多边形的外角和

3 (中考·广元)一个多边形的内角和是外角和的2倍，
这个多边形的边数为( )
A．5
B．6
C．7
D．8
4 (中考·临沂)一个正多边形的内角和为540°，则这
个正多边形的每一个外角等于( )
A．108° B．90° C．72° D．60°
1、世上没有绝望的处境，只有对处境 绝望的 人。 2、挑水如同武术，武术如同做人。循序 渐进， 逐步实 现目标 ，才能 避免许 多无谓 的挫折 。
D．8
3 (中考·十堰)如图，小华从A点出发，沿直线前进10 米后左转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°， …，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一 共走的路程是( ) A．140米 B．150米 C．160米 D．240米
知识点 3 多边形的内角和与外角和的关系
(1)多边形外角和定理的推导：因为多边形的每个内角 与和它相邻的外角都是邻补角，所以n边形的内角 和加外角和为n·180°，则外角和等于n·180°－(n －2)·180°＝360°.
六、词语点将（据意写词）。
1．看望；访问。 （ ） 2．互相商量解决彼此间相关的问题。 （ ）
3．竭力保持庄重。 （ ） 4．洗澡，洗浴，比喻受润泽。 （ ）
5．弯弯曲曲地延伸的样子。 （ ） 七、对号入座（选词填空）。
冷静 寂静 幽静 恬静 安静
１．蒙娜丽莎脸上流露出（ ）的微笑。
2．贝多芬在一条（ ）的小路上散步。 3．同学们（ ）地坐在教室里。
例2 (遂宁)若一个多边形的内角和是1 260°，则这个多 边形的边数是____9____．
导引：设这个多边形的边数为n，由题意知， (n－2)·180°＝1 260°，解得n＝9.
总结
已知多边形的内角和求边数n的方法：根据多边形内角 和公式列方程：(n－2)·180°＝内角和，解方程求出n的 值，即得多边形的边数．
(2)如图2，在n边形的一条边上取一点与其他的顶点相连；
(3)如图3，在n边形内任取一点与n个顶
点相连．
思路：把多边形内角和的问题转化为三
角形内角和的问题，即把n边形分成几
图3
个三角形，利用三角形内角和定理推导．
拓展：(1)多边形的内角和随边数的变化而变化，边数
每增加1，内角和就增加180°；
(2)多边形内角和定理的应用：已知边数求内角
总结
用多边形外角和定理求外角，一般可利用方程思想通 过列方程解决，即各个外角的和(如本例题)等于360°.
1 一个多边形的每个外角都等于36°，那么它是( )
A．六边形
B．八边形
C．十边形
D．十二边形
2 (中考·宁波)一个多边形的每个外角都等于72°，则
这个多边形的边数为( )
A．5
B．6
C．7
(2)注意：多边形的外角和不受边数的影响，是一个定 值．
(3)正n边形每个内角的度数为 (n 2)·180，
每个外角的度数为 360 .
n
n
例5 一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°， 则这个多边形的边数是( C ) A．5 B．6 C．7 D．8
导引：设多边形的边数为n. ∵多边形的外角和等于360°， ∴(n－2)×180°＝360°×3－180°，解得n＝7.
10、涓滴之水终可磨损大石，不是由于 它力量 大，而 是由于 昼夜不 舍的滴 坠。只 有勤奋 不懈的 努力才 能够获 得那些 技巧， 因此， 我们可 以确切 地说： 说：不 积跬步 ，无以 致千里 。——贝多芬 11、一定要做最适合自己的事情，不要 迎合别 人的口 味而去 做一件 不属于 自我的 “难事 ”。一 旦“发 现自我 ”，就 要尽力 而为， 但要全 面了解 自己和 周围的 环境， 知道适 可而止 。 12、要有自信，然后全力以赴--假如具有 这种观 念，任 何事情 十之八 九都能 成功。 ——威 尔逊 13、莫找借口失败，只找理由成功。 14、一个有坚强心志的人，财产可以被 人掠夺 ，勇气 却不会 被人剥 夺的。 ——雨 果 15、积极的人在每一次忧患中都看到一 个机会 ，而消 极的人 则在每 个机会 都看到 某种忧 患。 16、不是境况造就人，而是人造就境况 。
例6 求正六边形每个内角的度数. 解：设正六边形的内角和为
(6-2)×180°=720°， 所以每个内角的度数为 720°÷6=120°.
