第二章条件概率与独立性
高中数学第二章概率2.2条件概率与事件的独立性2.2.1-2.2.2条件概率与事件的独立性课堂导学案
-2.2.2 条件概率与事件独立性课堂导学三点剖析一、条件概率【例1】一个家庭中有两个小孩，假定生男、生女是等可能，这个家庭有一个是女孩，问这时另一个小孩是男孩概率是多少？解析：一个家庭两个小孩子只有4种可能：{两个都是男孩子}，{第一个是男孩，第二个是女孩}，{第一个是女孩，第二个是男孩}，{两个都是女孩}，由题目假定可知这4个根本领件发生是等可能.根据题意，设根本领件空间为Ω，A=“其中一个是女孩〞，B=“其中一个是男孩〞，那么Ω={〔男，男〕，〔男，女〕，〔女，男〕，〔女，女〕}， A={〔男，女〕，〔女，男〕，〔女，女〕}，B={〔男，男〕，〔男，女〕，〔女，男〕}，AB={〔男，女〕，〔女，男〕}，问题是求在事件A 发生情况下，事件B 发生概率，即求P 〔B|A 〕.由上面分析可知P 〔A 〕=43，P 〔AB 〕=42. 由公式②可得P 〔B|A 〕=, 因此所求条件概率为32. 温馨提示关键是弄清楚P 〔A·B〕及P 〔A 〕.二、事件独立性应用【例2】甲、乙两名篮球运发动分别进展一次投篮，如果两人投中概率都是0.6，计算： 〔1〕两人都投中概率；〔2〕其中恰有一人投中概率；〔3〕至少有一人投中概率.思路分析：甲、乙两人各投篮一次，甲〔或乙〕是否投中，对乙〔或甲〕投中概率是没有影响，也就是说，“甲投篮一次，投中〞与“乙投篮一次，投中〞是相互独立事件.因此，可以求出这两个事件同时发生概率.同理可以分别求出，甲投中与乙未投中，甲未投中与乙投中，甲未投中与乙未投中同时发生概率，从而可以得到所求各个事件概率.解：〔1〕设A=“甲投篮一次，投中〞，B=“乙投篮一次，投中〞，那么AB=“两人各投篮一次，都投中〞.由题意知，事件A 与B 相互独立，根据公式③所求概率为 P 〔AB 〕=P 〔A 〕·P(B)=0.6×0.6=0.36.(2)事件“两人各投篮一次，恰好有一人投中〞包括两种情况：一种是甲投中、乙未投中〔事件A∩B 发生〕，另一种是甲未投中、乙投中〔事件A∩B 发生〕。
李贤平概率论基础 2.2
点构成:(正,红)，(正,白)，(正,黑)，(
反 , 红 )， ( 反 ,白 )， ( 反 ,黑 )。
定义：
“与第k次试验有关的事件”：这种事 件发生与否仅与第k次试验的结果有关。
因此判断某一样本点是否属于这个事 件，只需察看它的第k个分量。 必然事件与不可能事件可以认为与所 有的试验有关。
定义 Ak ——与第k次实验有关的事件全体。 若对于任意的
练习：某型号火炮的命中率为0.8, 现有一架 敌机即将入侵，如果欲以 99.9 % 的概率击 中它，则需配备此型号火炮多少门？ 解 设需配备 n 门此型号火炮 设事件 Ai 表示第 i 门火炮击中敌机
P( Ai ) 1 1 P( Ai ) 1 0.2 0.999
n n i 1
例4 甲、乙两人进行乒乓球 比赛, 每局甲胜的 概率为 p ( p 1 2) , 问对甲而言 , 采用三局二胜制 有利, 还是采用五局三胜制有 利. 设各局胜负相 互独立.
解 采用三局二胜制 , 甲最终获胜,
胜局情况可能是 :
“甲甲”, “乙甲甲”,
“甲乙甲”;
由于这三种情况互不相容,
于是由独立性得甲最终 获胜的概率为 :
p1 p2 2 p2 (1 p).
采用五局三胜制 ,甲最终获胜, 至少需比赛 3 局,
且最后一局必需是甲胜 , 而前面甲需胜二局.
例如, 比赛四局, 则甲的胜局情况可能是:
“甲乙甲甲”,“乙甲甲甲”,“甲甲乙甲”; 由于这三种情况互不相容, 于是由独立性得 :
在五局三胜制下 ,甲最终获胜的概率为:
则称 A1 , A2 ,, An 为相互独立的事件.
n 个事件相互独立 n个事件两两相互独立
定义：称无穷多个事件相互独立，如果其中任意 有限多个事件都相互独立。
浙大概率论第五版习题答案
浙大概率论第五版习题答案浙大概率论第五版习题答案概率论是数学中的一门重要学科，它研究的是随机现象的规律和性质。
在浙江大学的概率论教材中，第五版是最新的版本，它包含了许多习题供学生练习和巩固知识。
本文将为大家提供浙大概率论第五版习题的答案，帮助大家更好地理解和掌握概率论的知识。
第一章：概率论的基本概念和基本原理1.1 概率的基本概念1. 掷一颗骰子，出现1的概率是多少？答案：由于骰子有6个面，每个面出现的概率是相等的，所以出现1的概率是1/6。
2. 一个袋子里有5个红球和3个蓝球，从中随机取出一个球，取到红球的概率是多少？答案：袋子中一共有8个球，其中5个是红球，所以取到红球的概率是5/8。
1.2 随机事件及其概率1. 从一副扑克牌中随机抽取一张牌，取到红桃的概率是多少？答案：一副扑克牌中有52张牌，其中有13张红桃牌，所以取到红桃的概率是13/52，即1/4。
2. 一箱中有6个红球和4个蓝球，从中不放回地抽取2个球，取到两个红球的概率是多少？答案：第一次抽取红球的概率是6/10，第二次抽取红球的概率是5/9，所以取到两个红球的概率是(6/10)*(5/9)=30/90，即1/3。
第二章：条件概率与独立性2.1 条件概率及其性质1. 一批产品中有10%的次品，现从中随机抽取一个产品，如果抽到的产品是次品，那么它是A型产品的概率是30%，那么这批产品中A型产品的比例是多少？答案：设A为抽到的产品是A型产品的事件，B为抽到的产品是次品的事件。
根据条件概率的定义，P(A|B)=0.3，P(B)=0.1，所以P(A∩B)=P(B)*P(A|B)=0.1*0.3=0.03。
又因为P(A∩B)=P(A)*P(B)，所以P(A)=P(A∩B)/P(B)=0.03/0.1=0.3。
2. 一批产品中有20%的次品，现从中随机抽取两个产品，如果第一个产品是次品，那么第二个产品也是次品的概率是多少？答案：设A为第一个产品是次品的事件，B为第二个产品是次品的事件。
概率论中的独立性与条件概率研究
概率论中的独立性与条件概率研究概率论是数学中的一个重要分支，研究随机事件发生的可能性。
在概率论中，独立性和条件概率是两个基本概念，它们在解决实际问题和推导数学公式中起着重要的作用。
独立性是指两个或多个事件之间的关系，当一个事件的发生与另一个事件的发生无关时，我们称这两个事件是独立的。
例如，投掷一枚硬币的结果与掷骰子的结果无关，这两个事件是独立的。
独立性在概率计算中非常重要，它使我们能够简化问题的复杂度，从而更容易计算概率。
条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
条件概率可以用符号P(A|B)表示，其中A和B分别代表两个事件。
例如，已知某个人患有某种疾病的概率是1%，而在患有该疾病的人中，某种检测方法的准确率为90%。
那么，对于一个随机选取的人，他患有该疾病且检测结果为阳性的概率是多少？在解决这个问题时，我们可以使用条件概率的定义。
设事件A表示一个人患有该疾病，事件B表示检测结果为阳性。
我们需要求解的是P(A|B)，即在已知检测结果为阳性的条件下，一个人患有该疾病的概率。
根据条件概率的定义，我们有：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)其中，P(A∩B)表示事件A和B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
根据已知条件，我们可以得到P(A∩B) = P(A) * P(B|A)，即一个人患有该疾病且检测结果为阳性的概率等于一个人患有该疾病的概率乘以检测结果为阳性的准确率。
代入上述公式，我们可以得到：P(A|B) = P(A) * P(B|A) / P(B)代入已知条件，我们可以计算出P(A|B) = (0.01 * 0.9) / (0.01 * 0.9 + 0.99 * 0.1) ≈ 0.083。
也就是说，一个随机选取的人患有该疾病且检测结果为阳性的概率约为8.3%。
通过这个简单的例子，我们可以看到条件概率在解决实际问题中的重要性。
它能够帮助我们计算出在已知某些条件下的概率，从而更好地理解和分析问题。
条件概率与事件的独立性例题和知识点总结
条件概率与事件的独立性例题和知识点总结在概率论中，条件概率和事件的独立性是两个非常重要的概念。
理解并掌握它们对于解决各种概率问题至关重要。
接下来，我们将通过一些具体的例题来深入探讨这两个概念，并对相关知识点进行总结。
一、条件概率条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
其定义为：设 A、B 是两个事件，且 P(A) ＞ 0，在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的条件概率记为 P(B|A)，且 P(B|A) ＝ P(AB) ／P(A) 。
例如，一个盒子里有 5 个红球和 3 个白球。
从中随机取出一个球，已知取出的是红球，那么这个红球是第一次取出的球的概率是多少？首先，总的取球情况有 8 种。
取出红球的情况有 5 种。
第一次取出红球的情况有 5 种。
所以，P(第一次取出红球|取出的是红球) ＝ 5 ／ 5 ＝ 1 。
二、事件的独立性如果事件 A 的发生不影响事件 B 发生的概率，事件 B 的发生也不影响事件 A 发生的概率，那么称事件 A 和事件 B 是相互独立的。
即如果 P(B|A) ＝ P(B) 且 P(A|B) ＝ P(A) ，则事件 A 和事件 B 相互独立。
例如，有两个独立的事件 A 和 B，P(A) ＝ 04 ，P(B) ＝ 05 ，那么P(AB) ＝ P(A) × P(B) ＝ 04 × 05 ＝ 02 。
再来看一个例子，一个家庭有两个孩子，已知第一个孩子是男孩，那么第二个孩子是女孩的概率是多少？假设生男生女的概率相等，都是 05 。
因为这两个孩子的性别是相互独立的事件，所以第二个孩子是女孩的概率仍然是 05 。
三、条件概率与事件独立性的关系事件的独立性与条件概率有着密切的关系。
如果事件 A 和事件 B相互独立，那么 P(B|A) ＝ P(B) ，P(A|B) ＝ P(A) 。
反之，如果 P(B|A)＝ P(B) 且 P(A|B) ＝ P(A) ，则事件 A 和事件 B 相互独立。
事件的独立性与条件概率
事件的独立性与条件概率事件的独立性与条件概率是概率论中非常重要的概念，它们的理解与应用在各个领域都具有广泛的意义。
在本文中，我将探讨事件的独立性和条件概率的概念及其关系。
一、事件的独立性事件的独立性是指两个或多个事件之间的发生与否互不影响。
换句话说，当两个或多个事件独立发生时，它们的概率乘积等于它们各自发生的概率之积。
以掷硬币为例，假设我们掷两枚硬币，事件A表示第一枚硬币为正面，事件B表示第二枚硬币为正面。
如果两个事件相互独立，那么P(A∩B) = P(A)×P(B)。
也就是说，第一枚硬币为正面的概率与第二枚硬币为正面的概率乘积等于两枚硬币都为正面的概率。
二、条件概率条件概率是在已知一个或多个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
通常表示为P(A|B)，表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
仍以掷硬币为例，事件A表示第一枚硬币为正面，事件B表示两枚硬币都为正面。
如果已知第一枚硬币为正面，即事件A已经发生，那么事件B的概率会发生变化，变成了P(B|A)。
这时，我们可以用条件概率的公式计算出P(B|A)。
三、事件的独立性与条件概率的关系事件的独立性与条件概率有着密切的关系。
当两个事件A和B是相互独立的时候，P(A|B) = P(A)，也就是说，当事件B已经发生的情况下，事件A发生的概率与事件B未发生时的概率相等。
