二次函数公开课绝对经典
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1二次函数公开课一等奖课件
数学教育改革
随着深度学习和人工智能的快速发展 ，二次函数在机器学习、数据分析和 模式识别等领域的应用将更加广泛。
随着数学教育改革的推进，二次函数 的教学内容和方法可能会更加注重实 践和应用，培养学生的创新能力和实 践能力。
数学与其他学科的交叉
未来，二次函数可能会与其他学科如 生物学、化学、地理学等产生更多交 叉，为解决实际问题提供更多思路和 方法。
对称变换包括关于原点对称、关于x轴对称 和关于y轴对称。关于原点对称是图像关于 原点进行翻转，关于x轴对称是图像关于x轴 进行翻转，关于y轴对称是图像关于y轴进行 翻转。对称变换会改变函数值的正负号，但 不会改变函数值的分布规律。
04 二次ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ数的应用
CHAPTER
生活中的二次函数
总结词
二次函数在生活中的运用广泛，涉及到经济 、物理、工程等多个领域。
伸缩变换是指二次函数的图像在平面内 沿某一轴方向进行缩放。
VS
详细描述
伸缩变换包括横向伸缩和纵向伸缩。横向 伸缩是图像沿x轴方向缩放，纵向伸缩是 图像沿y轴方向缩放。伸缩变换会改变函 数值的大小，但不会改变函数值的分布规 律。
对称变换
总结词
对称变换是指二次函数的图像在平面内进行 对称翻转。
详细描述
02 二次函数的解析式
CHAPTER
二次函数的表达式
总结词
二次函数的一般表达式为$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中$a neq 0$。
详细描述
二次函数的一般表达式由三部分组成，分别是二次项系数$a$、一次项系数$b$ 和常数项$c$。其中，$a$决定了抛物线的开口方向和开口大小，$b$决定了抛 物线的对称轴位置，$c$决定了抛物线与y轴的交点位置。
二次函数图像顶点式省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件
第2页
y a(x h)2 k的图像性质：
对称轴：x=h 顶点坐标：（h，k） 参数a、h、k对图像影响：
第3页
小结：
y a(x h)2 k
简图
图像性质
a>0
a<0
开口方向
向上
向下
对称轴
x=h
x=h
顶点坐标 (h,k)
(h,k)
增减性
x<h,y随x增大而减小 x<h,y随x增大而增大
最值
最值
x>h,y随x增大而增大 x>h,y随x增大而减小
当x=h,y最小=k
当x=h，y最大=k
开口大小 • |a|越大，开口越小，y随x改变速
度越快
第8页
第6页
例2. 已知一个二次函数，它顶点坐标与抛物线
y (x 1)2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ顶点坐标关于原点对称，其图像经过
点A（2，-16），求该二次函数解析式。
第7页
小结：
y a(x h)2 k
简图
图像性质
a>0
a<0
开口方向
向上
向下
对称轴
x=h
x=h
顶点坐标 (h,k)
(h,k)
增减性
x<h,y随x增大而减小 x<h,y随x增大而增大
2.4.1二次函数y ax2 bx c的图像
y a(x h)2 k的图像
第1页
1.指出以下每组函数图像之间关系：
(1) y 1 x2 2
向右平移 2个单位
y 1 (x 2)2 2
向上平移1 个单位
y 1 (x 2)2 1 2
(2) y 1 x2 向左平移 2 2个单位
y a(x h)2 k的图像性质：
对称轴：x=h 顶点坐标：（h，k） 参数a、h、k对图像影响：
第3页
小结：
y a(x h)2 k
简图
图像性质
a>0
a<0
开口方向
向上
向下
对称轴
x=h
x=h
顶点坐标 (h,k)
(h,k)
增减性
x<h,y随x增大而减小 x<h,y随x增大而增大
最值
最值
x>h,y随x增大而增大 x>h,y随x增大而减小
当x=h,y最小=k
当x=h，y最大=k
开口大小 • |a|越大，开口越小，y随x改变速
度越快
第8页
第6页
例2. 已知一个二次函数，它顶点坐标与抛物线
y (x 1)2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ顶点坐标关于原点对称，其图像经过
点A（2，-16），求该二次函数解析式。
第7页
小结：
y a(x h)2 k
简图
图像性质
a>0
a<0
开口方向
向上
向下
对称轴
x=h
x=h
顶点坐标 (h,k)
(h,k)
增减性
x<h,y随x增大而减小 x<h,y随x增大而增大
2.4.1二次函数y ax2 bx c的图像
y a(x h)2 k的图像
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1.指出以下每组函数图像之间关系：
(1) y 1 x2 2
向右平移 2个单位
y 1 (x 2)2 2
向上平移1 个单位
y 1 (x 2)2 1 2
(2) y 1 x2 向左平移 2 2个单位
二次函数公开课省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
y=x2-5x+6 (x 5)2 1 24
y=x2
y (x 5)2 1 24
一元二次方程根旳情况与b²-4ac旳关系
我们懂得:代数式b2-4ac对于方程旳根起着关键旳作用.
当b2 4ac 0时,方程ax2 bx c 0a 0有两个不相等的实数根
x1,2 b
b2 4ac .
