概率独立性
事件的相互独立性、条件概率与全概率公式-高考数学复习
）
A. 甲与丙相互独立
B. 甲与丁相互独立
C. 乙与丙相互独立
D. 丙与丁相互独立
目录
解析：
1
事件甲发生的概率 P （甲）＝ ，事件乙发生的概率 P
6
1
5
5
（乙）＝ ，事件丙发生的概率 P （丙）＝
＝ ，事件丁发生的概
6
6×6
36
6
1
率 P （丁）＝
＝ .事件甲与事件丙同时发生的概率为0， P （甲
）＝（1－0.6）×0.5×0.5×0.4＋0.6×（1－0.5）×0.5×0.4＋
0.6×0.5×（1－0.5）×0.4＋0.6×0.5×0.5×（1－0.4）＝0.25，4人需
使用设备的概率 P 2＝0.6×0.5×0.5×0.4＝0.06，故所求的概率 P ＝
3
2
3
5
（ ）·P （ ）·P （ ）＝（1－ ）（1－ ）（1－ ）＝ .
4
3
8
96
因为事件“甲、乙、丙三人都回答错误”与事件“甲、乙、丙
三人中，至少有一人答对这道题”是对立事件，
5
91
所以所求事件的概率为 P （ M ）＝1－ ＝ .
96
96
目录
解题技法
1. 求相互独立事件同时发生的概率的步骤
2∪…∪ An ＝Ω，且 P （ Ai ）＞0， i ＝1，2，…， n ，则对任意的事
件 B ⊆Ω，有 P （ B ）＝
∑ P （ Ai ） P （ B ｜ Ai ）
i=1
，我们称上面
的公式为全概率公式.
目录
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
知识点概率与统计中的事件独立性
知识点概率与统计中的事件独立性知识点：概率与统计中的事件独立性事件独立性是概率与统计中的一个重要概念，指的是两个或多个事件之间的发生与否互不影响、相互独立的性质。
在实际问题中，对事件独立性的判断和运用是非常常见的。
一、事件独立性的定义和性质在概率与统计中，如果两个事件A和B满足以下条件，即当事件A 发生与否并不影响事件B的概率时，称事件A与B是独立事件。
具体而言，事件A与B的独立性可表述为：P(A∩B) = P(A) × P(B)其中，P(A)表示事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率，P(A∩B)表示事件A与事件B同时发生的概率。
根据事件独立性的定义，可以得出以下性质：1. 事件A与自身是独立的，即P(A∩A) = P(A) × P(A)，即事件A发生与否不影响事件A本身的概率。
2. 如果事件A与事件B独立，那么事件A的补事件与事件B也是独立的，即P(A'∩B) = P(A') × P(B)。
3. 如果事件A与事件B独立，那么事件A与事件B的补事件也独立，即P(A∩B') = P(A) × P(B')。
二、事件独立性的判断在实际问题中，如何判断两个事件是否独立是一个重要的问题。
通常可以通过以下两种方式进行判断。
1. 通过已知概率判断：如果已知事件A和事件B的概率，可以通过计算P(A∩B)和P(A) × P(B)来判断两者是否相等。
如果相等，则事件A与事件B是独立的；如果不相等，则事件A与事件B不是独立的。
2. 通过条件概率判断：根据条件概率的定义，如果已知事件A和事件B的条件概率P(A|B)和P(B|A)，可以通过比较P(A|B)和P(A)以及P(B|A)和P(B)的大小关系来判断事件A与事件B的独立性。
如果条件概率与边际概率相等，则事件A与事件B是独立的；如果条件概率与边际概率不相等，则事件A与事件B不是独立的。
概率与统计中的事件独立性
概率与统计中的事件独立性事件独立性是概率论和统计学中一个基本概念，用于描述两个或多个事件之间是否相互独立发生的性质。
在概率论和统计学中，研究事件独立性对于理解随机性事件的关系和推断未知信息具有重要意义。
本文将介绍概率与统计中的事件独立性的定义、性质和应用。
一、定义在概率论中，两个事件A和B是相互独立的，当且仅当事件A的发生与B的发生是相互无关的，即事件A的发生不会影响事件B的发生概率，记作P(A∩B) = P(A)P(B)。
其中，P(A)和P(B)分别表示事件A 和事件B发生的概率，P(A∩B)表示事件A和B同时发生的概率。
如果P(A∩B) ≠ P(A)P(B)，则事件A和B是不独立的。
二、性质事件独立性具有以下性质：1. 互逆性：若事件A和B独立，则事件B和A也独立。
2. 自反性：事件A与自身独立，即P(A∩A) = P(A)P(A) = P(A)。
3. 不交性：对于任意事件A和B，若A与B互不相容（即A∩B=∅），则A和B不独立。
4. 幂等性：若事件A和事件B独立，那么事件A和事件B的补集(A'和B')也独立。
三、应用事件独立性在概率论和统计学中有广泛的应用，例如：1. 加法法则与乘法定理：事件独立性是加法法则和乘法定理的重要前提。
根据加法法则，对于互不相容的事件A和B，其联合概率可以表示为P(A∪B) = P(A) + P(B)。
而乘法定理则利用了独立事件的特性，通过P(A∩B) = P(A)P(B)计算联合概率。
2. 条件独立性：条件独立性指的是在给定某一事件的条件下，其他事件之间是否独立。
例如，对于事件A、B和C，若事件A和B独立，且事件C与A的发生与否无关，那么事件C与B也独立。
