导数在研究函数中的应用导学案1.3.3 最大值与最小值一、学习要求会求在指定区间上不超过三次的多项式函数的最大（小）值二、学习重点与难点会求函数在闭区间（开区间）上的最值；会画函数的简图；含参数函数最值的求解三、学习过程 1.最值的定义问题1 你对最值的理解是什么？ 问题2 最值与极值有怎样的关系？问题3 定义域为闭区间的连续函数一定有最值吗？问题4 最大值一定比最小值大吗？问题5 定义域为开区间的函数一定没有最值吗？ 2.导数与函数的最值问题1 由例1归纳出利用导数求最值的方法步骤是什么？问题2 利用导数求极值与求最值有怎样的关系？ 问题3 不管求极值还是求最值都是利用导数研究函数的什么性质？求解过程中列表本质上是什么？3.例题改编例1 求2()43f x x x =-++在区间[1,4]-上最大值和最小值 （略） 例2 求1()cos 2f x x x =+在区间[0,2]π上的最大值与最小值并尝试作出该函数的简图 （略） 4.拓展探究 （1）求函数31()443f x x x =-+在[0,3]上的最大值与最小值0x =时有最大值4，2x =时有最小值43-（2）求函数1,[0,2]2x y x x -=∈+的值域 （略）（3）求4282y x x =-+在[1,3]x ∈-上的最大值 11（4）已知函数32()26f x x x m =-+（m 为常数）在[2,2]-上有最大值3，求此函数在[2,2]-上的最小值 37-（5）将正数a 分成两部分（均为正数），使其立方和为最小，求此时这两个部分的值,22a a （6）P 点是曲线2ln y x x =-上任意一点，求点P 到直线2y x =-的距离的最小值（7）已知函数ln ()xf x x=，求它在[,2](0)a a a >上的最小值02a <≤时，min ln ()()af x f a a == 2a >时，minln(2)()(2)2a f x f a a==（8）已知函数32()23(1)6f x x a x ax =-++，当[1,3]x ∈时，()f x 的最最小值为4，求a 的值 2a =四、巩固提高 1.求函数1()2f x x x=+在区间(0,2]上的最值 （略）2.已知函数2(),[1,3]xf x x e x -=∈-，求函数()f x 的最大值与最小值max ()(1)f x f e =-= min ()(0)0f x f ==3.已知函数32()39f x x x x a =-+++在区间[2,2]-上的最大值是20，求()f x 在该区间上的最小值 7-4.设23()252x f x x x =--+，当[1,2]x ∈-时，()f x m <恒成立，求实数m 的取值范围 (7,)+∞。
导数在函数研究中的应用
导数在函数研究中的应用主要体现在以下几个方面：
1. 判断函数的单调性：通过求导数，可以判断函数在某个区间上的单调性。
如果导数大于零，则函数在该区间上单调递增；如果导数小于零，则函数在该区间上单调递减。
2. 寻找函数的极值：当导数等于零的点称为极值点，函数在该点取得极值。
通过求导数并令其等于零，可以找到函数的极值点。
3. 判断函数的凹凸性：通过求二阶导数，可以判断函数的凹凸性。
如果二阶导数大于零，则函数在该区间上凹；如果二阶导数小于零，则函数在该区间上凸。
4. 解决最优化问题：通过求导数，可以找到函数的最小值或最大值。
例如，在经济学中，可以使用导数来求解边际成本、边际收益等最优化问题。
5. 应用于物理学：在物理学中，导数是研究运动和力学的重要工具。
例如，速度是位移对时间的导数，加速度是速度对时间的导数。
因此，知道这些概念可以帮助我们更好地理解物体的运动和力学。
6. 应用于工程学：在工程学中，构造函数和导数是设计和优化产品和系统的重要工具。
例如，可以使用导数来优化工程材料的强度和刚度。
7. 应用于统计学：在统计学中，一些重要概念如概率密度函数和累积分布函数也可以使用导数来求解。
总之，导数是数学中非常重要的概念，它在许多领域中都有广泛的应用。
高二数学~导数在研究函数中的应用