反过来讲，如果已知事件B发生，且P(A|B) = P(A)，那么事件A 与事件B就是相互独立的。
因此，可以通过条件概率的计算来判断事件之间的独立性。
四、应用举例事件的独立性与条件概率在实际应用中有许多重要的应用。
以下是几个常见的应用场景：1. 疾病诊断：在医学领域，独立性与条件概率可以用于判断多个疾病的共同发生概率。
例如，根据患者的症状，通过条件概率可以计算出某种疾病的患病概率。
2. 金融风险评估：在金融领域，独立性与条件概率可以用于评估投资组合的风险。
通过将不同资产之间的独立性与条件概率应用到投资组合的构建中，可以更准确地评估风险和收益。
条件概率与独立事件
条件概率与独立事件条件概率和独立事件是概率论中的重要概念，它们在许多实际问题的建模和分析中发挥着重要的作用。
本文将详细介绍条件概率和独立事件，探讨它们的定义、性质和应用。
一、条件概率的定义和性质条件概率是指在一个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
设A、B为两个事件，且P(B)>0，则事件A在事件B发生的条件下发生的概率记作P(A|B)，其定义为P(A|B)=P(A∩B)/P(B)。
针对条件概率，有以下两个重要性质：1. 乘法公式：对于两个事件A、B，有P(A∩B)=P(B)×P(A|B)。
这个公式可以从条件概率的定义中推导出来，对于事件A同时发生且B发生的概率，等于B先发生的概率乘以在B发生的条件下A发生的概率。
2. 全概率公式：对于一组互斥事件B1、B2、...、Bn，它们构成了一个样本空间的划分，即B1∪B2∪...∪Bn=Ω（Ω表示样本空间）。
则对于事件A，有P(A)=P(A|B1)×P(B1)+P(A|B2)×P(B2)+...+P(A|Bn)×P(Bn)。
全概率公式的作用在于利用条件概率进行事件概率的计算。
二、独立事件的定义和性质独立事件是指两个事件发生与否互不影响的事件。
设A、B为两个事件，如果P(A|B)=P(A)，则称事件A与事件B相互独立。
同理，如果P(B|A)=P(B)，也可以认为事件A与事件B相互独立。
独立事件有以下重要性质：1. 事件的独立性是一个对称的概念，即A与B独立等价于B与A独立。
2. 如果事件A与事件B相互独立，那么事件A与事件B的补集A'与B的补集B'也相互独立。
3. 如果事件A与事件B相互独立，那么事件A与B的并集A∪B的概率等于事件A的概率与事件B的概率之和减去事件A与B的交集的概率，即P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。
三、条件概率和独立事件的应用条件概率和独立事件在实际问题中有着广泛的应用，例如医学诊断、网络安全、金融风险评估等领域。
概率论和数理统计(第三学期)第2章条件概率与独立性
PA1PA2 A1PA3 A1A2
(1 p) p p p p 1 p p p p p 1 p p p p p
2
2
2
1 5 3 pp3
2
§2.2 全概率公式与贝叶斯公式
全概率公式
定理 设B1，B2，…，Bn 是一组两两互斥的事件，且
n
(1) Bi i 1
(3)P( A3 B) 1 P( A3 B)
1
0.2 0.2
0.93
0.5 0.6 0.3 0.9 0.2 0.2
解法二：
(3)P( A1 A2 B) P( A1 B) P( A2 B) 0.49 0.44 0.93
a a 1 b
a
a b a b 1 a b a b 1
a ab
例2 一商店出售的某型号的晶体管是甲、乙、
丙三家工厂生产的，其中乙厂产品占总数的５０％， 另两家工厂的产品各占２５％。已知甲、乙、丙各 厂产品合格率分别为0.9、0.8、0.7，试求随意取出 一只晶体管是合格品的概率（也就是本商店出售货 的合格率）。
pk
1 4
(
pk
pk 1 )
pn p1 ( p2 p1 ) ( p3 p2 ) ( pn pn1 )
1 1 n1
p1
4 1 1
( p2 p1 )
4
即
pn
3 5
(1)n 10
1 4n 1
贝叶斯公式
定理 设B1，B2，…，Bn是一组两两互斥的事件，且
n
(1) Bi i 1
而p1
m 1 m
pn
1 2
1
m2 m
n
当n
时，pn
1 2
例4 连续做某项试验，每次试验只有成功和失败
条件概率与独立事件(二)
思考： （1）互斥事件、对立事件、相互独立事件的区别？ 两个互斥事件在一次实验中不可能同时发生，即至多发生 一个；对立事件一定是互斥事件，且在一次试验中有且仅 有一个事件发生；两个互相独立事件是指一个事件发生与 否对另一件事件发生的概率没有影响。
A
B
小结
有三种方法判断两事件是否具有独立性
(1)定义法：直接判定两个事件发生是否相互影响；
跟踪训练1 已知下列各对事件： (1) 甲组 3 名男生， 2 名女生；乙组 2 名男生， 3 名女生．今 从甲、乙两组中各选一名同学参加游园活动．“从甲组中 选出一名男生”与“从乙组中选出一名女生”． (2)一盒内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球．“从8个球中 任取 1个，取出的是白球”与“从剩下的 7个球中任意取 1 个，取出的仍是白球”． (3)一筐内有6个苹果和3个梨，“从中任取1个，取出的是 苹果”与“取出第一个后放回筐内，再取1个是梨”． 其中为相互独立事件的有 ( B ) A．(1)(2) B．(1)(3) C．(2) D．(2)(3)
例2 某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品 可以获得一张奖券．奖券上有一个兑奖号码，可以分别参 加两次抽奖方式相同的兑奖活动．如果两次兑奖活动的中 奖概率都是0.05，求两次抽奖中以下事件的概率： (1)都抽到某一指定号码； (2)恰有一次抽到某一指定号码； (3)至少有一次抽到某一指定号码．
大学数学易考知识点概率论的条件概率与独立性
大学数学易考知识点概率论的条件概率与独立性大学数学易考知识点：概率论中的条件概率与独立性概率论是数学中一个重要的分支，研究事物发生的可能性。
在大学数学的学习中，概率论是一个比较常见的考点。
其中，条件概率与独立性是概率论中的两个基本概念。
本文将详细介绍条件概率与独立性的概念、性质以及应用。
一、条件概率条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
其计算公式为：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)其中，P(A|B)表示事件B发生的条件下，事件A发生的概率；P(A∩B)表示事件A与事件B同时发生的概率；P(B)表示事件B发生的概率。
条件概率的计算可以通过实际问题的转化来帮助理解。
例如，某班级有60%的男生和40%的女生，已知班级中80%的学生喜欢数学。
现在要求已知一位学生是男生的条件下，他也喜欢数学的概率。
根据条件概率的计算公式，我们可以得到：P(喜欢数学|男生) = P(喜欢数学∩男生) / P(男生)由于已知喜欢数学的学生占总人数的80%，而男生占总人数的60%，则有：P(喜欢数学|男生) = (0.8*0.6) / 0.6 = 0.8所以，在已知一位学生是男生的条件下，他也喜欢数学的概率为0.8。
条件概率的计算方法对于实际问题的解决非常有用。
通过合理的条件划分，我们可以计算出各种条件下的概率，从而更好地理解和解决问题。
二、独立性在概率论中，独立性是指两个事件的发生与否互相不影响。
具体而言，事件A与事件B相互独立的条件为：P(A|B) = P(A)P(B|A) = P(B)即事件A发生的概率与事件B发生与否无关，事件B发生的概率与事件A发生与否无关。
两个独立事件的条件概率相等于事件的边际概率。
例如，某扑克牌中共有52张牌，我们从牌中随机抽取一张，记录下此牌的花色，然后将此牌放回。
再次从牌中随机抽取一张，记录下此牌为红桃。
问第一次所抽取的牌为红色的概率是多少？根据题意，第一次所抽取的牌为红色的概率为1/2，因为扑克牌中共有52张牌，其中红色牌有26张。
高中数学 第2章 概率 2.2 条件概率与事件的独立性 2.2.1 条件概率 2.2.2 事件的独立
2．2.1 条件概率 2．2.2 事件的独立性1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念．2.理解条件概率公式和相互独立事件同时发生的概率公式．3．能利用概率公式解决实际问题．1．条件概率(1)定义：对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号“P (B |A )”来表示，读作“A 发生的条件下B 发生的概率”．类似地，事件B 发生的条件下事件A 发生的条件概率记为“P (A |B )”，读作“B 发生的条件下A 发生的概率”．(2)事件的交(或积)由事件A 和B 同时发生所构成的事件D ，称为事件A 与B 的交(或积)，记作D ＝A ∩B (或D ＝AB )．(3)条件概率计算公式 一般地，条件概率公式为P (B |A )＝P （A ∩B ）P （A ）(P (A )＞0)，类似地，P (A |B )＝P （A ∩B ）P （B ）(P (B )＞0)．2．相互独立事件(1)定义：一般地，事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响，即P (B |A )＝P (B )，则称两个事件A ，B 相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件．若n 个事件A 1，A 2，…，A n ，如果其中任何一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称这n 个事件相互独立．(2)相互独立事件的性质一般地，若事件A ，B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立． (3)相互独立事件同时发生的概率①两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P (A ∩B )＝P (A )×P (B )．②如果事件A 1，A 2，…，A n 相互独立，则这n 个事件都发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P (A 1∩A 2∩…∩A n )＝P (A 1)×P (A 2)×…×P (A n )并且上式中任意多个事件A i 换成其对立事件后，等式仍成立．1．判断(对的打“√”，错的打“×”) (1)若事件A 、B 互斥，则P (B |A )＝1.( ) (2)必然事件与任何一个事件相互独立．( )(3)“P (AB )＝P (A )·P (B )”是“事件A ，B 相互独立”的充要条件．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√2．已知P (AB )＝310，P (A )＝35，则P (B |A )为( )A.950 B.12 C.910D.14答案：B3．甲、乙两人各射击一次，他们各自击中目标的概率都是0.6，则他们都击中目标的概率是( )A ．0.6B ．0.36C ．0.16D ．0.84答案：B4．甲、乙两颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为________．