高等流体力学第2讲

第二讲 流体运动微分方程一、应力张量作用在流体上的力可以分为两类，即质量力和表面力两大类。

作用在连续介质表面上的表面力通常用作用在单位面积上的表面力——应力来表示，参见图2-1，即0lim n A A∆→∆=∆Pp （2-1）式中 n 为表面积ΔA 的外法线方向；ΔP 为作用在表面积ΔA 上的表面力。

p n 除了与空间位置和时间有关外，还与作用面的取向有关。

因此，有(,,)n n M t =p p n需要特别指出，○1应力p n 表示的是作用在以n 为外法线方向的作用面上应力，其下标n 并不表示应力的方向，而是受力面的外法线方向，见图2-1；○2一般来说，应力p n 的方向并不与作用面的外法线n 一致，p n 除了有n 方向的分量p nn 外，还有τ方向的分量p n τ。

只有当p n τ=0时p n 才与n 的方向一致；○3图中ΔA 右侧的流体通过ΔA 作用在左侧流体上的力为ΔP =p n ΔA ，而ΔA 左侧的流体通过ΔA 作用在右侧流体上的力为ΔP =p －n ΔA ，这两个力互为作用力和反作用力，所以有n n A A -∆=-∆p p可得p n =-p -n （2-2）n －x y z n n n =++n i j k （2-3）设ΔABC 的面积为ΔS ，于是ΔMBC 、ΔMCA 、ΔMAB 的面积可分别以ΔS x 、ΔS y 、ΔS z 表示为x x y y zz S Sn S Sn S Sn∆=∆⎧⎪∆=∆⎨⎪∆=∆⎩ （2-4）四面体的体积可表示为13V Sh ∆=∆式中h 为M 点到ΔABC 的距离。

根据达朗贝尔原理，可给出四面体受力的平衡方程为0x x y y z z n S S S S V ---∆+∆+∆+∆+∆=p p p p f当四面体趋近于M 点时，h 为一阶小量，ΔS 为二阶小量，ΔV 为三阶小量，略去高阶小量后可得0x x y y z z n S S S S ---∆+∆+∆+∆=p p p p再考虑式（2-2）和（2-4）可得n x x y y z z n n n =++p p p p （2-5）上式在直角坐标系中的投影可表示为nx x xx y yx z zx p n p n p n p =++ny x xy y yy z zy p n p n p n p =++ （2-6） nz x xz y yz z zz p n p n p n p =++上式也可以用矩阵形式表示为xxxy xz nxnynz xyz yxyy yz zx zyzz p p p p p p =n n n p p p p p p ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦（2-7） 也可以表示为n =⋅p n P式中 P =xxxy xz yxyy yz zx zyzz p p p p p p p p p ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（2-8）称为应力张量。

这里需要着重指出的是：○1应力张量各分量的两个下标中，第一个下标表示的是该应力作用面的法线方向；第二个下标表示的是该应力的投影方向，例如p xy表示它是作用于外法线为x轴正向的面积元上的应力p x在y轴上的投影分量。

○2应力张量P描述的是某一点处的应力状态，过该点的任意一个曲面上的应力p n均可由式（2-7）确定。

○3与矢量相似，张量也是客观的，正如矢量确定以后，它的大小和方向不会随着坐标系的改变而改变，所改变的只是在不同坐标系下其分量的大小。

无粘流体或静止流场中，由于不存在切向应力，即p ij=0（i≠j），此时有P=000000xxyyzzppp⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=000000ppp-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦=-p00000011⎡⎤⎢⎥1⎢⎥⎢⎥⎣⎦= -p I式中I为单位张量，p为流体静压力。

流体力学中，常将应力张量表示为p=-+P I T（2-9）式中p为静压力或平均压力，由于其作用方向与应力定义的方向相反，所以取负值；T称为偏应力张量，即T=xx xy xzyx yy yzzx zy zzτττττττττ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（2-10）偏应力张量的分量与应力张量各分量的关系为：i＝j时，p ij为法向应力，τii= p ij- p；当i≠j时p ij为粘性剪切应力，τij=p ij。

τii=0的流体称为非弹性流体或纯粘流体，τii≠0的流体称为粘弹性流体。

二、应变张量与刚体相比，连续介质运动过程中还有可能发生变形，因此连续介质的运动比刚体的运动要复杂得多。

在这里，首先回顾一下刚体运动速度分解定理。

刚体的运动可以分解为随质心的平动和绕质心的转动，即0δ=+⨯u u rω其中u0为刚体质心的平动速度；u为刚体内部任意一点处的运动速度；ω为刚体绕质心的旋转角速度；d r为质心至某点的微元矢量。

在t时刻的连续介质中取出包括点M0（x，y，z）的任意微元体积，同时取微元体积内的另一点图2-3一点邻域的速度M （x+d x ，y+d y ，z+d z ），如图2-3所示。

