计算理论第6章 复杂性问题的分类

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6.2.2 可归约性
• 例：证明语言Lhalt-e={T:T(e)停机}，即计算图灵机 在空句子e上停机，是不可判定的。 • 语言Lhalt是已知的不可判定问题，上述问题的证明 可以通过语言Lhaltm-归约到语言Lhalt-e来证明。 • 给定任意图灵机T和任意输入x，总是存在一个图 灵机T ’，在T ’上运行空句子，即T ’(e)停机，当且 仅当T(x)停机。具体做法如下：T ’将x存储在内部 (由于x是有限的，一定可以做到)，首先将x写到输 入带上，然后开始模拟T，显然这种从<T, x>到T ’ 的转换是一个m-归约。
则函数被称为A与B之间的m-归约。 • 使用适当的m-归约可以解决许多不可判定问 题的证明。
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6.2.2 可归约性
• 引理：如果L1 ≤mL2，并且L1是不可判定的， 则L2也是不可判定的。 • 证明：假设存在图灵机T2判定L2,并且从L1到 L2的归约函数为 。计算(x)，然后使用T2 来验证是否有(x)∈L2，从而判定x∈L1，或 者xL1。由于L1是不可判定的，因此T2不可 能存在，L2也不能被判定。
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6.2.2 可归约性
• m-归约的性质： • (1)≤m是自反的，传递的。对于所有的语言 A，B，C ⊆∑*，
• (2)对于所有的语言对A，B ⊆∑*
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6.2.2 可归约性
• (3)定理：任意语言B，B≠Ф，B≠∑*，对于任意 的可判定语言A，A≤mB。 • 证明：用y表示B中的一个句子，z表示Bc中的一个 句子(根据B的定义，y和z必然存在)，定义函数f：
由于A是可判定的，f是全的可计算函数。 又： ，因此f是A到B的m归约。
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6.2.3 多项式时间归约
• 定义6-15 称语言LA多项式时间映射可归约 到语言LB，或简称为多项式时间可归约到LB， 记为 LA≤P LB， 若存在多项式时间可计算函数f：∑* ∑*， 对于每一个w，有 • w∈LA ≡ f(w)∈LB • 称函数f为LA到LB多项式时间归约。
– 3．巡回复杂性 定义6-3 TM M对于给定的输入w ，其运行的周 相为（0, i1）,（i1, i2）,（i2, i3）,…,（ir-2, ir1），则称0，i1， i2，…，ir-1，是一个有限周相 的划分，数r称为该划分的巡回数。
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6.1.2 复杂性量度的记法
• 定义6-4 设f和g是两个函数，f、g：NR+。如 果
第6章 复杂性问题的分类
杨 莹，冷芳玲
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6.1 图灵机计算复杂性量度
• • • • 复杂性的量度 复杂性量度的记法 算法分析 复杂性类
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6.1 图灵机计算复杂性量度
• 6.1.1 复杂性的量度 –1．空间复杂度 –2．时间复杂性 –3．巡回复杂性
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6.1.1 复杂性的量度
– 1．空间复杂度 定义6-1 令M是一个对于所有输入都停机的离线 图灵机， s ： NN 是一个函数。如果对于每个 长度为n的输入字，M在任一条存贮带（或工作 带）上至多扫视s(n) 个单元，那么称M是s(n)空 间有界图灵机，或称M具有空间复杂度s(n)。
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6.1.1 复杂性的量度
– 2．时间复杂性 定义6-2 设M是一个对于所有输入都停机的确定 图灵机， t ： NN 是一个函数。如果对于每个 长度为 n 的输入， M 在停机前最多做 t(n) 动作 （步骤），那么就称M是一个t(n)时间有界的图 灵机，或称M具有时间复杂度t(n)。
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6.1.1 复杂性的量度
• NP类是重要的，因为它包含许多具有实际意义的问题。 如前面的Hamilton路问题，它的验证机设计如下： 对于输入图G，节点s、t， 步1 写一列m 个数,v1,v2,…,vm，m是G的节点数，列中的每 一数，都是从1到m中非确定挑选的； 步2 在列中检查重复性，若发现重复，则拒绝； 步3 检查s=v1,t=vm是否成立。若有一个不成立，则拒绝； 步4 对于i=1,2,…,m-1，检查(vi,vi+1)是否是G的边，若都是 G的边，则接受；否则拒绝。
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6.2.2 可归约性
