圆的标准方程课件
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解决与圆有关的切线问题
圆的方程可以用来求解与圆有关的切线问题，如切线方程、切点坐 标等。
圆的方程在物理问题中的应用
描述圆形运动轨迹
在物理学中，圆的方程可以用来描述物体做圆周运动时的轨迹。
计算圆形运动的物理量
利用圆的方程，可以计算物体做圆周运动时的线速度、角速度、向 心加速度等物理量。
解决与圆有关的物理问题
切线与半径垂直
切线垂直于经过切点的 半径。
切线长定理
从圆外一点引圆的两条 切线，它们的切线长相
等。
04
圆的方程在实际问题中的应用
圆的方程在几何问题中的应用
确定圆的位置和大小
通过圆的方程，可以准确地确定圆心的坐标和半径的长度，从而 确定圆的位置和大小。
判断点与圆的位置关系
利用圆的方程，可以判断一个点是否在圆上、圆内或圆外，从而解 决相关的几何问题。
3
解决与圆有关的经济问题
圆的方程还可以用来解决一些与圆有关的经济问 题，如圆形区域的经济发展、圆形市场的竞争等 。
05
圆的方程与其他知识点的联系
圆的方程与直线方程的关系
直线与圆的位置关系
通过比较圆心到直线的距离与半径的大小关系，可以确定直线与 圆是相切、相交还是相离。
切线方程
当直线与圆相切时，切线的斜率与圆心和切点的连线垂直，由此 可以求出切线的方程。
根据两点间距离公式，有 $OP = sqrt{(x - a)^{2} + (y
- b)^{2}}$。
将 $OP = r$ 代入上式，得到 $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} =
r^{2}$。
方程中参数的意义
$a, b$
01
圆心坐标，表示圆心的位置。
圆的方程可以用来求解与圆有关的切线问题，如切线方程、切点坐 标等。
圆的方程在物理问题中的应用
描述圆形运动轨迹
在物理学中，圆的方程可以用来描述物体做圆周运动时的轨迹。
计算圆形运动的物理量
利用圆的方程，可以计算物体做圆周运动时的线速度、角速度、向 心加速度等物理量。
解决与圆有关的物理问题
切线与半径垂直
切线垂直于经过切点的 半径。
切线长定理
从圆外一点引圆的两条 切线，它们的切线长相
等。
04
圆的方程在实际问题中的应用
圆的方程在几何问题中的应用
确定圆的位置和大小
通过圆的方程，可以准确地确定圆心的坐标和半径的长度，从而 确定圆的位置和大小。
判断点与圆的位置关系
利用圆的方程，可以判断一个点是否在圆上、圆内或圆外，从而解 决相关的几何问题。
3
解决与圆有关的经济问题
圆的方程还可以用来解决一些与圆有关的经济问 题，如圆形区域的经济发展、圆形市场的竞争等 。
05
圆的方程与其他知识点的联系
圆的方程与直线方程的关系
直线与圆的位置关系
通过比较圆心到直线的距离与半径的大小关系，可以确定直线与 圆是相切、相交还是相离。
切线方程
当直线与圆相切时，切线的斜率与圆心和切点的连线垂直，由此 可以求出切线的方程。
根据两点间距离公式，有 $OP = sqrt{(x - a)^{2} + (y
- b)^{2}}$。
将 $OP = r$ 代入上式，得到 $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} =
r^{2}$。
方程中参数的意义
$a, b$
01
圆心坐标，表示圆心的位置。
圆的标准方程 课件
【技法点拨】求圆的标准方程的两种方法 (1)几何法：根据题意直接求出圆心和半径,然后再写出圆的标 准方程. (2)待定系数法： ①设：根据题意,设所求圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2; ②列：根据已知条件,建立关于a,b,r的方程组; ③解：解方程组,求出a,b,r的值,并把它们代入所设的圆的标准 方程中,就得到所求的圆的标准方程.
［2 (3)］2 ［ 3 (3)］2 5, | ON | (2 5)2 (3 2)2 34＞5, | OQ | (2 4)2 (3 7)2 20＜5,
所以点M在圆上,点N在圆外,点Q在圆内.
【互动探究】题1中,若点在圆外,则a的取值范围又是什么? 【解析】若点在圆外,则(1-a)2+(1+a)2>4,解得a2>1,即a<-1 或a>1
【探究提升】 1.对圆的标准方程的理解 (1)圆的标准方程是由两点间的距离公式推导出来的,它是圆的 定义的直观反映,是代数与几何结合的完美体现. (2)由圆的标准方程可直接写出圆的圆心和半径,反之,已知圆 的圆心和半径可以写出圆的标准方程,这一点体现了圆的标准 方程的优越性.
2.圆的标准方程中参数a,b,r的作用 圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2中,有三个参数a,b,r,其中(a,b) 为圆心,r为半径.结合圆的定义可知,圆心(a,b)在确 定圆时起到定位作用,即影响圆的位置;而半径r在确定圆时起 到定形作用,即影响圆的大小.
3.几种常见特殊位置的圆的标准方程 (1)以原点为圆心,r为半径的圆的标准方程：x2+y2=r2. (2)圆心在x轴上,半径为r的圆的标准方程：(x-a)2+y2=r2. (3)圆心在y轴上,半径为r的圆的标准方程：x2+(y-b)2=r2. (4)圆心在x轴上且过原点的圆的标准方程： (x-a)2+y2=a2(a≠0). (5)圆心在y轴上且过原点的圆的标准方程： x2+(y-b)2=b2(b≠0).
必修2《圆的标准方程》1(人教版)PPT课件
极坐标方程与标准方程的关系
通过极坐标与直角坐标的转换公式 $x = rcostheta, y = rsintheta$， 可以将极坐标方程转换为标准方程。
标准方程 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ 可以通过配方转换为极坐标方 程。
极坐标方程的应用
描述圆的形状和大小。 解决与圆相关的几何问题，如求圆的面积、周长等。
圆的几何意义
01
02
03
04
圆是中心对称图形，对称中心 是圆心。
圆也是轴对称图形，任何经过 圆心的直线都是它的对称轴。
圆的周长与直径的比值是一个 常数，这个常数叫做圆周率π
。
圆的面积与半径的平方成正比 ，比例系数是π。
2023
PART 02
圆的标准方程
REPORTING
标准方程的形式
圆的标准方程为： $(x - a)^{2} + (y b)^{2} = r^{2}$
切线的定义
与圆有且仅有一个公共点 的直线。
切线的性质
切线与半径垂直，且切点 到圆心的距离等于半径长 。
切线的判定方法
若直线与圆有公共点，且 过该点的半径与直线垂直 ，则该直线为圆的切线。
2023
PART 06
圆的综合应用
REPORTING
圆与直线的位置关系
相离
直线与圆没有交点，即圆心到直 线的距离大于圆的半径。
$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$
标准方程的应用
用于判断点与圆的位置关系 用于求解与圆有关的轨迹问题
用于求解圆的切线方程 用于解决与圆相关的最值问题
2023
7.3.1圆的标准方程课件
题型三 四点共圆问题 【例3】 已知A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)，D(－1,2)，问这四点能 否在同一个圆上？为什么？
解 设经过A，B，C三点的圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. a2＋1－b2＝r2， 2 2 2 则2－a ＋1－b ＝r ， 3－a2＋4－b2＝r2， a＝1， 解此方程组，得b＝3， r2＝5. 所以，经过A，B，C三点的圆的标准方程是 (x－1)2＋(y－3)2＝5.
2－a2＋－3－b2＝r2， 2 2 2 由已知条件得－2－a ＋－5－b ＝r ， a－2b－3＝0， a2＋b2－4a＋6b＝r2－13， 2 2 2 即a ＋b ＋4a＋10b＝r －29， a－2b－3＝0， a＝－1， ∴b＝－2， r2＝10.
