第10章 静电场习题解答
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习题解答
10-1 A 球内1q 所在空腔表面感应电荷1q -，均匀分布在空腔表面；2q 所在空腔表面感应电荷2q -，均匀分布在空腔表面；球外表面感应电荷21q q +，均匀分布在外表面。
1q ，2q ，q 各受力：
021==q q F F
2
021π4)(r q
q q F q ε+=
10-2 以地球表面为高斯面，应用高斯定理：
2
11π4d ε地
q R E E =-=⋅⎰
S E
得02
1π4εE R E q ＝－地(1) 以大气层外表面为高斯面，同理
2
1
1
()π(4d ε）
气地q q h R
E E
+=
+-=⋅⎰S E
所以2
20)(π4h R E q q E +-=+ε气地 (2)
将已知数据代入（1）（2）得)1037.6(6
m R E ⨯=：
5105.4⨯-=地q （库仑） 51037.3⨯=气q （库仑）
133
31043.4π3
4)π34-⨯=-+==
E
E R h R q V q （气
气气气ρ( 库仑/米3) 102
108.8π4-⨯-==
E
R q 地地σ(库仑/米2
) 10-3 取电荷元ϕϕλϕλd cos d d 0R R q == 电荷元产生的电场强度大小为
R
R q E 0020π4d cos π4d d εϕ
ϕλε==
R
E E x 020π4d cos cos d d εϕ
ϕλϕ-=
-= R
E E y 00π4d cos sin sin d d εϕ
ϕϕλϕ-=
-=
R R E E x x 00π
20
0204π4d cos d ελεϕϕλ-=-==⎰
⎰
0π4d cos sin d π
20
00=-
==⎰⎰R
E E y y εϕ
ϕϕλ
所以圆环中心处场强i E R
00
4ελ-=
10-4 设半球半径为R ，将半球看作是由许多无限窄的环带组成，每一环带可视为小圆环，小圆环带电量为
θσd π2d rR q =
小圆环在球心O 处产生的场强为
20202d cos sin cos π4d sin π2cos π4d d εθ
θθσθεθθσθε=
==
R R R R q E 每小圆环产生的E d 方向都沿y 轴负方向，所以
2π
04d cos sin 2d εσ
θθθεσ=
==⎰⎰
E E j E 0
4εσ-
= 10-5 （1）半径为R 的均匀带电原板在其中心处的场强为零。所以该题所求中心处的场强为零。
（2）P 点场强可用带正电的整个圆柱面和带负电的宽a 的无限长直线在P 点产生的场强叠加。由对称性，整个圆柱面（带正电）在P 点产生的场强为零。在题给条件下，带负电的宽a 的无限长直线的单位长度带电量为σλa -=，它在P 点产生的场强为
R
a E 02πεσ
-=
此即本题所求P 点的场强。
10-6 （1）如图建立坐标系，无限长带电体激发的电场在L 长带电体上的分布为
)
(π20a x E +=
ελ
L 长带电体中电荷元q d 所受的力为
)
(π2d d d 0'a x x
qE F +=
=ελλ 该带电体上所有电荷元受力方向相同，整个带电体受力
L
a
L a x x F F L
+=+==⎰⎰
ln
π2)(π2d d 0'0
0'ελλελλ 此即两带电体的相互作用力。
（2）如图建立坐标系，无限长带电体激发的电场在L 长带电体上的分布为
θ
ελ
sin )(π20a x E +=
L 长带电体中任一电荷元q d 所受的力为
θ
ελλsin )(π2d d d 0'a x x
qE F +=
=
L 长带电体上所有电荷元受力方向相同，整个带电体受力
L
a
L a x x
F F L
+=+==⎰⎰
ln
sin π2sin )(π2d d 0'0
0'θελλθελλ 10-7 (1)作如图所示正方体，电荷q 位于正方体中心，通过一个正方形平面的电通量为
6εq e =
Φ （2）以电荷q 所在位置为中心，22a R +为半径作一球，通过圆面的电通量即为通过以圆面为底的球冠面的电通量。
)1(2)(π4)(π22202222220R
a a
q a R a a R a R q
e +-=+-++⨯=Φεε
解2：以电荷q 所在位置为原点，将圆面看作由许多无限窄圆环带组成，通过每一圆环带的电通量为（如图所示）
2
3)(2d d π2)(π4cos d d 22022220r a r rqa r
a a
r r r a q s E e +=+⨯⨯+=
=Φεεθ
则)1(2)(2d d 2200
22023R
a a
q r a r rqa R
e e +-=+=
Φ=Φ⎰
⎰εε 10-8 腔内电场强度等于半径为R 1，体电荷密度为ρ的带电球体在腔内电场强度1E 减去半