• 称一个语言A可归约到另一个语言B：如果 存在一个算法可以判定某个句子属于语言B， 则存在另一个算法来判定某个句子属于语言 A。
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6.2.2 可归约性
• 称语言A是映射可归约（或m-可归约）到语 言B（用A≤mB来表示）：当存在一个全可 计算函数，对于任意的x∈∑*，有：
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6.2.4 NP类
6.2.4 NP类
下面证明若L有非确定型多项式时间的图灵机 N接受它，则L∈NP。为此，构造多项式时 间的验证机V如下： 对于输入<w，c>， 步1 在输入w上模拟N，把c的每一个符号看 作是对每一步所作的非确定性选择的描述； 步2 若N的该计算分支接受，则接受；否则 拒绝。
• • 则称f(n)=O(g(n))。此时，g(n)是f(n)渐近增长的 一个上界。
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• 定义6-5 设f和g是两个函数，f、g：NR+，称 f(n)=o(g(n))，如果有 •
6.1.2 复杂性量度的记法
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【例6-3】不难验证下面各式具有o关系： • n2=o(n3) • n=o(nloglogn) • nlogn=o(n2)
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• 定义6-13 语言L的验证机是一个算法V，这里 A={w| 对某个字符串c，V接受< w,c>} 其中，c表示算法V所使用的附加信息 。
例如Hamilton路问题中给定的一条路的信息，算法 V可以判定c是否是Hamilton路。
6.2.4 NP类
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• 定义6-14 NP是具有多项式时间验证机的语言类。
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6.1.4 复杂性类
6.2 复杂性问题的分类
• • • • Ｐ类 可归约性 多项式时间归约 ＮＰ类
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6.2.1 P类
• 定义6-12 P是确定型单带图灵机在多项式时间 内可判定的语言类，即
– –
对于所有与确定型单带图灵机多项式等价的计算模 型来说，P是不变的； P大致对应于在计算机上实际可解的问题类。
6.1.2 复杂性量度的记法
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6.1.2 复杂性量度的记法
6-6
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6.1.3 算法分析
• 【例6-4】 考虑接受语言 L = {WCWR |W{0|1}*} 的图灵机的复杂性。 语言L具有时间复杂度Ｏ(n)，因为存在一个图灵机M， 它具有两条带，并把C左边的内容复制到第二条带 上，然后当遇到C时，M第二带的读头向左，经过 它刚刚复制的字符串，回至第二带的开始位臵， 向右比较输入带C右侧的字符和第二带的字符，如 果每对字符都相同，且C左边的符号数相等，那么 M接受。易见，如果输入长度是n，则M最多做 n+1个动作。
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6.2.4 NP类
• 由于确定的图灵机是一种特殊的不确定的图灵机， 所以，所有的P类问题都是NP类问题。 • 但是，是否所有的NP类问题都是P类问题吗?也就 是说，P=NP成立吗?这个问题是理论计算机科学 和当代数学中悬而未决的问题之一。 • 如果这两类相等，那么所有的多项式可验证的问 题都将是多项式可判定的。大多数研究人员相信 它们不相等。
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6.2.1 P类
• P表示确定的图灵机在多项式时间(步数)内 可判定的语言类。这些语言对应的问题称为 P类问题，这种语言称为多项式可判定的。 • 例如，判定一个有向图中的两个顶点之间是 否存在有向路的问题；检查两个数是否互素 的问题；判定一个字符串是否为一个上下文 无关语言的句子的问题都是P类问题。
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6.2.2 可归约性
• 如何确定一个问题是属于P类的，最直接的 办法就是设计一个多项式时间算法来解决这 个问题。 • 另一种办法就是将这个问题归约到一个已知 的P类问题。
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6.2.2 可归约性
• 可归约性是一个功能强大的工具,它在可计 算性理论中的两个主要应用,一是根据问题 的不可解程度对可接受的语言进行分类,二 是证明某些重要语言的不可判定性，即通过 适当的归约如何来证明一个给定的语言是不 可判定的。
