反比例函数的图象为什么是双曲线

反比例函数的图象为什么是双曲线

浙江龙泉一中 李好孺

前段日子，我化了一个月的时间，读完了刘鸿坤编著的《解析几何基础》一书，颇多感慨，其中之一就是反比例函数的图象为什么是双曲线。这一个问题，是我从教三十年以来，第一次生出这样的疑问，并通过阅读全书得到析疑。以往，

在初中反比例函数的教学当中，总是提“反比例函数y=x

k

（k ≠0）的图象叫做

双曲线，”注意这里的“叫做”二字，至于“为什么是双曲线，”直到今日才得以知晓。内心的深处实在是先惭愧于读书既少又迟，后惭愧于笔头既懒又疏。 1．回顾

先回顾初中数学的反比例函数的教学过程： （1）反比例函数的定义

函数y=x k

（k 是不等于零的常数）叫做反比例函数。k 叫做反比例系数，这

里x 是自变量。例如函数t=v 200，h=r 50，y=x 23 ，y=x

2

，它们都是反比例函数，

比例系数分别为200，50，-2

3

，2。 （2）反比例函数的图象

以函数y=x

6

为例，画出它的图象，总结出它的画法。

的坐标，先描出在第一象限内

的点，并按照自变量由小到大 的顺序用光滑曲线把它们连结

起来，得到图象的一个分支； ③用与②相同的方法，在 第三象限画出图象的另一个分支。

这两个分支合起来，就是

反比例函数y=x

6图象（图1）。 从上述画法中，我们可以看到，画反比例函数的图象，要经过列表、描点、连线三个步骤，这种描图象的方法叫做描点法。显然，用描点法所画的图象一般是近似的。若要使画出的图象越精确，需要画出图象上的点也就越多。

反比例函数y=x

k

（k ≠0）的图象叫做双曲线。

（3）反比例函数的性质

反比例函数y=x

k

有下列性质：

①当k ＞0时，函数图象的两个分支分别位于第一、三象限内，在每一个象限内，y 随x 的增大而减少；当k ＜0时，函数图象的两个分支分别位于第二、四象限内，在每一个象限内，y 随x 的增大而增大。

②两个分支都无限接近但永远不能达到x 轴和y 轴。 再来回顾高中解析几何有关双曲线的教学过程： （1）双曲线的定义

平面内与两个定点F 1、F 2的距离的差的绝对值是常数（小于| F 1F 2|）的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做焦距。 （2）双曲线的标准方程

22a x -22

b

y =1，这个方程叫做双曲线的标准方程，它所表示的双曲线的焦点在

x 轴上，焦点是F 1（-c ，0）、F 2（c ，0），这里c 2=a 2+b 2。 （3

（4 在方程22a x -22

b

y =1中，如果a=b ，那么双曲线方程为x 2-y 2=a 2，它的实轴

和虚轴的长都等于2a 。这时，四条直线x=±a ，y=±a 围成正方形，渐近线方程成为x=±y ，它们互相垂直，并且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角。这种实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。 2．析疑 经过了以上两个回顾，我们如果把反比例函数的图象称为彼双曲线，而把解析几何当中的双曲线称为此双曲线，那么彼双曲线与此双曲线是否如出一辙？ （1）坐标轴的旋转 如果原点不动，两条坐标轴按同一个方向绕原点转动同一个角度，这种坐标变换称为坐标轴的旋转。

如图2，Ox ，Oy 是原坐标轴，

Ox ′，Oy ′是坐标轴按逆时针旋转

θ角后的新坐标轴，设P 是平面内

任意一点，它在旧坐标系xOy 中的

坐标是（x ，y ），在新坐标系x ′Oy ′ 中的坐标是（x ′，y ′），现在我们 来研究同一个点P 在新旧两个坐标系

里的坐标的关系。

作PM ⊥Ox ，PN ⊥Ox ′，并设Ox ′与OP

x ′=ON=|OP|cos α， y ′=NP=|OP|sin α， 所以x=OM=|OP|cos （θ+α）=|OP|（cos θcos α-sin θsin α）

=x ′cos θ-y ′sin θ；

y=MP=|OP|sin （θ+α）=|OP|（sin θcos α+cos θsin α） =x ′sin θ+y ′cos θ。

于是，我们得到了点P 在不同坐标系下，它的坐标（x ，y ）和（x ′，y ′）之间

有如下的关系： ?