3. 贝叶斯定理：贝叶斯定理利用了事件独立性的概念，通过P(A|B) = P(B|A)P(A) / P(B)计算后验概率。
其中，P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
4. 统计推断：在统计学中，独立性的概念也广泛应用于构建统计模型和进行推断。
《概率论》第1章§6独立性
两两独立 三三独立 ……
概率论的基本概念
§6 独立性
8/25
设每个人血清中含有肝炎病毒的概率为0.4%, 求混合100个人的血清中含有肝炎病毒的概率. 记 Ai { 第 i 个人血清含肝炎病毒 }, i 1, 2, ,100 则所求概率为
100 P ( Ai ) P Ai i 1 i 1
100
1 P ( Ai )
i 1
100
根据实际问题 判断事件独立性
1 0.996
100
0.33
第一章
概率论的基本概念
§6 独立性
9/25
P( AB) P( A) P( B) P( BC ) P( B) P(C ) P(CA) P(C ) P( A)
A, B, C 相互独立
时 , 两种赛制甲最终获胜的 1 2 .
制有利 .
概率是
相同的 , 都是
§6 独立性
19/25
甲、乙两坦克的首发命中率均为0.8，经修正后的第 二发命中率均为0.95，敌目标被一发炮弹击中而被击毁 的概率为0.2，被两发炮弹击中而击毁的概率为0.5，被三 发炮弹击中必定被击毁。在战斗中，甲、乙两坦克分别 向敌同一目标发射了两发炮弹，求敌目标被击毁的概率。
p n P ( Ai )
i 1 n
1 P ( Ai )
i 1
n
n 1 (1 p) 1 0.999 n
n pn
1000
2000
3000
4000
5000
0.632 0.865 0.950 0.982 0.993
可见即使 p 很小，但只要试验不断进 行下去，小概率事件几乎必然要发生
高中数学概率计算中的条件概率与独立性判定
高中数学概率计算中的条件概率与独立性判定概率是数学中一个重要的概念，它描述了某个事件发生的可能性大小。
在概率计算中，条件概率与独立性判定是两个重要的考点，它们在解题过程中起着至关重要的作用。
本文将围绕这两个概念展开讨论，并通过具体题目的举例，说明其考点和解题技巧。
一、条件概率的概念和计算方法条件概率是指在已知某个条件下，另一个事件发生的概率。
常用的计算公式为：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)，其中P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，P(A∩B)表示事件A与事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
例如，某班学生中有30%的人会打篮球，其中男生占总人数的40%，女生占总人数的60%。
现在从该班级中随机抽取一个学生，已知这个学生会打篮球，求这个学生是男生的概率。
解题思路：设事件A表示所抽取的学生是男生，事件B表示所抽取的学生会打篮球。
根据已知条件可知，P(A) = 40%，P(B) = 30%，P(A∩B) = P(B|A) * P(A) = 0.3 * 0.4 = 0.12。
根据条件概率的计算公式可得到所求概率：P(A|B) = P(A∩B) / P(B) = 0.12 / 0.3 = 0.4。
通过这个例子，我们可以看出条件概率在解题中的重要性。
在实际应用中，条件概率常常用于处理复杂的情况，如疾病的诊断、市场调研等领域。
二、独立性判定的概念和判定方法独立性是指两个事件之间的发生与否不相互影响。
如果事件A和事件B是独立的，那么P(A∩B) = P(A) * P(B)。
否则，事件A和事件B是相关的。
例如，某班学生中有80%的人喜欢音乐，70%的人喜欢阅读，已知喜欢音乐的学生中有60%的人也喜欢阅读。
问喜欢音乐和喜欢阅读这两个事件是否独立？解题思路：设事件A表示喜欢音乐，事件B表示喜欢阅读。
根据已知条件可知，P(A) = 80%，P(B) = 70%，P(A∩B) = 60%。
条件概率与事件的独立性例题和知识点总结
条件概率与事件的独立性例题和知识点总结在概率论中，条件概率和事件的独立性是两个非常重要的概念。
理解它们对于解决各种概率问题至关重要。
下面，我们将通过一些具体的例题来深入探讨这两个概念，并对相关知识点进行总结。
一、条件概率条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
其定义为：设 A、B 是两个事件，且 P(A)＞0，在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的条件概率记为 P(B|A)，且 P(B|A) ＝ P(AB) ／P(A) 。
例 1：一个盒子里有 5 个红球和 3 个白球。
从中随机取出一个球，已知取出的是红球，求它是第二个红球的概率。
解：设 A 表示“第一次取出红球”，B 表示“第二次取出红球”。
则P(A) ＝ 5/8 。
P(AB) 表示“第一次和第二次都取出红球”，其概率为 5/8 × 4/7 ＝ 5/14 。