例7 (资阳)一个正多边形的每个外角都等于36°，那么
它是( C )
A．正六边形
B．正八边形
C．正十边形
D．正十二边形
导引：用多边形的外角和360°除以36°，即可求得边数
19、别因为落入了一把牛毛就把一锅奶 油泼掉 ，别因 为犯了 一点错 误就把 一生的 事业扔 掉。——蒙古 20、许多人之所以在生活中一事无成， 最根本 原因在 于他们 不知道 自己到 底要做 什么。 在生活 和工作 中，明 确自己 的目标 和方向 是非常 必要的 。只有 在知道 你的目 标是什 么、你 到底想 做什么 之后， 你才能 够达到 自己的 目的， 你的梦 想才会 变成现 实。
和；已知内角和求边数．
例1 在四边形ABCD中，如果∠A＋∠C＋∠D＝280°，
则∠B的度数是( A )
A．80°
B．90°
C．170°
D．20°
导引：∵四边形的内角和为(4－2)×180°＝360°，
∴∠B＝360°－(∠A＋∠C＋∠D)
＝360°－280°＝80°.
总结
已知边数求内角和可直接代入内角和公式：n边形内角 和等于(n－2)·180°求解．
A．8 B．9
C．10
D．11
5 (中考·临沂)将一个n边形变成(n＋1)边形，内角和
将( )
A．减少180°
B．增加90°
C．增加180°
D．增加360°
6 一个多边形除一个内角外其余内角的和为1 510°，
则这个多边形对角线的条数是( )
A．27
B．35 C．44 D．54
知识点 2 多边形的外角和
1 四边形ABCD中，四个内角度数之比是1:2: 3:4，求 出四个内角的度数.
2 一个多边形的内角和是1 440°，求这个多边形的 边数.
3 (中考·舟山)已知一个正多边形的内角是140°，则
这个正多边形的边数是( )
A．6
B．7
C．8
D．9
4 若一个多边形的每个内角均为150°，则从此多边
形的一个顶点出发可作的对角线的条数为( )
为10.
总结
本题考查了多边形外角和定理，理解任意多边形的外角 和都是360°是关键．
Βιβλιοθήκη Baidu
1 正多边形的每个内角可能是：(1) 75°；(2) 90° ； (3) 120°吗？说明理由.
（来自教材）
2 (中考·宿迁)已知一个多边形的内角和等于它的外角
和，则这个多边形的边数为( )
A．3
B．4
C．5
D．6
4．四周一片（ ），听不到一点声响。 5．越是在紧张时刻，越要保持头脑的（ ）。
第19章 四边形
19.1 多边形内角和
第2课时 多边形的外 角和
1 课堂讲解 多边形的内角和
多边形的外角和
2 课时流程 多边形的内角和与外角和的关系
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
探究 我们知道，三角形的内角和为180°，下面来探讨多边 形的内角和. 1. 四边形的内角和是多少？
按下面两种方法之一试一试：
例3 如图，求∠A＋∠ABC＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的 度数．
导引：要求不规则图形的各个角的度数和，就是想办法 在不规则图形中找规则图形，然后把不规则图形 的角通过已学的相关知识(本例题中三角形外角 的性质)转移到规则的图形 中去，即把所求的六个角 的和转移到四边形BEFG 中去．
解：在四边形BEFG中， ∵∠EBG＝∠C＋∠D，∠BGF＝∠A＋∠ABC， ∴∠A＋∠ABC＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F ＝∠BGF＋∠EBG＋∠E＋∠F＝360°.