答案：0.95求条件概率[学生用书P26]在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2道题，求： (1)第1次抽到理科题的概率；(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率；(3)在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．【解】 设第1次抽到理科题为事件A ，第2次抽到理科题为事件B ，则第1次和第2次都抽到理科题为事件A ∩B .(1)从5道题中不放回地依次抽取2道题的事件数为A 25＝20. 根据分步乘法计数原理，事件A 的总数为A 13×A 14＝12. 故P (A )＝1220＝35.(2)因为事件A ∩B 的总数为A 23＝6. 所以P (A ∩B )＝620＝310.(3)法一：由(1)、(2)可得，在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为P (B |A )＝P （A ∩B ）P （A ）＝31035＝12.法二：因为事件A ∩B 的总数为6，事件A 发生的总数为12，所以P (B |A )＝612＝12.利用定义计算条件概率的步骤(1)分别计算概率P (AB )和P (A )． (2)将它们相除得到条件概率P (B |A )＝P （AB ）P （A ），这个公式适用于一般情形，其中AB 表示A ，B 同时发生．设10件产品中有4件不合格，从中任意取出2件，那么在所取得的产品中发现有一件不合格品，求另一件也是不合格品的概率．解：设事件A 为“在所取得的产品中发现有一件不合格品”，事件B 为“另一件产品也是不合格品”，则P (A )＝C 14C 16C 210＝4×6×210×9＝815，P (A ∩B )＝C 24C 210＝215.因此P (B |A )＝P （A ∩B ）P （A ）＝14.相互独立事件的判断判断下列各对事件是不是相互相互独立事件：(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1女生”；(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；(3)掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”．【解】 (1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为58，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为47，若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为57.可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以两者不是相互独立事件．(3)记A ：出现偶数点，B ：出现3点或6点，则A ＝{2，4，6}，B ＝{3，6}，AB ＝{6}， 所以P (A )＝36＝12，P (B )＝26＝13，P (AB )＝16，所以P (A ∩B )＝P (A )·P (B )， 所以事件A 与B 相互独立．判断两事件的独立性的方法(1)定义法：如果事件A ，B 同时发生的概率等于事件A 发生的概率与事件B 发生的概率的积，则事件A ，B 为相互独立事件．(2)由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响． (3)当P (A )＞0时，可用P (B |A )＝P (B )判断．一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A ＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B ＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下述两种情形，讨论A 与B 的独立性：(1)家庭中有两个小孩； (2)家庭中有三个小孩．解：(1)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，它有4个基本事件， 由等可能性知概率各为14.这时A ＝{(男，女)，(女，男)}，B ＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}， A ∩B ＝{(男，女)，(女，男)}，于是P (A )＝12，P (B )＝34，P (A ∩B )＝12.由此可知P (A ∩B )≠P (A )P (B )，所以事件A ，B 不相互独立．(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}，由等可能性知这8个基本事件的概率均为18，这时A 中含有6个基本事件，B 中含有4个基本事件， A ∩B 中含有3个基本事件．于是P (A )＝68＝34，P (B )＝48＝12，P (A ∩B )＝38，显然有P (A ∩B )＝38＝P (A )P (B )成立．从而事件A 与B 是相互独立的．求相互独立事件的概率甲、乙2个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为13和14，求：(1)2个人都译出密码的概率； (2)2个人都译不出密码的概率； (3)至多1个人译出密码的概率；【解】 记“甲独立地译出密码”为事件A ，“乙独立地译出密码”为事件B ，A 与B 为相互独立事件，且P (A )＝13，P (B )＝14.(1)“2个人都译出密码”的概率为：P (AB )＝P (A )·P (B )＝13×14＝112.(2)“2个人都译不出密码”的概率为：P (A －B －)＝P (A －)·P (B －)＝[1－P (A )]×[1－P (B )]＝(1－13)×(1－14)＝12.(3)“至多1个人译出密码”的对立事件为“2个人都译出密码”，所以至多1个人译出密码的概率为：1－P (AB )＝1－P (A )P (B )＝1－13×14＝1112.在本例条件下，求：(1)恰有1个人译出密码的概率； (2)至少1个人译出密码的概率．解：(1)“恰有1个人译出密码”可以分为两类，即甲译出乙未译出以及甲未译出乙译出，且两个事件为互斥事件，所以恰有1个人译出密码的概率为：P (A B －∪A －B )＝P (A B －)＋P (A －B )＝P (A )P (B －)＋P (A －)P (B ) ＝13×(1－14)＋(1－13)×14＝512. (2)“至少1个人译出密码”的对立事件为“2个人都未译出密码”，所以至少1个人译出密码的概率为：1－P (A －B －)＝1－P (A －)P (B －)＝1－23×34＝12.与相互独立事件有关的概率问题求解策略一般地，已知两个事件A ，B ，它们的概率分别为P (A )，P (B )，那么：A ，B 互斥 A ，B 相互独立P (A ＋B ) P (A )＋P (B )1－P (A －)P (B －)P (AB ) 0P (A )P (B ) P (A －B －)1－[P (A )＋P (B )]P (A －)P (B －)某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑(互不影响)的成绩在13 s 内(称为合格)的概率分别为25，34，13，若对这三名短跑运动员的100 m 跑的成绩进行一次检测，则(1)三人都合格的概率； (2)三人都不合格的概率； (3)出现几人合格的概率最大．解：记“甲、乙、丙三人100米跑成绩合格”分别为事件A ，B ，C ，显然事件A ，B ，C 相互独立，则P (A )＝25，P (B )＝34，P (C )＝13.设恰有k 人合格的概率为P k (k ＝0，1，2，3)，(1)三人都合格的概率：P 3＝P (ABC )＝P (A )·P (B )·P (C )＝25×34×13＝110. (2)三人都不合格的概率：P 0＝P (A －B －C －)＝P (A －)·P (B －)·P (C －)＝35×14×23＝110. (3)恰有两人合格的概率：P 2＝P (AB C －)＋P (A B －C )＋P (A －BC )＝25×34×23＋25×14×13＋35×34×13＝2360. 恰有一人合格的概率：P 1＝1－P 0－P 2－P 3＝1－110－2360－110＝2560＝512.综合第一问、第二问、第三问可知P 1最大． 所以出现恰有1人合格的概率最大．相互独立事件的综合应用在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众要彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率． (2)X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X 的分布列．【解】 (1)设A 表示事件“观众甲选中3号歌手”，B 表示事件“观众乙选中3号歌手”，则P (A )＝C 12C 23＝23，P (B )＝C 24C 35＝35.因为事件A 与B 相互独立，所以观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为P (A B －)＝P (A )·P (B －)＝P (A )·[1－P (B )]＝23×25＝415.(或P (A B －)＝C 12·C 34C 23·C 35＝415)． (2)设C 表示事件“观众丙选中3号歌手”，则P (C )＝C 24C 35＝35，因为X 可能的取值为0，1，2，3，且取这些值的概率分别为P (X ＝0)＝P (A －B －C －)＝13×25×25＝475，P (X ＝1)＝P (A B － C －)＋P (A －B C －)＋P (A －B －C )＝23×25×25＋13×35×25＋13×25×35＝2075， P (X ＝2)＝P (A B C －)＋P (A －BC )＋P (A B －C )＝23×35×25＋13×35×35＋23×25×35＝3375， P (X ＝3)＝P (ABC )＝23×35×35＝1875，所以X 的分布列为X 0 1 2 3 P475207533751875概率问题中的数学思想(1)正难则反．灵活应用对立事件的概率关系(P (A )＋P (A －)＝1)简化问题，是求解概率问题最常用的方法．(2)化繁为简．将复杂事件的概率转化为简单事件的概率，即寻找所求事件与已知事件之间的关系．“所求事件”分几类(考虑加法公式，转化为互斥事件)还是分几步组成(考虑乘法公式，转化为互独事件)．(3)方程思想．利用有关的概率公式和问题中的数量关系，建立方程(组)，通过解方程(组)使问题获解．三个元件T 1，T 2，T 3正常工作的概率分别为12，34，34，将它们中的某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路，如图所示，求电路不发生故障的概率．解：记“三个元件T 1，T 2，T 3正常工作”分别为事件A 1，A 2，A 3， 则P (A 1)＝12，P (A 2)＝34，P (A 3)＝34，不发生故障的事件为(A 2∪A 3)A 1，P ＝P [(A 2∪A 3)A 1]＝P (A 2∪A 3)·P (A 1) ＝[1－P (A 2)·P (A 3)]·P (A 1) ＝(1－14×14)×12＝1532.————————————————————————————————————————————————1．