所以 P(B|A) ＝ P(AB) ／ P(A) ＝（5/14) ／（5/8) ＝4/7 。
例 2：某班级学生的数学成绩及格率为 80%，英语成绩及格率为70%，已知某学生数学成绩及格，求他英语成绩也及格的概率。
解：设 A 表示“数学成绩及格”，B 表示“英语成绩及格”。
P(A) ＝08 ，P(AB) 表示“数学和英语成绩都及格”，假设两者相互独立，则P(AB) ＝ 08 × 07 ＝ 056 。
所以 P(B|A) ＝ P(AB) ／ P(A) ＝ 056 ／ 08 ＝07 。
二、事件的独立性如果事件 A 的发生不影响事件 B 发生的概率，事件 B 的发生也不影响事件 A 发生的概率，那么称事件 A 和事件 B 相互独立。
即 P(B|A) ＝ P(B) 且 P(A|B) ＝ P(A) ，等价于 P(AB) ＝ P(A)P(B) 。
例 3：抛掷两枚均匀的硬币，设事件 A 为“第一枚硬币正面朝上”，事件 B 为“第二枚硬币正面朝上”，判断 A、B 是否独立。
概率论第三章事件的独立性
用P(AB)=P(A) P(B)刻划独立性,比用
P(A|B) = P(A) 或 P(B|A) = P(B)
更好,它不受P(B)>0或P(A)>0的制约.
一、两事件独立的定义
若两事件A、B满足
P(AB)= P(A) P(B)
(1)
则称A、B独立，或称A、B相互独立.
例1 从一副不含大小王的扑克牌中任取一 张，记 A={抽到K}, B={抽到的牌是黑色的}
所求为 P(A1∪A2∪A3)
记 Ai={第i个人破译出密码} i=1,2,3
1 所求为 P(A1∪A2∪A3)
3
已知, P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4
P(A1∪A2∪A3) 1 P( A1 A2 An )
2
1 P( A1A2 A3)
1 P( A1)P( A2 )P( A3)
= P( A1 )P( Ai1 ) P( Aim ).
[注释] 1. n个事件独立，则其中任意k（2≤k<n） 个事件也独立，反之未必成立，
2. 在实际应用中，独立性往往通过实际 意义判断，而不用定义证明；在理论证 明中，独立性用定义或定理证明。
3. 事件的独立与互斥是两个截然不同的概 念，互斥是指两个事件之间的关系，独 立是指两个事件概率之间的关系。
由于“甲命中”并不影响“乙命中”的
概率，故认为A、B独立 .
（即一事件发生与否并不影响另一事件发生 的概率）
又如：一批产品共n件，从中抽取2件，设 Ai={第i件是合格品} i=1,2
若抽取是有放回的, 则A1与A2独立.
因为第二次抽取的结果
不受第一次抽取的影响. 若抽取是无放回的，则A1 与A2不独立.
概率独立性与相关性的判断
概率独立性与相关性的判断概率独立性和相关性是概率论中的两个重要概念，它们在统计学和数据分析中具有广泛的应用。
本文将深入探讨概率独立性和相关性的判断方法及其在实际问题中的应用。
一、概率独立性的判断概率独立性是指两个事件的发生与否互相不影响，即事件A的发生与否对事件B的发生概率没有影响，反之亦然。
在判断概率独立性时，我们可以根据联合概率和边缘概率之间的关系进行分析。
对于两个事件A和B，若它们为独立事件，则有以下条件成立：P(A∩B) = P(A) * P(B)其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(A)表示事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
通过计算上述等式两边的数值来判断两个事件是否独立。
若等式成立，则说明两个事件独立；若等式不成立，则说明两个事件不独立。
举例来说，假设有一枚公正的硬币，事件A表示抛掷硬币正面朝上，事件B表示抛掷硬币反面朝上。
根据硬币的性质，我们知道事件A和事件B是独立的，因为抛掷硬币的结果不受之前的结果影响，每一次抛掷硬币的概率都是1/2。
二、相关性的判断相关性是指两个变量之间的关联程度。
在统计学中，用协方差和相关系数来衡量两个随机变量之间的相关性。
1. 协方差协方差是衡量两个变量关系强弱和方向的统计量，用Cov(X,Y)表示，其中X和Y为两个随机变量。
协方差的计算公式如下：Cov(X, Y) = E[(X-E(X))(Y-E(Y))]其中E表示期望值。
协方差为正值时，表示X和Y呈正相关；协方差为负值时，表示X和Y呈负相关；协方差为零时，表示X和Y不相关。
2. 相关系数相关系数是在协方差的基础上进行标准化的统计量，用ρ(X,Y)表示，取值范围为[-1,1]。
相关系数的计算公式如下：ρ(X, Y)= Cov(X, Y) / σ(X)σ(Y)其中σ(X)和σ(Y)分别表示X和Y的标准差。
相关系数接近于1时，表示X和Y呈正相关；相关系数接近于-1时，表示X和Y呈负相关；相关系数接近于0时，表示X和Y不相关。
概率论随机事件的独立性
解 设需配备n门此型号火炮,并设事件 Ai 表示第i 门火炮击中敌机，则
P ( Ai ) 1 1 P ( Ai ) 1 0.2 0.999
n n i 1
n
ln 0.001 n 4.29 ln 0.2
故至少需配备 5 门此型号火炮 .