高二数学~~导数在研究函数中的应用1、点到直线的距离怎么求啊，哪位老师解答下？∙[ 高二数学] ∙ 题型:解答题已知),(y x P 是函数x x e y +=的图象上的点，则点P 到直线2x －y －3＝0的最小距离为（ ）A. 55 B. 552 C. 553 D. 554 问题症结：大概知道解题方向了，但没有解出来，请老师分析考查知识点：∙导数在研究函数中的应用 ∙ 导数的几何意义难度:中解析过程：解：规律方法：首先利用斜率计算出切点坐标，然后利用点到直线的距离公式求出距离2、怎样利用导数求参数的取值范围？∙[ 高二数学] ∙ 题型:简答题为什么已知f(x)在区间D 上单调增求f(x)中的参数值为什么转为不等式f'(x)>=0在D 上恒成立求f(x)中的参数值。
其中为什么f'(x)可以取到等号？问题症结：找不到突破口，请老师帮我理一下思路考查知识点：利用导数研究函数的单调性难度:中解析过程：规律方法：已知函数的增减性，则导数大于等于0 ；反之不行。
德智答疑/shuxue知识点：导数在研究函数中的应用概述所属知识点：[导数及其应用]包含次级知识点：利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值、利用导数求函数的极值、利用导数解决实际问题知识点总结本节主要包括利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值、利用导数求函数的极值、利用导数解决实际问题等知识点。
关键是理解这些知识点并能熟练地按照它们的解题步骤去解题。
1、用导数研究函数的单调性常见考法在段考和高考中，多以解答题的形式考查求函数的单调性、极值和最值。
有时也和解析几何联合考查利用导数求函数的最值。
属于难题。
误区提醒6、求函数的极值一定要列表。
【典型例题】例2 已知函数f(x)＝xlnx.(1)求f(x)的最小值；(2)讨论关于x的方程f(x)－m＝0(m∈R)的解的个数．解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，德智知识点/knowledge。
高中数学选修1-1同步练习题库：导数在研究函数中的应用(简答题：困难)
导数在研究函数中的应用（简答题：困难）1、已知函数．（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）设函数．若对于任意，都有成立，求实数的取值范围．2、已知函数.（1）若函数与在处有相同的切线，求的值；（2）若函数在定义域内不单调，求的取值范围.（3）若，恒有成立，求实数的最大值.3、已知函数(,是自然对数的底数).（1）若函数在区间上是单调减函数,求实数的取值范围；（2）求函数的极值；（3）设函数图象上任意一点处的切线为，求在轴上的截距的取值范围．4、已知函数为常数），曲线在与轴的交点处的切线斜率为. （1）求的值及函数的单调区间；（2）若，且，试证明：.5、已知,.（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；（2）设正实数，满足，当时，求证：对任意的两个正实数，总有.6、设函数 .(1)关于的方程在区间上有解，求的取值范围；(2)当时，恒成立，求实数的取值范围.7、已知，函数（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围；（3）在（2）的条件下，求证：8、已知函数，，（其中，为自然对数的底数，……）. （1）令，若对任意的恒成立，求实数的值；（2）在（1）的条件下，设为整数，且对于任意正整数，，求的最小值.9、已知函数，，（其中，为自然对数的底数，……）. （1）令，求的单调区间；（2）已知在处取得极小值，求实数的取值范围.10、已知函数在处取得极小值.（1）求实数的值；（2）设，其导函数为，若的图象交轴于两点且，设线段的中点为，试问是否为的根？说明理由.11、设函数.（1）当时，求的单调区间；（2）若的图象与轴交于两点，起，求的取值范围；（3）在（2）的条件下，求证.（参考知识：若，则有）12、设函数.（1）当时，求的单调区间；（2）若的图象与轴交于两点，起，求的取值范围；（3）令，，证明：.13、已知函数，其中为自然对数的底数.（1）讨论函数在区间上的单调性；（2）已知，若对任意，有，求实数的取值范围.14、已知函数.（1）求的单调区间；（2）设曲线与轴正半轴的交点为,曲线在点处的切线方程为,求证:对于任意的正实数,都有；（3）若方程为实数）有两个正实数根且,求证:.15、己知函数，．（I）求函数上零点的个数；（II）设，若函数在上是增函数．求实数的取值范围．