第3章 动态规划算法实验指导

第3章动态规划算法

实验3.1 动态规划算法的实现与时间复杂度测试

1. 实验目的

编程实现经典的动态规划算法，理解动态规划算法设计的基本思想、程序实现的相关技巧，加深对动态规划算法设计与分析思想的理解。通过程序的执行时间测试结果，与理论上的时间复杂度结论进行对比、分析和验证。

2. 原理解析

⏹动态规划算法的基本思想

动态规划是一种在数学和计算机科学中使用的、用于求解包含重叠子问题的最优化问题的有效方法。其基本思想是：将原问题分解为相似的子问题，在求解的过程中通过子问题的解描述并求出原问题的解。动态规划的思想是多种算法的基础，被广泛应用于计算机科学和工程领域，在查找有很多重叠子问题的情况的最优解时有效。它将问题重新组合成子问题，为了避免多次解决这些子问题，它们的结果都逐渐被计算并保存，从小规模的子问题直到整个问题都被解决。因此，动态规划对每一子问题只做一次计算，具有较高的效率。

⏹测试算法

0-1背包问题是使用动态规划算法求解的代表问题，算法如下：

KnapsackDP ({w1, w2, …, wn}, {v1, v2, …, vn}, C)

for i=0 to n do

m[i,0]=0

end for

for j=0 to C do

m[0,j]=0

end for

for i=1 to n do

for j=1 to C do

m[i,j]=m[i-1,j]

if wi j then

m[i,j]=max{m[i,j],m[i-1,j-wi]+vi}

end if

end for

end for

return m[n,C]

算法的时间复杂度为O(nC)。

3. 实验内容

编程实现以上求解0-1背包问题的动态规划算法，并通过手动设置、生成随机数获得实验数据。记录随着输入规模增加算法的执行时间，分析并以图形方式展现增长率；测试、验证、对比算法的时间复杂度。

4. 实验步骤和要求

(1) 编程实现以上算法，并进行测试，保证程序正确无误。其中，分别在程序开始和结束处设置记录系统当前时间的变量、用于计算程序执行的时间（以毫秒(ms)作为程序执行时间的计数单位）。

(2) 测试C值不变的情形下随着n增加、程序执行时间增加的趋势。对于C=200、400、800、2000这四种情形，分别使用实验1中的随机数生成算法生成n个随机整数作为n个物品的重量，再生成n个随机整数作为n个物品的价值（n=10, 20, 40, 100, 200, 400, 800, 2000）。对于每个C值，记录随着n增加程序的执行时间，并使用MS Excel图表绘制工具生成各不同C值情形下程序执行时间的对比曲线图（4条折线）。

(3) 与理论上的时间复杂度结论进行对比分析，完成实验报告。

实验3.2 动态规划算法的适应性测试

1. 实验目的

对于同一问题，编程实现其分治算法和动态规划算法，通过对比分析，理解动态规划算法的适用情形。通过程序的执行时间测试结果，与理论结论进行对比、分析和验证。

2. 原理解析

⏹ 分治算法与动态规划算法的对比：针对子问题是否重叠

虽然很多问题均可分解为子问题、动态规划和分治算法都是通过子问题的解决来获得原问题的解。然而，分治算法适用于子问题不重叠（即相互独立）的情形，对于子问题重叠的情形分治法具有较高的时间复杂度，动态规划是针对这类情形的有效算法。

⏹ 测试算法

斐波纳契数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有直接的应用。斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……，这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和，即：

直观地，斐波纳契数列可递归地得到，算法如下：

DAC_f(n)

if(n==1) or (n==2) then

return 1

else

return f(n-1)+f(n-2)

end if

通过理论分析已经得出结论：以上递归算法随着n 增大有指数计算时间。对于n 的多项式个数的子问题，显然指数计算时间是不现实的。基于动态规划算法11,2()(1)(2)3

n f n f n f n n =⎧=⎨-+-≥⎩

可高效地求解Fibonacci数问题，算法如下：

DP_f(n)

Initialize f[1..n]

for i=1 to n do

if(i==1) or (i==2) then

f[i]=1

else

f[i]=f[i-1]+f[i-2]

end if

end for

return f[n]

算法的时间复杂度为O(n)。

3. 实验内容

编程实现以上求斐波纳契数的分治算法和动态规划算法。对于每个算法，记录随着斐波纳契数数列大小增加基本操作的执行次数，分析并以图形方式展现增长率；对比这两个算法，随着数列大小增加算法增长率的变化趋势；测试、验证、对比理论结论。

4. 实验步骤和要求

(1) “加法”是以上两个斐波纳契数算法的基本操作。编程实现以上DAC_f 和DP_f算法，并进行测试，在其中设置加法执行次数的计数器变量。

(2) 分别测试不同n值（n=5, 10, 15, 20, 25, 30）情形下DAC_f和DP_f算法的加法次数，记录加法次数，并使用MS Excel图表绘制工具生成各不同n值情形下以上两个算法加法次数的对比曲线图（2条折线）。

(3) 与两个算法时间复杂度的理论结论进行对比分析，总结分治与动态规划算法的适用条件和特点，完成实验报告。

某董事会有一位董事长和两位董事，表决某一提案时，两人或三人同意时，提案通过，但董事长具有否决权，使用与非门实现。