第一章 概率论的基本概念
考虑n重Bernoulli试验中事件A 出现 k 次 的概率, 记为 Pn ( k )
例5 袋中有3 个白球, 2个红球,有放回取球 4 次,每次一个,求其中恰有2个白球的概率. 解一 古典概型
设 B 表示4个球中恰有2个白球
n 5 , nB C 3 2
4
2 4
2
2
C 32 P( B) 0.3456. 5
第一章 概率论的基本概念
容易证明， 只要分母不为0,(1),(2),(3),(4)式 的成立，只需要以下一个等式就可保证：
P( AB) P( A) P( B) - - - - - - - - - - - - - - - (5)
所以，事件独立性的定义为：
设A、B是两个随机事件，如果满足
P( AB) P( A) P( B)
P ( A) 1 P ( B ) P ( A) P ( B )
第一章 概率论的基本概念
例1 设甲、乙两射手独立地射击同一目标， 他们击中目标的概率分别为0.9和0.8.求在 一次射击中，目标被击中的概率.
第一章 概率论的基本概念
三个事件的独立性 设A、B、C是三个随机事件，如果同时满足如下 四个等式：
则称事件A与B相互独立.
两事件相互独立的性质
事件A与任一概率为0或1的事件都相互独立. 若 P ( A ) 0, P ( B ) 0,
概率论 独立性
第六节 独立性
两个事件的独立性 多个事件的独立性 独立性的概念在计算概率中的应用 小结
---
概率论
一、两事件的独立性
先看一个例子： 将一颗均匀骰子连掷两次，
设 A={第二次掷出6点}， B={第一次掷出6点}，
显然
P(A|B)=P(A)
这就是说,已知事件B发生,并不影响事件A发生的概
率,这时称事件A、B独立.
方的数是它们各自正常工作的概率. 求电路正常工 作的概率.
C
0.70
AB
D
0.95 0.95
0.70
E
0.70
F
0.75
H
G
0.率论
解 将电路正常工作记为W，由于各元件独立工 作，有
P W P A P B P C D E P F G P H
其中 P(C D E) 1 P(C )P(D )P(E ) 0.973
---
概率论
例如 S 1,2 ,3 ,4,A 1,2, B 1,3,
C 1,4,则
PA PB PC 1 , 并且 ,
2
PAB 1 PAPB ,
4
PAC 1 P A P C ,
4
PBC 1 PBPC .
4
即事件 A、B、C 两两独立 .
但是 PABC 1 PAPBPC .
也相互独立.
证明 仅证A与 B 独立
A、B独立
概率的性质 P(AB )= P(A - A B)
= P(A)- P(AB) = P(A)- P(A) P(B)
=P(A)[1- P(B)]= P(A) P(B )
故 A与 B独立
---
概率论
二、多个事件的独立性
概率论-独立性
i 1 i 1 i 1 i 1 n n n n
R II P A1 B1 A2 B2 An Bn P A1 B1 P A2 B2 P An Bn P A1 B1 P A1 P B1 P A1 B1 p 2 p .
A1，A2， , An两两独立.由定义2可知，n个事件相互独立， 则它们两两独立；反之不成立.
例1(伯恩斯坦反例）设有一均匀的正四面体，其 第一面染红色，第二面染白色，第三面染黑色，第四 面染红、白、黑色.现记 A={抛一次四面体朝下的一面出现红色}， B={抛一次四面体朝下的一面出现白色}， C={抛一次四面体朝下的一面出现黑色}，
