二次函数求最值动轴定区间动区间定轴

10 2
4
当 k ＜1 ＜ k+2 时 即-1 ＜k ＜1时 f(x)min=f(1)=- 4
当5 f(k)>f(k+10 2)时， 15
即k2-2k-3 > k2+2k-3 即-1<k<0时
f(x)max=f(k)=k2-2k-3 当f(k) ≤f(k+2)时，
即k2-2k-3 ≤ k2+2k-3 即0≤ k<1时
[解] (1)当 a＝－1 时，f(x)＝x2－2x＋2，其对称轴为 x＝1， 所以 f(x)min＝f(1)＝1，f(x)max＝f(－5)＝37. (2)对称轴为 x＝－a，当－a≤－5 或－a≥5 时， f(x)在[－5,5]上单调．所以 a≥5 或 a≤－5. 故满足条件的实数 a 的取值范围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)．
（2）若x∈[ 2，4 ]，求函数f(x)的最值； 10
（3）若x∈[ 1 , 5 ]，求函数f(x)的最值； 8
2
（4）若x∈[
12, 2
3
6
2 ]，求函数f(x)的最值；
4
解：画出函数在定义域内的图像如图
对称轴为直线x=1,由图知，
15
10
5
x= 1 时有最大值 f (1)13
2
24
x=1时有最小值f(1)=-4
4
4
4
2 x=1
x=1
2
x=1
2
k+2
k k+2
k k+2
k 15
5
10
5
15
5 10
5
15
10
10
5
5
2
2
2
6
4
2 x=1
15
k 10
k+2 5
2
4
4
4
4
6
评注6：例1属于6“轴定区间动”的问题，看6 作动区
间沿8x轴移动的过8 程中，函数8 最值的变化，8 即动区
间在定轴的左、右两侧及包10含定轴的变化，要注
5
0
5
-2
2
4
6
例1、已知函数f(x)= x2 –2x – 3.
（1）若x∈yy ==[xx22
–2，0 2∙x 3 2∙x 3
]，求函数f(x)的最10 值；
（2）若x∈[ 2，4 ]，求函数f(x)的最值；
解：画出函数在定义域内的图像如图 8
对称轴为直线x=1
6
由图知，y=f(x)在[ 2，4 ]上为增函数
5 f(x)max=10f(k+2)=（1k5 +2)2-2(k+2)-3 =k2+2k-3
8
6
4
2 x=1 k
2
k+2 5
当k ≥1 时 f(x) max=f(k+2)=k2+2k-3
10
15
f(x) min=f(k)=k2-2k-3
4
6
8
10
8
例: 6求函数y=x2-62x-3在x∈[k,k6+2]时的最值
(3)已知函数 f(x)＝－x2＋2ax＋1－a 在 x∈[0,1]时有最大值 2，
求 a 的值．
(4)已知函数 f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2 在区间[0,1]内有一个最
大值－5，求 a 的值．
思考：如何 求函数y=x2-2x-3在 x∈[k,k+2]时的最值?
解析: 因为函数 y=x2-2x-3=(x-1)2-4的对称 轴为 x=1 固定不变,要求函数的最值, 即要看区间[k,k+2]与对称轴 x=1的位 置,则从以下几个方面解决如图:
∴f(x)的最小值为 f(0)=a，即a≥ 4
-1 O 2 x
课堂小结
1.闭区间上的二次函数的最值问题求 法
2. 含参数的二次函数最值问题： 轴动区间定 轴定区间动
核心 ： 区间与对称轴的相对位置
注意数形结合和分类讨论
练一练
1.已知y=－x2+ax+3 ，x∈[－1,1]，
求y的最大值
2、已知函数 f(x )= x 2-2 a+ x a 2+ 2
练习求函数y=x2+2x+3 在x[-2,2]时的 最值？
二次函数在闭区间上的最值问题 动轴定区间、动区间定轴
2.(1)若 f(x)＝x2－x＋a，f(－m)＜0，则 f(m＋1)的
值( B )
A．正数
B．负数
C．非负数
D．与 m 有关
19
(2)已知 2x2≤3x，则函数 f(x)＝x2＋x＋1 的最大值为___4_____．
y = x2 2∙x 3
练习：已知函数f(x)= x2–2x –3.
