中考复习专题之构造辅助圆(课堂PPT)
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人教版九年级数学上册《构造辅助圆解决几何问题》PPT
E
D F
解：∵∠ABC =90°，
BE平分∠ABC，
B
C
∴∠ABE =45°.
∴∠ACE=∠ABE =45°.
三、利用“四点共圆”构造辅助圆
例3 如图，四边形ABCD为矩形,BE平分∠ABC, 交AD于点F,∠AEC =90°.
(1)A、B、C、E四点共圆吗？
(2)求∠ACE的度数；
(3)求证：BE⊥ED .
A
E
D F
证明：连接BD.
∵四边形ABCD是矩形，
∴A、B、C、D四点共圆，
B
C
并且BD是直径.
又∵A、B、C、E四点共圆，
∴A、B、C、D、E五点共圆.
∴∠BED为直角，即BE⊥ED.
三例、3 利如用图“，四四点边共形圆A”BC构D造为辅矩助形圆,BE平分∠ABC, 交AD于点F,∠AEC =90°.
纵观例题及其变式，其共同之处都存在着同一个结 构，如图所示，即共端点的三条等线段，它让我们联想到 “所有到定点的距离等于定长的点都在以定点为圆心、定 长为半径的同一个圆上”
建立模型：遇等线（共端点），作辅圆
拓展训练
1. 在平面直角坐标系xoy中，已知点A（-2,0），B(0,3)， 在坐标轴上找一点P，使得△ABP是等腰三角形，则这样的点共 有 ８ 个．
一、利用圆的定义来构造辅助圆
变式：（2019江西九江模拟） 如图，已知AB＝AC＝AD， ∠CBD＝2∠BDC68° B.88° C.90° D.112°
解题策略： 利用圆的定义构造圆 （圆可以看成是所有到定点的距离等于定长的点的集合）
一、利用圆的定义来构造辅助圆
通过构造辅助圆，巧妙地将线段的最值问
题转化为圆外一点与圆上的点的最大距离与最
福建省浦城县永兴中学2019届中考数学复习课件：构造辅助圆(共19张PPT)
4/9/2019
四.课堂小结
条件1
构造圆的条件：
条件2
•o
O
定张角 条件 3 …… 定线段 条件…
图中无圆，心中有圆
• 今天研究的这三类问题，从表面上看似乎 与圆无关，但如果我们能深入挖掘题目中 的隐含条件，善于联想所学定理，巧妙地 构造符合题意特征的辅助圆，再利用圆的 有关性质来解决问题，往往能起到化隐为 显、化难为易的解题效果！
中考专题复习之
构造辅助圆
4/9/2019
一.复习旧知
圆的“集合”定义是什么？
圆是所有到定点 的距离等于定长 的点的集合
• o
A
圆周角定理？
D
同弧所对的圆周角相等，
且等于这条弧所对圆心 角的一半
O
B
C
C
直径所对的圆周角是直角，
A
O
B
90°的圆周角所对的弦 是直径
二.探索新知
探究1.如图所示，在四边形ABCD中， AB=AC=AD，∠BAC=20°∠CAD=80°，则 ∠BDC=______度，∠DBC=______度
4/9/2019
可构造圆的条件1
• 什么条件让你想到可以构造圆，可以构造 圆的依据是什么？ • 条件1： 同一个端点出发的几条等长线段 • 依据： 圆的定义 •小结1： 当遇有 同一个端点出发的等长线段 时， 这个端点 通常以 为圆心， 等线段长 为半径， 构造辅助圆.
4/9/2019
探究2.如图，矩形ABCG的与矩形CDEF全等， 并且AB=1，BC=3，点B、C、D在同一条直 线上，∠APE 的顶点P在线段BD上移动，使 ∠APE 为直角的点P的个数是 （ ） A．0 B．1 C．2 D．3
A D F B E C G
2023年中考数学专项复习课件：辅助圆在解题中的应用
模型分析
(2)当∠C＝90°时，点C在⊙O上运动(如图②，不与点A，B重合).其中 AB为⊙O的直径；(3)当∠C>90°时，点C在如图③所示的 上运动( 不与点A，B重合).其中 ∠AOB＋∠ACBA＝B 180°
1 2
模型应用
12. 如图，在矩形 ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是矩形内部的一个动点 ，且AE⊥BE，则线段CE的最小值为2__1_0__2___．
r－d
0
d－r
连接OD并延长交
连接OD交⊙O于
此时点E的位置
点E与点D重合
⊙O于点E
点E
模型应用 1. 如图，在平面直角坐标系中，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为(3，4) ，P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA，PB分别与x轴交于点A，B. 若点A，B关于原点O对称，则AB的最小值为_6_______．
对的劣弧BD上运动，连接OA，OP，则AP≤OA＋OP，
∴当O，A，P三点共线时，AP取得最大值，最大值即为OA＋OP的值．
过点O作OQ⊥AB于点Q，
∵∠DPB＝120°，∴∠BAD＝60°，
∵AD＝BD＝6，∴∠OAQ＝30°，AQ＝ 1 AB＝3，
2
∴OA＝2 3 ，∴OA＋OP＝4 3，
∴AP的最大值为4 3 .