1 P( A1 ) P( A2 ) P( An ) 1 1 n .
第一章 概率论的基本概念
§4 独立性
如果我们将试验一次接一次地做下去，即让n ， 由于0 1，则当n 时，P( A1 A2 An ) 1， 这说明小概率事件在大量重复试验中迟早出现的概率为1. 概率论中的这一结论，是有重要意义的。在实际工作中， 不能忽视小概率事件，如在山里乱丢烟头，就一次而言， 引起火灾的机会并不大，但是很多人都这么做，发生火灾 的概率就很大。
第一章 概率论的基本概念
§4 独立性
•
例3 通常称元件能正常工作的概率为元件的可靠性， 称由元件组成的系统能正常工作的概率为系统的可靠 性。假定构成系统的每个元件的可靠性均为p(0<p<1), 且各元件能否正常工作彼此独立。今有下面两个系统， 试比较其可靠性的大小。 解 我们用Ai ,Bi i 1, 2,, n 分别表示元件能够正常
大学数学易考知识点概率论的条件概率与独立性
大学数学易考知识点概率论的条件概率与独立性大学数学易考知识点：概率论中的条件概率与独立性概率论是数学中一个重要的分支，研究事物发生的可能性。
在大学数学的学习中，概率论是一个比较常见的考点。
其中，条件概率与独立性是概率论中的两个基本概念。
本文将详细介绍条件概率与独立性的概念、性质以及应用。
一、条件概率条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
其计算公式为：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)其中，P(A|B)表示事件B发生的条件下，事件A发生的概率；P(A∩B)表示事件A与事件B同时发生的概率；P(B)表示事件B发生的概率。
条件概率的计算可以通过实际问题的转化来帮助理解。
例如，某班级有60%的男生和40%的女生，已知班级中80%的学生喜欢数学。
现在要求已知一位学生是男生的条件下，他也喜欢数学的概率。
根据条件概率的计算公式，我们可以得到：P(喜欢数学|男生) = P(喜欢数学∩男生) / P(男生)由于已知喜欢数学的学生占总人数的80%，而男生占总人数的60%，则有：P(喜欢数学|男生) = (0.8*0.6) / 0.6 = 0.8所以，在已知一位学生是男生的条件下，他也喜欢数学的概率为0.8。
条件概率的计算方法对于实际问题的解决非常有用。
通过合理的条件划分，我们可以计算出各种条件下的概率，从而更好地理解和解决问题。
二、独立性在概率论中，独立性是指两个事件的发生与否互相不影响。
具体而言，事件A与事件B相互独立的条件为：P(A|B) = P(A)P(B|A) = P(B)即事件A发生的概率与事件B发生与否无关，事件B发生的概率与事件A发生与否无关。
两个独立事件的条件概率相等于事件的边际概率。
例如，某扑克牌中共有52张牌，我们从牌中随机抽取一张，记录下此牌的花色，然后将此牌放回。
再次从牌中随机抽取一张，记录下此牌为红桃。
问第一次所抽取的牌为红色的概率是多少？根据题意，第一次所抽取的牌为红色的概率为1/2，因为扑克牌中共有52张牌，其中红色牌有26张。
条件概率与独立性
条件概率与独立性1、条件概率：一般地，若有两个事件A和B，在已知事件B发生的条件下考虑事件A发生的概率，则称此概率为B 已发生的条件下A的条件概率。
记作：P(A|B)。
2、事件的积的概率：两个事件A、B同时发生时，其概率通常称为事件A与事件B的积的概率。
记作：P(A∩B)或P(AB)。
3、条件概率的有关计算：P(A|B)＝P(A B)/ P(B)；P(AB)＝P(A|B)·P(B)＝P(B|A)·P(A)。
4、事件的独立性：若事件A、B满足P(A|B)＝P(A)，即事件B的发生不影响事件A发生的概率(同样，事件A发生也不影响事件B发生的概率，即P(B|A)＝P(B))，则称事件A、B互相独立。
5、当事件A、B 互相独立时，P(AB)＝P(A)·P(B)。
若有n个事件(n＞2)互相独立，则有P(A1A2……A n)＝P(A1)·P(A2)·……·P(A n)。
例1：将一枚硬币抛掷两次，事件A表示两次正面向上，事件B表示至少有一次正面向上，求P(A)、P(B)、P(A B)、P(A|B)、P(B|A)。
例2：抛掷一颗质地均匀的骰子所得点数的样本空间记为S＝{1，2，3，4，5，6}，令事件A＝{2，3，4}，B＝{1，2，4，6}，求P(A)、P(A B)、P(A|B)。
例3：如图一所示的正方形被平均分成A、B、C、D、E、F、G、H、I九个部分，向大正方形区域随机投掷一个点(每次均能投中)，若投中左侧3个小正方形区域(即A、B、C)的事件记作M，投中最上面三个小正方形及正中间的一个小正方形事件(即A、D、G、E)，记作N，求P(MN)、P(M|N) 。
例4：在一个盒子中有大小相同的10个红球和10个白球，求第一个人摸出一个红球(不放回)，第 2 个人摸出一个白球的概率。
例5：连续抛掷一枚硬币n次(n＞2)，若前n－1次均为正面，求第n次出现反面的概率。
概率论-第一章1.6-独立性
如果两个事件不能同时发生，那么它 们之间没有任何联系？
如果一个事件发生了，我们即可以确 定另外一个事件不会发生！
性质:
当 P( A) > 0, P( B) > 0 时，互不相容与相互独立 不能同时成立。
证： A、B互不相容 P( AB) = 0 ⇒ P( AB) ≠ P( A) P( B) 反之 A、B 相互独立 = P( AB) P( A) P( B) > 0 则 AB ≠ Φ ，故A、B不可能互不相容。
这在直观上很显然，但证明较麻烦. 若B3=A4A5A6，则B2 , B3就不一定独立，因为都 与A4有关.