??'+'='-'=θθθ

θcos sin sin cos y x y y x x

我们把它叫做转轴公式。这个公式是用点的新坐标（x ′，y ′）来表示它的

旧坐标（x ，y ）。

（2）研究xy=k 的图形（不妨设k ＞0） 设坐标轴旋转θ角，把坐标旋转公式

?

??'+'='-'=θθθ

θcos sin sin cos y x y y x x

代入方程xy=k ，得 （x ′cos θ-y ′sin θ）（x ′sin θ+y ′cos θ）=k ， 即 2x 'cos θsin θ-2y 'sin θcos θ+y x ''（cos 2θ-sin 2θ）=k 。 要使新方程中无y x ''项，只要cos 2θ-sin 2θ=0，即cos2θ=0，θ=

4

π

。 因此，当坐标轴旋转

4π时，所得新方程无y x ''项，此时以cos 4π=sin 4π=2

2代入原方程，得 2x '-2y '=2k 。

这是一条等轴双曲线，旧坐标轴 是它的渐近线（图3）。

方程xy=k （k ≠0）的图形是以坐 标轴为渐进线的等轴双曲线，这个方

程又可以写成y=x

k

的形式，它所表示

的x ，y 间的关系就是反比例关系。因

此，方程xy=k （k ≠0）或者函数y=x

k

（k ≠0）

都可以统一说成双曲线xy=k （k ≠0）。

3，双曲线xy=k （k ＞0）的性质 我们根据方程2x '-2y '=2k （k ＞0），结合转轴公式

??????

?'+'='-'=)(22)(22y x y y x x 或 ???

????+-='+=

')(22)(22

y x y y x x 不难得到双曲线xy=k （k ＞0）的性质。

（1）代数性质

①定义域是x ≠0；值域是y ≠0；

②函数在区间（-∞，0）和（0，∞）内是减函数； ③是奇函数；

④它的反函数是本身。 （2）几何性质

①图象是等轴双曲线；

②图象的对称中心是坐标原点O ，对称轴方程是x ±y=0； ③顶点是A 1（-k ，-k ）和A 2（k ，k ）； ④实半轴长和虚半轴长是k 2，半焦距是2k ； ⑤实轴所在直线为x-y=0，虚轴所在直线为x+y=0； ⑥焦点是F 1（-k 2，-k 2）和F 2（k 2，k 2）； ⑦渐进线是x 轴和y 轴，其方程为y=0和x=0； ⑧准线方程是x+y-k 2=0和x+y+k 2=0； ⑨准线与对称轴的交点是E 1（-2k ，-2k ）和E 2（2k ，2

k

）；

⑩离心率e=2。

图3

4．引深一例

例：讨论y=

d

cx b

ax ++的图象，其中ad ≠bc 。 思路：先用平移消去一次项，然后用旋转消去xy 项。 解：先进行平移。设新原点的坐标是（m ，n ），那么平移公式为

???+'=+'=n y y m x x

代入原方程，化简得

c y x ''+（cn-a ）x '+（cm+

d ）y '+cmn-am+dn-b=0 （1）

为了消去一次项，那么 ???=+=-00

d cm a cn

解这个方程组，得m=-c

d ，n=c a

，代入（1），即得平移后的方程是

c 2y x ''+ad-bc=0 （2） 再进行转轴。旋转角度为

4

π

，因此转轴公式为 ???????''+''='''-''=

')(22)(22

y x y y x x 代入方程（2），整理得 2

22)

(2c ad bc y x -=

''-'' （ad ≠bc ） 这是以直线x=-c

d 与y=c a

为渐进线的等轴双曲线。