【训练2】 写出以点A(2，－3)为圆心，5为半径的圆的标准 方程，并判断点M(5，－7)，N(2，－1)与该圆的位置关系．
解 圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25. 因为|MA |＝ 2－52＋－3＋72＝5＝r， 所以点M在圆上． 因为|NA |＝ 2－22＋－3＋12＝2<r， 所以点N在圆内．
答案 (x－2)2＋(y＋1)2＝1
4．圆(x＋3)2＋(y－1)2＝25上的点到坐标原点的最大距离是 ________．
解析 设圆心C(－3,1)，过点O的直径与圆交于P、Q两点， 则点P到原点O的距离最大，|OP|＝|OC|＋|PC|＝ 10＋5.
答案
10＋5
名师点睛 1．确定圆的标准方程 圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2中，有三个参数a、b、r只 要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定了．因此，确定圆的方 程，需三个独立的条件，其中圆心是圆的定位条件，半径是圆的 定型(量)条件，影响圆的大小．
圆方程ppt课件ppt课件
03
圆的方程的应用
解析几何中的应用
确定点与圆的位置关系
通过圆的方程，可以判断一个点是否在圆上、 圆内或圆外。
求解圆的切线方程
利用圆的方程，可以求出过某一点的圆的切线 方程。
求解圆心和半径
根据圆的方程，可以求出圆心的坐标和半径的长度。
几何图形中的应用
判断两圆的位置关系
通过比较两个圆的方程，可以判断两圆是相交、相切还是相 离。
03
frac{E}{2})$ 和半径 $frac{sqrt{D^2 + E^2 - 4F}}{2}$。
圆的参数方程
圆的参数方程为 $x = a + rcostheta$，$y = b + rsintheta$，其中 $(a, b)$ 是圆 心坐标，$r$ 是半径，$theta$ 是 参数。
该方程通过参数 $theta$ 描述了 圆上任意一点的坐标。
$(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}$ ，其中$(h, k)$是圆心坐标，$r$是半 径。
不在同一直线上的三个点可以确定一 个圆，且该圆只经过这三个点。
圆的基本性质
1 2
圆的对称性
圆关于其直径对称，也关于经过其圆心的任何直 线对称。
圆的直径与半径的关系
直径是半径的两倍，半径是直径的一半。
该方程描述了一个以 $(h, k)$ 为圆心，$r$ 为
半径的圆。
当 $r = 0$ 时，方程描 述的是一个点 $(h, k)$。
圆的一般方程
01
圆的一般方程为 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$。
02
该方程可以表示任意一个圆，其中 $D, E, F$ 是常数。
选择必修 第二章 2.4.1 圆的标准方程 课件(共26张PPT)
究位置关系、距离
等问题
新知引入
类比直线方程的研究过程，如何研究圆的方程呢？
圆
平面直角坐标系
圆的方程
代数运算
利用圆的方程，研究
圆有关的位置关系、
几何度量等问题
新知探究
在平面直角坐标系中，如何确定一个圆？
如图，在平面直角坐标系中，⨀A的圆心A的坐标为(a,b)，半径为r，M(x,y)为
圆上任意一点,⨀A就是以下点的集合
多边形和圆是平面几何中的两类基本图形.建立直线的方程后，我们可以运
用它研究多边形这些“直线形”，解决边所在直线的平行或垂直、边与边的交
点以及点到线段所在直线的距离等问题.类似地，为了研究圆的有关性质，解决
与圆有关的问题，我们首先需要建立圆的方程.
我国的墨子云：圆，一中同长也.
意思：圆有一个圆心，圆心到圆周上各点的距离（即半径）都相等.
程①.于是
(5 − )2 +(1 − )2 = 2 ,
൞(7 − )2 +(−3 − )2 = 2 ,.
(2 − )2 +(−8 − )2 = 2
知新探究
【例2】△ABC的三个顶点分别是A(5,1)，B(7,-3)，C(2,-8)，
求△ABC的外接圆的标准方程.
解： 即
2 + 2 − 10 − 2 + 26 = 2 ,
心A间的距离为r，点M就在⨀A上.
这时，我们把上述方程称为圆心为A，半径为r的圆
的标准方程(standard equation of thecircle).
半径r
圆的几何要素: 圆心（a,b）
圆心在坐标原点，
半径为r的圆的标准
三个独立条件求a,b,r确定一个圆的方程.
等问题
新知引入
类比直线方程的研究过程，如何研究圆的方程呢？
圆
平面直角坐标系
圆的方程
代数运算
利用圆的方程，研究
圆有关的位置关系、
几何度量等问题
新知探究
在平面直角坐标系中，如何确定一个圆？
如图，在平面直角坐标系中，⨀A的圆心A的坐标为(a,b)，半径为r，M(x,y)为
圆上任意一点,⨀A就是以下点的集合
多边形和圆是平面几何中的两类基本图形.建立直线的方程后，我们可以运
用它研究多边形这些“直线形”，解决边所在直线的平行或垂直、边与边的交
点以及点到线段所在直线的距离等问题.类似地，为了研究圆的有关性质，解决
与圆有关的问题，我们首先需要建立圆的方程.
我国的墨子云：圆，一中同长也.
意思：圆有一个圆心，圆心到圆周上各点的距离（即半径）都相等.
程①.于是
(5 − )2 +(1 − )2 = 2 ,
൞(7 − )2 +(−3 − )2 = 2 ,.
(2 − )2 +(−8 − )2 = 2
知新探究
【例2】△ABC的三个顶点分别是A(5,1)，B(7,-3)，C(2,-8)，
求△ABC的外接圆的标准方程.
解： 即
2 + 2 − 10 − 2 + 26 = 2 ,
心A间的距离为r，点M就在⨀A上.
这时，我们把上述方程称为圆心为A，半径为r的圆
的标准方程(standard equation of thecircle).
半径r
圆的几何要素: 圆心（a,b）
圆心在坐标原点，
半径为r的圆的标准
三个独立条件求a,b,r确定一个圆的方程.
2-4-1圆的标准方程 课件(共28张PPT)
题型二 判断点与圆的位置关系
例 2 (1)已知圆心为点 C(－3，－4)，且圆经过原点，求该 圆的标准方程，并判断点 P1(－1，0)，P2(1，－1)，P3(3，－4)和 圆的位置关系．
【思路分析】 关键是找到点与圆心的距离和半径的关系．
【解析】 因为圆心是 C(－3，－4)，且圆经过原点， 所以圆的半径 r＝ （－3－0）2＋（－4－0）2＝5. 所以圆的标准方程为(x＋3)2＋(y＋4)2＝25. 因 为 （－1＋3）2＋（0＋4）2 ＝ 4＋16 ＝ 2 5 <5 ， 所 以 P1(－1，0)在圆内； 因为 （1＋3）2＋（－1＋4）2＝5，所以 P2(1，－1)在圆上； 因为 （3＋3）2＋（－4＋4）2＝6>5，所以 P3(3，－4)在圆 外．
(2)由已知得圆心坐标为 M(2，－1)，半径 r＝12|AB|＝1，
∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
(3)方法一：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
∴（ （2－－2a－）a2）＋2（＋－（3－－5b－）b2）＝2r＝2，r2， a－2b－3＝0，
即aa22－ ＋44aa＋ ＋bb22＋ ＋61b0＋ b＋132＝ 9＝r2r，2， ②
要点 3 几种特殊位置的圆的标准方程
条件
方程形式
(x－a)2＋(y－ 过原点，圆心(a，b)，半径 r＝ a2＋b2
b)2＝a2＋b2
圆心在原点，即 a＝0，b＝0，半径 为 r，r>0
x2＋y2＝r2
圆心在 x 轴上，即 b＝0，半径为 r， (x－a)2＋y2＝r2
r>0
圆心在 y 轴上，即 a＝0，半径为 r， x2＋(y－b)2＝r2
(2)已知 A(1，2)，B(0，1)，C(7，－6)，D(4，3)，判断这四 点是否在同一个圆上．
圆的标准方程 圆的一般方程 教学课件(共39张PPT)高中数学北师大版(2019)选择性必修第一册
(, )
r
由两点间的距离公式得
x
a
2
y b
2
r，
(, )
O
将上式两边平方得 x a
2
y b
2
r 2 .①
x
思考一下
以方程①的解为坐标点一定在圆 C 上吗？
设以方程①的任意解 x, y 为坐标的点记为点 Q ，
因为 x, y 是方程①的解，代入方程①可得： x a 2 y b 2 r 2
10
D +3E
20
4 D+2 E
F050ຫໍສະໝຸດ 5D 5EF0
解得 D
F
2, E
0
4, F
2
2
x
+
y
故所求圆的方程为
20 ，
2x
4y
20
0.