（2）若该抛物线与x轴旳两个交点分别为A、B，
且它旳顶点为P，求△ABP旳面积。
模块二、常见题型
1.求解二次函数解析式， 16.求二次函数f (x) 2x2 6x
待定系数法；
在下列定义域上的函数取值范围；
2.图像特征；
(1)定义域为{x Z 0 x 3};
3.单调性；
(2)定义域为[2,1];
(1)有两个交点
b2 – 4ac > 0
(2)有一种交点
b2 – 4ac= 0
(3)没有交点
b2 – 4ac< 0
若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则
b2 – 4ac ≥0
与x轴有两个不
b2-4ac＞0
同旳交点 （x1，0）
（x2，0）
与x轴有唯一种
b2-4ac=0 交点 ( b ,0) 2a
·co
x
6、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)旳图象
A 如图所示，则a、b、c旳符号为（ ）
A、a>0,b>0,c=0 B、a<0,b>0,c=0
C、a<0,b<0,c<0 D、a>bx+c(a≠0)旳图象如图
C 所示，则a、b、c 、 △旳符号为（ ）
2.图像特征；
y=x2
y (x 5)2 1 24
一元二次方程根旳情况与b²-4ac旳关系
我们懂得:代数式b2-4ac对于方程旳根起着关键旳作用.
当b2 4ac 0时,方程ax2 bx c 0a 0有两个不相等的实数根
x1,2 b
b2 4ac .
（2）若该抛物线与x轴旳两个交点分别为A、B，
且它旳顶点为P，求△ABP旳面积。
模块二、常见题型
1.求解二次函数解析式， 16.求二次函数f (x) 2x2 6x
待定系数法；
在下列定义域上的函数取值范围；
2.图像特征；
(1)定义域为{x Z 0 x 3};
3.单调性；
(2)定义域为[2,1];
(1)有两个交点
b2 – 4ac > 0
(2)有一种交点
b2 – 4ac= 0
(3)没有交点
b2 – 4ac< 0
若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则
b2 – 4ac ≥0
与x轴有两个不
b2-4ac＞0
同旳交点 （x1，0）
（x2，0）
与x轴有唯一种
b2-4ac=0 交点 ( b ,0) 2a
·co
x
6、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)旳图象
A 如图所示，则a、b、c旳符号为（ ）
A、a>0,b>0,c=0 B、a<0,b>0,c=0
C、a<0,b<0,c<0 D、a>bx+c(a≠0)旳图象如图
C 所示，则a、b、c 、 △旳符号为（ ）
2.图像特征；
二次函数图像和性质课件(1)完整版公开课全篇
B. y= –(x+1)2+1
C.y=(x–1)2+1
D. y= –(x–1)2+1
1)若抛物线y=-x2向左平移2个单位,再向 下平移4个单位所得抛物线的解析式是 ________
2)如何将抛物线y=2(x-1) 2+3经过平移 得到抛物线y=2x2
3) 将抛 物线y=2(x -1)2+3经过怎样的平 移得到抛物线y=2(x+2)2-1
(h,k)
二次函数y=a(x-h)²+k与y=ax²的关系
1.
(1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同).
(2)都是轴对称图形.
(3)都有最(大或小)值.
(4)a>0时, 开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,在对称轴右侧,y都随 x的增大 而增大. a<0时,开口向下,在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,在对称轴右侧,y都随 x的 增大而减小 .
y=3x2
向右
向上
y=3(x-1)2
y=3(x-1)2+2
二次函数y=3(x-1)2+2的 图象和抛物线 y=3x²,y=3(x-1)2有什么关 系?它的开口方向,对称轴 和顶点坐标分别是什么?
y 3x 12 2
y 3x 12
二次函数y=3(x-1)2+2的 图象可以看作是抛物线 y=3x2先沿着x轴向右平移 1个单位,再沿直线x=1向 上平移2个单位后得到的.
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
当x=h时,最小值为k.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
1二次函数公开课一等奖课件
程有两个相等的实根；当 $Delta<0$时，方程无实根。
根与系数的关系
二次方程的两个根之和等于系数 之比$-b/a$，两个根之积等于常
数项与首项系数之比$c/a$。
03 二次函数的运算和变换
二次函数的加减乘除运算
加法运算
两个二次函数相加，其结果仍 为二次函数，新的二次函数的 系数是原函数对应系数之和。
简要介绍本次公开课的背景、目的以及二次函 数的重要性和应用。
01
二次函数的图像和性质
详细讲解二次函数的图像特征、性质 以及判别式的作用，通过图像直观展
示二次函数的性质。
03
二次函数的应用举例
通过举例的方式，让学生了解二次函数在实 际问题中的应用，如求解最值问题、判断函
数的单调性等。
05
02
知识回顾
回顾与二次函数相关的基础知识，如一次函 数、二次方程等，为后续学习打下基础。
二次函数的判别式与一元二次方程根的关系
判别式大于零时，一元二次方程有两个不相等的实根，对应二次函数与x轴有两个交点；判别式等于零时，一元 二次方程有两个相等的实根，对应二次函数与x轴有一个交点；判别式小于零时，一元二次方程无实根，对应二 次函数与x轴无交点。
二次函数与二次曲线的关系
1 2 3
二次函数的图像是一条抛物线
伸缩变换
二次函数的图像可以通过伸缩变换进 行放大或缩小，伸缩后的函数表达式 为$y=a(bx)^2+c$，其中$b$为伸缩 因子。
二次函数的对称性和周期性
对称性
二次函数的图像关于对称轴对称，对称轴方程为$x=-frac{b}{2a}$，对称点坐 标可以通过对称轴求得。