求条件概率的方法(1)利用定义，分别求P (A )和P (A ∩B )，得P (B |A )＝P （A ∩B ）P （A ）.(2)借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再在事件A 发生的条件下求事件B 包含的基本事件数，即n (AB )，得P (B |A )＝n （A ∩B ）n （A ）.2．判定两个事件相互独立的方法(1)定义法：如果A 、B 同时发生的概率等于事件A 发生的概率与事件B 发生的概率的积，则事件A 、B 为相互独立事件．(2)由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．3．事件A 、B 相互独立，则P (AB )＝P (A )P (B )．注意与事件互斥区别．1．求复杂事件的概率时，先判断事件间的关系，是互斥还是独立，特别对“至多”“至少”等问题，可分成互斥事件求概率，也可用对立事件求概率．2．在解题过程中，要明确事件中的“至少有一个发生”、“至多有一个发生”“恰有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义，已知两个事件A 、B ，它们的概率分别为P (A )、P (B )，那么：A 、B 中至少有一个发生的事件为A ∪B ； A 、B 都发生的事件为AB ；A 、B 都不发生的事件为A －B －；A 、B 恰有一个发生的事件为A B －∪A －B ；A 、B 中至多有一个发生的事件为A B －∪A －B ∪A －B －.1．已知P (B |A )＝12，P (AB )＝38，则P (A )等于( )A.316B.1316C.34D.14解析：选C.由P (AB )＝P (A )P (B |A )可得P (A )＝34.2．甲、乙、丙3人投篮，投进的概率分别是13，25，12，现3人各投篮1次，则3人都没有投进的概率为( )A.115 B.215C.15D.110解析：选C.甲、乙、丙3人投篮相互独立，都不进的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝15.3．某人一周晚上值班2次，在已知他周日一定值班的条件下，则他在周六晚上值班的概率为________．解析：设事件A 为“周日值班”，事件B 为“周六值班”，则P (A )＝C 16C 27，P (AB )＝1C 27，故P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝16.答案：16[A 基础达标]1．设A 与B 是相互独立事件，则下列事件中不相互独立的是( ) A ．A 与B －B.A －与B C.A －与B －D ．A 与A －解析：选D.A 、B 、C 选项的两事件相互独立，而A 与A －是对立事件，不是相互独立事件． 2．某班学生考试成绩中，数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，两门都不及格的占3%.已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是( )A ．0.2B ．0.33C ．0.5D ．0.6解析：选A.A ＝“数学不及格”，B ＝“语文不及格”，P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝0.030.15＝0.2，所以数学不及格时，该生语文也不及格的概率为0.2.3．7名同学站成一排，已知甲站在中间，则乙站在末尾的概率是( ) A.14 B.15 C.16D.17解析：选C.记“甲站在中间”为事件A ，“乙站在末尾”为事件B ，则n (A )＝A 66，n (AB )＝A 55，P (B |A )＝A 55A 66＝16.4．从甲袋中摸出一个红球的概率是13，从乙袋中摸出一个红球的概率是12，从两袋各摸出一个球，则23等于( )A ．2个球不都是红球的概率B ．2个球都是红球的概率C ．至少有1个红球的概率D ．2个球中恰有1个红球的概率解析：选C.分别记从甲、乙袋中摸出一个红球为事件A 、B ，则P (A )＝13，P (B )＝12，由于A 、B 相互独立，所以1－P (A －)P (B －)＝1－23×12＝23.根据互斥事件可知C 正确．5．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x ，转盘乙得到的数为y (若指针停在边界上则重新转)，x ，y 构成数对(x ，y )，则所有数对(x ，y )中满足xy ＝4的概率为( )A.116B.18C.316D.14解析：选C.满足xy ＝4的所有可能如下：x ＝1，y ＝4；x ＝2，y ＝2；x ＝4，y ＝1.所以所求事件的概率P ＝P (x ＝1，y ＝4)＋P (x ＝2，y ＝2)＋ P (x ＝4，y ＝1)＝14×14＋14×14＋14×14＝316. 6．已知有两台独立在两地工作的雷达，它们发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，则两台雷达都未发现飞行目标的概率为________．解析：所求概率为(1－0.9)×(1－0.85)＝0.015. 答案：0.0157．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625，则该队员每次罚球的命中率为________． 解析：设此队员每次罚球的命中率为p ， 则1－p 2＝1625，所以p ＝35.答案：358．有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取出两瓶，若取出的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率是________．解析：设事件A 为“其中一瓶是蓝色”，事件B 为“另一瓶是红色”，事件C 为“另一瓶是黑色”，事件D 为“另一瓶是红色或黑色”，则D ＝B ∪C ，且B 与C 互斥， 又P (A )＝C 12C 14C 25＝45，P (AB )＝C 12C 11C 25＝15，P (AC )＝C 12C 12C 25＝25，故P (D |A )＝P (B ∪C |A ) ＝P (B |A )＋P (C |A ) ＝P （AB ）P （A ）＋P （AC ）P （A ）＝34.答案：349．在社会主义新农村建设中，某市决定在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植三个项目，据预测，三个项目成功的概率分别为45、56、23，且三个项目是否成功互相独立．(1)求恰有两个项目成功的概率； (2)求至少有一个项目成功的概率．解：(1)只有农产品加工和绿色蔬菜种植两个项目成功的概率为 45×56×(1－23)＝29， 只有农产品加工和水果种植两个项目成功的概率为 45×(1－56)×23＝445， 只有绿色蔬菜种植和水果种植两个项目成功的概率为 (1－45)×56×23＝19，所以恰有两个项目成功的概率为29＋445＋19＝1945.(2)三个项目全部失败的概率为 (1－45)×(1－56)×(1－23)＝190，所以至少有一个项目成功的概率为1－190＝8990.10．甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品． (1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率．(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率．解：(1)从甲箱中任取2个产品的事件数为C 28＝28，这2个产品都是次品的事件数为C 23＝3.所以这2个产品都是次品的概率为328.(2)设事件A 为“从乙箱中取一个正品”，事件B 1为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件B 2为“从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件B 3为“从甲箱中取出2个产品都是次品”，则事件B 1、事件B 2、事件B 3彼此互斥．P (B 1)＝C 25C 28＝514，P (B 2)＝C 15C 13C 28＝1528，P (B 3)＝C 23C 28＝328，P (A |B 1)＝69，P (A |B 2)＝59，P (A |B 3)＝49，所以P (A )＝P (B 1)P (A |B 1)＋P (B 2)·P (A |B 2)＋P (B 3)P (A |B 3) ＝514×69＋1528×59＋328×49＝712. [B 能力提升]11．抛掷一枚均匀的骰子所得的样本空间为Ω＝{1，2，3，4，5，6}，令事件A ＝{2，3，5}，B ＝{1，2，4，5，6}，则P (A |B )等于( )A.25B.12C.35D.45解析：选A.因为A ∩B ＝{2，5}，所以n (AB )＝2. 又因为n (B )＝5，故P (A |B )＝n （AB ）n （B ）＝25.12．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率P (A )＝________．解析：由题意，P (A －)·P (B －)＝19，P (A －)·P (B )＝P (A )·P (B －)．设P (A )＝x ，P (B )＝y ， 则⎩⎪⎨⎪⎧（1－x ）（1－y ）＝19，（1－x ）y ＝x （1－y ）. 即⎩⎪⎨⎪⎧1－x －y ＋xy ＝19，x ＝y ， 所以x 2－2x ＋1＝19，所以x －1＝－13，或x －1＝13(舍去)，所以x ＝23.答案：2313．一只口袋内装有2个白球和2个黑球．求：(1)在先摸出1个白球不放回的条件下，再摸出1个白球的概率是多少？ (2)在先摸出1个白球后放回的条件下，再摸出1个白球的概率是多少？ 解：(1)记A ＝“先摸出一个白球不放回”，B ＝“再摸出一个球为白球”， 则AB ＝“先后两次摸到白球”． 因为P (A )＝24＝12，P (A ∩B )＝A 22A 24＝16，所以P (B |A )＝P （A ∩B ）P （A ）＝13.(2)记A 1＝“先摸出一个白球放回”，B 1＝“再摸出一个球为白球”， 则AB 1＝“先后两次摸到白球”． 因为P (A 1)＝24＝12，P (A 1∩B 1)＝2×24×4＝14，所以P (B 1|A 1)＝P （A 1∩B 1）P （A 1）＝12.14．(选做题)某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为45，乙当选的概率为35，丙当选的概率为710.求：(1)恰有一名同学当选的概率； (2)至多有两人当选的概率．解：设甲，乙，丙当选分别为事件A ，B ，C ， 则有P (A )＝45，P (B )＝35，P (C )＝710.(1)因为事件A ，B ，C 相互独立， 所以恰有一名同学当选的概率为P (A ∩B －∩C －)＋P (A －∩B ∩C －)＋P (A －∩B －∩C )＝P (A )P (B －)P (C －)＋P (A －)P (B )P (C －)＋P (A －)P (B －)P (C ) ＝45×25×310＋15×35×310＋15×25×710 ＝47250. (2)至多有两人当选的概率为 1－P (A ∩B ∩C )＝1－P (A )P (B )P (C )4 5×35×710＝83125.＝1－。