例 5：讨论方程 x +y
2
2
x 3
解： 将原方程组整理为 1 2 x2
当
2
y2 表示的是什么图形？
1 y2
2
0，
6x 9
1 时，方程（1）是一元一次方程 6x 9
思考交流
对于点 Px0 , y0 和圆 C : x a 2 y b 2 r 2 ，由圆的标准方程的概念，可知点 P
在圆 C 上的充要条件是 x0 a2 y0 b2 r 2 .
2
2
当点 P 不在圆 C 上时，一定有 x0 a y0 b r 2 ，此时，存在以下两种情况：
PC r
x0 a 2 y0 b2
r
x0 a y0 b r 2
圆的标准方程ppt课件
_____5______．
解析：圆 C : x2 y2 25 的圆心为C(0,0) ，半径r = 5 ， 因为 AC (8 0)2 (6 0)2 10 5 ，所以点 A 在圆外， 所以 AP 的最小值为 AC r 10 5 5 ，故答案为：5.
总结一下
圆的标准方程
6.已知 A2,2、 B2,6 ，则以 AB 为直径的圆的标准方程为_x_2____.y4 2 8
解析：线段 AB 的中点坐标为0, 4 ， AB 2 22 2 62 4 2 ，
所以，所求圆的半径为 2 2 ，故所求圆的标准方程为 x2 y 42 8 .
7.已知点 A(8, 6) 与圆C : x2 y2 25 ，P 是圆 C 上任意一点，则 AP 的最小值是
求圆的标准方程的两种方法
1.待定系数法.先设圆的标准方法 x a 2 y b 2 r2 ，再根据条件列出关于 a， b，r 的三个独立方程，通过解方程组求出 a，b，r 的值，从而得到圆的标准方程， 如例题 2 的解法.这是一种代数解法. 2.直接求解法.先根据题目条件求出圆心和半径，直接写出圆的标准方程，如例 3 的解法，这种解法往往需要圆的几何性质.
例 3 已知圆心为 C 的圆经过 A(1，1) ，B(2 ，2) 两点，且圆心 C 在直线l : x y 1 0 上， 求此圆的标准方程.
分析：设圆心 C 的坐标为 a,b .由已知条件可知， CA CB ，且a b 1 0 ， 由此可以求出圆心坐标和坐标.
解：解法1：
设圆心 C 的坐标为 (a ，b) . 因为圆心 C 在直线 l : x y 1 0 上，所以 a b 1 0 .① 因为 A，B 是圆上两点，所以| CA| | CB | . 根据两点间距离公式，有 (a 1)2 (b 1)2 (a 2)2 (b 2)2 ， 即 a 3b 3 0 .② 由①②可得 a 3，b 2 . 所以圆心 C 的坐标是 (3， 2) . 圆的半径 r | AC | (1 3)2 (1 2)2 5 .
解析：圆 C : x2 y2 25 的圆心为C(0,0) ，半径r = 5 ， 因为 AC (8 0)2 (6 0)2 10 5 ，所以点 A 在圆外， 所以 AP 的最小值为 AC r 10 5 5 ，故答案为：5.
总结一下
圆的标准方程
6.已知 A2,2、 B2,6 ，则以 AB 为直径的圆的标准方程为_x_2____.y4 2 8
解析：线段 AB 的中点坐标为0, 4 ， AB 2 22 2 62 4 2 ，
所以，所求圆的半径为 2 2 ，故所求圆的标准方程为 x2 y 42 8 .
7.已知点 A(8, 6) 与圆C : x2 y2 25 ，P 是圆 C 上任意一点，则 AP 的最小值是
求圆的标准方程的两种方法
1.待定系数法.先设圆的标准方法 x a 2 y b 2 r2 ，再根据条件列出关于 a， b，r 的三个独立方程，通过解方程组求出 a，b，r 的值，从而得到圆的标准方程， 如例题 2 的解法.这是一种代数解法. 2.直接求解法.先根据题目条件求出圆心和半径，直接写出圆的标准方程，如例 3 的解法，这种解法往往需要圆的几何性质.
例 3 已知圆心为 C 的圆经过 A(1，1) ，B(2 ，2) 两点，且圆心 C 在直线l : x y 1 0 上， 求此圆的标准方程.
分析：设圆心 C 的坐标为 a,b .由已知条件可知， CA CB ，且a b 1 0 ， 由此可以求出圆心坐标和坐标.
解：解法1：
设圆心 C 的坐标为 (a ，b) . 因为圆心 C 在直线 l : x y 1 0 上，所以 a b 1 0 .① 因为 A，B 是圆上两点，所以| CA| | CB | . 根据两点间距离公式，有 (a 1)2 (b 1)2 (a 2)2 (b 2)2 ， 即 a 3b 3 0 .② 由①②可得 a 3，b 2 . 所以圆心 C 的坐标是 (3， 2) . 圆的半径 r | AC | (1 3)2 (1 2)2 5 .
圆的标准方程ppt课件
通过配方，可以将其 转化为标准形式，进 而确定圆心和半径。
一般形式下圆的方程 为 $x^2+y^2+Dx+Ey +F=0$，其中 $D^2+E^2-4F>0$。
拓展延伸
与直线方程联立，可以求解交点。
极坐标形式下圆的方程及其求解 方法
极坐标形式下圆的方程为 $rho=a(1+costheta)$或 $rho=a(1+sintheta)$，其中
圆的面积
S = πr²。
弧长与扇形面积计算
ห้องสมุดไป่ตู้弧长公式
l = θ/360° × 2πr，其中θ 为圆心角的度数。
扇形面积公式
S = θ/360° × πr²，其中θ 为圆心角的度数。
弓形面积计算
弓形面积 = 扇形面积 - 三 角形面积，其中三角形面 积可通过底和高计算得出。
02 圆的标准方程及其推导
数学建模竞赛
在数学建模竞赛中，圆的方程常常作为数学模型的基础，用于解决 各种实际问题，如城市规划、交通流量分析等。
06 总结回顾与拓展延伸
总结回顾本次课程重点内容
01
圆的标准方程的定义和形式
02
圆心和半径的确定方法
03
圆的方程与直线方程联立求解交点
04
圆的方程在实际问题中的应用
拓展延伸
一般形式下圆的方程 及其求解方法
圆的要素
圆心、半径。
03
圆的表示方法
一般用圆心和半径表示，如圆O（r）。
圆心、半径与直径
01
02
03
圆心
圆的中心，用字母O表示。
半径
连接圆心和圆上任意一点 的线段，用字母r表示。
2.4.2圆的一般方程课件(人教版)
足的关系式．轨迹是指点在运动变化过程中
形成的图形、在解析几何中，我们常常把图
形看作点的轨迹(集合).
分析:如图，点A运动引起点M运动，而点
A在已知圆上运动，点A的坐标满足方程
+ 1 2 + 2 = 4.建立点M与点A坐标之间的
关系，就可以利用点A的坐标所满足的关系式
得到点M的坐标满足的关系式，求出点M的轨
2
2
(3)当D2 + E2 − 4F < 0时，方程(2)没有实数解,它不表示任何图形.
概念生成
因此，当2 + 2 − 4 > 0时，方程x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0表示一个圆.
我们把方程x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0叫做圆的一般方程.
2
2
解:设圆的方程是 2 + 2 + + + = 0 ①.