16、（本小题满分16分）已知函数f(x)＝2x3－3(a+1)x2＋6ax，a∈R．（Ⅰ）曲线y＝f(x)在x＝0处的切线的斜率为3，求a的值；（Ⅱ）若对于任意x∈(0，+∞)，f(x)＋f(－x)≥12ln x恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）若a＞1，设函数f(x)在区间[1，2]上的最大值、最小值分别为M(a)、m(a)，记h(a)＝M(a)－m(a)，求h(a)的最小值．17、已知函数，．（Ⅰ）若函数与的图像在点处有相同的切线，求的值；（Ⅱ）当时，恒成立，求整数的最大值；（Ⅲ）证明：．18、已知函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，恒成立，求的取值范围.19、已知函数.（1）当时，求函数的最值；（2）当时，对任意都有恒成立，求实数的取值范围；（3）当时，设函数，数列满足，，求证：，.20、已知函数，．（1）分别求函数与在区间上的极值；（2）求证：对任意，．21、已知函数（常数）.（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若曲线与直线相切，证明：.22、已知函数（，为自然对数的底数）.（1）讨论函数的单调性；（2）若，函数在上为增函数，求实数的取值范围.23、设函数.（1）若，证明：在上存在唯一零点；（2）设函数，（表示中的较小值），若，求的取值范围.24、知函数f（x）=ax2﹣2x+lnx（a≠0，a∈R）．（1）判断函数 f （x）的单调性；（2）若函数 f （x）有两个极值点x1，x2，求证：f（x1）+f（x2）＜﹣3．25、已知函数（其中）．（1）求在处的切线方程；（2）已知函数，若对任意，恒成立，求实数的取值范围．26、设函数，=.（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若函数有两个零点.(1)求满足条件的最小正整数的值；(2)求证：.27、已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，证明：对任意的，有.28、设函数，其中是自然对数的底数.(1)若在上为单调函数，求实数的取值范围；(2)若，求证：有唯一零点的充要条件是.29、设函数，其中和是实数，曲线恒与轴相切于坐标原点．（1）求常数的值；（2）当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）求证：对于任意的正整数，不等式恒成立.30、已知函数．（1）若在区间上单调递增，求实数的取值范围；（2）若存在唯一整数，使得成立，求实数的取值范围．31、设函数，(1)当时，求函数的单调区间；(2)当，时，求证：.32、已知函数（）.（Ⅰ）若曲线在点处的切线与轴垂直，求的值；（Ⅱ）若函数有两个极值点，求的取值范围；（Ⅲ）证明：当时，.33、已知函数，.（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）当时，函数的两个极值点为，，且.求证：.34、已知函数（）（1）讨论的单调性；（2）若关于的不等式的解集中有且只有两个整数，求实数的取值范围.35、已知数列满足：证明：当时（I）;（II）；(III)36、已知函数.（1）求函数的极值点；（2）设，若函数在内有两个极值点，求证：.37、已知函数．（1）若函数在区间上递增，求实数的取值范围；（2）求证：．38、已知函数（，为自然对数的底数）在点处的切线经过点．（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）若，不等式恒成立，求实数的取值范围．39、已知函数有极值，且导函数的极值点是的零点。
高中数学课件 1.3导数在研究函数中的应用(5)
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f (x )max = f (e - 1) = e - 2
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课堂小 结
1.函数的最值与极值没有必然的 联系，一个函数可以有最值但无极 值，也可以有极值但无最值.在一个 区间内，函数的极大（小）值与最 大（小）值可能相等，也可能不相 等.