例：设某型号高炮命中率为0.6，现若干门炮同时发射
（每炮一发）,欲以99%以上的把握击中来犯的一架敌机， 至少需要配备几门炮？ 解：设n为所需炮数，
i = 1, 2, , n Ai 表示第i门炮击中飞机，
从四个球中任取一个
1 2 3
123
即A 1、A2、A3 两两独立。
1 1 1 1 1 P ( A1 A2 A3 ) = ≠ P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ) = ⋅ ⋅ = 4 2 2 2 8
所以A 1、A2、A3 不相互独立。
定理4 设 n个事件A1, A2, …An相互独立，则把它们中的任意 m (1≤m ≤ n)个事件换成各自事件的逆事件，则所得的n个事件 也相互独立.
定理1: 当 P ( A ) > 0 ( 或 P ( B ) > 0)时，
事件A与B 独立的充要条件是:
P ( B A) = P ( B )
(或 P ( A B ) = P ( A) )
P ( AB )= P ( A) P ( B ) ⇔ P ( B A)= P ( B )
《概率论与数理统计》-课件 独立性
3.三事件两两相互独立的概念
定义 设 A, B,C 是三个事件,如果满足等式
P( AB) P( A)P(B),
P(
BC
)
P(
B)P(C
),
P( AC ) P( A)P(C ),
则称事件 A, B, C 两两相互独立.
4.三事件相互独立的概念
定义 设 A, B,C 是三个事件,如果满足等式
3 p3(1 2
p) 4 p3(1 2
p)2 .
由于 p2 p1 p2(6 p3 15 p2 12 p 3)
3 p2( p 1)2(2 p 1).
当
p
1 时, 2
p2
p1;
当
p
1 时, 2
p2
p1
1. 2
故当 p 1 时, 对甲来说采用五局三胜制有利 . 2
当 p 1 时, 两种赛制甲最终获胜的概率是 2
例7 甲、乙两人进行乒乓球比赛, 每局甲胜的 概率为 p( p 1 2),问对甲而言, 采用三局二胜制 有利, 还是采用五局三胜制有利. 设各局胜负相 互独立. 解 采用三局二胜制,甲最终获胜,
胜局情况可能是:
“甲甲”, “乙甲甲”, “甲乙甲”;
由于这三种情况互不相 容, 于是，由独立性得甲最终获胜的概率为:
又因为 A、B 相互独立, 所以有 P( AB) P( A)P(B),
因而 P( AB) P( A) P( A)P(B) P( A)(1 P(B))
P( A)P(B). 从而 A 与 B 相互独立.
两个结论
1 . 若事件 A1 , A2 , , An (n 2) 相互独立 , 则 其中任意 k (2 k n)个事件也是相互独立.
概率事件的独立性分析
概率事件的独立性是一个核心概念，在概率论和统计学中有广泛应用。
理解独立事件有助于我们更准确地分析复杂系统中的不确定性。
本文将详细探讨概率事件的独立性，包括其定义、性质、应用，以及在现实世界中的意义和局限性。
一、独立性的定义两个事件A和B如果满足以下条件，则称它们是独立的：P(A ∩ B) = P(A) × P(B)其中，P(A ∩ B)表示事件A和B同时发生的概率，P(A)和P(B)分别表示事件A和B发生的概率。
这个定义直观的表达了独立性的含义：一个事件的发生不影响另一个事件的概率。
二、独立性的性质1. 交换性：如果A和B是独立的，那么B和A也是独立的。
这符合我们对独立性的直观理解，即独立关系不具有方向性。
2. 对称性：如果A和B是独立的，那么对于任何事件C，A和C独立的概率等于B和C独立的概率。
这意味着在独立关系中，一个事件与其他事件的独立性不依赖于其他特定事件。
3. 传递性：如果A和B独立，B和C独立，那么A和C也是独立的。
这个性质表明，独立性可以在事件之间传递，使得我们可以更方便地分析多个事件之间的独立关系。
三、独立性的应用1. 赌博游戏：在许多赌博游戏中，如掷骰子或抽取扑克牌，每次抽取都是独立的。
这意味着前一次的结果不会影响下一次的结果，从而保证了游戏的公平性。
2. 可靠性工程：在可靠性工程中，独立性概念用于评估系统的整体可靠性。
如果系统中的各个组件故障是相互独立的，那么整个系统的可靠性可以通过单个组件的可靠性来计算。
3. 统计分析：在统计分析中，独立性假设是许多统计模型的基础。
例如，在回归分析中，我们假设自变量和因变量之间的关系是独立的，以便更准确地预测因变量的值。
四、独立性与条件独立性条件独立性是两个事件在给定第三个事件的情况下相互独立。
即如果已知事件C发生，那么事件A和B的发生是独立的。
条件独立性的概念扩展了独立性的定义，使我们能够在更复杂的情境中分析事件之间的关系。
例如，在天气预报中，给定某个大气条件C（如高压系统），某地区明天是否下雨A和后天是否下雨B可能是条件独立的，即明天的雨水不会影响后天是否下雨，在给定的大气条件下。
