考研常见数学小问题集锦

考研常见数学小问题集锦

[摘要]以下是凯程考研辅导名师特为大家整理总结的一些有趣的数学小题目，供大家参考！祝愿各位考生都能在强化复习阶段顺利，考研成功！

微积分如果用心去学你会发现很多乐趣，然后在解题的过程享受这些小小的成就感，何乐而不为呢。快来看看这位朋友分享的一些小乐趣吧。

▶被积函数是连续函数f(x)的积分上限函数F(x)可导，且导数就是f(x)。

逆向思维，这就用“构造法”证明了：连续函数一定有原函数。

把“作上限函数”视为一种变换方式，从条件角度看，相当于通过变换将连续函数提升为可导函数。《广义函数》理论中，在不光滑点(连续不可导点)微局部地实施这样的变换，就好象是用“沙轮”把曲线“尖点”给磨光了。故称之为“磨光变换”。

当年武汉X中有个学生入选中国中学生奥数代表队。在清华北大的集训中，他将这套技术学得很精。正式参加世界大赛时，决赛卷上最后的坡度题恰好用“磨光变换”最简单。这个小子设计了“磨光变换”逼近列，很快地完成了解答。自信无误之际，竟在草稿上画卜克游戏玩。新华社电讯稿报道中学生奥数代表队夺金时，记者把“磨光变换”写成了“魔光变换”，好不吓人哦。

这里有一个有趣的联想。如果f(x)仅有第一类间断，那么相应的上限函数是否一定连续呢?

结论是，“相应的上限函数一定连续。”

(画外音：考研题中出现过一次。)

在《概率统计》中，连续型随机变量X的分布函数就是密度函数的上限函数。它一定连续。由于密度函数非负，证明这个结论，用连续的增量定义最简明。

要注意的是，设f(x)有跳跃间断点a，相应的上限函数在点a虽然连续，却一定不可导。即改善是有一定限度的。

要证明这个结论正好用上我的“有意思(4)右导数与导函数的右极限”。

实际上，设点a左側，f(x)=初等函数φ(x)，右侧f(x)=ψ(x)，φ(x-0)≠ψ(x+0)形成跳跃间断。记f(x)相应的上限函数为F(x)，则F(x)在点a连续，但是

左側求导F′(x)=φ(x)，右側求导F′(x)=ψ(x)，φ(x-0)≠ψ(x+0)

F(x)在点a不可导。

在点a的邻域内，F(x)不是f(x)的原函数。

相当一些“模拟卷”上有这样的题目。可以算是“擦边球”。

▶《概率统计》不是第一层次基础课程。学习《概率》需要你有较好的《高等数学》基础。

比如，计算D(卡方(1))就是个大综合练习。

(潜台词：D(卡方(n))=2n)

预备1——我们知道，exp(x2)是四个“典型不可积”中最为露脸的一个。正态分布的密度函数与它同为一家，但是密度函数在全直线积分为1。在历史上，人们曾利用这个特点及定积分技巧来计算一些无穷积分。

计算D(卡方(1))，最尾端就要用到它。

预备2——我在“讲座”中逐讲给大家建立一个“材料库”。最早在(5)中有一条

“x趋于+∞时，指数函数exp(x)是比任意高次方的幂函数都还要高阶的无穷大。”

或者说，“x趋于+∞时，函数exp(-x)是任意高阶的无穷小。”

预备3——分部积分的要点是“变化”

∫甲·乙dx=(甲的一个原函数)·(乙)-∫(甲的这个原函数)·(乙的导数)dx

设X服从标准正态分布，我们计算D(X2)，即证明D(卡方(1))=2

鉴于输入问题，我写出步骤，大家在纸上划一下

(1)用平方关系来算D(X2)，得先算均值E(X四次方)

设f(x)是N(0,1)的密度函数，求E(X四次方)，被积函数x四次方f(x)在全直线积分

分x四次方f(x)=x3·xf(x)，注意xf(x)的原函数恰是-f(x)

分部积分一次，求极限知第一部分答案为0，(运用预备2)

第二部分是3x2f(x)在全直线积分

再分x2f(x)=x·xf(x),又分部积分，同样求极限知第一部分答案为0，

第二部分已是3倍密度函数f(x)在全直线积分，当然为3

(2)用平方关系来算

我常常开玩笑把平方关系E(X2)=μ2+σ2称为“概率勾股定理”。

D(X2)=E(X四次方)-(E(X2))2=3-1=2

怎么样，有点意思吧。

▶如果你作了一个假设，你就建立了逻辑推理的一个基本点。如果你还要作第二个假设，那得小心思考，新的假设是否与第一个假设独立。

一个同学在论坛上发贴，先设“对任意x，总有f(x)>x”，推出“f(f(x))>f(x)”，突然又假设“f(x)单减”，然后就不明白，“为什么会矛盾”。这就是没考虑逻辑，随意作第二个假设造成的。

数学历史上，正当人们陶醉于“集合理论”与“勒贝格积分”等成果的完美之际，“悖论”的出现给大家当头一棒，砸得人晕头转向。仿佛有世界末日来临的感觉。以至于对很多成功的“公理化假设”也提出怀疑：“是否在筑好篱笆之时，已经圈进了狼?”

思考“第二假设是否与第一个假设独立”，有时的确较为困难。

看一个线性代数问题。

(讲座(40))例15设n维行向量组a1，a2，---，ak线性无关，k

向量组a1，a2，---，ak，β线性无关。

例15是原数学四的考题。它可以深化为，

*例“设向量组β1，β2，---，βr线性无关，向量组ξ1，ξ2，---，ξk线性无关。若前一向量组的每一个向量都与后一向量组的各向量正交。则两向量组的合并组线性无关。(暂时不写一个条件)

证明设有一组数C1，……，Cr，Cr+1，……，Cr+k，使得

C1β1+……+Crβr+Cr+1ξ1+……+C(r+k)ξk=0

用β1对等式两边作内积，得β1ˊβ1C1+……+β1ˊβrCr=0

用β2对等式两边作内积，得β2ˊβ1C1+……+β2ˊβrCr=0

…………

用βr对等式两边作内积，得βrˊβ1C1+……+βrˊβrCr=0

现在，问题归结为，证明这个齐次方程组仅有零解。

问题延伸1，若记A=(β1，β2，---，βr)，则系数矩阵恰为AˊA

(潜台词：矩阵乘法，“左行右列作内积”)

问题延伸2，秩R(A)=秩R(A′A)

证明作齐次线性方程组AX=0和A′AX=0，AX=0的解显然都是A′AX=0的解。

如果列向量β是A′AX=0的解，则

内积(Aβ)′(Aβ)=β′A′Aβ=β′(A′Aβ)=0

这说明Aβ=0(向量),即A′AX=0的解也都是AX=0的解。两方程组同解。

解集秩n-R(A)=n-R(A′A)故秩R(A)=秩R(A′A)

前述关于C1，……，Cr的齐次方程组仅有零解。带回假设式，由后一向量组的线性无关性知,其余系数也全为零。故两向量组的合并组线性无关。

(画外音：这是一个可以记住的结论。请体会证明的特色。)

好象什么问题都没有?!?!?!联想“n+1个n维向量线性相关”,这里还有向量个数问题。在没有限定向量个数时，第二个假设，“前一向量组的每一个向量都与后一向量组的各向量正交”，不一定成立。必须先说“k+r≤n”这个条件不影响证明。

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