李贤平[概率论与数理统计第二章]答案
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李贤平[概率论与数理统计第二章]答案第 2 章条件概率与统计独立性1,字母 M,A,X,A,M 分别写在一张卡片上,充分混合后重新排列,问正好得到顺序 MAAM 的概率是多少? 2,有三个孩子的家庭中,已知有一个是女孩,求至少有一个男孩的概率. 3,若 M 件产品中包含 m 件废品,今在其中任取两件,求: (1)已知取出的两件中有一件是废品的条件下,另一件也是废品的条件概率; (2)已知两件中有一件不是废品的条件下,另一件是废品的条件概率; (3)取出的两件中至少有一件是废品的概率. 5,袋中有 a 只黑球,b 吸白球,甲乙丙三人依次从袋中取出一球(取后来放回) ,试分别求出三人各自取得白球的概率( b ≥ 3 ) . 6,甲袋中有 a 只白球,b 只黑球,乙袋中有α吸白球, β吸黑球,某人从甲袋中任出两球投入乙袋,然后在乙袋中任取两球,问最后取出的两球全为白球的概率是多少? 7,设的 N 个袋子,每个袋子中将有 a 只黑球,b 只白球,从第一袋中取出一球放入第二袋 , 中,然后从第二袋中取出一球放入第三袋中,如此下去,问从最后一个袋子中取出黑球的概率是多少? 9, , 投硬币 n 回, 第一回出正面的概率为 c, 第二回后每次出现与前一次相同表面的概率为 p, 求第 n 回时出正面的概率,并讨论当n → ∞ 时的情况. 10,甲乙两袋各将一只白球一只黑球,从两袋中各取出一球相交换放入另一袋中,这样进行 , 了若干次.以 pn,qn,rn 分别记在第 n 次交换后甲袋中将包含两只白球,一只白球一只黑球,两只黑球的概率.试导出 pn+1,qn+1,rn+1 用 pn,qn,rn 表出的关系式,利用它们求 pn+1,qn+1,rn+1,并讨论当n → ∞ 时的情况.ap n , n ≥ 1, ap 11,设一个家庭中有 n 个小孩的概率为 p n = , 1 , n = 0, 1p这里 013,已知产品中 96%是合格品,现有一种简化的检查方法,它把真正的合格品确认为合格 , 品的概率为 0.98,而误认废品为合格品的概率为 0.05,求在简化方法检查下,合格品的一个产品确实是合格品的概率. 16,设 A,B,C 三事件相互独立,求证 A ∪ B, AB, A B 皆与 C 独立. , 17,若 A,B,C 相互独立,则 A , B , C 亦相互独立. ,18,证明:事件 ,A1 , A2 , , An 相互独立的充要条件是下列 2n 个等式成立:P( A1 A2 An ) = P( A1 ) P( A2 ) P( An ) , 其中 Ai 取 Ai 或 Ai .19,若 A 与 B 独立,证明 {φ , A, A , } 中任何一个事件与 {φ , B, B , } 中任何一个事件是相 , 互独立的. 20,对同一目标进行三次独立射击,第一,二,三次射击的命中概率分别为 0.4,0.5,0.7, , 试求(1)在这三次射击中,恰好有一次击中目标的概率; (2)至少有一次命中目标的概率. 21,设 A1 , A2 , , An 相互独立,而 P ( Ak ) = p k ,试求: , (1)所有事件全不发生的概率; (2) 诸事件中至少发生其一的概率; (3)恰好发生其一的概率. 22,当元件 k 或元件 k1 或 k 2 都发生故障时电路断开,元件 k 发生故障的概率等于 0.3,而元 , 件k1,k2 发生故障的概率各为.2,求电路断开的概率. 23,说明件产品中抽查 , 了 100 件,发现有两件次品,能否据此断定该车间谎报合格率?解答1,解:自左往右数,排第 i 个字母的事件为 Ai,则 ,P ( A1 ) =2 2 1 1 , P ( A2 A1 ) = , P ( A3 A2 A1 ) = , P ( A4 A3 A2 A1 ) =5 4 3 2P( A5 A4 A3 A2 A1 ) = 1 .所以题中欲求的概率为P( A1 A2 A3 A4 A5 ) = P( A1 ) P( A2 A1 )P( A3 A2 A1 )P( A4 A3 A2 A1 )P( A5 A4 A3 A2 A1 )= 2 2 1 1 1 1 = 5 4 3 2 302,解:总场合数为 23=8.设 A={三个孩子中有一女},B={三个孩子中至少有一男},A 的有 , 利场合数为 7,AB 的有利场合为 6,所以题中欲求的概率 P(B|A)为P(B A) =P( AB) 6 / 8 6 = = . P( A) 7/8 73,解: )M 件产品中有 m 件废品, M m 件正品.设 A={两件有一件是废品},B={两 , (1) ( 件都是废品},显然 A B ,则题中欲求的概率为2 2 Cm / CM m 1 = P ( B | A) = P ( AB ) / P ( A) = P ( B ) / P ( A) = 1 1 .2 2 (C m C M m + C m ) / C M 2 M m 11 12 2 P ( A) = C m C M m + C m / C m()2 2 P( B) = C m / C M ,(2)设 A={两件中有一件不是废品},B={两件中恰有一件废品},显然 B A ,则 )2 1 1 2 P ( A) = C M m + C m C M m / C M ,)1 12 P( B) = C m C M m / C M .题中欲求的概率为1 12 C m C M m / C M 2m P ( B | A) = P ( AB ) / P ( A) = P ( B ) / P ( A) = 2 = . 1 1 2 (C M m + C m C M m ) / C M M + m 11 12 2 (3)P{取出的两件中至少有一件废品}= C m C M m + C m / C M =()m(2 M m 1) . M ( M 1)5,解:A={甲取出一球为白球},B={甲取出一球后,乙取出一球为白球},C={甲,乙各取 , 出一球后,丙取出一球为白球}.则利用全概率公式得P ( A) =a ( a + b)甲取出的球可为白球或黑球,P ( B ) = P ( A) P ( B | A) + P ( A ) P ( B | A ) =b b 1 a b b + = a + b a + b 1 a + b a + b 1 a + b甲, 乙取球的情况共有四种,由全概率公式得P(C ) = P( AB) P(C | AB) + P( AB ) P(C | AB ) + P( A B) P(C | A B) + P( A B ) P(C | A B ) = b(b 1) b2 ab b 1 + (a + b)(a + b 1) a + b 2 (a + b)(a + b 1) a + b 2 + ab b 1 a (a 1) b + (a + b)(a + b 1) a + b 2 (a + b)(a + b 1) a + b 2=b(a + b 1)(a + b 2) b = . (a + b)(a + b 1)(a + b 2) a + b6,解:设 A1={从甲袋中取出 2 只白球},A2={从甲袋中取出一只白球一只黑球},A3={从甲 , 袋中取出 2 只黑球},B={从乙袋中取出 2 只白球}.则由全概率公式得P( B) = P( B | A1 ) P( A1 ) + P( B | A2 ) P( A2 ) + P( B | A3 ) P ( A3 )2 2 Ca C a+2 c 1 C 1C 2 c 2C 2 a + 2 b 2 α +1 + 2 b 2a . 2 2 c A+ B cα + β + 2 C a +b Cα + β + 2 C a +b Cα + β + 27, :A1={从第一袋中取出一球是黑球},……, i={从第一袋中取一球放入第二袋中, ,解A …, 再从第 i 1 袋中取一球放入第 i 袋中,最后从第 i 袋中取一球是黑球},i = 1, , N .则P ( A1 ) =a b , P ( A1 ) = . a+b ( a + b)一般设 P ( Ak ) =a b ,则 P ( Ak ) = ,得 ( a + b) ( a + b) a . ( a + b)P ( Ak +1 ) = P ( Ak +1 | Ak ) P ( Ak ) + P ( Ak +1 | Ak ) P ( Ak ) =由数学归纳法得P ( AN ) =a . ( a + b)9,解:设 Ai={第 i 回出正面},记 pi = P ( Ai ) ,则由题意利用全概率公式得 ,P ( Ai +1 ) = P ( Ai +1 | Ai ) P ( Ai ) + P ( Ai +1 | Ai ) P ( Ai )= pp1 + (1 p)(1 p1 ) = (2 p 1) p1 + (1 p) .已知 pi = c ,依次令 i = n 1, n 2, ,1 可得递推关系式Pn = (2 p 1) p n1 + (1 p ),Pn 1 = (2 p 1) p n 2 + (1 p ), ,P2 = (2 p 1) p1 + (1 p) = (2 p 1)c + (1 p).解得Pn = (1 p )[1 + (2 p 1) + (2 p 1) 2 + + (2 p 1) n 2 ] + c(2 p 1) n 1 ,当p ≠ 1 时利用等比数列求和公式得p n = (1 p)1 (2 p 1) n 1 1 1 + c(2 p 1) n 1 = (2 p 1) n 1 + c (2 p 1) n1 . (*) 1 (2 p 1) 2 2n →∞(1)若 p = 1 ,则p n ≡ C , lim p n = C ; (2)若 p = 0 ,则当 n = 2k 1 时, pn = c ;当 n = 2k 时, p n = 1 c .若c = 若c ≠1 1 1 ,则p n ≡ , lim p n =2 2 n →∞ 2 1 1 ,则 c ≠ 1 c, lim p n 不存在. n →∞ 2(3)若 01 1 1 lim p n = lim (2 p 1) n 1 + c(2 p 1) n 1 = . n →∞ n→ ∞ 2 2 210,解:令 Ai , Bi , C i 分别表示第 i 次交换后,甲袋中有两只白球,一白一黑,两黑球的事 , 件,则由全概率公式得p n +1 = P( An +1 ) = P( An ) P( An +1 | An ) + P( Bn ) P ( An +1 | Bn ) + P(C n ) P( An +1 | C n ) = 0 pn + 1 1 q n + 0 rn = q n , 4 4q n+1 = P( Bn +1 ) = P( An ) P( Bn +1 | An ) + P( Bn ) P( Bn +1 | Bn ) +P(C n ) P ( Bn +1 | C n ) = 1 pn + 1 1 q n + 1 rn = p n + q n + rn , , 2 2rn +1 = P (C n +1 ) = P( An ) P(C n +1 | An ) + P( Bn ) P(C n+1 | Bn ) +P(C n ) P(C n+1 | C n ) 1 1 = 0 p n + q n + 0 rn = q n . 4 4这里有 p n +1 = rn +1 , 又 p n +1 + q n +1 + rn +1 = 1 , 所以 q n +1 =1 2 p n +1 , 同理有q n = 1 2 p n ,再由 p n +1 =1 1 q n 得 p n +1 = (12 p n ) .