随机变量的独立性和条件概率分布
随机变量的独立性和条件概率分布是概率论中的重要概念，在很多领域都有广泛的应用。
独立性的概念是指两个或多个事件之间的关系，而条件概率分布则是指随机变量在给定一些条件下的概率分布。
首先来看独立性。
在数学上，独立性通常指的是两个随机变量之间的关系。
如果两个随机变量X和Y是独立的，那么它们可以分别考虑，而且它们之间的任何影响都不会相互影响。
具体来说，如果两个随机变量X和Y是独立的，那么它们的联合概率分布可以拆分成它们各自的概率分布的乘积。
即，P(X=x, Y=y) = P(X=x) * P(Y=y)。
举个例子，假设我们有两个骰子，我们把它们连续掷两次。
我们可以定义随机变量X为第一次掷出的点数，随机变量Y为第二次掷出的点数。
如果我们假设这两个骰子是六面的，并且它们是公平的，那么每个点数出现的概率都是1/6。
因此，我们可以计算出X和Y的概率分布，分别为P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)=P(X=5)=P(X=6)=1/6和P(Y=1)=P(Y=2)=P(Y=3)=P(Y=4)=P(Y=5)=P(Y=6)=1/6。
现在，假设我们想知道掷出的两个点数是相等的这个事件的概率。
我们可以用独立性来计算。
因为X和Y是独立的，所以P(X=x, Y=y) =P(X=x) * P(Y=y)，因此，P(X=Y) = ΣP(X=x, Y=x) = ΣP(X=x) *P(Y=x) = 1/6 * 1/6 + 1/6 * 1/6 +...+1/6 * 1/6 = 1/6。
接下来看条件概率分布。
条件概率分布是指，在给定一些条件下，随机变量的概率分布。
具体来说，如果我们知道了一些关于随机变量的信息，那么我们可以通过条件概率分布来计算在这些信息下随机变量的取值的概率。
条件概率分布通常用P(X|Y)表示，表示给定Y的条件下，X的概率分布。
它可以通过原始的概率分布计算得到。
具体来说，如果我们知道了Y的取值，那么我们可以将联合概率分布进行归一化，得到在Y取值的条件下，X取值的概率分布。
随机事件的独立性与条件概率
随机事件的独立性与条件概率随机事件的独立性和条件概率是概率论中的重要概念，它们在统计学和实际应用中有着广泛的应用。
了解和理解这些概念对于正确分析和解释随机事件具有重要意义。
首先，我们来看随机事件的独立性。
两个事件A和B被称为独立事件，当且仅当事件A的发生与事件B的发生是相互独立的，即事件A的发生与事件B的发生没有任何关联。
数学上可以用概率的乘法定理来描述独立事件的概率关系。
假设事件A的概率为P(A)，事件B的概率为P(B)，则当且仅当P(A∩B) = P(A) × P(B)时，事件A和B是独立的。
例如，假设我们有一副扑克牌，抽出一张牌的事件A是抽出红心，抽出一张牌的事件B是抽出Q牌。
如果P(A) = 1/4，P(B) = 1/13，而P(A∩B) = 1/52，则事件A 和B是独立的，因为P(A∩B) = P(A) × P(B)。
另外一个重要的概念是条件概率。
条件概率是指在已经发生了某个事件的条件下，另一个事件发生的概率。
条件概率用P(A|B)表示，读作“在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率”。
条件概率可以通过概率的除法定理来计算。
假设事件A和事件B是两个不独立的事件，则P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
以前面的例子为例，已经抽出的牌是红心的条件下，抽出Q牌的概率即为P(B|A) = P(A∩B) / P(A)。
根据前面的数据，我们可以计算得到P(B|A) = (1/52) / (1/4) = 1/13，即在已经抽出红心的条件下，抽出Q牌的概率为1/13。
通过条件概率的概念，我们可以进一步引入贝叶斯公式。
贝叶斯公式是一种计算条件概率的方法，它是由英国数学家贝叶斯提出的。
贝叶斯公式可以用于计算在一些已知条件下，另一个事件发生的概率。
贝叶斯公式可以表示为P(A|B) = P(B|A) × P(A) / P(B)。
贝叶斯公式的应用非常广泛，例如在医疗诊断、信号处理和机器学习等领域中都有重要的应用。
第二章条件概率与独立性
同理可证
P( AB)
P(B | A)
(P( A) 0)
P( A)
7
但是，这个普遍规律不能在一般的情况下用纯数学 的方法推导出来，下面就将它作为条件概率的定义， 叙述如下：
定义2.1 设A和B为任意两个事件，且P(B)>0，则 称比值 P(AB)/P(B)
为事件A在事件B发生的条件下的条件概率，记作 P(A|B)=P(AB)/P(B).
解 设事件A1,A2,A3分别表示抽到的产品是甲、乙、 丙车间生产的产品；事件B表示抽到的一个产品是 次品.
