平面几何证明题的基本思路及方法

平面几何证明题的基本思路及方法几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。

惠特霍斯曾说过,“一般地,解题之所以成功,在很大程度上依赖于选择一种最适宜的方法。”灵活、恰当地选择解题方法是求解平面几何问题的良好途径。解决任何一道平面几何证明题,都要应用这样或那样的方法,而选择哪一种方法,就取决于我们用什么样的解题思路。由此可见,掌握证明题的一般思路、探索证题过程中的数学思维、总结证题的基本规律是求解几何证明题的关键。常见的证题思路有直接式思路和间接式思路。

一、直接式思路

首先应仔细审查题意,细心观察题目,分清条件和结论,并尽量挖掘题目中隐含的一些解题信息,以在缜密审题的基础上,根据定义、公式、定理进行一系列正面的逻辑推理,最后得出命题的证明,这种证题的思路被称为直接式思路。

掌握分析、证明几何问题的常用方法：

（一）顺藤摸瓜”法（由因导果）

该类问题特点：条件很充分且直观，一般属于A级难度的题目，需要我们从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决。

（二）逆向思维”法（执果索因）

该类问题特点：一般已知条件较少。从正常思维难以入手，一般属于B或C级难度题目。该类问题从求证结论开始逆向推导，一步一步追溯到已知条件，从而进行求解。

（三）天佑开凿铁路”法（从两头向中间）

该类问题特点：题目条件和结论之间关系比较隐秘，难于直接它们之的必然联系，该类问题属于C级难度的题目。

方法：

1、知条件入手，看能得到什么结果就写出什么结果，与结论相关的辅助线能作就作；

2、结论入手，运用逆向思维，看能推导出什么结果就写什么结果；

3、联想，探索推导两次推导结果之中直接或隐性的关系，然后整理从条件推导结论的

推导思路，再一步步写出推导过程。

注：该类问题在写出各种推导结果是需注意条理性，忌杂乱无章！

二、间接式思路

有些命题往往不易甚至不能直接证明,这时,不妨证明它的等效命题,以间接地达到目标,这种证题思路就称为间接式思路。我们常运用的反证法、同一法证题就是两种典型的用间接式思路证题的方法。

（一）反证法。具体地说,在证明一个命题时,如正面不易入手,就要从命题结论的反面入手,先假设结论的逆命题成立,如果由此假设进行严格推理,推导出的结果与已知条件、公式、定理、定义、假设等的其中一个相矛盾,或者推出两个相互矛盾的结果,就证明了结论的逆命题是错误,从而得出结论的正面成立,这种证题方法就叫做反证法。

反证法证题通常有如下三个步骤:

1、反设。作出与结论相反的假设,通常称这种假设为反证假设。

2、归谬。利用反证假设和已知条件,进行符合逻辑的推理,推出与某个已知条件、公理、定

义等相矛盾的结果。根据矛盾律,在推理和论证的过程中,在同时间、同关系下,不能对同一对象作出两个相反的论断,可知反证假设不成立。

3、得出结论。根据排除率,即在同一论证过程中,命题C与命题非C有且仅有一个是正确

的,可知原结论成立。

（二）同一法。欲证某图形具有某种性质而又比较繁杂或不易直接证明时,有时可以作出具有所示性质的图形,然后证明所作的图形与所给的某图形就是同一个,由此把它们等同起来,这种证法叫做同一法。

例如,同一法证平面几何问题的步骤如下:

1、出符合命题结论的图形;证明所作图形符合已知条件;

2、根据唯一性,确定所作的图形与已知图形吻合;

3、断定命题的真实性。

同一法和反证法都是间接式思路的方法。其中,同一法的局限性较大,通常只适合于符合同一原理的命题;反证法的适用范围则广泛一些,能够用反证法证明的命题,不一定能用同一法论证,但对于能够用同一法证明的命题,一般都能用反证法加以证明。

在证题过程中,不论是直接思路还是间接思路,都要进行一系列正确的推理,需要解题者对扑朔迷离的表象进行由表及里、去伪存真地分析、加工和改造,并从不同方向探索,以在广阔的范围内选择思路,从而及时纠正尝试中的错误,最后获得命题的证明。