量子力学全同粒子体系特性

全同粒子体系
由两个或两个以上的全同粒子组成的体系，称为全同 粒子体系。 金属中的电子 氦原子中的电子 核中的质子集合 中子的集合
是全同粒子体系
经典全同粒子可区分
经典力学中，固有性质完全相同的两个粒子，是 可以区分的。因为二粒子在运动中，有各自确定的轨 道，在任意时刻都有确定的位置和速度。
1
⎧ 位置 ⇒ 轨道 ⎨ ⎩ 速度
ˆ H (q1 , q2 ,..., q N , t ) = ∑ [−
i =1 N 2 2 i
第i个粒子在外场中的能量
1 ∇ + U (qi , t )] + ∑ W (qi , q j ) 2μ i≠ j 2
第i个粒子与第j粒子之间的相互作用能
2、交换算符
ˆ PijΦ (q1 ,..., qi ,..., q j ,..., q N , t ) ≡ Φ (q1 ,..., q j ,..., qi ,..., q N , t )
2 1 2
总可判断哪个是第一个粒子哪个是第二个粒子。
微观全同粒子不可区分
微观粒子运动 服从 量子力学 用 波函数描写
在波函数重叠区 粒子是不可区分的 由此可见，全同粒子只有当它们的波函数完全不重叠 时，才是可以区分的，波函数发生重叠后，它们就不可区 分了。
（二）全同性原理 由全同粒子的不可区分性导致全同性原理的假设。
i =1 N
1 ∇ + U ( qi , t )] + ∑ W ( qi , q j )} 2μ i≠ j 2
2 i
2
= ∑ [−
j =1
N
1 ∇ 2j + U (q j , t )] + ∑ W (q j , qi ) 2μ j≠i 2
2
ˆ = H (q1 , q2 ,..., q N , t )
以氦原子为例：氦原子中有两个电子，假设一个处于基 态，而另一个处于第一激发态。
zes2 E1 = − 2a0
，
zes2 E2 = − 2a0 2 2
体系能为 E = E1 + E 2 。若把两个电子交换，能量 状态不变。
E
的
全同性原理 全同粒子组成的体系中，任意交换两个全同粒 子，体系的物理状态保持不变。
即 Φ S 保持其对称性不变。
由此得出结论：描写全同粒子体系状态的波函数只能 是对称的或反对称的，它们的对称性不随时间改变。即如 果体系在某一时刻处于对称（反对称）的态，则它将永远 处于对称（反对称）的态上。
（四） 玻色子和费米子（Bosons和Fermions） 因为全同粒子的波函数具有确定的对称性，对称波 函数保持交换不变号；反对称波函数保持交换变号。所 以，微观全同粒子体系的波函数可按置换对称分为两 类，1）交换对称；2）交换反对称。（迄今为止， 无发现例外。）
实验证明： 凡自旋是
/2或
的半奇数倍的粒子组成的全同粒子体
系，波函数具有反对称性，服从费米—狄拉克（Fermi—Dirac） 统计，这类粒子因而被称为费米子。 电子 自旋是零或 质子 中子
的整数倍的粒子组成的全同粒子体系，波函
数具有对称性，服从玻色—爱因斯坦（Bose—Einstein）统计， 这类粒子因而被称为玻色子。 光子 基态氦原子
Φ (q1 ,..., qi ,..., q j ,..., q N , t )
λ = ±1
ˆ PijΦ (q1 ,..., qi ,..., q j ,..., q N , t ) = λ Φ (q1 ,..., qi ,..., q j ,..., q N , t )
λ = ±1
λ = +1
Φ (..., q j ,..., qi ,...) = Φ (..., qi ,..., q j ,...)
——量子力学第五个基本假设
（三）全同粒子体系的波函数与哈密顿及其特性
1、全同粒子体系的波函数与哈密顿 有一由 N 个全同粒子组Hale Waihona Puke Baidu的体系，以 qi = ( ri , S iz ) 代表 第
i 个粒子的坐标和自旋，波函数可写成
Φ = Φ (q1 , q2 ,..., q N , t )
体系的哈密顿可以表述为：
α 粒子
ˆ ˆ ˆ Pij H (q1 ,..., qi ,..., q j ,..., q N , t ) ≡ H (q1 ,..., q j ,..., qi ,..., q N , t )
交换算符
3、全同粒子体系的特性 (1)交换体系中的任一对全同粒子，体系的哈密顿不变。 证明：
ˆ ˆ ˆ Pij H (q1 , q2 ,..., q N , t ) = Pij {∑ [ −
间至多差一个常数因子,即
Φ 描写同一状态,它们之
ˆ PijΦ (q1 ,..., qi ,..., q j ,..., q N , t ) = λ Φ (q1 ,..., qi ,..., q j ,..., q N , t )
ˆ Pij2Φ (q1 ,..., qi ,..., q j ,..., q N , t ) = λ2Φ (q1 ,..., qi ,..., q j ,..., q N , t )
波函数是交换对称的，用 Φ S 表示
λ = −1
Φ (..., q j ,..., qi ,...) = −Φ (..., qi ,..., q j ,...)
波函数是交换反对称的，用 Φ A 表示
下面证明这种对称性不随时间改变：
ˆ ˆ ˆ Pij H = H
ˆ ˆ Pij HΦ
ˆˆ HPijΦ
ˆ ˆ [ Pij , H ] = 0
海森堡运动方程
dPij
d ˆ = < Φ | Pij | Φ >= 0 dt dt
即交换算符的平均值不随时间变化。
以交换对称波函数为例：
Φ = Φ S |t = 0
ˆ PijΦ S = Φ S |t = 0
ˆ Φ = Φ S |t = 0 属于 Pij 的本征值为1的本征态
dPij
d ˆ = < Φ S | Pij | Φ S >= 0 dt dt
ˆ ˆ 即 H (q1 ,..., qi ,..., q j ,..., q N , t ) = H (q1 ,..., q j ,..., qi ,..., q N , t ) 有交换对称性。
(2)交换体系中的任一对全同粒子，体系的波函数有 确定的对称性，且这种对称性不随时间改变。
ˆ 证明： 根据全同性原理， PijΦ 与
§7.6 全同粒子的特性
重点
全同性原理
难点
全同性特性
（一）全同粒子及其特性 全同粒子
内禀性质（自旋、同位旋、静止质量、寿命、内禀磁 矩等）完全相同的粒子叫全同粒子。 电子偶素中的电子、金属中的电子、氢原子 中的电子和氦原子中的电子等，不论它处于 何种物质中，在什么地方，内禀性质都一样 质子和中子，正负电子，内禀性质不完全相 同，如带电状态不同不是全同粒子。 不是全同粒子 是全同粒子