所以可得递推关系式为 4 4 1 rn +1 = p n +1= (1 2 p n ) , 4 q n+1 = 1 2 p n +1初始条件是甲袋一白一黑,乙袋一白一黑,即 p 0 = r0 = 0, q 0 = 1 ,由递推关系式得rn +1 = p n +1 =1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (12 p n ) = p n = ( p n 1 ) = + p n 1 = 4 4 2 4 2 4 2 4 8 4=1 1 (1) n +2 (1) n +1 p 03 + + n+2 + = 2 2 n +1 22 2n +11 1 1 4 2n +11 1 21 1 = 1 (1) n+1 6 2q n+1 = 1 2 p n +1n+2 1 n 1 1 = + (1) , 3 2 6n +12 1 1 = + (1) n+13 3 21 2 , lim q n = . 6 n→ ∞ 3.lim p n = lim rn =n →∞ n→ ∞11,解:设 An={家庭中有 n 个孩子},n=0,1,2,…,B={家庭中有 k 个男孩}.注意到生男孩 , 与生女孩是等可能的,由二项分布 ( p =1 )得 2k nk k1 = Cn . 2 nk1 1 P ( B | An ) = C n 2 2由全概率公式得∞ 1 1 p P ( B ) = ∑ P ( An ) P ( B | An ) = ∑ ap n C = a ∑ C k +1 2 2 n= k n=k i =0 k n ∞ ∞ n k +1(其中 i = n k )p = a 2k ∞p p ∑ C k1+1 2 = a 2 i =01kp 1 2k 1`=2ap k . (2 p) k +112,解: , (1)设 A={至少有一男孩},B={至少有 2 个男孩}. A B, AB = B ,由p(2 p )(1 p ) (2 p)P ( A) = ∑2ap k +1 k =1 ( 2 p )∞kP( B) = ∑2ap k k +1 k =2 (2 p)∞p2 2a ( 2 p ) 2 ap 2 = = , 2 p 1 p (2 p ) 2 (1 p ) 2 (2 p)P( B | A) =P( AB) P( B) p = = . P( A) P( A) 2 p(2)C={家中无女孩}={家中无小孩,或家中有 n 个小孩且都是男孩,n 是任意正整数},则P (C ) = 1∞ ap 1 + ∑ ap n 1 p a =1 2nap ap ap ap 2 3 p ap + p 2 = 1 + 2 = 1 + = p 1 p 1 p 2 p (1 p )(2 p ) 1 2A1={家中正好有一个男孩}={家中只有一个小孩且是男孩},则P ( A1 ) = ap1 1 = ap ,且 A1 C ,2 2所以在家中没有女孩的条件下,正好有一个男孩的条件概率为P ( A1 | C ) =P ( A1C ) P ( A1 ) 1 ap ap (1 p )(2 p ) = = . = 2 P (C ) P (C ) 2 2 3 p ap + p 2(2 3 p ap + p 2 ) (1 p )(2 p )13, 解 : 设 A={产品确为合格品},B={检查后判为合格品}.已知 P ( B | A) =0.98 , ,P ( B | A ) = 0.05, ( A) = 0.96 ,求 P ( A | B ) .由贝叶斯公式得 P P( A | B) = P ( AB ) P ( A) P ( B | A) = P( B) P ( A) P ( B | A) + P ( A ) P ( B | A ) = 0.96 × 0.98 0.9408 = = 0.9979 0.96 × 0.98 + 0.04 × 0.05 0.9428.16,证: 1) P (( A ∪ B ) ∩ C ) = P ( AC ∪ BC ) = P ( AC ) + P ( BC ) P( ABC ) , ( )= P ( A) P (C ) + P ( B ) P (C ) P ( A) P ( B ) P (C ) = P (C )[ P ( A) +P ( B ) P ( AB )] = P (C ) P ( A ∪ B ) ,∴ A ∪ B 与 C 独立. (2) P ( ABC ) = P ( A) P ( B ) P (C ) = P ( AB ) P(C ) ) ∴AB 与 C 独立. (3) P (( A B )C ) = P ( AB C ) = P ( AC ( B )) = P( AC ) P ( ABC )= P( A) P(C ) P ( A) P( B) P(C ) = P (C )[ P( A) P( AB)] = P(C ) P( A B) ,∴ A B 与 C 独立.17,证: P ( A B ) = P ( A ∪ B ) = 1 P ( A ∪ B ) = 1 [ P ( A) + P ( B ) PAB )] ,= 1 P ( A) P ( B ) + P ( A) P ( B ) = (1 P ( A))(1 P ( B ))= P( A ) P( B ) ,同理可证P( A C ) = P( A ) P(C ) , P( B C ) = P( B ) P(C ) .又有P( A B C ) = P( A ∪ B ∪ C ) = 1 P( A ∪ B ∪ C )= 1 [P( A) + P( B) + P (C ) P( AB) P( AC ) P( BC ) + P( ABC )]= 1 P ( A) P ( B ) P (C ) + P ( A) P ( B ) + P ( A) P (C ) + P ( B ) P (C ) + P ( A) P ( B ) P (C ) = (1 P ( A))(1 P ( B ))(1 P (C )) = P ( A ) P ( B ) P (C ) ,所以 A , B , C 相互独立.18,证:必要性 , 必要性.事件 A1 , A2 , , An 相互独立,用归纳法证.不失为一般性,假设总是前必要性连续 m 个集 Ai 取 Ai 的形式.当 m = 1 时,P ( A1 A2 An ) = P ( A2 An ) P ( A1 An ) P ( A1 An ) = P ( A2 ) P ( An ) P ( A1 ) p ( An ) = P ( A1 ) P ( A2 ) P ( An ) .设当 m = k 时有P ( A1 Ak Ak +1 An ) = P ( A1 ) P ( Ak ) P ( Ak +1 An ) ,则当 m = k + 1 时P ( A1 Ak +1 Ak + 2 An ) = P ( A1 Ak Ak + 2 An ) P ( A1 Ak Ak +1 An ) = P ( A1 ) P ( Ak ) P ( Ak + 2 ) P ( An ) P ( A1 ) P ( Ak ) P ( Ak +1 ) P ( An )= P ( A1 ) P ( Ak )(1 P ( Ak +1 )) P ( Ak + 2 ) P ( An ) = P ( A1 ) P( Ak ) P ( Ak +1 ) P ( Ak + 2 ) P ( An )从而有下列 2n 式成立:P( A1 A2 An ) = P( A1 ) P( A2 ) P( An ) , 其中 Ai 取 Ai 或 Ai.充分性.设题中条件成立,则充分性P( A1 An ) = P( A1 ) P( An ) , P( A1 An 1 An ) = P( A1 ) P( An1 ) P( An ) .∵ ∴(1)(2)A1 An 1 An ∩ A1 An 1 An = φ , P( A1 An1 ) = P( A1 An 1 An ∪ A1 An 1An ) .(1)+(2)得P( A1 An 1 ) = P( A1 ) P( An1 ) .(3)同理有P( A1 An 2 An1 An ) = P( A1 ) P( An 2 ) P( An 1 ) P( An ) , P( A1 An 2 An1 An ) = P( A1 ) P( An 2 ) P( An 1 ) P( An )两式相加得P( A1 An 2 An 1 ) = P( A1 ) P( An 2 ) P( An 1 ) .(3)+(4)得(4)P( A1 An 2 ) = P( A1 ) P( A2 ) P( An 2 ) .同类似方法可证得独立性定义中 2 n + 1 个式子,n∴A1 , , An 相互独立.19,证: P (φφ ) = P (φ ) = 0 × 0 = P (φ ) P (φ ), ,P (φ ) = 0 = P () P (φ ), P () = 1 = P () P (), P (B ) = P ( B ) = P () P ( B ), P (A) = P ( A) = P () P( A),P( A B ) = P( A ) P( B ) P( AB ) = P ( A AB) = P( A) P( AB) = P( A) P( A) P( B) = P ( A)(1 P( B)) = P( A) P( B) ,同理可得P( A B) = P( A ) P( B) .证毕.20,解:P{三次射击恰击中目标一次} = 0.4(1 0.5)(1 0.7) + (1 0.4)0.5(1 0.7) + (1 0.4)(1 0.5)0.7= 0.36P{至少有一次命中}=1-P{未击中一次} = 1 (1 0.4)(1 0.5)(1 0.7) = 0.91 21,解: , (1)P{所有的事件全不发生} = P{ A1 An } = P ( A1 ) P ( An ) =∏ (1 pk =1nk).(2)P{至少发生其一} = P ( A1 ∪ ∪ An )P ( A1 An ) = 1 P ( A1 An ) = 1 ∏ (1 p n ) .k =1n(3)P{恰好发生其一} = p1 (1 p 2 ) (1 p n ) + (1 p1 ) p 2 (1 p 3 ) (1 p n ) ++ + (1 p1 ) (1 p n 1 ) p n= ∑ pi 2i =1nn ≥ j > i ≥1∑pi p j + + (1) n1 n∏ pi .i =1n22, : , 解本题中认为各元件发生故障是相互独立的. A0 ={元件 k 发生故障}, A1 ={元件 k1 记发生故障}, A2 ={元件 k 2 发生故障}.则 P{电路断开} = P ( A0 ∪ A1 A2 ) = P ( A0 ) + P ( A1 A2 ) P ( A0 A1 A2 )= 0.3 + 0.2 × 0.2 0.3 × 0.2 × 0.2 = 0.328 .23,解:以 Ak 表事件场比赛的优胜者,则需在未来的三 3次中,丙获胜三次;或在前三次中,丙获胜两次乙胜一次,而第四次为丙获胜.故本题欲求的概率为p=3! 1 3! 0! 0! 333! 1 1 1 1 1 + . 2! 1! 0! 3 3 3 3 3228,解:利用两个的二项分布,得欲副省长的概率为 ,p = ∑ P{甲掷出i次正面, 乙掷出i次正面}i =0n1 1 = ∑C2 2 i =0n i nin 11 1 C2 2i nin 11 = 22n n1 ∑ (C ) = C2 i =0i 2 n n 2n2n.29,解:事件 A 出现奇数次的概率记为 b,出现偶数次的概率记为 a,则 ,0 2 a = C n p 0 q n + C n p 2 q n 2 + ,1 3 b = C n p q n1 + C n p 3 q n 3 + .利用 a + b = ( p + q ) n = 1, a b = (q p ) n ,可解得事件 A 出现奇数次的概率为b=1 1 1 1 ( p q ) n = (12 p ) n . 2 2 2 1 1 + (1 2 p ) n . 2 2[]顺便得到,事件 A 出现偶数次的概率为 a =30,解:事件0.959637,解 :事件。