周期性
二次函数不具有周期性，因为其图像是一个抛物线，不会重复出现。但是，在 某些特定情况下（如三角函数与二次函数的复合），可能会呈现出一定的周期 性。
根与系数的关系
二次方程的两个根之和等于系数 之比$-b/a$，两个根之积等于常
数项与首项系数之比$c/a$。
03 二次函数的运算和变换
二次函数的加减乘除运算
加法运算
两个二次函数相加，其结果仍 为二次函数，新的二次函数的 系数是原函数对应系数之和。
简要介绍本次公开课的背景、目的以及二次函 数的重要性和应用。
01
二次函数的图像和性质
详细讲解二次函数的图像特征、性质 以及判别式的作用，通过图像直观展
示二次函数的性质。
03
二次函数的应用举例
通过举例的方式，让学生了解二次函数在实 际问题中的应用，如求解最值问题、判断函
数的单调性等。
05
02
知识回顾
回顾与二次函数相关的基础知识，如一次函 数、二次方程等，为后续学习打下基础。
二次函数的判别式与一元二次方程根的关系
判别式大于零时，一元二次方程有两个不相等的实根，对应二次函数与x轴有两个交点；判别式等于零时，一元 二次方程有两个相等的实根，对应二次函数与x轴有一个交点；判别式小于零时，一元二次方程无实根，对应二 次函数与x轴无交点。
二次函数与二次曲线的关系
1 2 3
二次函数的图像是一条抛物线
伸缩变换
二次函数的图像可以通过伸缩变换进 行放大或缩小，伸缩后的函数表达式 为$y=a(bx)^2+c$，其中$b$为伸缩 因子。
二次函数的对称性和周期性
对称性
二次函数的图像关于对称轴对称，对称轴方程为$x=-frac{b}{2a}$，对称点坐 标可以通过对称轴求得。
周期性
二次函数不具有周期性，因为其图像是一个抛物线，不会重复出现。但是，在 某些特定情况下（如三角函数与二次函数的复合），可能会呈现出一定的周期 性。
《二次函数》公开课一等奖课件pptx
02
二次函数的定义和 性质
二次函数的定义
定义：一般地，形如y=ax²+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数。 分类：二次函数有一般形式、顶点式和交点式。 表达式：y=ax²+bx+c(a、b、c是常数，a≠0) 图像：二次函数的图像是一条抛物线。
二次函数的性质
开口方向：通过函数表达式判断 顶点坐标：使函数取得极值的点 对称轴：直线x=-b/2a 函数最值：在顶点处取得
二次函数公开课一 等奖课件
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目录
函数概念及表示方法
二次函数的解析式和分类 讨论
二次函数的扩展知识
二次函数的定义和性质 二次函数的应用 总结与展望
01
函数概念及表示方 法
函数定义
定义域：自变量的取值范围
变量：函数中的自变量和因 变量
值域：因变量的取值范围
对应关系：函数的核心关系， 将自变量和因变量联系起来
物理领域：研究 物体的运动轨迹、 振动等
化学领域：研究 化学反应过程中 物质浓度的变化 等
工程领域：用于 研究物体的受力 分析、优化设计 等
05
二次函数的扩展知 识
二次函数与一元二次方程的关系
二次函数与一元 二次方程的联系
二次函数与一元 二次方程的转化
利用二次函数解 决一元二次方程 的问题
通过一元二次方 程理解二次函数 的性质
应用：解决实际问题、数学考试中的应用、一元二次方程的求解问题等 总结：二次函数是数学中重要的基础知识之一，掌握其概念和性质对于解决各种实际问题 具有重要意义。
展望二次函数未来的发展前景和应用领域
未来发展前景：随着数学学科的进步，二次函数的理论和 算法将继续得到完善和发展，为数学和其他学科提供更丰 富的工具和手段。
1二次函数公开课一等奖课件
振动分析
在振动分析中，物体的位 移、速度和加速度等变量 与时间的关系可以用二次 函数来描述。
电磁波传播
电磁波的传播路径和强度 分布可以用二次函数来模 拟。
数学竞赛中的二次函数
代数问题
在数学竞赛中，二次函数常常与其他 数学知识结合，用于解决代数问题。
数列问题
几何问题
在几何问题中，二次函数可以用来解 决与平面图形、立体几何相关的问题 。
03
二次函数的应用
生活中的二次函数
抛物线运动
在投掷、跳水等运动中，物体的 运动轨迹可以近似为二次函数图
像。
建筑结构
桥梁、房屋等建筑物的受力分析中 ，常常涉及到二次函数的计算。
经济模型
在预测商品价格、市场需求等方面 ，二次函数可以用来建立经济模型 。
物理中的二次函数
01
02
03
自由落体
物体下落的距离与时间的 平方成正比，这是二次函 数在物理中的一个应用。
2. 根据问题类型选择 相应的公式进行计算 ，如求最值使用顶点 坐标或判别式 $Delta = b^2 - 4ac$。
因式分解法
01 总结词
02 详细描述
03 1. 求根
04 2. 因式分解
05 3. 分析性质
通过因式分解将二次函数 转化为两个一次函数的乘 积，便于研究其性质和图 像。
因式分解法是将二次函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$ 转化为两个一次函数的乘 积 $f(x) = a(x - x_1)(x x_2)$ 的过程。通过因式分 解，可以确定二次函数的 根和对称轴。
开口方向与顶点
总结词
通过顶点式可以确定二次函数的开口方向和顶点位置。
全国优质课一等奖人教版九年级数学上册《二次函数y=ax2+k的图象和性质》公开课课件
探索二次函数y=ax2的性质
对比函数y =
2
x ，
y=x2 ，y = 2x2的图象，你发现了什么？
1）开口都向上（a>0） ，对称轴都是y轴。
2）当x<0时，y随x增大而减小；
当x>0时，y随x增大而增大。
3）顶点是原点（最小值）。
4）a值越大抛物线开口越小。
y=2x2
y=x2
2
y= x
O
3
x
观察与思考
y
9
观察y=x2的图象，它有什么特征？它的形状像什么？
特征：开口向上的曲线
形状：类似于游乐场中的过山车行驶的路线。
6
3
-3
O
3
事实上，二次函数的图象都是抛物线，它们的开口或者向上或者下。一般地，
二次函数 y =ax2+bx +c（a≠0）的图象叫做抛物线y=ax2+bx+c.