课堂小 结
典型例 题
例3 求函数f(x)＝sin2x－x 在区间 p p [- , ] 上的最大值与最小值. 2 2
f (x )max p p = f (- ) = , 2 2 f (x )min p p = f( ) = 2 2
典型例 题
例4
求函数 f (x ) = (1 + x ) - ln(1 + x )
如果函数f(x)存在最大值，那么其最 大值是否惟一？最大值点是否惟一？ 最大值惟一，最大值点不惟一.
新知探究
5.如果函数f(x)在区间[a，b]上是单 调函数，那么f(x)是否存在最值？若 存在，其最大值和最小值如何确定？ 若f(x)在区间[a，b]上是增函数， 则f(a)为最小值，f(b)为最大值； 若f(x)在区间[a，b]上是减函数， 则f(a)为最大值，f(b)为最小值.
新知探 究
2.函数的最大值和最小值的几何意义 y A 是什么？
B 最大值：函数图象最高点的纵坐标；
O
x
最小值：函数图象最低点的纵坐标.
新知探 究
3.函数的最值就存在性而言有哪几种
可能情形？ 有最小值无最大值； 有最大值无最小值；
既有最小值又有最大值；
没有最值.
新知探 究
4.函数y＝f(x)图象的最高点和最低点， 分别叫做函数f(x)的最大值点和最小 值点.
导数在研究函数中的应用
导数在研究函数中的应用导数是微积分中的一个基本概念，它描述了函数在其中一点的变化率。
由于函数在不同点的变化率是函数的重要性质之一，所以导数在研究函数中有着广泛的应用。
下面将从几个方面探讨导数在研究函数中的应用。
首先，导数可以用来求函数的最值。
在实际问题中，我们经常需要找到一个函数的最大值或最小值，这些最值往往代表了问题中的其中一种最优解。
通过计算函数的导数，我们可以找到函数在哪些点取得最大值或最小值，从而解决问题。
例如，在经济学中，我们利用导数来确定一个企业的生产量，以使其利润最大化。
在物理学中，我们利用导数来确定一个物体在何时达到最大速度。
其次，导数可以用来求函数的图像特征。
函数的导数可以描述函数在每一点的斜率，从而揭示函数的图像特征。
通过函数的导数，我们可以确定函数在哪些点上是递增的、递减的，从而得到函数的增减性质。
我们可以通过导数的符号和零点来确定函数的极值点和拐点，从而得到函数的凹凸性质。
例如，在物理学中，我们可以通过求一个物体的位移函数的导数来确定物体的速度函数。
进一步地，我们可以通过速度函数的导数来确定物体的加速度函数。
此外，导数还可以用来进行近似计算。
在很多实际问题中，往往难以通过精确计算来得到一个准确的结果。
然而，通过导数的概念，我们可以通过局部线性化来得到一个近似结果。
也就是说，我们可以用一个线性函数来替代原函数，从而得到一个较好的近似结果。
这种近似计算方法被广泛应用于物理、工程等领域。
例如，在计算器中，我们可以通过导数的近似计算方法来快速地计算一个函数的值。
最后，导数还可以用来研究函数的变化趋势。
函数的导数可以描述函数的变化趋势，它可以告诉我们函数在一些点上的变化速率。
通过导数的大小和正负号，我们可以确定函数是递增还是递减，从而得到函数的趋势。
例如，在金融学中，我们可以通过计算股票价格的导数来判断股票市场的走势。
总之，导数在研究函数中有着广泛的应用。
通过求函数的导数，我们可以求函数的最值，研究函数的图像特征，进行近似计算，以及研究函数的变化趋势。
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1.3 导数在研究函数中的应用导学案1.3.1 单调性一、学习要求了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会求不超过三次的多项式函数的单调性二、学习重点与难点利用导数判定函数的单调性；求函数的单调区间；已知单调性求参数的范围 三、学习过程1.