假设点M 0的速度为u （x ，y ，z ），当d r =（d x ，d y ，d z ）为小量时，M 点的速度可用M 0的速度的泰勒展开式来表示，即0(M)(M )d =+u u u 0(M )d d d x y z y z ∂∂∂=+++∂∂∂u u uu x （2-11）或分量形式0(M)(M )d u u u =+0(M )d d d u u u u x y z x y z ∂∂∂=+++∂∂∂ 0(M)(M )d v v v =+0(M )d d d v v v v x y z x y z ∂∂∂=+++∂∂∂ 0(M)(M )d w w w =+0()d d d w w ww M x y z x y z∂∂∂=+++∂∂∂ 显然，d u 或(d u ，d v ，d w )是M 点相对于M 0点的相对运动速度，它可以用矩阵的形式为d d d d d d u u u xy z u x v v v v y xy z w z w w w xyz ⎡⎤∂∂∂⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥∂∂∂⎢⎥∂∂∂⎣⎦（2-12） 上式中的方形矩阵可分解为110221102211022u v u w u u u y x z x x y z v v v v u v w x y z x y z y w w w w u w v xyz x z y z ⎡⎤⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫⎡⎤∂∂∂--⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭∂∂∂⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂⎢⎥=--⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫⎢⎥⎢⎥--⎪ ⎪∂∂∂⎢⎥⎣⎦∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦112211221122u u v u w x y x z x u v v v w y x y z y u w v w w z x z y z ⎡⎤⎛⎫∂∂∂∂∂⎛⎫++⎢⎥⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂⎢⎥+++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫∂∂∂∂∂⎛⎫⎢⎥++ ⎪ ⎪⎢⎥∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦= R ＋D （2-13）上式中第一个矩阵R 是反对称的，第二个矩阵D 是对称的，这两个矩阵在流体力学中也称为二阶张量，下面就来具体分析这两个张量的物理意义。

反对称矩阵R 中的九个分量中只有三个独立分量，即112w v y z ω⎛⎫∂∂=-⎪∂∂⎝⎭，212u w z x ω∂∂⎛⎫=- ⎪∂∂⎝⎭，312v u x y ω⎛⎫∂∂=- ⎪∂∂⎝⎭（2-14） 这三个分量恰好就是流体微团旋转角速度矢量的三个分量，因此，将R 称为旋转张量。

同时ω=ω1i +ω2j +ω3k 也就是速度矢量的旋度的一半，即12=⨯u ω∇ （2-15）对称矩阵D 中的九个分量中只有六个独立分量，xx u D =x ∂∂，xx u D =x ∂∂，xx uD =x∂∂，12xy yx u v D =D =y x ⎛⎫∂∂+ ⎪∂∂⎝⎭12yz zy v w D =D =z y ⎛⎫∂∂+ ⎪∂∂⎝⎭，12xz zx u w D =D =z x ∂∂⎛⎫+ ⎪∂∂⎝⎭ （2-16）D ii (i =x ，y ，z )恰好是流体力学中研究过的流体微团在三个坐标轴方向上的线应变速率，而D ij (i =x ，y ，z ；j =x ，y ，z 且i ≠j )也恰好是其角变形速度。

因此，流体力学中将张量D 称为应变速率张量，或简称为应变张量，将R ＋D 称为速度梯度张量，用grad u 表示。

在非牛顿流体力学中，也常用一阶Rivlin-Ericksen 张量A 来表述应变速率的大小，它与D 的关系为A =2D （2-17）一阶Rivlin-Ericksen 张量A 的分量直角坐标系中的表达式可由式（2-16和17）得出，其在柱坐标系和球坐标系中的表达式的推导比较复杂，其结果见表2-1。

表2-1 一阶Rivlin-Ericksen 张量A 的分量在柱坐标系和球坐标系中的表达式由矩阵分析可知，对称张量A 有三个不变量，即I tr ii A =A =1122211II tr 22ij ij A A ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A （2-18）III det ij A ==A其中最常用的是第二不变量，用来描述流场的剪切速率的大小，在简单剪切流动中常用γ&来表示。

例2-1试分析下板不动上板做匀速运动的两个无限大平板间的简单剪切流动u ky =，0v =，0w = 式中k 为常数，且k =u 0/b 。

解：由速度分布和式(2-14、16和17)可得/20/200000k k ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦R 00200000k D k ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 再由式(2-18)可得I tr 0ii xx yy zz A A A A ==++=A =1122212220000000111II tr tr 0000tr 0022*********0k k k u k k k k b⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A所以II=k =u 0/b 。

00III det 000000k k ===A图2-4 简单剪切流动流动的旋转张量R 的分量不全为零说明流动是有旋流动，I=tr A =0表明流动为不可压缩流动，II=k 表明了流场的剪切速率为常数。

三、以应力表示的运动方程以应力表示的运动方程是将于动量定理改写为适用于控制体的形式后所得到的数学表达式。

在连续介质中取一个如图2-6所示微元体。

假设微元体中心处的应力张量为P =xx xy xz yxyy yz zx zyzz p p p p p p p p p ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦则作用在图中右、前和上三个侧面上的应力分量如图所示。