x
02
探索二次函数y=ax2的性质
观察y=x2的图象，它的对称轴在哪里？图象与y轴交点坐标？
交点坐标（0,0），
观察图象，当二次函数的x=0时，y=0（最小值）
6
3
实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称
轴的交点叫做抛物线的顶点。
【切记】顶点是抛物线的最低点或最高点。
y
9
P(-1,1)
-3
O
P’(1,1)
C．抛物线y=ax2（a≠0）中，a越大图象开口越小，a越小图象开口越大
D．不论a是正数还是负数，抛物线y=ax2（a≠0）的顶点一定是坐标原点
【详解】A、二次函数y=3x2中，当x＞0时，y随x的增大而增大，说法正确；
二次函数公开课一等奖课件
最大值或最小值（即 $k$ 的值）。
公式法
总结词
适用于任何形式的二次函数，可以直接套用 公式求出函数的根。
详细描述
公式法是解二次方程的通用方法。对于一般 形式的二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，其 解的公式为 $x = frac{-b pm sqrt{b^2 4ac}}{2a}$。使用公式法时，需要注意判别 式 $Delta = b^2 - 4ac$ 的正负，以确定 方程的实根个数。
详细描述
二次函数是数学中常见的函数形式之一，其一般形式为 y=ax^2+bx+c，其中x为自变量，y为因变量。a、b、c为常 数，且a≠0。当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线 开口向下。
二次函数的图像
总结词
二次函数的图像是一个抛物线，其形 状由a、b、c的值决定。
详细描述
二次函数的图像是一个抛物线。根据a 、b、c的值，抛物线的位置、开口方 向和开口大小会有所不同。当b=0时 ，抛物线关于y轴对称；当b≠0时，抛 物线关于x=-b/2a对称。
提升习题3
已知抛物线$y = ax^2 + bx + c$经过原点，求证 ：$a = 1$。
竞赛习题
竞赛习题1
已知抛物线$y = ax^2 + bx + c$的顶点在第二象限，求证：$a
< 0$。
竞赛习题2
若抛物线$y = ax^2 + bx + c$ 与直线$y = mx + n$相切于原 点，求证：抛物线的对称轴为直
配方法的基本步骤是将二次函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$ 转化为 $f(x) = a(x - h)^2 + k$ 的形式，其中 $(h, k)$ 是函数的顶点 坐标。通过配方，我们可以确定函数的开口
公式法
总结词
适用于任何形式的二次函数，可以直接套用 公式求出函数的根。
详细描述
公式法是解二次方程的通用方法。对于一般 形式的二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，其 解的公式为 $x = frac{-b pm sqrt{b^2 4ac}}{2a}$。使用公式法时，需要注意判别 式 $Delta = b^2 - 4ac$ 的正负，以确定 方程的实根个数。
详细描述
二次函数是数学中常见的函数形式之一，其一般形式为 y=ax^2+bx+c，其中x为自变量，y为因变量。a、b、c为常 数，且a≠0。当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线 开口向下。
二次函数的图像
总结词
二次函数的图像是一个抛物线，其形 状由a、b、c的值决定。
详细描述
二次函数的图像是一个抛物线。根据a 、b、c的值，抛物线的位置、开口方 向和开口大小会有所不同。当b=0时 ，抛物线关于y轴对称；当b≠0时，抛 物线关于x=-b/2a对称。
提升习题3
已知抛物线$y = ax^2 + bx + c$经过原点，求证 ：$a = 1$。
竞赛习题
竞赛习题1
已知抛物线$y = ax^2 + bx + c$的顶点在第二象限，求证：$a
< 0$。
竞赛习题2
若抛物线$y = ax^2 + bx + c$ 与直线$y = mx + n$相切于原 点，求证：抛物线的对称轴为直
配方法的基本步骤是将二次函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$ 转化为 $f(x) = a(x - h)^2 + k$ 的形式，其中 $(h, k)$ 是函数的顶点 坐标。通过配方，我们可以确定函数的开口
中考数学《二次函数》公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
y=(-7)2+6×(-7)+5=12.
又∵抛物线与y轴交于点B(0，5)，
∴CD边上旳高为12-5=7，
∴S△BCD=
1×8×7=28.
2
【知识拓展】二次函数旳图象是抛物线，是轴对称图形， 图象上纵坐标相等旳两个点有关对称轴对称.