15 4
过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，则CQ的最大值为______.
第8题图
第9题图
10. 如图，在四边形ABCD中，BD＝4，∠BAD＝∠BCD＝90°，则四边
形ABCD面积的最大值为___8_____．
11. 如图，等腰直角△ABC的斜边AB下方有一动点D，∠ADB＝90°，
CE
第1题图
中考数学总复习考点系统复习微专题 辅助圆问题61页PPT
you
中考数学总复习考点系统复习微专题 辅 助圆问题
31、园日涉以成趣，门虽设而常关。 32、鼓腹无所思。朝起暮归眠。 33、倾壶绝余沥，窥灶不见烟。
34、春秋满四泽，夏云多奇峰，秋月 扬明辉 ，冬岭 秀孤松 。 35、丈夫志四海，我愿不知老。
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
中考数学总复习考点系统复习微专题 辅 助圆问题
31、园日涉以成趣，门虽设而常关。 32、鼓腹无所思。朝起暮归眠。 33、倾壶绝余沥，窥灶不见烟。
34、春秋满四泽，夏云多奇峰，秋月 扬明辉 ，冬岭 秀孤松 。 35、丈夫志四海，我愿不知老。
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
中考数学备考课件：辅助圆问题 (共19张PPT)
BM C
∴△ABM≌△BCN(SAS)
∴ BAM CBN
∵ ABP CBN 90o ∴ ABP BAM 90o ∴ APB 90o ∴点 P 在以 AB 为直径的圆上
运动,设圆心为 O,连接 OC 交⊙O 于 P,此时 PC 最小 ∵ AB 4 ∴ OP OB 2
A
D
O
N
P B MC
解:∵ AB AC AD 2
E
∴点 B,C,D 在以点 A 为圆心, 半径为 2 的圆上延长 BA 交 D ⊙A 于 E,连接 DE
∵AB∥CD ∴ EBD BDC
A
B
C
∵ DE DE , BC BC ∴ EAD 2EBD ,
BAC 2BDC
∴ EAD BAC
E
A
B
∴ ED BC 1
小值为 BC sin B 3 3
∴DE 长的最小值为
3 2
PC
3 2
3
3
9 2
.
类型二 定点 定长模型 方法与技巧 常见图形中共顶点的多条线段相等,可考虑利用到 定点的距离等于定长推导共圆,再利用圆有关性质 解决问题.
3.如图,在四边形 ABCD 中, AB AC AD 2 , BC 1,AB∥CD.求 BD 的长.
由勾股定理,得 OC OB2 BC2 2 5
∴ PC OC OP 2 5 2
∴PC 长的最小值为 2 5 2 .
2.如图,在 Rt△ ABC 中, ACB 90o , AB 5,
cos
B
4 5
,⊙A
与边
BC
交于点
C,过
A
作
DE∥BC,
交⊙A 于点 D,E,点 F 在 DC 上,连接 EF,过 A 作
2025年河南省九年级中考数学二轮复习特色专题课件：专项11+辅助圆的应用
本章知识导图
典例3 相切时有最值 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，E是 边AD上一动点，连接BE，作点A关于BE的对称点F，连接CF并延长 交边AD于点G，则AG的最大值为_2__.
本章知识导图
1．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点E，F分别在AB， BC上，且EF＝3，M是EF的中点，连接DM，则DM的最小值为__3_.5__.
A．4
B．5
C．145
D．156
本章知识导图
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P是矩形内部的一个动点， 8
且∠APD＝90°，连接CP并延长交AB于点E，则AE的最大值为_3_.