10
（1）若x∈[ –2，0 ], 求函数f(x)的最值8 ；
解：画出函数在定义域内的图像如图
6
对称轴为直线x=1
由图知，y=f(x)在[ –2，0 ]上为减函数 故x=-2时有最大值f(-2)=5
4
x=1
2
x=0时15有最小值f(010)=-3
]
6
6
4
4
4
x=1
2
0
10
-2
2
55
4
2 x=1
10 15
2
5
10
10
4 15
2
2 x=1
1
5
2
2
5
10 2
2
1 -2
5
15 2
x=1
3 2
10
4
4
4 4
6
思考6 ：通过以上几6 题，你发现二次6 函数在区间[m，n]
8
上的8 最值通常在哪8 里取到？
8
10 10
10 10
总结：求二次Fra Baidu bibliotek数f(x)=ax2+bx+c在[m，n]上 上的最值或值域的一般方法是：
4
4
4
2 x=1
x=1
2
x=1
2
k+2
k k+2
k k+2
k 15
5
10
5
15
5 10
5
15
10
10
5
5
2
2
2
8
6
4
2 x=1
15
k 10
k+2 5
2
4
4
4
4
当k ≤-1时 6
f(x)max6=f(k)=k2-2k-3
6 f(x)min=f(k+2)=k6 2+2k-3
当-1<k <0时 8
f(x)8max=f(k)=k2-2k-38
k
2
2
2
2
1105
k+2
4
4
4
4
6
6
6
6
8
8
8 8
10
6
4
2 x=1 k+2
k
2
4
6
8
当k+2≤1即k ≤-1时
f(x)max=f(k)=k2-2k-3
5
10
15
f(x)min=f(k+2)=（k+2)2-2(k+2)-3 =k2+2k-3
4
x=1
2
k k+2
10
82
64
4 6
x=1
2 8
k k+2
当0≤ k<1时 f(x)max=f(k+2)=k2+21k0 -3
10
10
当k ≥1 时 f(x) max=f(k+2)=k2+2k-3
f(x)min=f(1)=8- 4 f(x)min=f(1)=10- 4 f(x) min=f(k)=k2-2k-3
例: 6求函数y=x2-62x-3在x∈[k,k6+2]时的最值
O -1 1 x
评注：此题属于“轴动区间定”的问题，看作对 称轴沿x轴移动的过程中,函数最值的变化,即对 称轴在定区间的左、右两侧及对称轴在定区间上 变化情况,要注意开口方向及端点情况。
练习:已知x2+2x+a≥4在x∈ [0，2]上
恒成立，求a的值。
y
解:令f(x)=x2+2x+a
它的对称轴为x=－1， ∴f(x)在[0，2]上单 调递增，
4
故x=4时有最大值f(4)=5
x=2时有最小值f(2)=-3
10
5
2 x=1 2
45
2
4
y = x2 2∙x 3
y = x2 2∙x 3
10
例1、已知函数f(x)= x2 –2x – 3.
（1）若x∈[ –2，0]，求函数f(x)的最值；8
（2）若x∈[ 2，4]，求函数f(x)的最值；
15
6
（3）若x∈[ , ],求函数f(x)的最值；
二次函数在闭区间上的最值问题
练习：已知函数f(x)= x2 –2x – 3
（1）若x∈[–2，0]，求函数f(x)的最值；
（2）若x∈[ 2，4 ]，求函数f(x)的最值；
（3）若x∈[ 1 , 5 ]，求函数f(x)的最值；
2
（4）若x∈[
12 ,
2
3 2 ]，求函数f(x)的最值；
y = x2 2∙x 3
y1=0 x2 2∙x 3
10
y = x2 2∙x 3
y = x2 2∙x 3
10
例:8 求函数yy == x28x2∙x2-3 2x-3在x∈[k,k+210 ]时
8
的最6 值
6
8
6
6
4
4
4
2 x=1
k+2
15
k
5
x=1
2
k
10
5
15
k+2
5
10
10
x=1
2
k k+2
5
15
5
4
2 x=1
10 5
当 x1,3时，求函数的最大值.
y =x2+ax+3的最小值：
y
y
y
O -1 1 x
O
O
-1 1
x
-1 1 x
当a<-2时 当-2≤a<2时
f(x)fmm ini=nf(1)f=4+aa 23a42
当a≥2时
f(x)min=f(-1)=4-a
练习：若x∈x 1x 1 ，求函数
y =x2+ax+3的最小值：
y
y
y
O -1 1 x
O -1 1 x
10
10
10
意开口方向及端点情况。
练习：若x∈x 1x 1 ，求函数
y =x2+ax+3的最小值：
y
O -1 1 x
练习：若x∈x 1x 1 ，求函数
y =x2+ax+3的最小值：
y
O -1 1 x
练习：若x∈x 1x 1 ，求函数
y =x2+ax+3的最小值：
y
O -1 1 x
练习：若x∈x 1x 1 ，求函数
（1）检查x0=
b 2a
是否属于
[
m，n]；
（2）当x0∈[m，n]时，f(m)、f(n)、f(x0）
中的较大者是最大值,较小者是最小值；
（3）当x0 [m，n]时，f(m)、f(n)中的较大
者是最大值，较小者是最小值.
考点二 二次函数的图象与性质(高频考点)
已知函数 f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]． (1)当 a＝－1 时，求函数的最大值和最小值； (2)求实数 a 的取值范围，使 y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数．
x=1
2
13
-2
2
2 4
y = x2 2∙x 3
y = x2 2∙x 3y = x2 2∙x 3
10
y = x2 2∙x 3
10
例1、已知函数f(x)= 2∙x 3
2∙x 3
10
10
x2 –2x 8 –
3
8
（1）8 x∈[–2，0]（2）8 x∈[ 2，4 （] 3）x6 ∈[
1 2
,
5 2
]（4）x6 ∈[ 1 , 3 22
22
4
解：画出函数在定义域内的图像如图
对称轴为直线x=1,由图知，
10
5
5
x=
2
时有最大值 f (5) 13 24
2 x=1
1
5
2
2
5
2
4
x=1时有最小值f(1)=-4 6
例1、已知函数f(x)= x2 –2x – 3
（1）若x∈yy[== xx–22 222∙∙xx，33 0]，求函数f(x)的最值；