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6.2.1 P类ห้องสมุดไป่ตู้
• 【例6-8】有向图中两个节点的连通性判定问题是 P类问题。 证明：设有向图G= <V, E>，s, t ∈ V，n=|V|。不 失一般性可设Ｇ是简单图。下面是该问题的判定 算法。 步1 标记节点s; 步2 重复步2.1直至不再有节点需要标记： 步2.1 扫描G的所有边。如果找到一条边（u, v），u、 v∈V，u被标记，而v未被标记，则标记v； 步3 若t被标记，则接受；否则拒绝。
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• 定理6-18ＬA与ＬB是两个语言，若ＬA≤PＬB，且ＬB∈P， 则ＬA∈P。 证明：设M是判定ＬB的多项式 时间算法，f是从ＬA到ＬB的 多项式时间归约。判定ＬA的多项式时间算法ＭA如下： 对于输入w， 步1 计算f(w)； 步2 在输入f(w)上运行M，输出M的输出。 因为w∈ＬA ≡ f(w) ∈ＬB，又f、Ｍ都是多项式时间可计算 的，所以ＭA也是多项式时间可完成的。
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6.2.3 多项式时间归约
• 定理：任意语言B，B≠Ф，B≠∑*，对于任意的P 类中的语言A，A≤PB。 • 证明：用y表示B中的一个句子，z表示Bc中的一个 句子(根据B的定义，y和z必然存在)，定义函数f：
由于A是多项式时间可判定的，f是全的多项式时 间可计算函数。又： ，因此f 是A到B的多项式时间归约。
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6.1.3 算法分析
【例6-5】 自然数的二进制表示转变为一进制表示。 图灵机T1的设计如下：设输入为：a0a1a2…an-1(ai{0,1})，则输 出为am，其中m=Σai2i (i:0~n-1) 。T1有两条工作带x和y， T1的工作过程如下： • （1）在x上写一个a； • （2）若输入为空格，则停机； • （3）若输入为1，工作带x的内容送至输出带，并把x的内 容在y上抄两遍，然后用y 的内容覆盖原x的内容，清除y； 否则若输入符号为0时，只把x的内容在y上抄两遍，然后用 y 的内容覆盖原x的内容； • （4）转至步（2）。
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6.2.4 NP类
• 定理6-16 一个语言在NP中，当且仅当它能被 某个非确定型多项式时间的图灵机判定。 • 证明：首先证明若L∈NP，则存在非确定型多 项式时间的图灵机判定它。因为L∈NP，所以 存在L的多项式时间的验证机V，构造非确定型 图灵机N如下：设输入为w， 步1 非确定地选择长为nk的字符串c； 步2 在输入<w，c>上运行V； 步3 若V接受，则接受；否则拒绝。
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6.2.3 多项式时间归约
6.2.3 多项式时间归约
• 例：给定一个图G=(N,E),2可着色问题需要判定一 个全函数f：N{1,2},存在着：当<u,v>∈E时， f(u)≠f(v)。 • 如果不想设计一个多项式时间算法来解决该问题， 那么可以将其多项式时间归约到一个已知的P类问 题。 • 为每一个节点ni赋一个布尔变量xi，对每一条边 (ui,vj)，有(xi∨xj)和(﹁xi∨﹁xj),即两个变量不能同 时为true或同时为false。
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6.1.3 算法分析
• 【例6-4】 考虑接受语言 L = {WCWR |W{0|1}*} 的图灵机的复杂性。 存在另一个图灵机M2，它接受L，具有空间复杂度 log2n。M2用二条工作带来作二进制计数器，首先， 检查输入，看看是否只出现一个C，以及C左边和 右边的符号数是否相等。然后，逐个字符地比较C 左边和右边的字，同时用上述计数器找出对应的 符号，如果它们不一致，M2停机且不接受，如果 所有的符号都一致，M2就接受。
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6.1.4 复杂性类
• 定义6-8 设t:NN是一个函数，定义非确定时 间复杂性类NTIME(t(n))为 NTIME(t(n))={L|L是由一个由O(t(n))时间的 非确定图灵机识别的语言}。 • 定义6-9 设s:NN是一个函数，定义非确定空 间复杂性类NSPACE(s(n))为 NSPACE(s(n))={L|L是由一个由O(s(n))空间 的非确定图灵机识别的语言}。
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• 定义6-6 设t:NN是一个函数，定义时间复杂 性类DTIME(t(n))为 DTIME(t(n))={L|L是由一个由O(t(n))时间的 图灵机识别的语言}。 • 定义6-7 设s:NN是一个函数，定义空间复杂 性类DSPACE(s(n))为 DSPACE(s(n))={L|L是由一个由O(s(n))空间 的图灵机识别的语言}。