洛伦兹变换

r u
y′ S′ z′ x′
O′
t = t ′ = 0、x′ = x = 0, 发光
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第十二章 相对论简介 对于S系而言，其波面 波前 到达(x， ， 处所需 波前)到达 对于 系而言，其波面(波前 到达 ，y，z)处所需 系而言 时间为： 时间为：
x2 + y2 + z2 t= c
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第十二章 相对论简介 根据相对性原理知 ，新的时空关系必须是线 性的，这样才能保证在 系的匀速直线运动 系的匀速直线运动， 性的，这样才能保证在S系的匀速直线运动，在S′ ′ 系也是匀速直线运动，可推导得 系也是匀速直线运动，
x′ = γ ( x − ut ) y′ = y z′ = z u t′ = γ (t − 2 x) c
即只有在S中同时同地点的事件， 中才是同时的. 即只有在S中同时同地点的事件，在S′ 中才是同时的. 中同时同地点的事件 u ∆ t ′＝ 0 ③ ∆t = 2 ∆x c 即在S系中不同时刻，不同地点的两事件， 即在 系中不同时刻，不同地点的两事件，在S′ 中有 系中不同时刻 可能同时. 可能同时 ④对于有因果关系的两个事件，时间顺序不会颠倒. 对于有因果关系的两个事件，时间顺序不会颠倒
′ ′ ∆ t ′ = t 2 − t1
上看， 在S上看，二事件发生于 1和t2，相隔 上看 二事件发生于t
u u ′ ′ ∆ t = t 2 − t1 = γ ( t 2 + 2 ξ ) − γ ( t1 + 2 ξ ) c c
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第十二章 相对论简介
′ ′ = γ ( t 2 − t1 ) =
−(ln 2 / 2.2×10−6 )×1981 1−0.9952 / 0.995c
再从与µ子一起运动的参考系研究 此参考系中 再从与µ子一起运动的参考系研究.此参考系中µ子静
n = n0 × e
≈ 415
与前面结果相同. 与前面结果相同
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第十二章 相对论简介 [例题 例题2] 如图表示气泡室中一些 例题 基本粒子的轨迹. 其中描写一π 基本粒子的轨迹 其中描写一π 介 子与质子相碰产生其他粒子， 子与质子相碰产生其他粒子，图 中 K+ 即碰撞处。 即碰撞处。我们仅考虑它们 之中的K 粒子.它经 它经d=1×10-1m 的 之中的 0粒子 它经 × 距离便衰变为两个具有相反电荷 介子.若 的 π介子 若 K0的速度为 v=2.24×108m/s,试求其固有寿命 × 试求其固有寿命. 试求其固有寿命
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第十二章 相对论简介 讨论： 讨论： 上同时不同地点的两事件） ①若 ∆t = 0 ∆ x ≠ 0（S上同时不同地点的两事件） 上同时不同地点的两事件
u u ∆t ′ = −γ 2 ∆x = −γ 2 ( x 2 − x1 ) ≠ 0 c c
②
不同时
∆ x = 0 ∆t = 0 ∆ t ′＝ 0
第十二章 相对论简介
l = l0 1 − β 2
对给定的杆,在相对于它静止的坐标系中，长度最大. 对给定的杆 在相对于它静止的坐标系中，长度最大 在相对于它静止的坐标系中 注意：长度的缩短是相对的 注意：长度的缩短是相对的. 3.运动的时钟变慢 运动的时钟变慢 设在S′ 系中同一地点 ′=ξ处发生二个事件的时间间隔为 设在 ′ 系中同一地点x′ ξ
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第十二章 相对论简介
n = n 0e −αt
α = ln 2 / τ 0
≈ 27
n = 563 × e
−(ln 2 / 2×10 −6 )×1981 / 0.995 c
即仅有27个 子到达海平面,与实验结果不合 与实验结果不合. 即仅有 个µ 子到达海平面 与实验结果不合 现在运用相对论研究.首先以地球为参考系 现在运用相对论研究 首先以地球为参考系, µ 子运动 首先以地球为参考系 时间仍为 t =1981/0.995c.但因动钟变慢 运动的µ 介子 但因动钟变慢,运动的 但因动钟变慢 运动的µ 的半衰期应为
′ l 0 = x′ − x1 2
y S x
y′ S′
r u
x′ 2
z
z′
′ x1
x′
上观察， 同时测出棒各端点坐标 在S上观察，必须同时测出棒各端点坐标， 上观察 必须同时测出棒各端点坐标，
l = x2 − x1 ′ ′ l0 = x2 − x1 = γ ( x 2 − x1 )
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l
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∆t′ =
′ ′ t 2 − t1 1− β 2
1 − β 2 ∆t
即运动时大于固有时，或说运动的时钟变慢了. 运动时大于固有时，或说运动的时钟变慢了 运动的时钟变慢
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第十二章 相对论简介
§12.2.4 尺缩钟慢的实验检验
[例题 有文献报道在高为 例题1] 有文献报道在高为1981m的山顶上测得 个µ 的山顶上测得563个 例题 的山顶上测得 子进入大气层,在海平面测得 个 示意如图 示意如图12.5. 已知 µ 子进入大气层 在海平面测得408个.示意如图 在海平面测得 子下降速率为0.995c，c表示真空中光速 试解释上述测 ， 表示真空中光速 表示真空中光速.试解释上述测 子下降速率为 得结果. 得结果 [解] µ子速率已达 解 子速率已达0.995c,非常接近 非常接近 光速,应用相对论 但为了与经典观 光速 应用相对论.但为了与经典观 应用相对论 点比较,先按经典的时空观求解 按 点比较 先按经典的时空观求解,按 先按经典的时空观求解 非相对论时空观，时间是绝对的 非相对论时空观，时间是绝对的, 因而 µ子运动时和静止的半衰期相 同,即亦为τ0 . µ子降落时间为 t =1981/0. 995c 即亦为
