统计物理学基础

2 . 统计假设 ①容器内任一位置附近单位体积内的分子数不比其 他位置占优势； ②分子沿任一方向的运动不比其他方向的运动占优势。 ① 分子数密度处处相等； ②分子速度在各方向上的分量的各种平均值相等。
一、系统状态的描述 描述热力学系统宏观整体的特征和状态的参量。
如 压强 p、体积 V、温度 T 等。
微观量 描述单个微观粒子特征和运动状态的物理量。
如分子的质量、 直径、速度、动量、能量 等。 微观量与宏观量有一定的内在联系。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
平衡态: 在无外界的影响下，系统所有可观察的宏 观性质不随时间改变的稳定状态。 设一容器，用隔板将其 隔开，当隔板右移时， 分子向右边扩散 在这过程中，各点密度、温度等均不相同，这就 是非平衡态。但随着时间的推移，各处的密度、 压强、温度等都达到了均匀，无外界影响，状态 保持不变，就是平衡态。
三、 统计的基本概念
1. 概率 如果N次试验中出现A事件的次数为NA,当 N时，比值NA/N称为出现A事件的概率。
NA P ( A) lim N N
概率的性质: (1) 概率取值域为 0 P ( A) 1 (2) 各种可能发生的事件的概率总和等于1.
Pi ( Ai )
剩余
设可供 x 天使用 原有
x 每天用量
p2 V2 M 2 T
p1 V1 M1 T
p3 V3 M 3 T
分别对它们列出状态方程，有
M1 p1 V1 RT M mol
p1V1M mol M1 RT
M2 p2 V2 RT M mol
p2V2 M mol M2 RT
M3 p3 V3 RT M mol
p3V3 M mol M3 RT
V1 V3 M1 M 3 xM2
M 1 M 3 ( p1 p3 )V1 (130 10) 32 9.6天 x 1 400 M2 p2V2
二、分子热运动的无序性和统计规律性
分子热运动 无序性 单个分子运动情况 具有很大的偶然性。 什么是统计规律性？ 大量偶然性从整体上所体现出来的必然性。 统计性 大量分子的集体表现 存在一定规律性。
其他气体而需洗瓶。今有一瓶氧气，容积为32L，压
强为1.3107Pa，若每天用105Pa的氧气400L，问此瓶
氧气可供多少天使用？设使用时温度不变。 解: 根据题意，可确定研究对象为原来气体、用去气 体和剩余气体，设这三部分气体的状态参量分别为
p1 V1 M1
p2 V2 M 2
p3 V3 M 3 使用时的温度为T
两点说明： •平衡态是一种热动平衡
处在平衡态的大量分子仍在作热运动，而且因 为碰撞， 每个分子的速度经常在变，但是系统的宏
观量不随时间改变。
•平衡态是一种理想状态 若系统所受外界影响可以忽略，宏观性质只有 很小变化时，可近似看作是平衡态。
物态方程（状态方程） 当系统处于平衡态时，三个状态参量存在一定的
i
N
i
Ai
N
1
概率归一化条件
2. 概率分布函数
随机变量 在确定条件下，一个变量以确定的不 相同的概率取各种不同的值，称这个 变量为随机变量。 (1) 离散型随机变量 取值有限、分立
1 2 S 表示方式 P1 P2 PS
Pi 0 ( i 1,2, S ) 有 Pi 1
i 1 S
(2) 连续型随机变量 随机变量x的概率密度
取值无限、连续 变量取值在x—x+dx间 隔内的概率
dP ( x ) ( x) dx
概率密度等于随机变量取值在单位间隔内的概率。
( x ) 又称为概率分布函数（简称分布函数）。



( x )dx 1
3. 统计平均值
算术平均值 对于离散型 随机变量
N N N
i i i i
N
i
N
统计平均值 lim
N
i
i
N
i lim ( N i N ) i Pi
N
随机变量的统计平均值等于一切可能状态 的概率与其相应的取值 i 乘积的总和。
对于连续型随机变量 统计平均值
6-1
物质的微观结构
热力学系统：
大量微观粒子（分子、原子等）组成的宏观体系。
外界：热力学系统以外的物体。 微观粒子体系的基本特征
(1)分子(或原子)非常微小。
(2)热力学系统所包含的微观粒子数非常巨大.
(3)分子之间存在相互作用力－－分子力.
(4)分子或原子的运动是杂乱无章的。
6-2
宏观量
理想气体分子的动理论
伽尔顿板实验 从入口投入小球 与钉碰撞 落入狭槽 ( 偶然 )
铁钉
隔板
伽尔顿板实验 再投入小球： 经一定段时间后 , 大 量小球落入狭槽。 分布情况： 中间多，两边少。 重复几次 ，结果相似。 单个小球运动是随机的 , 大量小球运动分布是确定 的。
小球数按空间 位置 分布曲线
统计规律特点: (1)只对大量偶然的事件才有意义. (2)它是不同于个体规律的整体规律. (3)大数量现象在一定宏观条件下的稳定性。 统计物理学的任务: 对平衡态下的热现象进行微观描述，然后运用 统计的方法求得： (1)宏观量与微观量的统计平均值的关系，揭示宏 观量的微观本质； (2)平衡态下微观量的统计分布。
x xdP ( x ) x ( x )dx
lim i N i N
i lim ( N i N ) i Pi
N N
比较！
四、理想气体的微观模型和统计假设
1. 理想气体微观模型 分子本身的大小比起它们之间的平均距离 可忽略不计。 除碰撞外，分子之间的作用可忽略不计。 分子间的碰撞是完全弹性的。 分子所受重力忽略不计。 理想气体分子是弹性的自由运动的质点。
函数关系：
f ( p,V , T ) 0
M 理想气体 pV RT M mol p
M 气体质量 M mol 气体的摩尔质量

I ( p1 ,V1 , T1 )

R 普适气体常量 8.31J / mol K
o
II ( p2 ,V2 , T2 )
V
例：氧气瓶的压强降到106Pa即应重新充气，以免混入