热点考向四 二次函数与方程或不等式
【例3】(2023·牡丹江中考)抛物线
二、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)旳图象与性质
1.当a>0时
(1)开口方向：向上.(2)顶点坐标：(___2b_a_
4ac b2
, 4a ).(3)对称
轴：直线__x____2b_a__.
(4)增减性：当x< b 时，y随x旳增大而_减__小__；当x> b 时，
2a
2a
y随x旳增大而_增__大__.
2a
2a
y随x旳增大而_____减. 小
4ac b2
(5)最值：当x= b 时，y最大值=____4_a____.
2a
【思维诊疗】(打“√”或“×”) 1.y=ax2+2x+3是二次函数. ( × ) 2.二次函数y=3(x+3)2-2旳顶点坐标是(3，-2). ( × ) 3.二次函数y=x2-2旳对称轴是y轴，有最小值-2. ( √ ) 4.二次函数y=x2先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得 到旳函数体现式是y=(x+2)2-3. ( × )
(3)∵抛物线对称轴为x=1，∴抛物线在2<x<3这一段与在1<x <0这一段有关对称轴对称，又直线l与直线AB有关对称 轴对称，结合图象能够观察到抛物线在-2<x <-1这一段位于 直线l旳上方，在-1< x<0这一段位于直线l旳下方.∴抛物线与 直线l旳交点横坐标为-1； 当x=-1时，y=-2×(-1)+2=4，则抛物线过点(-1，4).当x=-1 时，m+2m -2=4，m=2. ∴抛物线旳体现式为y=2x2-4x-2.
1二次函数公开课一等奖课件
计算机科学中的应用
在计算机科学中，二次函数可以 用来实现图像变换、曲线拟合等 任务。
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二次函数性质在图像上的体现
对称性、开口方向、顶点坐标等性质都可以通过观察图像得 出。例如，对称轴是图像的垂直平分线，开口方向由抛物线 的斜率决定，顶点是抛物线的最低点或最高点。
二次函数的应用场景
实际问题建模
二次函数可以用来描述许多实际问题的数学模型，如物体运动、抛物线拱桥、弹 簧振动等。通过建立二次函数模型，可以方便地解决这些问题。
拓展思考：二次函数在其他领域的应用
物理学中的应用
在物理学中，很多现象可以用二 次函数来描述，如自由落体运动 、弹性碰撞等。
经济学中的应用
在经济学中，二次函数可以用来 描述成本、收益、利润等经济变 量之间的关系。
数学竞赛中的应用
在数学竞赛中，二次函数是常见 的考点之一，需要学生掌握其基 本性质和解题技巧。
定义
二次函数最值问题是指在给定条 件下，求二次函数的最小值或最
大值。
分类
根据不同的条件和限制，二次函数 最值问题可以分为不同类型，如无 限制条件下的最值、有约束条件下 的最值等。
意义
二次函数最值问题在数学、物理、 工程等领域都有广泛的应用，解决 这类问题有助于提高数学建模能力 和解决实际问题的能力。
二次函数公开课一等 奖课件
汇报人：可编辑 2023-12-22
• 引言 • 二次函数基础知识回顾 • 二次函数解析式与图像关系 • 二次函数图像变换与性质变化规律 • 二次函数最值问题及其求解方法 • 总结回顾与拓展思考
目录
Part
01
引言
课程背景与目标
课程背景
1二次函数公开课一等奖课件
鼓励：肯定学生的表现，鼓 励学生继续发挥优点，克服
不足
Hale Waihona Puke 点评：对学生在课堂上的表 现进行客观评价，提出优点 和不足
改进：根据学生的表现，提 出改进教学方法和内容的建
议，提高教学质量
感谢观看
汇报人：
布置课后作业和思考题
课后作业：巩固所 学知识，加深对概 念和方法的理解
思考题：拓展思维， 提高分析和解决问 题的能力
提醒学生注意事项： 认真完成作业，独 立思考，不懂就问
评价与反馈：及时 批改作业，给予指 导和建议，关注学 生的学习进度和掌 握情况
对学生的表现进行点评和指导
指导：根据学生的表现，给 予具体的指导和建议，帮助 学生提高学习水平
利润最大问题
抛物线型桥洞的设计
球体表面积的计算
车辆刹车距离的计算
拓展二次函数的应用领域和范围
金融领域：利用二次函数解决 投资、保险等问题
物理领域：研究物体的运动轨 迹、振动等问题
化学领域：利用二次函数解决 化学反应、最优化实验等问题
计算机科学：利用二次函数解 决算法、优化等问题
培养学生的数学应用意识和能力
评价本次公开课的教学效果
学生参与度：评价学生在课堂上的参与程度，是否能够积极思考和回答问题。
课堂氛围：评价课堂氛围是否活跃，是否能够激发学生的学习兴趣和好奇心。
教学内容：评价教学内容是否符合学生的认知水平和兴趣爱好，是否能够让学生受益匪浅。
教师表现：评价教师在课堂上的表现，是否能够引导学生思考和解决问题，是否能够合理安 排教学时间和节奏。
二次函数公开课一 等奖课件
单击此处添加副标题
汇报人：
目录
添加目录项标题 二次函数概念及公式 二次函数与一元二次方程 的关系 总结与评价
《二次函数》示范公开课PPT教学课件【九年级数学下册北师大版】
二次函数
教科书第30页习题2.1第1、3题
二次函数
二次函数
（1）能结合具体情境，表示变量之间的二次函数关系，理解二次函数的概念；（2）会应用二次函数的概念，进行二次函数关系的判断；（3）在通过实际情境归纳出二次函数概念的过程中，体会函数的模型思想；（4）通过对贴合生活的实例的探讨，感受生活中处处有数学，培养数学学习的兴趣.
