导数在研究函数中应用(含简答)

1.3 导数在研究函数中的应用导学案

1.3.1 单调性

一、学习要求

了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会求不超过三次的多项式函数的单调性

二、学习重点与难点

利用导数判定函数的单调性；求函数的单调区间；已知单调性求参数的范围 三、学习过程

1.导数与函数的单调性

问题1 函数2

()43f x x x =-+的单调增区间为

[2,)+∞ ,单调减区间为(,2)-∞ ；

()f x '=24x -，由()0f x '>得x ∈(2,)+∞ ,

由()0f x '<得x ∈(,2)-∞

问题2 导数的符号与函数的单调性有怎样的关系

在某个区间上，若导数大于0，则该区间为增区间；若导数小于0，则该区间为减区间

问题3 如果()f x 在某区间上单调递增，那么在该区间上必有()0f x '>吗？

不一定，也可能在一些孤立的点处导数等于0，如函数3

()f x x =在(,)-∞+∞上为增函数，而

(0)0f '=

问题4 用导数判定函数的单调性或求函数的单调区间的步骤是什么？

（1）确定定义域，求导函数 （2）令导数大于0，解得增区间

令导数小于0，解得减区间

（3）得结论，注意单调区间之间不可用并

问题5 已知函数在某个区间上是单调的，那么它的导数符号怎样？

如果已知某函数在某区间上为增函数，则其导数肯定是大于或等于0；如果是减函数，则其导数肯定小于或等于0 2.例题改编

例2 求函数3

2

()267f x x x =-++的单调减区间

(,0),(2,)-∞+∞

例3 求函数()sin ((0,2))f x x x π=∈的单调增区间

3(0,),(,2)22

ππ

π

3.拓展探究

(1)求函数()x

f x x e =-单调减区间

(0,)+∞

(2)求函数2ln y x x =-的单调增区间

1

(,)2

+∞ (3)

求函数1

()f x x

=的单调区间 增区间(1,)+∞ 减区间(0,1)

(4)求证：当1x >

时，有13x

>- (略)

(5)判断函数()a

f x x x

=+的单调性 （略）

(6)若3

()f x ax x =+恰有三个单调区间，试确定

a 的取值范围，并求其单调区间 0a <,略

(7)函数2

1y x ax =-+在(0,)+∞上单调递增，则

a 的取值范围是_____________

(,0]-∞

(8)若函数3

2

()5f x ax x x =-+-在R 上单调递增，求实数a 的取值范围.

13

a ≥

四、巩固提高

1.求函数()ln f x x x =的递增区间

1

(,)e

+∞ 2.若函数2

25y x bx =+-在区间(2,3)上为减函数，求b 的取值范围

(,3]-∞-

3.设a 为实数，函数3

2

2

()(1)f x x ax a x =-+-在(,0)-∞和(1,)+∞上都是增函数，求a 的取值范围

(,[1,)-∞⋃+∞ 4.函数2145ln 24

a y x ax x +=

-+是定义域上的增函数，求a 的取值范围 5[,5]4

- 1.3 导数在研究函数中的应用导学案

1.3.2 极大值与极小值

一、学习要求

了解函数的极大（小）值与导数的关系；会求不超过三次的多项式函数的极大（小）值 二、学习重点与难点

理解极值与导数符号的关系；明确求极值的方法步骤；会画多项式函数的简图；已知极值求参数 三、学习过程 1.函数极值的定义

问题1 课本上是怎样对极值进行描述的？

问题2 请分别从图形和代数的角度描述你对极值的理解？

问题3 极大值一定比极小值大吗？

问题4 闭区间端点对应的函数值是极值吗？ 问题5 如果称取得极值的自变量的值为极值点，请，请说明极值与极值点含义？ 2.导数与函数的极值

问题1 判定函数的极值本质是就是在研究函数的什么性质？而该性质与导数又有怎样的关系？ 问题2 由例1归纳出求函数极值的方法步骤是什么？

问题3 函数在某处的导数为0是能在该处能取得极值的充要条件吗？

3.例题改编

例1 求2

()4f x x x =-+的极值 （略）

例2 求311

()433

f x x x =-

++的极值（请尝试在同一坐标系中画出该函数及其导函数的简图并思

考之间的联系） （略） 4.拓展探究

（1）函数2

()365f x x x =++在(,1)-∞-上是单

调递减的，在区间(1,)-+∞上是单调递增的，当x=1-时，()f x 取得极小值，其极小值为2 （2）函数3

2

()23f x x x a =-+的极大值为6，则a=6

（3）已知()f x '的图像如下图，则()f x 的单调增区间为(4,0)-、(5,)+∞，极小值点为1

（4）求函数2

1x y x

=+的极值

2x =-时有极大值4-，0x =时有极小值0

（5）求函数()2sin f x x x =+在区间(0,2)π内的极值

23x π=

时有极大值

23π

+43x π=

时有极小值

43π-（6）设3

()f x ax x =+恰有两个不同的极值点，试确定a 的取值范围，并求其单调区间. 0a <，略

（7）已知函数3

2

2

()f x x ax bx a =+++在1

x =