τ =τ0 / 1− β 2
n = n0 × e
−(ln 2× 1− β 2 / τ 0 ) t
−(ln2× 1− 0.995 2 / 2.2×10−6 )×1981/ 0.995c （ ）
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= 563×e
≈ 415
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第十二章 相对论简介 此结果与实验基本符合. 此结果与实验基本符合 但因“ 止,故其半衰期仍为τ 0 ;但因“动尺缩短”,山的高度 故其半衰期仍为 但因 动尺缩短” 山的高度 成为 1981 1 − 0 .995 2 m 故得
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K K+
e
+
e−
π +0
π− − π
π+
µ+
e+
π
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第十二章 相对论简介 [解] 粒子的速率已达 解 粒子的速率已达2.24×108m/s ,达光速 达光速70%以上 以上, × 达光速 以上 应当用相对论计算.题中 和 显然是实验室中测得 应当用相对论计算 题中d和v显然是实验室中测得 题中 的.从实验室测得的粒子运动的时间间隔为 从实验室测得的粒子运动的时间间隔为
γ=
1 1 − u2 c 2
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x = γ ( x′ + ut′) y = y′ z = z′ u t = γ (t′ + 2 x′) c
时空坐标的洛伦兹逆 时空坐标的洛伦兹逆变换
时空坐标的洛伦兹变换 其中
u β= c
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第十二章 相对论简介 说明: 若 说明 (1)若 u >c，γ 无意义。∴|u| ≤ c ， 无意义。 光速是物体运动的极限速度. 光速是物体运动的极限速度 物体运动的极限速度 (2) 时间与运动有关，与空间有关. t ′ ≠ t 时间与运动有关，与空间有关. 洛⇒伽利略变换. 伽利略变换
c = 2.99792458 × 10 8 m ⋅ s −1
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第十二章 相对论简介
§12.2.2 洛伦兹变换
洛伦兹变换——新的时空变换关系 该变换满足： 新的时空变换关系,该变换满足 洛伦兹变换 新的时空变换关系 该变换满足： （1）光速不变原理和狭义相对性原理 ）光速不变原理和狭义相对性原理; （2）当物体运动速率远小于真空中的光速时，新 ）当物体运动速率远小于真空中的光速时， 的变换关系能使伽利略变换重新成立. 的变换关系能使伽利略变换重新成立 r y S y Su y′ S′ O′ O z′ z x′ x z O x
x 2 + y 2 + z 2 − c 2t 2 = 0
系而言，其波面（波前） 对于S′ 系而言，其波面（波前）到达 ( x ′, y ′, z ′ ) 处所需时间， 处所需时间，根据光速不变原理得
x′2 + y′2 + z′2 t′ = c
x ′ 2 + y′ 2 + z ′ 2 − c 2 t ′ 2 = 0
(3) 若 |u|<<c, γ →1, β→ 0
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第十二章 相对论简介
§12.2.3 洛伦兹变换蕴含的时空观
1.同时的相对性 同时的相对性
S中 : 两件事( x1 , t1 ), ( x2 , t 2 ) ∆t = t 2 − t1 ∆x = x2 − x1
′ ′ S ′中 : ∆ t ' = t 2 − t 1 u u = γ ( t 2 − 2 x 2 ) − γ ( t1 − 2 x1 ) c c u ∆ t′ = γ (∆ t − 2 ∆ x ) c
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第十二章 相对论简介 2.运动的杆缩短 运动的杆缩短 静长度(固有长度 静长度 固有长度)——相对观察者静止时的长度 l0. 固有长度 相对观察者静止时的长度 运动时， 当棒相对观察者以 u 运动时，观测长度 l=? 方向, 设棒与S′ 系固定 u为x方向 棒相对于 ′ 的长度为 棒与 系固定, 为 方向 棒相对于S
第十二章 相对论简介
§12.2 洛伦兹变换
§12.2.1 狭义相对论的基本假设 §12.2.2 洛伦兹变换 §12.2.3 洛伦兹变换蕴含的时空观 §12.2.4 尺缩钟慢的实验检验
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第十二章 相对论简介
§12.2 洛伦兹变换
§12.2.1 狭义相对论的基本假设
1. 相对性原理 物理定律在所有惯性系中都是同形的， 惯性系中都是同形的 物理定律在所有惯性系中都是同形的，因此各 个惯性系中都是等价的，不存在特殊的绝对惯性系 个惯性系中都是等价的，不存在特殊的绝对惯性系. 或：物理定律在所有惯性系中具有数学形式不 变性，即协变性 变性，即协变性. 2. 光速不变原理 所有的惯性系中，光在真空 真空中的传播速率具有 所有的惯性系中，光在真空中的传播速率具有 相同的值c 相同的值 .
d 1 × 10 − 1 t= = s = 4 .5 × 10 −10 s v 2 .24 × 10 8
K0粒子的固有寿命应为
t0 = t 1 − β 2 = 4.5 × 10 −10 ≈ 3.0 × 10 −10 s 5.02 × 1016 1− s 16 8.99 × 10
t 0 < t 表明固有时间间隔最短 表明固有时间间隔最短.