本章知识导图
5．如图，在等边三角形ABC中，AB＝6，点D，E分别在边BC，AC上， 且BD＝CE，连接AD，BE交于点F，连接CF，则∠AFB＝__1_2_0_°__， CF的最小值是2___3． 提示：可证△ABD≌△BCE，则∠BAD＝∠CBE，可得∠AFB＝120°， 从而得点F在以点O为圆心，OA长为半径的弧上运动(∠AOB＝120°， OA＝2 3)，连接OC交⊙O于点N，当点F与点N重合时，CF的值最小
本章知识导图
(2)线圆最值 如图，点A是⊙O上一动点，l为⊙O外一直线，过点O作l的垂线，与 ⊙O交于点A1，A2，则点A到直线l的距离的最大值为A1P＝d＋r，最小 值为A2P＝d－r.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
本章知识导图
2．利用90°圆周角所对的弦是直径作圆 如图，当∠ACB＝90°时，弦AB为直径，点C的运动轨迹为⊙O(不与 点A，B重合)．
本章知识导图
类型3 四点共圆 典例5 如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ACD＝ 30°，AD＝2，则△ABC面积的最大值为_3___3_.
北师大版九年级下册数学添加辅助圆,让动点有迹可寻——《圆》回顾思考拓展(共28张PPT)
寻点 抓本质特征，添辅助圆
探究二：如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是
△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP
长的最小值为
.
O M
寻点：OC与圆的交点M即为CP最小时点P的位置
求解 抓本质特征，添辅助圆
探究二：如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是
显形：以A为圆心，AD长为半径作圆
寻点 添加辅助圆，动点显形
演练一：如图，在矩形ABCD中，AD=5，AB=8，点E为DC边 上的一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点刚好D 落在矩形ABCD的对称轴上时，则DE的长为___ .
寻点：矩形的两条对称轴与圆的交点，即为符合条件 的点。
求解 结合其他模型，进行求解
△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP
长的最小值为
.
∵∠ABC=90° ，
BC=4,OB=3
∴OC=5
∴CM=OC-r
O
=5-3
M
=2
∴CP最小值为2
显形 抓本质特征，添辅助圆
探究一：如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90∘,AC=4,BC=6,点D是边BC的中点,点E是边AB上的任意一点(点E不与点B重合)，沿DE翻折△DBE使点B落在点F处，连接AF，则线段AF长的最小
2、直径所对的圆周角是90°；
AF长的最小值为___ 显形：以AB为直径作圆
∵∠C=90°， AC=4,CD=3
.
探究一：如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90∘,AC=4,BC=6,点D是边BC的中点,点E是边AB上的任意一点(点E不与点B重合)，沿DE翻折△DBE使点B落在点F处，连接AF，则线段AF长的最小
中考数学总复习考点系统复习微专题 辅助圆问题61页PPT
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。考点系统复习微专题 辅 助圆问题
61、辍学如磨刀之石，不见其损，日 有所亏 。 62、奇文共欣赞，疑义相与析。
63、暧暧远人村，依依墟里烟，狗吠 深巷中 ，鸡鸣 桑树颠 。 64、一生复能几，倏如流电惊。 65、少无适俗韵，性本爱丘山。
▪
初三全品数学中考复习方案PPT-提分微课04构造辅助圆
最小值是 1.2 .
图W4-3
4.如图W4-4,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,AB=6,点D是AB上一动点,将
△BCD沿CD所在直线折叠,使点B落在点P处,连接AP,则线段AP的最小值为
.
图W4-4
[答案]3 3-3
[解析]易知点 P 在以点 C 为圆心,以 CB 的长为半径的圆上,
且OA=OB=OD.
求证:(2)四边形OBCD是菱形.
图W4-5
证明:(2)如图,连接 OC.
∵OB=OD,CB=CD,OC=OC,∴△OBC≌△ODC.
∴∠BOC=∠DOC,∠BCO=∠DCO.
∵∠BOD=∠BOC+∠DOC,∠BCD=∠BCO+∠DCO,
1
1
∴∠BOC=2∠BOD,∠BCO=2∠BCD.
.
图W4-8
[答案] 5-1
[解析]由△ABE≌△DCF,得∠ABE=∠DCF,根据正方形的轴对称性,可得∠DCF=
∠DAG,∴∠ABE=∠DAG,∴∠AHB=90°,故点 H 在以 AB 为直径的圆弧上.取 AB
中点 O,以 O 为圆心,OA 长为半径作半圆,连接 OD 交半圆 O 于点 H,此时 DH 最小,
[答案] 45°
[解析]由题意可得C,B,A,F四点在同一个圆上.