因为O，M1，M2三点都在圆上，所以它们的坐标都是方程①的解．把
它们的坐标依次代入方程①，得到关于D，E，F的一个三元一次方程组
=0
= −8
ቐ + + + 2 = 0 ，解这个方程组，得ቐ = 6 ，
4 + 2 + + 20 = 0
圆的标准方程: (x-a) +(y-b) =r2
圆的一般方程与标准方程的关系：
D
E
1
2
2
(1)a= ，b= ，r=
D E 4F
2
2
2
(2)标准方程易于看出圆心与半径,
(3)一般方程突出形式上的特点：
形成的图形、在解析几何中，我们常常把图
形看作点的轨迹(集合).
分析:如图，点A运动引起点M运动，而点
A在已知圆上运动，点A的坐标满足方程
+ 1 2 + 2 = 4.建立点M与点A坐标之间的
关系，就可以利用点A的坐标所满足的关系式
得到点M的坐标满足的关系式，求出点M的轨
2
2
(3)当D2 + E2 − 4F < 0时，方程(2)没有实数解,它不表示任何图形.
概念生成
因此，当2 + 2 − 4 > 0时，方程x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0表示一个圆.
我们把方程x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0叫做圆的一般方程.
2
2
解:设圆的方程是 2 + 2 + + + = 0 ①.
因为O，M1，M2三点都在圆上，所以它们的坐标都是方程①的解．把
它们的坐标依次代入方程①，得到关于D，E，F的一个三元一次方程组
=0
= −8
ቐ + + + 2 = 0 ，解这个方程组，得ቐ = 6 ，
4 + 2 + + 20 = 0
圆的标准方程: (x-a) +(y-b) =r2
圆的一般方程与标准方程的关系：
D
E
1
2
2
(1)a= ，b= ，r=
D E 4F
2
2
2
(2)标准方程易于看出圆心与半径,
(3)一般方程突出形式上的特点：
2.4.1圆的标准方程课件共23张PPT
上、圆内,还是圆外.
解:由已知得，圆心A的位置为线段P1P2的中 6) ,
P1 P2
利用两点间距离公式得 r =
=
2
4 - 6 + 9 - 3
圆的标准方程为: (x-5)2+(y-6) 2=10.
2
2
2
= 10.
2.已知P 1(4, 9) , P 2(6, 3)两点,求以线段P 1P 2为直径
-8) , 求△ABC的外接圆的标准方程.
解:线段AB的垂直平分线l1的方程是 x - 2 y - 8 = 0
同理, 线段AC的垂直平分线l2的方程是 x + 3 y + 7 = 0
x -2y-8 = 0
圆心的坐标就是方程组
的解 .
x +3y +7 = 0
x = 2,
所以, 圆心C的坐标(2 , -3) , 圆的半径
分析:设圆心C的坐标为(a, b) . 由已知条件可知 |CA|=
|CB|, 且a-b+1=0 . 由此可求出圆心坐标和半径 .
又因为线段AB是圆的一条弦 , 根据平面几何知识, AB
的中点与圆心C的连线垂直于AB , 由此可得到另一种解法.
解法1:设圆心C的坐标为(a, b) . 因为圆心C在直线 l :
分析: 不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆 ,
三角形有唯一的外接圆 . 显然已知的三个点不在同一条直
线上 . 只要确定了a, b, r , 圆的标准方程就确定了.
例2 △ABC的三个顶点分别是A(5, 1) , B(7, -3) , C(2,
-8) , 求△ABC的外接圆的标准方程.
2
2
2
解: 设所求的方程是 x - a + y - b = r
解:由已知得，圆心A的位置为线段P1P2的中 6) ,
P1 P2
利用两点间距离公式得 r =
=
2
4 - 6 + 9 - 3
圆的标准方程为: (x-5)2+(y-6) 2=10.
2
2
2
= 10.
2.已知P 1(4, 9) , P 2(6, 3)两点,求以线段P 1P 2为直径
-8) , 求△ABC的外接圆的标准方程.
解:线段AB的垂直平分线l1的方程是 x - 2 y - 8 = 0
同理, 线段AC的垂直平分线l2的方程是 x + 3 y + 7 = 0
x -2y-8 = 0
圆心的坐标就是方程组
的解 .
x +3y +7 = 0
x = 2,
所以, 圆心C的坐标(2 , -3) , 圆的半径
分析:设圆心C的坐标为(a, b) . 由已知条件可知 |CA|=
|CB|, 且a-b+1=0 . 由此可求出圆心坐标和半径 .
又因为线段AB是圆的一条弦 , 根据平面几何知识, AB
的中点与圆心C的连线垂直于AB , 由此可得到另一种解法.
解法1:设圆心C的坐标为(a, b) . 因为圆心C在直线 l :
分析: 不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆 ,
三角形有唯一的外接圆 . 显然已知的三个点不在同一条直
线上 . 只要确定了a, b, r , 圆的标准方程就确定了.
例2 △ABC的三个顶点分别是A(5, 1) , B(7, -3) , C(2,
-8) , 求△ABC的外接圆的标准方程.
2
2
2
解: 设所求的方程是 x - a + y - b = r
圆的标准方程公开课一等奖课件
例题1
已知圆O的半径为5cm，弦AB长为8cm，P是弦AB所对的优弧上的一个动点，则PC+PD的最 小值为_______．
分析
根据垂径定理和勾股定理求出圆心O到弦AB的距离，再利用切线长定理求出PC+PD的最小值。
解答
过点O作OE⊥AB于点E，连接OA，则AE=BE=1/2AB=4cm。在Rt△AOE中，OA=5cm， AE=4cm，根据勾股定理得OE=3cm。因为P是优弧上的一个动点，所以当PC和PD为切线时， PC+PD的值最小。根据切线长定理得PC=PD，所以PC+PD=2OE=6cm。故答案为6cm。
典型例题分析与解答
01
例题1
已知圆的标准方程为 $(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 9$，求圆心坐标
和半径。
03
例题2
将一般方程 $x^{2} + y^{2} - 4x + 6y + 12 = 0$ 化为标准方程，并指
出圆心坐标和半径。
02
解析
直接对比标准方程形式，可得圆心 坐标为 $(2, -1)$，半径 $r = sqrt{9} = 3$。
圆的标准方程公开课一等奖课件
contents
目录
• 圆的基本概念与性质 • 圆的标准方程及其推导 • 直线与圆的位置关系判断 • 圆的对称性与中心对称性探究 • 复杂图形中涉及圆的问题解决方法 • 总结回顾与拓展延伸
01
圆的基本概念与性质
圆的定义及基本要素
圆的定义：平面上所有与定点 （圆心）距离等于定长（半径） 的点的集合。
04
圆的对称性与中心对称性 探究
圆的对称性表现形式
图形对称
已知圆O的半径为5cm，弦AB长为8cm，P是弦AB所对的优弧上的一个动点，则PC+PD的最 小值为_______．
分析
根据垂径定理和勾股定理求出圆心O到弦AB的距离，再利用切线长定理求出PC+PD的最小值。
解答
过点O作OE⊥AB于点E，连接OA，则AE=BE=1/2AB=4cm。在Rt△AOE中，OA=5cm， AE=4cm，根据勾股定理得OE=3cm。因为P是优弧上的一个动点，所以当PC和PD为切线时， PC+PD的值最小。根据切线长定理得PC=PD，所以PC+PD=2OE=6cm。故答案为6cm。
典型例题分析与解答
01
例题1
已知圆的标准方程为 $(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 9$，求圆心坐标
和半径。
03
例题2
将一般方程 $x^{2} + y^{2} - 4x + 6y + 12 = 0$ 化为标准方程，并指
出圆心坐标和半径。
02
解析
直接对比标准方程形式，可得圆心 坐标为 $(2, -1)$，半径 $r = sqrt{9} = 3$。
圆的标准方程公开课一等奖课件
contents
目录
• 圆的基本概念与性质 • 圆的标准方程及其推导 • 直线与圆的位置关系判断 • 圆的对称性与中心对称性探究 • 复杂图形中涉及圆的问题解决方法 • 总结回顾与拓展延伸
01
圆的基本概念与性质
圆的定义及基本要素
圆的定义：平面上所有与定点 （圆心）距离等于定长（半径） 的点的集合。
04
圆的对称性与中心对称性 探究
圆的对称性表现形式
图形对称
人教A版高中数学必修二4.1.1 圆的标准方程 课件(共16张PPT)
设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2。
六.小结
1.圆心是 A(a,b)，半径为r的圆A的标准方程是(x–a)2+(y–b )2=r2 2.点M(x0，y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系
几何法 先求出点M与圆心A的距离d
（1）若点M在圆A上，则d=r; （2）若点M在圆A内，则 d<r; （3）若点M在圆A外，则 d>r.