导数与函数的单调性问题1 函数2()43f x x x =-+的单调增区间为[2,)+∞ ,单调减区间为(,2)-∞ ；()f x '=24x -，由()0f x '>得x ∈(2,)+∞ ,由()0f x '<得x ∈(,2)-∞问题2 导数的符号与函数的单调性有怎样的关系在某个区间上，若导数大于0，则该区间为增区间；若导数小于0，则该区间为减区间问题3 如果()f x 在某区间上单调递增，那么在该区间上必有()0f x '>吗？不一定，也可能在一些孤立的点处导数等于0，如函数3()f x x =在(,)-∞+∞上为增函数，而(0)0f '=问题4 用导数判定函数的单调性或求函数的单调区间的步骤是什么？（1）确定定义域，求导函数 （2）令导数大于0，解得增区间令导数小于0，解得减区间（3）得结论，注意单调区间之间不可用并问题5 已知函数在某个区间上是单调的，那么它的导数符号怎样？如果已知某函数在某区间上为增函数，则其导数肯定是大于或等于0；如果是减函数，则其导数肯定小于或等于0 2.例题改编例2 求函数32()267f x x x =-++的单调减区间(,0),(2,)-∞+∞例3 求函数()sin ((0,2))f x x x π=∈的单调增区间3(0,),(,2)22πππ3.拓展探究(1)求函数()xf x x e =-单调减区间(0,)+∞(2)求函数2ln y x x =-的单调增区间1(,)2+∞ (3)求函数1()f x x=的单调区间 增区间(1,)+∞ 减区间(0,1)(4)求证：当1x >时，有13x>- (略)(5)判断函数()af x x x=+的单调性 （略）(6)若3()f x ax x =+恰有三个单调区间，试确定a 的取值范围，并求其单调区间 0a <,略(7)函数21y x ax =-+在(0,)+∞上单调递增，则a 的取值范围是_____________(,0]-∞(8)若函数32()5f x ax x x =-+-在R 上单调递增，求实数a 的取值范围.13a ≥四、巩固提高1.求函数()ln f x x x =的递增区间1(,)e+∞ 2.若函数225y x bx =+-在区间(2,3)上为减函数，求b 的取值范围(,3]-∞-3.设a 为实数，函数322()(1)f x x ax a x =-+-在(,0)-∞和(1,)+∞上都是增函数，求a 的取值范围(,[1,)-∞⋃+∞ 4.函数2145ln 24a y x ax x +=-+是定义域上的增函数，求a 的取值范围 5[,5]4- 1.3 导数在研究函数中的应用导学案1.3.2 极大值与极小值一、学习要求了解函数的极大（小）值与导数的关系；会求不超过三次的多项式函数的极大（小）值 二、学习重点与难点理解极值与导数符号的关系；明确求极值的方法步骤；会画多项式函数的简图；已知极值求参数 三、学习过程 1.函数极值的定义问题1 课本上是怎样对极值进行描述的？问题2 请分别从图形和代数的角度描述你对极值的理解？问题3 极大值一定比极小值大吗？问题4 闭区间端点对应的函数值是极值吗？ 问题5 如果称取得极值的自变量的值为极值点，请，请说明极值与极值点含义？ 2.导数与函数的极值问题1 判定函数的极值本质是就是在研究函数的什么性质？而该性质与导数又有怎样的关系？ 问题2 由例1归纳出求函数极值的方法步骤是什么？问题3 函数在某处的导数为0是能在该处能取得极值的充要条件吗？3.例题改编例1 求2()4f x x x =-+的极值 （略）例2 求311()433f x x x =-++的极值（请尝试在同一坐标系中画出该函数及其导函数的简图并思考之间的联系） （略） 4.拓展探究（1）函数2()365f x x x =++在(,1)-∞-上是单调递减的，在区间(1,)-+∞上是单调递增的，当x=1-时，()f x 取得极小值，其极小值为2 （2）函数32()23f x x x a =-+的极大值为6，则a=6（3）已知()f x '的图像如下图，则()f x 的单调增区间为(4,0)-、(5,)+∞，极小值点为1（4）求函数21x y x=+的极值2x =-时有极大值4-，0x =时有极小值0（5）求函数()2sin f x x x =+在区间(0,2)π内的极值23x π=时有极大值23π+43x π=时有极小值43π-（6）设3()f x ax x =+恰有两个不同的极值点，试确定a 的取值范围，并求其单调区间. 