重点
难点
上述解析式是我们学过的一次函数吗？
画一个正方形，如果它的边长变化，正方形的哪些量也发生变化？（1）正方形的周长与边长之间的函数关系式 . （2）正方形的面积与边长之间的函数关系式 .
新增的橙子树棵数
函数解析式等号两边必须是整式；化简后自变量的量），哪些是二次函数？ .
解：(1) 的最高次幂不是二次，不是二次函数.
先化简再判断
(4)
(3)右边不是整式，不是二次函数.
(2)
(5)
不是整式
【例2】已知正方体的棱长为 cm，表面积为 cm²，体积为 cm³.（1）分别写出 与与之间的函数关系式.（2）这两个函数中，哪一个是的二次函数？
解：因为正方形的边长为4，当边长增加时，面积增加，所以 故这个函数是二次函数.
增加的
3. 已知二次函数 ，当时，；当时，，求 的值.
解:解得
类比于一次函数待定系数法
函数自变量的取值范围：
二次函数：
一般地，形如 是常数，的函数叫做 的二次函数. 特殊形式： ，.
注意：
（1）关于的代数式一定是整式；（2）化简后自变量的最高次数为2；（3）二次项系数不为零.
解:（1） ，
正方体表面积
正方体体积
（2）是的二次函数.
三次
二次
教科书第30页习题2.1第1、3题
二次函数
二次函数
（1）能结合具体情境，表示变量之间的二次函数关系，理解二次函数的概念；（2）会应用二次函数的概念，进行二次函数关系的判断；（3）在通过实际情境归纳出二次函数概念的过程中，体会函数的模型思想；（4）通过对贴合生活的实例的探讨，感受生活中处处有数学，培养数学学习的兴趣.
重点
难点
上述解析式是我们学过的一次函数吗？
画一个正方形，如果它的边长变化，正方形的哪些量也发生变化？（1）正方形的周长与边长之间的函数关系式 . （2）正方形的面积与边长之间的函数关系式 .
新增的橙子树棵数
函数解析式等号两边必须是整式；化简后自变量的量），哪些是二次函数？ .
解：(1) 的最高次幂不是二次，不是二次函数.
先化简再判断
(4)
(3)右边不是整式，不是二次函数.
(2)
(5)
不是整式
【例2】已知正方体的棱长为 cm，表面积为 cm²，体积为 cm³.（1）分别写出 与与之间的函数关系式.（2）这两个函数中，哪一个是的二次函数？
解：因为正方形的边长为4，当边长增加时，面积增加，所以 故这个函数是二次函数.
增加的
3. 已知二次函数 ，当时，；当时，，求 的值.
解:解得
类比于一次函数待定系数法
函数自变量的取值范围：
二次函数：
一般地，形如 是常数，的函数叫做 的二次函数. 特殊形式： ，.
注意：
（1）关于的代数式一定是整式；（2）化简后自变量的最高次数为2；（3）二次项系数不为零.
解:（1） ，
正方体表面积
正方体体积
（2）是的二次函数.
三次
二次
二次函数的性质公开课一等奖课件省赛课获奖课件
②顶点式 y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，其中(h，k)是抛物线的顶 点．当已知抛物线的顶点坐标或对称轴，能够先求出抛物线 顶点时，设顶点式解题十分简捷．加上其他条件确定 a 的值， 即可求出函数的解析式；
③两根式 y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中 x1、x2 就是方程 ax2＋bx＋c＝0 的两根，即抛物线与 x 轴两交点的横坐标．当 题中已知抛物线与 x 轴交点的坐标时，设出零点式解题比较 简单．
已知顶点为(1，－3)，∴h＝－1，k＝－3， 即所求的二次函数 y＝a(x－1)2－3. 又∵图像经过点 P(2,0)， ∴0＝a×(2－1)2－3，∴a＝3， ∴函数的解析式为 y＝3(x－1)2－3，即 y＝3x2－6x.
解法四：设解析式为 y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)， 其中 x1，x2 是抛物线与 x 轴的两交点的横坐标， 已知抛物线与 x 轴的一个交点 P(2,0)，对称轴是 x＝1， ∴抛物线与 x 轴的另一个交点为(0,0)， ∴x1＝0，x2＝2， ∴所求的解析式为 y＝a(x－0)(x－2)， 又∵顶点为(1，－3)，∴－3＝a×1×(1－2)，∴a＝3， ∴所求函数的解析式为 y＝3x2－6x.
∴函数的解析式为 y＝3x2－6x.
解法二：设所求函数的解析式为 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
4a＋2b＋得 ab＝ ＝3－，6， c＝0.
∴函数的解析式为 y＝3x2－6x.
解法三：设所求函数的解析式为 y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)， 则顶点坐标为(－h，k)，
[分析] 本题中已知二次函数 f(x)的解析式，故可考虑用 配方法将 f(x)化成顶点式，进而确定对称轴和顶点坐标．然后 再结合对称性求 f(3)及比较 f(－12)与 f(32)的大小．
26.1.2二次函数公开课绝对经典
二次函数: 一般地,形如 y=ax2+bx+c (a、b、c为常数,a≠0) 的函数,叫做二次函数.其中,是x自变量,a,b,c分 别是函数表达式的二次项系数、一次项系数 和常数项.