数与形,本是相倚依 焉能分作两边飞 数无形时少直觉 形少数时难入微 数形结合百般好 隔离分家万事休 切莫忘,几何代数统一体 永远联系莫分离
—— 华罗庚
O
平面直角坐标系
数
直线方程 1.点斜式方程 ������ − ������������ = ������(������ − ������������)
r2
③
展开平方后，
(x–2)2+(y+3)2=y25.
① ②得:a 2b 8 0
A(5,1)
③-②得:a b 1 0
几
解得a=2,b=-3,r=5.
代
何
O M
(6,-1) x B(7,-3)
∴ △ABC的外接圆方程为
数
(x–2)2+(y+3)2=25.
法
C(2,-8)
kAB 2
(1 a)2 (1 b)2 r 2
(2 a)2 (2 b)2 r 2
ab1 0
a 3 解得 b 2
r 5
∴圆C方程是(x-3)2+(y-2)2=25.
代
何
O
x
数
法
C
六.小结
1.圆心是 A(a,b)，半径为r的圆A的标准方程是(x–a)2+(y–b )2=r2 2.点M(x0，y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系
几何法 先求出点M与圆心A的距离d
（1）若点M在圆A上，则d=r; （2）若点M在圆A内，则 d<r; （3）若点M在圆A外，则 d>r.
数与形,本是相倚依 焉能分作两边飞 数无形时少直觉 形少数时难入微 数形结合百般好 隔离分家万事休 切莫忘,几何代数统一体 永远联系莫分离
—— 华罗庚
O
平面直角坐标系
数
直线方程 1.点斜式方程 ������ − ������������ = ������(������ − ������������)
r2
③
展开平方后，
(x–2)2+(y+3)2=y25.
① ②得:a 2b 8 0
A(5,1)
③-②得:a b 1 0
几
解得a=2,b=-3,r=5.
代
何
O M
(6,-1) x B(7,-3)
∴ △ABC的外接圆方程为
数
(x–2)2+(y+3)2=25.
法
C(2,-8)
kAB 2
(1 a)2 (1 b)2 r 2
(2 a)2 (2 b)2 r 2
ab1 0
a 3 解得 b 2
r 5
∴圆C方程是(x-3)2+(y-2)2=25.
代
何
O
x
数
法
C
圆的标准方程精品课件
3
证明
设P和Q是圆上关于任意直线l对称的两点，则 AP=BQ，且PO=QO。由于PQ与l垂直，所以 △APO≌△BQA，从而证明了P和Q关于l对称。
06 圆的实际应用
生活中的圆的应用
交通工具
车轮、自行车轮胎、火车 铁轨等都采用了圆形的结 构，使得运动更加平稳和 高效。
建筑学
建筑物的窗户、门洞、柱 基等常采用圆形或圆弧形， 不仅美观大方，而且符合 结构力学原理。
圆的弦长定理
总结词
弦长与半径的关系
详细描述
在圆中，通过圆心的弦被平分，并且弦长等于两个半径之和。如果弦不经过圆心，则弦长小于两个半径之和。这 个定理用于计算弦的长度以及与半径之间的关系。
04 圆的面积与周长
圆的面积计算公式
圆的面积计算公式
$S = pi r^{2}$，其中$S$表示圆的面积，$r$表示圆的半径。
圆的标准方程的图形表示
以圆心为坐标原点，以半径为长度单 位，在平面直角坐标系中画出的圆形。
圆的标准方程推导
推导过程
通过将圆上任一点的坐标表示为$(x, y)$，利用点到圆心 的距离等于半径的性质，将圆的方程转化为标准形式。
推导步骤
设圆上任一点$P(x, y)$，圆心$O(h, k)$，半径为$r$，则 $OP = r$，即$sqrt{(x - h)^{2} + (y - k)^{2}} = r$，平 方两边得到标准方程。
自然界
自然界中许多物体呈现圆 形或类圆形，如星球、花 朵、叶子等。
02 圆的标准方程
圆的标准方程形式
圆的标准方程
圆的标准方程的应用
$(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}$， 其中$(h, k)$是圆心坐标，$r$是半径。
圆的标准方程ppt课件
M3 (3,3)是否在这个圆上。(课本85页）
解：圆心为A（2，-3），半径为5的圆的标准方程是
y
M3
（ − ) + ( + ) =
把点M1（5，-7）代入圆得
把点M2（-2，-1）代入圆得
把点M3（3，3）代入圆得
（5-2)2+(-7+3)2=25，M1在圆上
（-2-2)2+(-1+3)2=20<25，M2在圆内
课堂小结
回顾两点间的距离公式
B（x2 ,y2）
定点到定点的距离
A（x1 ,y1）
知识回顾
知识探究
例题剖析
课堂小结
巩固练习
圆心（0，0）
圆心（0，0）
圆心（a，b）
半径 1
半径 r
半径 r
1
p(x ,y)
r
p(x ,y)
(a,b)
( − ) +( − ) =
( − ) +( − ) =
y
O
圆的标准方程的特点
1、明确给出了圆心坐标和半径；2、确定圆的
标准方程必须具备三个独立条件，即a、b、r。
3、是关于x,y的二元二次方程。
M（x,y)
A
（a,b)
x
知识回顾
例题剖析
知识探究
巩固练习
课堂小结
例1、 求圆心A（2,-3），半径为5的圆的标准方程，并判断点M1（5，-7），M2 (-2,-1)，
P={M| |MA|=r},
y
根据两点间的距离公式，点M的坐标（x,y)满足的条件可以表示为
（ − ） + ( − )
= r
两边平方，得
解：圆心为A（2，-3），半径为5的圆的标准方程是
y
M3
（ − ) + ( + ) =
把点M1（5，-7）代入圆得
把点M2（-2，-1）代入圆得
把点M3（3，3）代入圆得
（5-2)2+(-7+3)2=25，M1在圆上
（-2-2)2+(-1+3)2=20<25，M2在圆内
课堂小结
回顾两点间的距离公式
B（x2 ,y2）
定点到定点的距离
A（x1 ,y1）
知识回顾
知识探究
例题剖析
课堂小结
巩固练习
圆心（0，0）
圆心（0，0）
圆心（a，b）
半径 1
半径 r
半径 r
1
p(x ,y)
r
p(x ,y)
(a,b)
( − ) +( − ) =
( − ) +( − ) =
y
O
圆的标准方程的特点
1、明确给出了圆心坐标和半径；2、确定圆的
标准方程必须具备三个独立条件，即a、b、r。
3、是关于x,y的二元二次方程。
M（x,y)
A
（a,b)
x
知识回顾
例题剖析
知识探究
巩固练习
课堂小结
例1、 求圆心A（2,-3），半径为5的圆的标准方程，并判断点M1（5，-7），M2 (-2,-1)，
P={M| |MA|=r},
y
根据两点间的距离公式，点M的坐标（x,y)满足的条件可以表示为
（ − ） + ( − )
= r
两边平方，得
圆的标准方程 课件
(1)圆心在原点,半径是3.
x2+y2=9
(x-3)2+(y-4)2=5
练习2：写出下列圆的方程
(2)圆心在(3,4),半径是
A
O
A
O
A
O
思考1:在平面几何中，点与圆有哪几种位置关系？
思考2:在平面几何中，如何确定点与圆的位置关系？
Oห้องสมุดไป่ตู้<r
OA>r
OA=r
思考3:在直角坐标系中，已知点M(x0，y0)和圆C： ，如何判断点M在圆外、圆上、圆内？
平面内到定点距离等于定长的点的集合叫做圆。定点叫做圆心，定长叫做半径。
一、圆的定义:
已知圆心C(a,b),半径等于r,求圆的方程。
设M(x , y)为圆上任意点
解:
P = { M | |MC| = r }
x
y
O
C
M(x,y)
三个独立条件a、b、r确定一个圆的方程.
x
y
O
C
M(x,y)
圆心C(a,b),半径r
因此线段AB的垂直平分线 的方程是
即
所以，圆心为C的圆的标准方程是
例3:△ABC的三个顶点的坐标分别是 A(5, 1)，B(7, －3)，C(2, －8)，求它 的外接圆的方程.
