线性算子与线性泛函

第二章 线性算子与线性泛函

第一节 有界线性算子

一、线性算子

本段中只需假设,,X Y Z 等是K 上的向量空间。 定义： 若一个映射:T X Y →满足

()(,,,)T x y Tx Ty

x y X αβαβαβ+=+∈∈K ，

则称T 为从X 到Y 的线性算子。

容易看出，上述等式可推广到更一般的情形：(

)i i

i

i

i

i

T x Tx αα=∑∑。

命题2.1.1 设:T X Y →是一线性算子，则以下结论成立：

（1）任给子空间A X ⊂与子空间B Y ⊂，TA 与1T B -分别为Y 与X 的子空间。特别，

(0)0T =与()R T TX =（值域）是Y 的子空间；1()(0)N T T -是X 的子空间（称为T 的

核或零空间）。

（2）若向量组{}i x X ⊂线性相关，则{}i Tx 亦线性相关；若A 是X 的子空间且

dim A <∞，则dim dim TA A <。

（3）T 是单射(){0}N T ⇔=。

说明：若0()Tx Y x X ≡∈∈，则称T 为零算子，就记为0；若(),Tx x x X αα≡∈∈K 为常数，则称T 为纯量算子（或相似变换，若0α≠），记作I α，当0α=与1时，I α分别是零算子和单位算子。

对线性算子可定义两种自然的运算：线性运算与乘法。若,:T S X Y →是线性算子，

,αβ∈K ，则:T S X Y αβ+→是一个线性算子，它定义为

()().

(2.1.2)T S x Tx Sx x X αβαβ+=+∈

若:R Y Z →是另一个算子，则由

()()().(2.1.3)RT x R Tx x X =∈

定义出一个线性算子:RT X Z →，称它为R 与T 的乘积。实际上，线性算子的乘积就是它们的复合。容易原子能正验证，如上定义的运算有以下性质：

11(),

()();

R T S RT RS R R T RT R T +=+⎧⎨

+=+⎩分配律

()();()Q RT QR T =结合律

()()(),()RT R T R T αααα==∈K

只要以上等式的一端有意义。若线性算子:T X Y →为双射，则称它为线性同构，此时其逆映射1

:T Y X -→亦为线性算子。T 是线性同构的充要条件是，存在线性算子:S Y X →，

使得

,(2.1.4)X Y

ST I TS I ==

二、有界线性算子

定义2.1.2 设:T X Y →是一个线性算子。令

sup /(2.1.5)x T Tx x

≠=

若T <∞，则称T 为从X 到Y 的有界线性算子，且称T 为T 的算子范数，简称为范数。若T =∞，则称T 为无界算子。

约定以(,)L X Y 记从X 到Y 的有界线性算子之全体，(,)L X X 简写为()L X 。 注1：:T X Y →的有界的等价刻画： （1）0,k x X ∃>∀∈，有;Tx k x ≤或 （2）T 映X 中的有界集为Y 中的有界集。 注2：若(,)T L X Y ∈，则对任给的x X ∈有

(2.1.6)Tx T x

≤

注3：范数定义的几种等价形式 （1）1

sup (2.1.7)x T Tx

== （2）1

sup (2.1.8)x T Tx

≤=

（3）inf{0:().(2.1.9)T k Tx k x x X =≥≤∀∈

例2.1.3 设[,]()J a b a b =<，给定()C J ϕ∈。定义

()()()(,()),Tu x x u x x J u C J ϕ=∈∈

T 是从()C J 到自身的线性算子。求T 。

命题2.1.4 设:T X Y →是一个线性算子，则T 有界T ⇔连续。 推论：（1）T 是拓扑同构T ⇔与1

T -皆连续（即T 为同胚）； （2）若(,),{}n T L X Y x X ∈⊂，

n

x

∑收敛，则有

1

1

1

()(lim )lim ()lim n n n

n k k k n n n n n

k k k n

T x T x T x Tx Tx →∞

→∞

→∞

=======∑∑∑∑∑。

例2.1.5：设[0,]J π=，在1

()C J 与()C J 中均采用sup 范数。显然

1:()(),(2.1.10)d

T C J C J u u dx

'=

→→

是一线性算子。令()sin n u x nx =，则0

1n

u =，而0

n u n '=，可见T 是无界算子。

三、有界线性算子的运算与扩张

命题2.1.6：(,)L X Y 依算子范数是一个赋范空间；当空间Y 完备时，(,)L X Y 是Banach 空间。

定理 2.1.7（扩张定理）：设D 是X 的稠密子空间，(,)T L D Y ∈，Y 完备，则T 可保持范数惟一地扩张到X 上。

若线性算子:T X Y →是单射（即(){0}N T =），则1

:()T R T X -→是一确定的线性

算子，当它有界时称为T 的有界逆，并说T 有有界逆。

命题2.1.8线性算子:T X Y →有有界逆的充要条件是存在0k >，使得

().(2.1.14)Tx k x

x X ≥∈。

第二节 常用有界线性算子

一、矩阵

设,X Y 是有限维赋范空间，dim ,dim ,(,)X n Y m T L X Y ==∈。分别取X 的基{}j e 与Y 的基{}i ε。设

(1),j ij i

i

Te a j n ε=≤≤∑

则T 完全由矩阵[]m n

ij A a ⨯=∈K

所确定。若,(,)T S L X Y ∈分别对应矩阵

,,,m n A B αβ⨯∈∈K K ，则算子T S αβ+恰好对应矩阵A B αβ+。这样，线性算子空间

(,)L X Y 线性同构于矩阵空间m n ⨯K ，因而对(,)L X Y 的研究可代之以对m n ⨯K 的研究。

任给[]m n

ij A a ⨯=∈K

，依矩阵乘法自然地定义一个线性算子：

,,

(2.2.1)n m x Ax →→K K

其中x 当作1n ⨯阶矩阵。不妨用同一字母A 表示算子（2.2.1），它也可表成：