∴∠BFC=∠BAC.∵直线a∥CD,∴∠BAC=∠ACD.
又∵△ACD是等腰直角三角形,∴∠ACD=45°.
∴∠BFC=45°.∵∠CBF=90°,∴∠BCF=45°.
图W4-6
8. [2016·宁波考纲]如图W4-7,在等腰直角三角形ABC中,AB=BC=2,点P为等腰
向旋转,得到△MNC.点P,Q分别是线段AC,MN的中点,在△ABC绕点C按顺时针方
图W4-3
4.如图W4-4,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,AB=6,点D是AB上一动点,将
△BCD沿CD所在直线折叠,使点B落在点P处,连接AP,则线段AP的最小值为
.
图W4-4
[答案]3 3-3
[解析]易知点 P 在以点 C 为圆心,以 CB 的长为半径的圆上,
且OA=OB=OD.
求证:(2)四边形OBCD是菱形.
图W4-5
证明:(2)如图,连接 OC.
∵OB=OD,CB=CD,OC=OC,∴△OBC≌△ODC.
∴∠BOC=∠DOC,∠BCO=∠DCO.
∵∠BOD=∠BOC+∠DOC,∠BCD=∠BCO+∠DCO,
1
1
∴∠BOC=2∠BOD,∠BCO=2∠BCD.
.
图W4-8
[答案] 5-1
[解析]由△ABE≌△DCF,得∠ABE=∠DCF,根据正方形的轴对称性,可得∠DCF=
∠DAG,∴∠ABE=∠DAG,∴∠AHB=90°,故点 H 在以 AB 为直径的圆弧上.取 AB
中点 O,以 O 为圆心,OA 长为半径作半圆,连接 OD 交半圆 O 于点 H,此时 DH 最小,
[答案] 45°
[解析]由题意可得C,B,A,F四点在同一个圆上.
∴∠BFC=∠BAC.∵直线a∥CD,∴∠BAC=∠ACD.
又∵△ACD是等腰直角三角形,∴∠ACD=45°.
∴∠BFC=45°.∵∠CBF=90°,∴∠BCF=45°.
图W4-6
8. [2016·宁波考纲]如图W4-7,在等腰直角三角形ABC中,AB=BC=2,点P为等腰
向旋转,得到△MNC.点P,Q分别是线段AC,MN的中点,在△ABC绕点C按顺时针方
数学：24.2.1《圆的补充内容---辅助圆 》课件(人教版九年级上)
1、在同圆 或等圆中，同弧或等弧 所对的圆心 角 相等 .
2、在同圆或等圆中同弧或等弧所 对的圆周角 相等 ，都等于这
条弧所对的圆心角的 一半 .
3、圆的内接四边形对角 互补
∠∠弧AAA=+B∠∠=B弧C==C1D80∠1°O ； ∠ABC+∠A∠ODB==12∠80CO°D
任何一个 外角 等于 它的内对角.
（2）若AC= 8 2 ，你都能求出哪些线段的长度
（3）求S△BDC
B
60°30°
B D
45°
G 45°
A 30°
OE
60° C
A
45°45°
D
O
C
09—10上学期
海淀期末24题
两个常见的四点共圆的基本图形
• 在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为线段BC上一 动点，连结AD，以AD为一边且在AD的右侧作 正方形ADEF，如果AB≠AC，∠BAC≠90°。
∠EBC= ∠D
例1 、（09年武汉）如图，已知O是四边形ABCD 内一点，OA=OB=OC ，，求∠DAO+ ∠D79C0O°的大 小.
B
B
A
O
A
C
D
C O
D
当△ABC中∠ ACB= 合除外）.
，CF⊥BC（ห้องสมุดไป่ตู้C、F重
A 45° F
45°
B
D
C
E
09年丰台 一模23题
本节课我收获了 ……
思考
B
B D
O
C
A
O
C
D
当两个有公共边的三角形不是直角三 角形时，四个顶点能否在同一个圆上
新的数学方法和概念， 常常比解决数学问题 本身更重要
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A
D
A
D
M
F
F
BE
CG
图 18
A
BE
图 19
D
证法5
F
BE
CG
P
图 22
CG
N
A
D
Q
BE
C
图 21
证法3
A
D
F
B
E
H
CG 图 20
F 证法4
G
15
3.(2014年山东淄博市中考数学)如图，点A与 点B的坐标分别是（1,0），（5,0），点P是 该直角坐标系内的一个动点。
（1）使∠APB=30°的点P有 个；
A．0 B．1 C．2 D．3
7/31/2020
7
可构造圆的条件2
• 什么条件让你想到可以构造圆，可以构造 圆的依据是什么？
• 条件2：
直角
• 依据： 90°的圆周角所对的弦是直径.