解：设所求圆的方程为：
因为A(5,1),B(7,-3),C(2,8)都在圆上
所求圆的方程为
待定系数法
圆心：两条弦的中垂线的交点
半径：圆心到圆上一点
x
y
O
E
A(5,1)
B(7,-3)
C(2,-8)
几何方法
练习:△AOB的三个顶点的坐标 分别是A(4, 0)，B(0, 3)，O(0, 0)， 求它的外接圆的方程.
x2+y2=9
(x-3)2+(y-4)2=5
练习2：写出下列圆的方程
(2)圆心在(3,4),半径是
A
O
A
O
A
O
思考1:在平面几何中，点与圆有哪几种位置关系？
思考2:在平面几何中，如何确定点与圆的位置关系？
Oห้องสมุดไป่ตู้<r
OA>r
OA=r
思考3:在直角坐标系中，已知点M(x0，y0)和圆C： ，如何判断点M在圆外、圆上、圆内？
平面内到定点距离等于定长的点的集合叫做圆。定点叫做圆心，定长叫做半径。
一、圆的定义:
已知圆心C(a,b),半径等于r,求圆的方程。
设M(x , y)为圆上任意点
解:
P = { M | |MC| = r }
x
y
O
C
M(x,y)
三个独立条件a、b、r确定一个圆的方程.
x
y
O
C
M(x,y)
圆心C(a,b),半径r
因此线段AB的垂直平分线 的方程是
即
所以，圆心为C的圆的标准方程是
例3:△ABC的三个顶点的坐标分别是 A(5, 1)，B(7, －3)，C(2, －8)，求它 的外接圆的方程.
解：设所求圆的方程为：
因为A(5,1),B(7,-3),C(2,8)都在圆上
所求圆的方程为
待定系数法
圆心：两条弦的中垂线的交点
半径：圆心到圆上一点
x
y
O
E
A(5,1)
B(7,-3)
C(2,-8)
几何方法
练习:△AOB的三个顶点的坐标 分别是A(4, 0)，B(0, 3)，O(0, 0)， 求它的外接圆的方程.
圆的标准方程ppt课件完整版x
圆的基本要素
圆心、半径、直径、弧、弦等。
圆心、半径与直径
01
02
03
圆心
圆的中心，用字母O表示 。
半径
连接圆心和圆上任意一点 的线段，用字母r表示。
直径
通过圆心且两端点都在圆 上的线段，用字母d表示 ，且d=2r。
圆的周长和面积公式
圆的周长公式
C=2πr，其中π为圆周率，约等于3.14159。
圆的面积公式
02
其中，$(a, b)$ 为圆心坐标，$r$ 为圆的半径。
标准方程中各参数意义
$a$ 和 $b$ 分别表 示圆心的横坐标和纵 坐标。
$(x - a)^{2}$ 和 $(y - b)^{2}$ 分别表示 点 $(x, y)$ 到圆心 $(a, b)$ 的水平和垂 直距离的平方。
$r$ 表示圆的半径， 即从圆心到圆上任一 点的距离。
分析物体的受力情况
在某些物理问题中，可以通过分析物体运动轨迹的形状（如圆形 或椭圆形）来推断物体所受的力。
其他领域应用举例
工程测量
在工程测量中，经常需要确定一 些圆形结构（如管道、井盖等） 的位置和大小，这时可以利用圆 的方程来进行精确测量和计算。
经济学
在经济学中，有时会用圆形来表示 市场供需平衡的状态，通过圆的方 程可以分析市场价格的波动和变化 趋势。
3. 将以上两部分相加，并加 上常数项 12，得到 $(x 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 1$ 。
04
05
4. 从中可以看出，圆心坐标 为 $(2, -3)$，半径 $r = 1$
。
03
圆的图像与性质分析
圆心位置对图像影响
圆心决定圆的位置
圆心、半径、直径、弧、弦等。
圆心、半径与直径
01
02
03
圆心
圆的中心，用字母O表示 。
半径
连接圆心和圆上任意一点 的线段，用字母r表示。
直径
通过圆心且两端点都在圆 上的线段，用字母d表示 ，且d=2r。
圆的周长和面积公式
圆的周长公式
C=2πr，其中π为圆周率，约等于3.14159。
圆的面积公式
02
其中，$(a, b)$ 为圆心坐标，$r$ 为圆的半径。
标准方程中各参数意义
$a$ 和 $b$ 分别表 示圆心的横坐标和纵 坐标。
$(x - a)^{2}$ 和 $(y - b)^{2}$ 分别表示 点 $(x, y)$ 到圆心 $(a, b)$ 的水平和垂 直距离的平方。
$r$ 表示圆的半径， 即从圆心到圆上任一 点的距离。
分析物体的受力情况
在某些物理问题中，可以通过分析物体运动轨迹的形状（如圆形 或椭圆形）来推断物体所受的力。
其他领域应用举例
工程测量
在工程测量中，经常需要确定一 些圆形结构（如管道、井盖等） 的位置和大小，这时可以利用圆 的方程来进行精确测量和计算。
经济学
在经济学中，有时会用圆形来表示 市场供需平衡的状态，通过圆的方 程可以分析市场价格的波动和变化 趋势。
3. 将以上两部分相加，并加 上常数项 12，得到 $(x 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 1$ 。
04
05
4. 从中可以看出，圆心坐标 为 $(2, -3)$，半径 $r = 1$
。
03
圆的图像与性质分析
圆心位置对图像影响
圆心决定圆的位置
圆的方程ppt课件
圆的方程
圆的标准方 程
一、知识梳理 1. 圆的方程
标准方程
走进教材
(x—a)²+(y—b)²=r²(r>0)
圆心 半径为r
一般方程
x²+y²+Dx+Ey+F=0
条 件 ：D²+E²—4F>0 圆心：
半径：
2.点与圆的位置关系 点M(x₀,y₀) 与圆(x—a)²+(y-b)²=r²的位置关系. (1)若M(x₀,yo) 在圆外，则(x₀—a)²+(y₀—b)²> r². (2)若M(x₀,yo) 在圆上，则(x₀—a)²+(yo—b)²= r². (3)若M(xo,yo)在圆内，则(x₀—a)²+(y₀—b)²<
解得k=±√3
所 的最大值为 √3
图1
(2)y-x 可看作是直线y=x+b 在y轴上的截距，当直线y=x+b 与圆相切时，
纵截距b取得最大值或最小值，此时
解得b=-2±√6
所以y-x 的最大值-2+ √6,最小值-2- √6
(3)x²+y² 表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知， 在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值 又圆心与原点的距离为(2-0)²+(0-0)²=2
答案：C
求圆的方程的两种方法 (1)直接法
根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而得方程。 (2)待定系数法
①若已知条件与圆(a,b) 和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出 关于a,b,r 的方程组，从而求得圆的方程。 ②已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出 关于D,E,F 的程组，得圆的方程。
圆的标准方 程
一、知识梳理 1. 圆的方程
标准方程
走进教材
(x—a)²+(y—b)²=r²(r>0)
圆心 半径为r
一般方程
x²+y²+Dx+Ey+F=0
条 件 ：D²+E²—4F>0 圆心：
半径：
2.点与圆的位置关系 点M(x₀,y₀) 与圆(x—a)²+(y-b)²=r²的位置关系. (1)若M(x₀,yo) 在圆外，则(x₀—a)²+(y₀—b)²> r². (2)若M(x₀,yo) 在圆上，则(x₀—a)²+(yo—b)²= r². (3)若M(xo,yo)在圆内，则(x₀—a)²+(y₀—b)²<
解得k=±√3
所 的最大值为 √3
图1
(2)y-x 可看作是直线y=x+b 在y轴上的截距，当直线y=x+b 与圆相切时，
纵截距b取得最大值或最小值，此时
解得b=-2±√6
所以y-x 的最大值-2+ √6,最小值-2- √6
(3)x²+y² 表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知， 在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值 又圆心与原点的距离为(2-0)²+(0-0)²=2