0a <，略（7）已知函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处的极值10，求,a b 的值4,11a b ==-（8）试研究函数3211()32f x ax bx cx d =+++ (0)a >的单调性、极值、简图（略）四、巩固提高1.如果函数32()3f x x x c =-+的极小值是3，求c 的值及()f x 极大值7,72. 函数32()1f x x mx x =+++在R 上无极值点，求的取值范围[3. 三次多项式函数当1x =时有极大值4，当3x =时有极小值0，且函数过原点，求此函数的解析式3269y x x x =-+4.已知函数32()32f x x ax bx =-+在1x =点处有极小值1-，试确定,a b 的值，并求出的单调区间11,32a b ==增区间1(1,),(,)3+∞-∞- 减区间1(,1)3-.1.3 导数在研究函数中的应用导学案1.3.3 最大值与最小值一、学习要求会求在指定区间上不超过三次的多项式函数的最大（小）值二、学习重点与难点会求函数在闭区间（开区间）上的最值；会画函数的简图；含参数函数最值的求解三、学习过程 1.最值的定义问题1 你对最值的理解是什么？ 问题2 最值与极值有怎样的关系？问题3 定义域为闭区间的连续函数一定有最值吗？问题4 最大值一定比最小值大吗？问题5 定义域为开区间的函数一定没有最值吗？ 2.导数与函数的最值问题1 由例1归纳出利用导数求最值的方法步骤是什么？问题2 利用导数求极值与求最值有怎样的关系？ 问题3 不管求极值还是求最值都是利用导数研究函数的什么性质？求解过程中列表本质上是什么？3.例题改编例1 求2()43f x x x =-++在区间[1,4]-上最大值和最小值 （略） 例2 求1()cos 2f x x x =+在区间[0,2]π上的最大值与最小值并尝试作出该函数的简图 （略） 4.拓展探究 （1）求函数31()443f x x x =-+在[0,3]上的最大值与最小值0x =时有最大值4，2x =时有最小值43-（2）求函数1,[0,2]2x y x x -=∈+的值域（略）（3）求4282y x x =-+在[1,3]x ∈-上的最大值 11（4）已知函数32()26f x x x m =-+（m 为常数）在[2,2]-上有最大值3，求此函数在[2,2]-上的最小值 37-（5）将正数a 分成两部分（均为正数），使其立方和为最小，求此时这两个部分的值,22a a （6）P 点是曲线2ln y x x =-上任意一点，求点P 到直线2y x =-的距离的最小值（7）已知函数ln ()xf x x=，求它在[,2](0)a a a >上的最小值02a <≤时，min ln ()()af x f a a == 2a >时，minln(2)()(2)2a f x f a a==（8）已知函数32()23(1)6f x x a x ax =-++，当[1,3]x ∈时，()f x 的最最小值为4，求a 的值2a =四、巩固提高 1.求函数1()2f x x x=+在区间(0,2]上的最值 （略）2.已知函数2(),[1,3]xf x x e x -=∈-，求函数()f x 的最大值与最小值 max ()(1)f x f e =-= min ()(0)0f x f ==3.已知函数32()39f x x x x a =-+++在区间[2,2]-上的最大值是20，求()f x 在该区间上的最小值 7-4.设23()252x f x x x =--+，当[1,2]x ∈-时，()f x m <恒成立，求实数m 的取值范围 (7,)+∞。