条件概率与事件的独立性
条件概率与事件的独立性概率论中的条件概率和事件的独立性是两个基本概念，它们在统计学、机器学习等领域中具有重要的应用。
条件概率用于描述在给定另一个事件发生的条件下，某个事件发生的概率；而事件的独立性则描述了两个或多个事件之间的相互独立性。
在本文中，我们将深入探讨条件概率与事件的独立性的概念、性质以及应用。
一、条件概率条件概率是在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
用数学符号表示为P(A|B)，读作"A在B发生的条件下发生的概率"。
其计算公式为：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)其中，P(A∩B)表示事件A与事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
条件概率的概念在实际问题中广泛应用。
例如，假设一批产品中有10%的次品，现在从这批产品中随机抽取一件，已知这件产品是次品，求其实际上是某个特定厂家生产的概率。
这个问题就可以利用条件概率来求解，假设事件A表示该产品是某个特定厂家生产的事件，事件B表示这件产品是次品的事件，那么我们需要求解的就是P(A|B)。
二、事件的独立性事件的独立性是指两个或多个事件之间的发生没有相互影响，即一个事件的发生与否不会改变其他事件发生的概率。
具体地，对于两个事件A和B，如果满足以下条件，则称事件A和事件B是相互独立的：P(A∩B) = P(A) * P(B)其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B发生的概率。
事件的独立性在概率论中具有重要的应用。
例如，假设有两个骰子，求它们同时投掷时出现两个特定数字的概率。
我们可以将出现某个特定数字的事件定义为事件A和事件B，利用事件的独立性可以得到P(A∩B) = P(A) * P(B)。
三、条件概率与事件的独立性的关系条件概率与事件的独立性之间存在着紧密的联系。
如果事件A和事件B相互独立，那么有以下关系成立：P(A|B) = P(A)这表示在已知事件B发生的条件下，事件A的发生概率与事件B无关。
大学概率论的条件概率与独立性
大学概率论的条件概率与独立性概率论是数学的一个重要分支，用于研究随机现象和随机事件的规律性。
在大学的概率论课程中，我们学习了许多基本概念和理论。
其中，条件概率和独立性是概率论中重要的概念，对于理解和应用概率论具有重要意义。
一、条件概率条件概率是指在某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
设A和B是两个事件，且P(B)>0，则在事件B发生的条件下事件A发生的概率，记为P(A|B)，表示为“A在B发生的条件下发生的概率”。
计算条件概率的公式为：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)这个公式可以从概率的定义来推导。
根据概率的性质，我们可以得到以下重要性质：性质1：对于任何事件A和B，有P(A∩B) = P(A|B) × P(B)性质2：如果事件A和B相互独立，那么P(A|B) = P(A)，P(B|A) = P(B)条件概率的概念和性质为我们研究随机事件之间的联系提供了很好的工具。
在实际问题中，条件概率常常用于解决一些复杂的概率计算问题。
二、独立性独立性是概率论中另一个重要的概念，指的是两个事件的发生不受对方的影响。
设A和B是两个事件，如果P(A∩B) = P(A) × P(B)，则称事件A和B是相互独立的。
在独立性的定义下，我们有以下性质：性质1：如果事件A和B相互独立，则P(A|B) = P(A)，P(B|A) =P(B)性质2：如果事件A和B相互独立，则事件A与B的补事件也相互独立。
性质3：如果事件A和B相互独立，则事件A与B的并事件、交事件以及差事件也相互独立。
独立性是概率论中非常重要的概念，它能够帮助我们简化概率计算过程，提高问题的求解效率。
三、条件概率与独立性的关系在一般情况下，条件概率与独立性是两个不同的概念。
然而，在特殊情况下，条件概率和独立性之间存在着紧密的联系。
具体来说，对于两个事件A和B，如果P(B)>0，以下两个命题等价：命题1：事件A和B相互独立。
概率问题的条件概率与独立性
概率问题的条件概率与独立性概率论是数学的一个分支，研究随机事件的发生及其规律性。
在概率论中，条件概率与独立性是两个重要的概念。
本文将详细讨论条件概率与独立性的概念、性质以及应用。
一、条件概率的概念与计算方法条件概率是指在已知某一事件发生的前提下，另一事件发生的概率。
设A、B是两个事件，且P(A)>0，则在事件A发生的条件下，事件B发生的概率记为P(B|A)，读作“在A发生的条件下B发生的概率”。
条件概率的计算方法如下：P(B|A) = P(A∩B) / P(A)其中，P(A∩B)表示事件A与事件B同时发生的概率，P(A)表示事件A发生的概率。
二、条件概率的性质1. 乘法定理：对于任意两个事件A和B，有P(A∩B) = P(A) × P(B|A) = P(B) × P(A|B)。
2. 独立事件的条件概率：对于独立事件A和B，有P(B|A) = P(B)，P(A|B) = P(A)，即事件A的发生与否不影响事件B的概率，反之亦然。
三、独立性的概念与判定方法独立性是指两个事件之间的发生与否相互独立，即一个事件的发生不受另一个事件的影响。
设A、B是两个事件，如果满足P(A∩B) =P(A) × P(B)，则称事件A和事件B是独立事件，简写为A⊥B。
判定事件的独立性可以通过以下方法：1. 乘法法则：若P(A) × P(B) = P(A∩B)，则可以推断A与B是独立事件。
2. 条件概率的性质：若P(B|A) = P(B)，则A与B是独立事件。
四、条件独立性的概念与判定方法条件独立性是指在已知某一条件的前提下，两个事件之间仍然相互独立。
设A、B、C是三个事件，若满足P(A∩B|C) = P(A|C) × P(B|C)，则称事件A和事件B在条件C下是条件独立的，简写为A⊥B|C。
我们可以通过以下方法判断事件的条件独立性：若满足P(A∩B|C) = P(A|C) × P(B|C)，则可以推断在条件C下事件A 与事件B是条件独立的。
概率论中的条件概率与事件独立性
条件概率与事件 独立性的实际案 例分析
天气预报的准确率与事件独立性分析
天气预报准确率与事件独立性的关系 不同天气预报模型对独立性的影响 实际案例分析：某地区连续两天的天气预报准确率 结论：提高天气预报准确率有助于更好地分析事件独立性
股票价格波动与事件独立性分析
股票价格波动与事件独立性的概念 股票价格波动与事件独立性的关系 股票价格波动与事件独立性的实际案例分析 股票价格波动与事件独立性的应用
掌握条件概率与事件独立性的概念和性质，对于理解概率论和统计学的基本原理、进行科学推断 和决策具有重要的意义。
未来研究方向与展望
深入研究条件概率 与事件独立性的关 系
探讨其在不同领域 的应用前景
探索如何更好地解 释和预测事件发生 的可能性
进一步研究条件概 率与事件独立性的 数学理论基础
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条件概率与事件独立性
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目录
添加目录标题
01
条件概率的定义与计 算
02
事件独立性的定义与 性质
03
条件概率与事件独立 性的关系
04
条件概率与事件独立 性的应用场景
05
条件概率与事件独立 性的实际案例分析
06
添加章节标题
条件概率的定义 与计算
条件概率的定义
条件概率是指在某 一事件B已经发生 的情况下，另一事 件A发生的概率，
在统计推断中，条件概率与事件独立性可用于构建复杂的概率模型，如贝叶斯推断和 马尔科夫链蒙特卡洛方法。
条件概率与事件独立性在统计推断中的应用有助于提高预测精度和决策的科学性。
在决策论中的应用
风险决策：根据条 件概率评估不同方 案的风险和收益
随机变量的独立性和条件概率分布
随机变量的独立性和条件概率分布是概率论中的重要概念，在很多领域都有广泛的应用。
独立性的概念是指两个或多个事件之间的关系，而条件概率分布则是指随机变量在给定一些条件下的概率分布。
首先来看独立性。
在数学上，独立性通常指的是两个随机变量之间的关系。
如果两个随机变量X和Y是独立的，那么它们可以分别考虑，而且它们之间的任何影响都不会相互影响。
具体来说，如果两个随机变量X和Y是独立的，那么它们的联合概率分布可以拆分成它们各自的概率分布的乘积。
即，P(X=x, Y=y) = P(X=x) * P(Y=y)。
举个例子，假设我们有两个骰子，我们把它们连续掷两次。
我们可以定义随机变量X为第一次掷出的点数，随机变量Y为第二次掷出的点数。
如果我们假设这两个骰子是六面的，并且它们是公平的，那么每个点数出现的概率都是1/6。
因此，我们可以计算出X和Y的概率分布，分别为P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)=P(X=5)=P(X=6)=1/6和P(Y=1)=P(Y=2)=P(Y=3)=P(Y=4)=P(Y=5)=P(Y=6)=1/6。
现在，假设我们想知道掷出的两个点数是相等的这个事件的概率。
我们可以用独立性来计算。
因为X和Y是独立的，所以P(X=x, Y=y) =P(X=x) * P(Y=y)，因此，P(X=Y) = ΣP(X=x, Y=x) = ΣP(X=x) *P(Y=x) = 1/6 * 1/6 + 1/6 * 1/6 +...+1/6 * 1/6 = 1/6。
接下来看条件概率分布。
条件概率分布是指，在给定一些条件下，随机变量的概率分布。
具体来说，如果我们知道了一些关于随机变量的信息，那么我们可以通过条件概率分布来计算在这些信息下随机变量的取值的概率。
条件概率分布通常用P(X|Y)表示，表示给定Y的条件下，X的概率分布。
它可以通过原始的概率分布计算得到。
具体来说，如果我们知道了Y的取值，那么我们可以将联合概率分布进行归一化，得到在Y取值的条件下，X取值的概率分布。
条件概率与事件的独立性
有可能结果构成的集合就是B，
B中共有3个元素, 它们的出现是等 可能的, 其中只有 1个在集A中，
于是P(A|B)= 1/3. 容易看到
P(A|B)116 P(AB) 3 36 P(B)
又如，10件产品中有7件正品，3件次品， 7件正品中有3件一等品，4件二等品. 现从这 10件中任取一件，记
第1个人抽到入场券的概率是1/5.
由于 A2 A1A2
由乘法公式
因为若第2个人抽到
了入场券，第1个人
P (A 2)P (A 1 )P (A 2|A 1 ) 肯定没抽到.
也就是要想第2个人抽到入场券，必须第1 个人未抽到，
计算得： P(A2)= (4/5)(1/4)= 1/5
同理，第3个人要抽到“入场券”，必须 第1、第2个人都没有抽到. 因此
下面四个结论中，正确的是：
1. P(B|A)>0 3. P(A|B)=0
2. P(A|B)=P(A) 4. P(AB)=P(A)P(B)
容易证明,若两事件A、B独立，则
A与 B,A与 B,A与 B也相互独立.