答案：C
求圆的方程的两种方法 (1)直接法
根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而得方程。 (2)待定系数法
①若已知条件与圆(a,b) 和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出 关于a,b,r 的方程组，从而求得圆的方程。 ②已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出 关于D,E,F 的程组，得圆的方程。
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解：设所求圆的方程为：
( x a) ( y b) r
2 2
2
待定系数 法
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
(5 a) (1 b) r 2 2 2 (7 a) (3 b) r (2 a) 2 (8 b) 2 r 2
2 0
2 0
2 2 x0 y0 r 2 ,
所求圆的切线方程为 x0 x y0 y r
2
如图所示，一座圆拱桥，当水面在l位 置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面 下降1米后，水面宽多少米？
例3
【分析】
建立坐标系求解．
【解】以圆拱桥拱顶为坐标原点，以过拱顶的 竖直直线为y轴，建立直角坐标系，如图所 示．
练习
1.点(2a, 1 a)在圆x2 + y2 = 4的内部,求实数 a 的 取值范围. 2.根据下列条件，求圆的方程： （1）求过两点A(0,4)和B(4,6),且圆心在直线xy+1=0上的圆的标准方程。 （3）求以C(1,3)为圆心，且和直线3x-4y-7=0 相切的直线的方程。
思考
例 已知圆的方程是x2 + y2 = r2，求经过圆上一 点 M ( x0 , y0 )的切线的方程。
【点评】 本题是用解析法解决实际问题．
小结
1.圆的标准方程
( x a) ( y b) r
2 2
2
（圆心C(a,b),半径r）
2.点与圆的位置关系 3.求圆的标准方程的方法： ①待定系数法 ②几何法
2. 说出下列方程所表示的圆的圆心坐标和半径：
(1) (x + 7)2 + ( y 4)2 = 36
(2) x2 + y2 4x + 10y + 28 = 0
(3) (x a)2 + y 2 = m2
特殊位置的圆的方程:
x2+ (y b)2 = r2 (r≠0) 圆过原点: (x a)2 + (y-b)2 = a2+b2 (a2+b2≠0) (x a)2 + y2 = a2 (a≠0) 圆心在x轴上且过原点: 圆心在y轴上且过原点: x 2 + (y-b)2 = b2 (b≠0) 圆与x轴相切: (x a)2 + (y-b)2 = b2 (b≠0) 圆与y轴相切: (x a)2 + (y-b)2 = a2 (a≠0)
圆心在原点: 圆心在x轴上: 圆心在y轴上:
x2 + y2 = r2 (r≠0)
(x a)2 + y2 = r2 (r≠0)
典型例题
例1 写出圆心为 A(2,3) ，半径长等于5的圆的方 程，并判断点 M 1 (5,7) ， M 2 ( 5,1)是否在这个圆上。
解：圆心是 A(2,3) ，半径长等于5的圆的标准方 程是：
2 2 2
a 2, b 3, r 5.
所求圆的方程为
( x 2)2 ( y 3)2 25
例3 己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且圆心在 直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方程.
解2:设圆C的方程为 ( x a) ( y b) r ,
∴所求圆的方程为(x－4)2＋(y－5)2＝10.
知识探究二：点与圆的位置关系 探究：在平面几何中，如何确定点与圆的位置关 M 系？ M O
点在圆内
M
O 点在圆上
O 点在圆外
|OM|<r
(x0-a)2+(y0-b)2>r2;
|OM|=r
(x0-a)2+(y0-b)2=r2
|
知识点一：圆的标准方程 y
标准方程
M(x,y)
( x a) ( y b) r
2 2
2
O
C
x
圆心C(a,b),半径r 特别地,若圆心为O（0，0），则圆的方程为：
x2 y 2 r 2
应用举例 1.说出下列圆的方程： (1)圆心在点C(3, -4), 半径为7. (2) 经过点P(5,1)，圆心在点C(8,-3).
设圆心为C，水面所在弦的端点为A、B， 则由已知得A(6，－2)． 设圆的半径为r，则C(0，－r)，
即圆的方程为x2＋(y＋r)2＝r2.①
将点A的坐标(6，－2)代入方程①得
36＋(r－2)2＝r2，
∴r＝10.
∴圆的方程为 x2＋(y＋10)2＝100.② 当水面下降 1 米后，可设点 A′的坐标为 (x0，－3)(x0＞0)， 将 A′的坐标(x0，－3)代入方程②得 x0＝ 51， ∴水面下降 1 米后，水面宽为 2x0＝2 51米．
( x 2)2 ( y 3)2 25
2 2 M 1 (5,7) 的坐标代入方程( x 2) ( y 3) 25 把
左右两边相等，点M 1 的坐标适合圆的方程，所以点
M 1在这个圆上；
把点 M 2 ( 5,1) 的坐标代入此方程，左右两边 不相等，点M 2的坐标不适合圆的方程，所以点 M 2不 在这个圆上．
(x a) ( y b) r
2 2
O
(x-a)2+(y-b)2=r2
三个独立条件a、b、r确定一个圆的方程.
C
x
想一想?
问题：是否在圆上的点都适合这个方程？是否适 合这个方程的坐标的点都在圆上？
( x a) ( y b) r
2 2
2
点M(x, y)在圆上，由前面讨论可知，点M的坐 标适合方程；反之，若点M(x, y)的坐标适合方程， 这就说明点 M与圆心的距离是 r ，即点M在圆心为A (a, b)，半径为r的圆上．
2 2 2
∵圆心在直线l:x-y+1=0上 圆经过A(1,1),B(2,-2)
待定系数法
a b 1 0 a 3 2 2 2 (1 a) (1 b) r b 2 (2 a)2 (2 b)2 r 2 r 5
即：x-3y-3=0
x y 1 0 x 3 联立直线l , CD的方程： , 解得： x 3y 3 0 y 2
∴圆心C(-3,-2)
r AC (1 3)2 (1 2)2 5.
2 圆心为C的圆的标准方程为(x+3) ( y 2)2 25.
, y 解: 如图 设切线方程为 y0 k ( x x0 ) y0 半径OM的斜率为 kOM x0 ,
Y
M ( x0 , y0 )
0
X
x0 因OM垂直于圆的切线 , 所以k y0 x0 切线方程为 y y0 ( x x0 ) y0
整理得 , x0 x y0 y x y
跟踪训练 已知两点M(3,8)和N(5,2)． (1)求以MN为直径的圆C的方程； (2)试判断P1(2,8)，P2(3,2)，P3(6,7)是在圆上，在 圆内，还是在圆外？ 解：(1)法一：设圆心 C(a，b)，半径为 r， 3＋5 8＋2 则由 C 为 MN 的中点得 a＝ ＝4，b＝ ＝5， 2 2 由两点间的距离公式得 r＝|CM|＝ 4－32＋5－82＝ 10，
4.1.1 圆的标准方程
y O
A
x
r
复习引入
复习引入
探究新知
问题1：平面直角坐标系中，如何确定一个 圆？ 圆心：确定圆的位置 半径：确定圆的大小
应用举例
课堂小结
课后作业
探究新知 问题2：圆心是A(a,b),半径是r的圆的方程是什么？
设点M (x,y)为圆C上任一点，则|MC|= r。
y M(x,y)
2 圆心为C的圆的标准方程为(x+3) ( y 2)2 25.
例3 己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且圆心在 直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方程.