•小结2：当遇有
直角
时，
通常以 斜边为直径 ，构造辅助圆.
7/31/2020
8
探究3.在平面直角坐标系中，已知点A（4，0）、
中考专题复习之
构造辅助圆
7/31/2020
1
一.复习旧知
圆的“集合”定义是什么？
圆是所有到定点
•o
的距离等于定长
的点的集合
2
A O
B
圆周角定理？
D 同弧所对的圆周角相等，
且等于这条弧所对圆心 角的一半
C
3
C
直径所对的圆周角是直角，
A
B 90°的圆周角所对的弦
O
是直径
4
二.探索新知
探究1.如图所示，在四边形ABCD中， AB=AC=AD，∠BAC=20°∠CAD=80°，则 ∠BDC=______度，∠DBC=______度
7/31/2020
5
可构造圆的条件1
• 什么条件让你想到可以构造圆，可以构造 圆的依据是什么？
• 条件1： 同一个端点出发的几条等长线段 • 依据： 圆的定义
•小结1： 当遇有 同一个端点出发的等长线段 时，
通常以 这个端点 为圆心，等线段长为半径，
构造辅助圆.
7/31/2020
6
探究2.如图，矩形ABCG的与矩形CDEF全等， 并且AB=1，BC=3，点B、C、D在同一条直 线上，∠APE 的顶点P在线段BD上移动，使 ∠APE 为直角的点P的个数是 （ ）
10
探究3.在平面直角坐标系中，已知点A（4，0）、
B（﹣6，0），点C是y轴上的一个动点，当
∠BCA=45°时，点C的坐标为
．
变式2：如果把“∠BCA=45°”改成“∠ BCA=θ° 还能做吗？
7/31/2020
11
可构造圆的条件3
• 什么条件让你想到可以构造圆，可以构造 圆的依据是什么？
• 条件3：动点对定线段所张的角为定值
• 今天研究的这三类问题，从表面上看似乎 与圆无关，但如果我们能深入挖掘题目中 的隐含条件，善于联想所学定理，巧妙地 构造符合题意特征的辅助圆，再利用圆的 有关性质来解决问题，往往能起到化隐为 显、化难为易的解题效果！
7/31/2020
18
A.40°
B.50° C.60° D.70°
7/31/2020
D A
C
30°
B
13
2. （2012青海中考） 如图，四边形Ａ ＢＣＤ是正方形，点Ｅ是边ＢＣ的中点， ∠ＡＥＦ=90，EF交正方形外角的平分线Ｃ Ｆ于 Ｆ。求证：ＡＥ=EＦ。（人教版八年 级下册第69页）
A
D
F
BE
CG
14
一题多解
证法1 ＡＥ=EＦ 证法2
B（﹣6，0），点C是y轴上的一个动点，当
∠BCA=45°时，点C的坐标为
．
定张角
定线段
7/31/2020
9
探究3.在平面直角坐标系中，已知点A（4，0）、
B（﹣6，0），点C是y轴上的一个动点，当
∠BCA=45°时，点C的坐标为
．
变式1：如果把∠BCA=45°改成∠BCA=30°， 还会做吗？
7/31/2020
• 依据：不在同一直线上的三点确定一个圆
或：同弧所对的圆周角相等且等于 这条弧所对的圆心角的一半 •小结3： 当遇有 动点对定线段所张的角为定值时， 通常 把张角转化为圆周角 构造辅助圆.
7/31/2020
12
三.巩固练习
1.（2011湖北鄂州中考）如下图OA=OB=OC且 ∠ACB=30°，则∠AOB的大小是（ ）
（2）若点P在y轴上且∠APB=30°，
求满足条件的点P的坐标；
（3）当点P在y轴上移动时，∠APB是否
有最大值？若有，求点P的坐标，并说明
此时∠APB最大的理由；若没有，也请说
明理由．
7/31/2020
16
四.课堂小结
条件1
•o
构造圆的条件：
条件2
O
条件 3
定张角
…… 条件…
定线段
17Biblioteka 图中无圆，心中有圆