由于BA1+A2+A3，且A1,A2,A3互不相容，故由全
概率公式
3
P(B) P( Ai )P(B | Ai )
i 1
25
又因
P(
A1
)
25 100
,
P(
A2
)
35 100
P(A|B)= P(AB)/P(B)(P(B)>0)
5
而式子 P(A|B)=P(AB)/P(B)(P(B)>0)
即
P( A | B) P( AB) (P(B) 0) P(B)
注意式子 P(A|B)=P(AB)/P(B)(P(B)>0)
的成立不是偶然的，是普遍规律，下面就古典概率 的情况证明பைடு நூலகம்.
的事件，且P(Ai )>0(i=1,2,…,n)，若对任一事件B，
有A1+A2+…+AnB，则
n
P(B) P( Ai )P(B | Ai ) i 1
23
证 因A1+A2+…+AnB，故
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或
概率论
证 先证必要性 . 设事件 A、B 独立 ,由独立定义知
P AB P A P B
P AB P AP B P A 所以 ,当 P B 0 时 , P A | B P B P B P AB P AP B P B 或者 ,当 P A 0 时 , P B | A P A P A
则称三事件 A、B、C 为两两独立的事件 .
当事件A、B、C 两两独立时 , 等式 P ABC P AP B P C
不一定成立 .
概率论
例如 S 1 , 2 , 3 , 4 , A 1 , 2 , B 1 , 3 ,
1 C 1 , 4 , 则 P A P B P C , 并且 , 2 1 P AB P AP B , 4 1 P AC P A P C , 4 1 P BC P B P C . 4 即事件 A、B、C 两两独立 . 1 . 但是 P ABC P AP B P C 4
的 k 1 k n , 和任意的1 i1 i2 ik n 有等式 P Ai1 Ai2 Aik P Ai1 P Ai2 P Aik
则称 A1 , A2 , , An 为相互独立的事件.
定理 若n个事件A1，…，An相互独立，则将其中任 意k个事件换成其对立事件后所得到的n个事件仍相 互独立。 请注意多个事件两两独立与相互独立的区别与联系 对 n (n > 2)个事件
再证充分性 : 设 P A | B P A 成立 , 则有
P AB P A | B P B P AP B
由定义可知, 事件 A、B 相互独立 .
概率论
请问：如图的两个事件是独立的吗？ 我们来计算：
A
P(AB)=0
而P(A) ≠0, P(B) ≠0
3
4 2 3 3 1 0.6 5 3 4 5
概率论
三、小结
这一讲，我们介绍了事件独立性的概念. 不 难发现，当事件相互独立时，乘法公式变得十分 简单，因而也就特别重要和有用. 如果事件是独 立的，则许多概率的计算就可大为简化.
概率论
四、 布置作业
《概率统计》习题册
相互独立
?
两两独立
概率论
例 三人独立地去破译一份密码，已知各人能译 出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至少有一人 能将密码译出的概率是多少？ 解 将三人编号为1，2，3， 记 Ai={第i个人破译出密码} 所求为 P A1 A2 A3 已知, P(A1)=1/5 , P(A2)=1/3 , P(A3)=1/4 i=1 , 2 , 3
概率的性质 A、B独立
P(A B )= P(A - A B)
= P(A)- P(AB) = P(A)- P(A) P(B) =P(A)[1- P(B)] = P(A) P(B ) 故 A与 B 独立
概率论
二、多个事件的独立性
定义 设 A、B、C 为三事件 , 如果满足等式
P AB P AP B P AC P AP C P BC P B P C
概率论
第六节
独立性
两个事件的独立性
多个事件的独立性
独立性的概念在计算概率中的应用
小结 布置作业
一、两事件的独立性
两事件独立的定义 若两事件A、B满足
P(AB)= P(A) P(B) (1)
概率论
则称A、B相互独立，简称A、B独立.
定理 1 事件 A、B 独立的充要条件为
P A | B P A , P B 0 P B | A P B , P A 0
B
即
P(AB) ≠ P(A)P(B)
故 A、B不独立 即 若A、B互斥，且P(A)>0, P(B)>0, 则A与B不独立. 反之，若A与B独立，且P(A)>0, P(B)>0, 则A 、B不互斥.
概率论
定理 2 若两事件A、B独立, 则 A 与B, A与B , A 与B 也相互独立. 证明 仅证A与 B 独立
概率论
对于三个事件A、B、C，若
P(AB)= P(A)P(B)
P(AC)= P(A)P(C) P(BC)= P(B)P(C) P(ABC)= P(A)P(B)P(C) 四个等式同时成立,则称事件A、B、C相互独立.
此பைடு நூலகம்义可以推广到任意 有限多个事件的情形:
概率论
定义 设 A1 , A2 , , An 为 n 个事件 , 如果对于任意
P A1 A2 A3 1 P A1 A2 A3
概率论
1
P A1 A2 A3 1 P A1 A2 A3
1 P ( A1 A2 A3 )
2
1 P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 )
=1-[1-P(A1)][1-P(A2)][1-P(A3)]