解:∵A(1,1),B(2,-2)
3 1 2 1 线段AB的中点D( , ), k AB 3. 2 2 2 1 1 1 3 线段AB的垂直平分线CD的方程为：y+ ( x ). 2 3 2
知识点二：点与圆的位置关系
点与圆的位置关系:
(x0-a)2+(y0-b)2>r2时,点M在圆C外; (x0-a)2+(y0-b)2=r2时,点M在圆C上;
(x0-a)2+(y0-b)2<r2时,点M在圆C内.
例2 ⊿ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1), B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程。
( x a) ( y b) r
2 2
2
待定系数 法
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
(5 a) (1 b) r 2 2 2 (7 a) (3 b) r (2 a) 2 (8 b) 2 r 2
2 0
2 0
2 2 x0 y0 r 2 ,
所求圆的切线方程为 x0 x y0 y r
2
如图所示，一座圆拱桥，当水面在l位 置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面 下降1米后，水面宽多少米？
例3
【分析】
建立坐标系求解．
【解】以圆拱桥拱顶为坐标原点，以过拱顶的 竖直直线为y轴，建立直角坐标系，如图所 示．
练习
1.点(2a, 1 a)在圆x2 + y2 = 4的内部,求实数 a 的 取值范围. 2.根据下列条件，求圆的方程： （1）求过两点A(0,4)和B(4,6),且圆心在直线xy+1=0上的圆的标准方程。 （3）求以C(1,3)为圆心，且和直线3x-4y-7=0 相切的直线的方程。
思考
例 已知圆的方程是x2 + y2 = r2，求经过圆上一 点 M ( x0 , y0 )的切线的方程。
【点评】 本题是用解析法解决实际问题．
小结
1.圆的标准方程
( x a) ( y b) r
2 2
2
（圆心C(a,b),半径r）
2.点与圆的位置关系 3.求圆的标准方程的方法： ①待定系数法 ②几何法
2. 说出下列方程所表示的圆的圆心坐标和半径：
(1) (x + 7)2 + ( y 4)2 = 36
(2) x2 + y2 4x + 10y + 28 = 0
(3) (x a)2 + y 2 = m2
特殊位置的圆的方程:
x2+ (y b)2 = r2 (r≠0) 圆过原点: (x a)2 + (y-b)2 = a2+b2 (a2+b2≠0) (x a)2 + y2 = a2 (a≠0) 圆心在x轴上且过原点: 圆心在y轴上且过原点: x 2 + (y-b)2 = b2 (b≠0) 圆与x轴相切: (x a)2 + (y-b)2 = b2 (b≠0) 圆与y轴相切: (x a)2 + (y-b)2 = a2 (a≠0)
圆心在原点: 圆心在x轴上: 圆心在y轴上:
x2 + y2 = r2 (r≠0)
(x a)2 + y2 = r2 (r≠0)
典型例题
例1 写出圆心为 A(2,3) ，半径长等于5的圆的方 程，并判断点 M 1 (5,7) ， M 2 ( 5,1)是否在这个圆上。
解：圆心是 A(2,3) ，半径长等于5的圆的标准方 程是：
2 2 2
a 2, b 3, r 5.
所求圆的方程为
( x 2)2 ( y 3)2 25
例3 己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且圆心在 直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方程.
解2:设圆C的方程为 ( x a) ( y b) r ,
∴所求圆的方程为(x－4)2＋(y－5)2＝10.
知识探究二：点与圆的位置关系 探究：在平面几何中，如何确定点与圆的位置关 M 系？ M O
点在圆内
M
O 点在圆上
O 点在圆外
|OM|<r
(x0-a)2+(y0-b)2>r2;
|OM|=r
(x0-a)2+(y0-b)2=r2
|
知识点一：圆的标准方程 y
标准方程
M(x,y)
( x a) ( y b) r
2 2
2
O
C
x
圆心C(a,b),半径r 特别地,若圆心为O（0，0），则圆的方程为：
x2 y 2 r 2
应用举例 1.说出下列圆的方程： (1)圆心在点C(3, -4), 半径为7. (2) 经过点P(5,1)，圆心在点C(8,-3).
设圆心为C，水面所在弦的端点为A、B， 则由已知得A(6，－2)． 设圆的半径为r，则C(0，－r)，
即圆的方程为x2＋(y＋r)2＝r2.①
将点A的坐标(6，－2)代入方程①得
36＋(r－2)2＝r2，
∴r＝10.
∴圆的方程为 x2＋(y＋10)2＝100.② 当水面下降 1 米后，可设点 A′的坐标为 (x0，－3)(x0＞0)， 将 A′的坐标(x0，－3)代入方程②得 x0＝ 51， ∴水面下降 1 米后，水面宽为 2x0＝2 51米．
( x 2)2 ( y 3)2 25
2 2 M 1 (5,7) 的坐标代入方程( x 2) ( y 3) 25 把
左右两边相等，点M 1 的坐标适合圆的方程，所以点
M 1在这个圆上；
把点 M 2 ( 5,1) 的坐标代入此方程，左右两边 不相等，点M 2的坐标不适合圆的方程，所以点 M 2不 在这个圆上．
(x a) ( y b) r
2 2
O
(x-a)2+(y-b)2=r2
三个独立条件a、b、r确定一个圆的方程.
C
x
想一想?
问题：是否在圆上的点都适合这个方程？是否适 合这个方程的坐标的点都在圆上？
( x a) ( y b) r
2 2
2
点M(x, y)在圆上，由前面讨论可知，点M的坐 标适合方程；反之，若点M(x, y)的坐标适合方程， 这就说明点 M与圆心的距离是 r ，即点M在圆心为A (a, b)，半径为r的圆上．
2 2 2
∵圆心在直线l:x-y+1=0上 圆经过A(1,1),B(2,-2)
待定系数法
a b 1 0 a 3 2 2 2 (1 a) (1 b) r b 2 (2 a)2 (2 b)2 r 2 r 5
即：x-3y-3=0
x y 1 0 x 3 联立直线l , CD的方程： , 解得： x 3y 3 0 y 2
∴圆心C(-3,-2)
r AC (1 3)2 (1 2)2 5.
2 圆心为C的圆的标准方程为(x+3) ( y 2)2 25.
, y 解: 如图 设切线方程为 y0 k ( x x0 ) y0 半径OM的斜率为 kOM x0 ,
Y
M ( x0 , y0 )
0
X
x0 因OM垂直于圆的切线 , 所以k y0 x0 切线方程为 y y0 ( x x0 ) y0
整理得 , x0 x y0 y x y
跟踪训练 已知两点M(3,8)和N(5,2)． (1)求以MN为直径的圆C的方程； (2)试判断P1(2,8)，P2(3,2)，P3(6,7)是在圆上，在 圆内，还是在圆外？ 解：(1)法一：设圆心 C(a，b)，半径为 r， 3＋5 8＋2 则由 C 为 MN 的中点得 a＝ ＝4，b＝ ＝5， 2 2 由两点间的距离公式得 r＝|CM|＝ 4－32＋5－82＝ 10，
4.1.1 圆的标准方程
y O
A
x
r
复习引入
复习引入
探究新知
问题1：平面直角坐标系中，如何确定一个 圆？ 圆心：确定圆的位置 半径：确定圆的大小
应用举例
课堂小结
课后作业
探究新知 问题2：圆心是A(a,b),半径是r的圆的方程是什么？
设点M (x,y)为圆C上任一点，则|MC|= r。
y M(x,y)
2 圆心为C的圆的标准方程为(x+3) ( y 2)2 25.
例3 己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且圆心在 直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方程.
解:∵A(1,1),B(2,-2)
3 1 2 1 线段AB的中点D( , ), k AB 3. 2 2 2 1 1 1 3 线段AB的垂直平分线CD的方程为：y+ ( x ). 2 3 2
知识点二：点与圆的位置关系
点与圆的位置关系:
(x0-a)2+(y0-b)2>r2时,点M在圆C外; (x0-a)2+(y0-b)2=r2时,点M在圆C上;
(x0-a)2+(y0-b)2<r2时,点M在圆C内.
例2 ⊿ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1), B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程。