一次函数的图像是一条直线,反比例函数的图像 是双曲线,二次函数的图像是什么形状呢?通常怎样画 一个函数的图像?
探究
画二次函数
只是开口 大小不同
y 2x 2 y x 2
y = ax2
抛物线
顶点坐标
对称轴 位置 开口方向 增减性
y=ax2 (a>0) （0，0） y轴
在x轴的上方(除顶点外)
y= ax2 (a<0) （0，0） y轴
在x轴的下方( 除顶点外)
向上
当x=0时,最小值为0.
a 越大,开口越小.
向下
y=ax2+bx+c(a>0)
b 4ac b 2 2a , 4a b 直线x 2a
y=ax2+bx+c(a<0)
b 4ac b 2 2a , 4a b 直线x 2a
顶点坐标
对称轴 位置 开口方向
由a,b和c的符号确定
2+k Y=ax
探究
在同一坐标系中作二次函数y=2x2+1和 y=2x2的图象,会是什么样? y 2x2 1
二次项系数为2， 开口向上; 开口大小相同; 对称轴都是y轴; 增减性相同. 顶点不同,分别是 原点(0,0)和(0,1)
y 2x 2
位置不同; 最小值不同: 分别是1和0
不用描点法，你知道 y = x2＋1、 y = x2－1 的图象是怎样的吗？ 2
二次函数y=ax2图像和性质省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件
2.当a>0时，抛物线y=ax2在x轴旳上方(除顶点外),它旳开 口向上,而且向上无限伸展；
当a<0时,抛物线y=ax2在x轴旳下方(除顶点外),它旳开 口向下,而且向下无限伸展.
3.当a>0时,在对称轴旳左侧,y伴随x旳增大而减小；在对称轴 右侧,y伴随x旳增大而增大.当x=0时函数y旳值最小. 当a<0时，在对称轴旳左侧,y伴随x旳增大而增大；在对称轴 旳右侧,y伴随x增大而减小,当x=0时,函数y旳值最大.
二次函数y=ax2旳图象和性质
学习目的
驶向胜利 旳彼岸
1、会用描点法画二次函数y=x2和 y=-x2旳图象；
2、根据函数y=x2和y=-x2旳图象， 直观地了解它旳性质.
数形结合,直观感受
•在二次函数y=x2中,y随x旳变化而变化旳规律
是什么？ •你想直观地了解它旳性质吗?
你会用描点法画二次函数y=x2旳图象吗?
（懂得4)当旳x？取什么值时,y旳值最-6大?最大值是什么？你是怎样
-8 y=-x2
（5)图象是轴对称图形吗？-假10如是,它旳对称轴是什么?请 你找出几对对称点,并与同伴交流.
二次函数y= -x2旳 图象形如物体抛射 时所经过旳路线,我 们把它叫做抛物线.
这条抛物线有关 y轴对称,y轴就 是它旳对称轴.
-2
y x2
二次函数y=x2旳 图象形如物体抛射 时所经过旳路线,我 们把它叫做抛物线.
这条抛物线有关 y轴对称,y轴就 是它旳对称轴.
对称轴与抛物 线旳交点叫做 抛物线旳顶点.
y x2
当x<0 (在对称轴旳 左侧)时,y伴随x旳增大而
减小.
当x>0 (在对称轴旳 右侧)时, y伴随x旳增大而
当a<0时,抛物线y=ax2在x轴旳下方(除顶点外),它旳开 口向下,而且向下无限伸展.
3.当a>0时,在对称轴旳左侧,y伴随x旳增大而减小；在对称轴 右侧,y伴随x旳增大而增大.当x=0时函数y旳值最小. 当a<0时，在对称轴旳左侧,y伴随x旳增大而增大；在对称轴 旳右侧,y伴随x增大而减小,当x=0时,函数y旳值最大.
二次函数y=ax2旳图象和性质
学习目的
驶向胜利 旳彼岸
1、会用描点法画二次函数y=x2和 y=-x2旳图象；
2、根据函数y=x2和y=-x2旳图象， 直观地了解它旳性质.
数形结合,直观感受
•在二次函数y=x2中,y随x旳变化而变化旳规律
是什么？ •你想直观地了解它旳性质吗?
你会用描点法画二次函数y=x2旳图象吗?
（懂得4)当旳x？取什么值时,y旳值最-6大?最大值是什么？你是怎样
-8 y=-x2
（5)图象是轴对称图形吗？-假10如是,它旳对称轴是什么?请 你找出几对对称点,并与同伴交流.
二次函数y= -x2旳 图象形如物体抛射 时所经过旳路线,我 们把它叫做抛物线.
这条抛物线有关 y轴对称,y轴就 是它旳对称轴.
-2
y x2
二次函数y=x2旳 图象形如物体抛射 时所经过旳路线,我 们把它叫做抛物线.
这条抛物线有关 y轴对称,y轴就 是它旳对称轴.
对称轴与抛物 线旳交点叫做 抛物线旳顶点.
y x2
当x<0 (在对称轴旳 左侧)时,y伴随x旳增大而
减小.
当x>0 (在对称轴旳 右侧)时, y伴随x旳增大而
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-1 -4 -9 …
（2）在平面直角坐标系中描点：
y
-4 -3 -2 -1
o
-2 -4 -6 -8
1
2
3
4
x
y = - x2
-10
（3）用光滑曲线顺次连接各点，便得到函数y= -x2 的图象.