证明: 仅证A与 B 独立 概率的性质 P(AB )= P(A-A B)
A、B独立
= P(A)-P(AB)= P(A)-P(A) P(B)
的球具有相同颜色的球.
b个白球, r个红球
解: 设Wi={第i次取出是白球}, i=1,2,3,4
Rj={第j次取出是红球}， j=1,2,3,4
于是W1W2R3R4表示事件“连续取四个球，第 一、第二个是白球，第三、四个是红球. ”
用乘法公式容易求出 P(W1W2R3R4)
=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)
第二章条件概率与独立性
同理可证
P( AB)
P(B | A)
(P( A) 0)
P( A)
7
但是，这个普遍规律不能在一般的情况下用纯数学 的方法推导出来，下面就将它作为条件概率的定义， 叙述如下：
定义2.1 设A和B为任意两个事件，且P(B)>0，则 称比值 P(AB)/P(B)
为事件A在事件B发生的条件下的条件概率，记作 P(A|B)=P(AB)/P(B).
解 设事件A1,A2,A3分别表示抽到的产品是甲、乙、 丙车间生产的产品；事件B表示抽到的一个产品是 次品.
由于BA1+A2+A3，且A1,A2,A3互不相容，故由全
概率公式
3
P(B) P( Ai )P(B | Ai )
i 1
25
又因
P(
A1
)
25 100
,
P(
A2
)
35 100
P(A|B)= P(AB)/P(B)(P(B)>0)
5
而式子 P(A|B)=P(AB)/P(B)(P(B)>0)
即
P( A | B) P( AB) (P(B) 0) P(B)
注意式子 P(A|B)=P(AB)/P(B)(P(B)>0)
的成立不是偶然的，是普遍规律，下面就古典概率 的情况证明பைடு நூலகம்.
的事件，且P(Ai )>0(i=1,2,…,n)，若对任一事件B，
有A1+A2+…+AnB，则
n
P(B) P( Ai )P(B | Ai ) i 1
23
证 因A1+A2+…+AnB，故
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P( A1 A2 An )
14
例 1 设某种动物由出生算起活 20 岁以上的概率为 0.8 ，活 25 岁以上的概率为 0.4. 现有一个 20 岁的这 种动物，问它能活到25岁以上的概率是多少？ 解 设 A=“能活20岁以上”，B=“能活25岁以上”， 则 P(A)=0.8，P(B)=0.4， 而所求的概率为 P(B|A)=P(AB)/P(A).
由于BA，故AB=B，于是 P(B|A)=P(AB)/P(A)=P(B)/P(A)=0.4/0.8=0.5.
15
例2 包装了的玻璃器皿第一次扔下被打破的概率为 0.4，若未破，第二次扔下被打破的概率为0.6，若 又未破，第三次扔下被打破的概率为 0.9 ，今将这 种包装了的器皿连续扔三次，求器皿打破的概率？
2
例1 两台机床加工同一种零件共100个，结果如下： 实验者 合格品数 次品数 总 计
第一台机床加工数
第二台机床加工数 总 计
35
50 85
5
10 15
40
60 100
3
设
A=“从100个零件中任取一个为合格品”， B=“从100个零件中任取一个是第一台机床加工的”， 求(a)P(A)和P(B)； (b)P(AB)； (c)P(A|B)和P(B|Ac). 解:(a)P(A)=85/100=0.85，
解 设事件A1,A2,A3分别表示抽到的产品是甲、乙、 丙车间生产的产品；事件B表示抽到的一个产品是 次品，则问题即为求P(A1|B)，P(A2|B)，P(A3|B).
由条件概率的定义，并利用乘法定理和全概率公式 得
P( A1 B) P( A1 ) P( B | A1 ) P( A1 | B) 3 P( B) P( Ai ) P( B | Ai )
P( B) P( Ai ) P( B | Ai )
i 1
22
n
证 因A1+A2+…+AnB，故 B=B(A1+A2+…+An)=BA1+ BA2+…+BAn.
由于A1,A2,…,An互不相容，故BA1,BA2,…,BAn也 互不相容. 由概率加法公式和乘法定理得
P( B) P( BA1 ) P( BA2 ) P( BAn ) P( A1 ) P( B | A1 ) P( A2 ) P( B | A2 )
概率论与数理统 计
第二章 条件概率与独立性
1
第二章
条件概率与独立性
2.1 条件概率、乘法定理 在实际问题中，除了要考虑事件A的概率P(A)而外， 还要考虑事件A在“某事件B已经发生”这一附加条 件下的概率.这样的概率，人们称之为条件概率， 记为P(A|B).相应地，将P(A)称为无条件概率. 严格说来，概率都是有条件的，因为试验都是在一 组固定的条件下进行的. 我们这里所说的条件，无非是指在原有的一组固定 条件外再增加一个附加条件:“B发生”.
由此在前面1.3.2古典概率一节中证明过的7条概率 性质都适用于条件概率.
11
由条件概率的定义式立即可得 P(AB)=P(B)P(A|B)，P(B)>0. 类似地有 P(AB)=P(A)P(B|A)，P(A)>0.
这就是所谓的概率乘法公式，这个结论可以写成下 面的定理. 定理2.2(乘法定理)两个事件积的概率等于其中一 个事件的概率与另一事件在前一事件发生条件下的 条件概率的乘积，即 P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B).
8
定理2.1 条件概率P(AB)/P(B)(P(B)>0)满足概率 公理化定义中的公理1~3.
证明 (ⅰ)P(A|B)=P(AB)/P(B)≥0. (ⅱ)P(S|B)=P(SB)/P(B)=P(B)/P(B)=1.
(ⅲ)设事件A1,A2,…,An ,…是互不相容的，则 A1B,A2B,…,AnB,… 也互不相容. 因此 P{(A1+A2+…+An +…)|B} =P(A1|B)+P(A2|B)+…+P(An|B)+….
这就证明了条件概率的完全可加性.
9
P{( A1 A2 An ) | B} P{( A1 A2 An ) B} P( B) P( A1 B A2 B An B ) P( B) P( A1 B) P( A2 B) P( An B) P( B)
0.4 0.6 0.6 0.6 0.4 0.9 0.976
18
第二章
条件概率与独立性
2.2 全概率公式
在概率的计算中，人们是希望通过已知的简单事件 的概率去求未知的较复杂事件的概率. 在这里，全概率公式起了很重要的作用，先看一个 例子.
例1 设袋中装有十个阄，其中8个是白阄，两个是 有物之阄.甲、乙二人依次抓取一个，求每人抓得 有物之阄的概率？
P( A1 | B) P( A2 | B) P( An | B)
这就证明了条件概率的完全可加性.
10
由于条件概率满足概率公理化定义中的三条公理， 所以由这些公理推得的一切结果对于条件概率同样 成立. 即 推论1 P(Φ |B)=0.
推论2 设A1,A2,…,An是互不相容的事件，则 P {(A1+A2+…+An +…)|B} =P(A1|B)+P(A2|B)+…+P(An|B). 推论3 0≤P(A|B)≤1.
19
解 设A、B分别为甲、乙抓得有物之阄的事件. 显然，P(A)= 2/10，下面求P(B). 因为B只有当A发生或Ac发生时才能发生，即 BA+Ac， 所以 B=B(A+Ac)=BA+BAc. 因 A与Ac 互不相容，故 BA与BAc 也互不相容，
20
由概率加法公式和乘法定理得
5
而式子 P(A|B)=P(AB)/P(B)(P(B)>0) 即
P( AB) P( A | B) ( P( B) 0) P( B)
注意式子 P(A|B)=P(AB)/P(B)(P(B)>0) 的成立不是偶然的，是普遍规律，下面就古典概率 的情况证明之.
6
设样本空间S={e1,e2,…,en}，其中导致A，B和AB 发生的基本事件分别为m ，k ，r个(r≤m，r≤k).
P( Ai ) P( B | Ai )
i 1
23
n
P( An ) P( B | An )
例2 一个工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产 品，每个车间的产量分别占总产量的25%，35%， 40%，而产品中的次品率分别为5%，4%，2%.今将这 些产品混在一起，并随机地抽取一个产品，问它是 次品的概率为多少？ 解 设事件A1,A2,A3分别表示抽到的产品是甲、乙、 丙车间生产的产品；事件B表示抽到的一个产品是 次品. 由于BA1+A2+A3，且A1,A2,A3互不相容，故由全 概率公式 3
故
P( A1 ) P( A2 | A1 ) P( A3 | A1 A2 )P( An | A1 A2 An1 )
P( A1 A2 An ) P( A1 A2 ) P( A1 A2 A3 ) P( A1 ) P( A1 ) P( A1 A2 ) P( A1 A2 An1 )
P( B) P( BA) P( BA ) P( A) P( B | A) P( A ) P( B | A ) 2 1 8 2 2 1 10 9 10 9 10 5
此结果说明，抓到有物之阄的概率与抓阄的次序无 关，它的一般情况已在古典概率的例题中进行了介 绍.
21
从例1求P(B)的过程看，关键是利用互不相容的事 件A与Ac，A+AcB，把B分解为BA与BAc之和，然 后利用概率加法公式和乘法定理求得P(B). 一般有下面的定理. 定理2.4 (全概率公式)设A1,A2,…,An是互不相容 的事件，且P(Ai )>0(i=1,2,…,n)，若对任一事件B， 有A1+A2+…+AnB，则
P(B)=40/100=0.40；
(b)P(AB)=35/100=0.35；
(c)P(A|B)=35/40=0.875， P(B|Ac)=5/15≈0.333.
4
比较(a)与(c)中的结果 P(A)=0.85，P(A|B)=0.875 ； P(B)=0.40 ，P(B|Ac)= 1/3≈0.333； 可见 P(A|B)>P(A)，而P(B|Ac)<P(B). 这说明条件概率与无条件概率一般是不等的，且谁 大谁小也不能肯定. 由例1的结果 P(A|B)=0.875，P(AB)=0.35， P(B)=0.40 还可以验证下面的式子成立： P(A|B)= P(AB)/P(B)(P(B)>0)
如果B发生，则导致B发生的k个基本事件中有一个 出现，在这个条件下导致A发生的基本事件仅有r个. 故
r r / n P( AB) P( A | B) k k/n P( B)
同理可证
P( AB) P( B | A) ( P( A) 0) P( A)
7
但是，这个普遍规律不能在一般的情况下用纯数学 的方法推导出来，下面就将它作为条件概率的定义， 叙述如下： 定义2.1 设A和B为任意两个事件，且P(B)>0，则 称比值 P(AB)/P(B) 为事件A在事件B发生的条件下的条件概率，记作 P(A|B)=P(AB)/P(B).