知识要点
抛物线： 像这样的曲线通常叫做抛物线。 二次函数的图象都是抛物线。 一般地，二次函数 y ax bx c 的图象叫做抛物线 y ax2 bx c 。
向下平移k个单位
y = a (x－h)2 －k
y = ax2 + c
y ax2 c y ax2 c
抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 最值
y=ax2 +c(a>0) （0，c）
y轴 向上 当x=0时,最小值为c.
y=ax2 +c(a<0) （0，c） y轴
向下
当c>0时,在x轴的上方(经过一,二象限); 当c<0时,在x轴的下方(经过三,四象限); 当c<0时,与x轴相交(经过一,二三四象限). 当c>0时,与x轴相交(经过一,二三四象限).
2
对称轴、顶点、最低点、最高点
yx
2
这条抛物线关于 y轴对称，y轴就 是它的对称轴.
对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点.
yx
2
当x=1时，y=1 当x=2时，y=4
当x=-2时，y=4 当x=-1时，y=1
抛物线 y=x2在x轴上方 (除顶点外)，顶点是它的最 低点，开口向上，并且向上 无限伸展; 当x=0时,函数 y的值最小， 最小值是0.
抛物线 y= -x2在x轴下方(除顶点外)，顶点 是它的最高点，开口向下，并且向下无限伸展， 当x=0时，函数y的值最大，最大值是0.
y
y x2y Fra bibliotekx2y = x2、y= - x2
y x2
抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 最值
y = x2 （ 0， 0） y轴
在x轴上方(除顶点外)
y 轴，顶 一般地，抛物线 y=ax2 的对称轴是____ 原点 当a > 0时，抛物线的开口向__上 点是_______. ，顶 最低点 点是抛物线的________ ，a 越大，抛物线的开口越 小 下 ___; 当a < 0时，抛物线的开口向____ ，顶点是抛 物线的最____ 点，a 越大，抛物线的开口越____. 高 大
函数: 在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于
x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那 么就说x是自变量,y是x的函数.
二次函数: 一般地,形如 y=ax2+bx+c (a、b、c为常数,a≠0) 的函数,叫做二次函数.其中,是x自变量,a,b,c分 别是函数表达式的二次项系数、一次项系数 和常数项.
y = - x2 （ 0， 0） y轴
在x轴下方( 除顶点外)
向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
当x=0时,最小值为0
当x=0时,最大值为0
下面是两个同学画的 y=0.5x2 和 y=-0.5x2的图象,你认为他们的作 图正确吗?为什么?
顶点都是原点(0,0)
顶点都是原点(0,0)
a < 0，开口都向下; 对称轴都是y轴; 增减性相同.
只是开口 大小不同
y 2 x 2 y x 2
y = ax2
抛物线
顶点坐标
对称轴 位置 开口方向 增减性
y=ax2 (a>0) （ 0， 0） y轴
在x轴的上方(除顶点外)
y= ax2 (a<0) （ 0， 0） y轴
y
5 4 3 2 1
y = x ＋1 y = x2
y = x2 －1
x
-4 -3 -2 -1
o
-1
1
2
3
4
二次函数上下平移 的口决
上加下减
例如：
y = x2 ＋1
向上平移1个单位
y = x2
向下平移1个单位
y = x2 －1
一般：
y = a (x－h)2 ＋k
向上平移k个单位
顶点式
y = a (x－h)2
2 Y=ax +k
探究
在同一坐标系中作二次函数y=2x2+1和 y=2x2的图象,会是什么样? y 2x2 1
二次项系数为2， 开口向上; 开口大小相同; 对称轴都是y轴; 增减性相同. 顶点不同,分别是 原点(0,0)和(0,1)
y 2x2
位置不同; 最小值不同: 分别是1和0
不用描点法，你知道 y = x2＋1、 y = x2－1 的图象是怎样的吗？ 2
在x轴的下方( 除顶点外)
向上
当x=0时,最小值为0.
a 越大,开口越小.
向下
当x=0时,最大值为0.
a 越小,开口越大.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
最值
开口大小
知识要点
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
当x=0时,最大值为c.
在同一坐标系中画出 函数的图象。 1
(1) y x 2 2 (2) y 2 x 2
2 2 (3) y x 3
探究
在同一坐标系中作二次函数y= -x2和 y=-2x2的图象，会是什么样?
y 2x2 y x 2
只是开口 大小不同
a>0，开口都向上; 对称轴都是y轴; 增减性相同
一次函数的图像是一条直线,反比例函数的图像 是双曲线,二次函数的图像是什么形状呢?通常怎样画 一个函数的图像?
探究
画二次函数
y x 的图象。
2
描点法
解：（1）列表：在 x 的取值范围内列出函数对 应值表： x y … -3 -2 -1 0 … 9 4 1 0 1 1 2 4 3 9 … …
（2）在平面直角坐标系中描点：
y
10 8 6 4 2 1 -4 -3 -2 -1
y=
2 x
o
-2
1
2
3
4
x
（3）用光滑曲线顺次连接各点，便得到函数y= x2 的图象.
探究
画二次函数
y x 的图象。 描点法
2
解：（1）列表：在 x 的取值范围内列出函数对 应值表： x y … -3 -2 -1 0 … -9 -4 -1 0 1 2 3 …