17、在人生的竞赛场上，没有确立明确 目标的 人，是 不容易 得到成 功的。 许多人 并不乏 信心、 能力、 智力， 只是没 有确立 目标或 没有选 准目标 ，所以 没有走 上成功 的途径 。这道 理很简 单，正 如一位 百发百 中的神 射击手 ，如果 他漫无 目标地 乱射， 也不能 在比赛 中获胜 。 18、生活就像海洋，只有意志坚强的人 ，才能 到达彼 岸。——马克 思
定理：n边形的外角和等于360°(n为不小于3的整 数)．
例4 已知四边形的四个外角度数比为1∶2∶3∶4，求 各外角的度数．
导引：由四边形外角和定理和各外角之间的比例关系可 求出各外角．
解：设四边形的最小外角为x°，则其他三个外角分别 为2x°，3x°，4x°.根据四边形外角和等于360°， 得x°＋2x°＋3x°＋4x°＝360°.所以x°＝36°， 2x°＝72°，3x°＝108°，4x°＝144°.所以四边 形各外角的度数分别为36°，72°，108°，144°.
21、怠惰是贫穷的制造厂。 22、先知三日，富贵十年。 23、自信是向成功迈出的第一步。——爱因斯 坦 24、一个人除非自己有信心，否则不能 带给别 人信心 ；已经 信服的 人，方 能使人 信服。 ——麦 修·阿诺 德 25、凡是挣扎过来的人都是真金不怕火 炼的； 任何幻 灭都不 能动摇 他们的 信仰： 因为他 们一开 始就知 道信仰 之路和 幸福之 路全然 不同， 而他们 是不能 选选择 的，只 有往这 条路走 ，别的 都是死 路。这 样的自 信不是 一朝一 夕所能 养成的 。你绝 不能以 此期待 那些十 五岁左 右的孩 子。在 得到这 个信念 之之前 ，先得 受尽悲 痛，流 尽眼泪 。可是 这样是 好的， 应该要 这样… …——罗 曼·罗 兰 26、一个人在科学探索的道路上，走过 弯路， 犯过错 误，并 不是坏 事，更 不是什 么耻辱 ，要在 实践中 勇于承 认和改 正错误 。——爱因斯 坦88我 们的理 想应该 是高尚 的。我 们不能 登上顶 峰，但 可以爬 上半山 腰，这 总比待 在平地 上要好 得多。 如果我 们的内 心为爱 的光辉 所照亮 ，我们 面前前 又有理 想，那 么就不 会有战 胜不了 的困难 。——普列姆 昌德 27、旁观者的姓名永远爬不到比赛的计 分板上 。
3、别想一下造出大海，必须先由小河川 开始。 4、自信是所有成功人士必备的素质之一 ，要想 成功， 首先必 须建立 起自信 心，而 你若想 在自己 内心建 立信心 ，即应 像洒扫 街道一 般，首 先将相 当于街 道上最 阴湿黑 暗之角 落的自 卑感清 除干净 ，然后 再种植 信心， 并加以 巩固。 信心建 立之后 ，新的 机会才 会随之 而来。
总结
(1)化不规则为规则是转化思想中一种常见的方法，它 主要经历了两步：第一步找规则图形，第二步将不 规则图形的角转化到规则图形中；关键是找规则图 形．这类题一般有不同的解法，如本例题还可以将 四边形DEFH作为基础四边形，请读者自己完成其 解法．
(2)若图中没有已知的规则图形，则需通过作辅助线构 造规则图形．
2. 五边形的内角和又是多少呢？ 如图，能仿照上述方法去推得吗？
五边形的内角和等于___5_4_0_°_. 3. 一般地，n边形的内角和是多少呢?
知识点 1 多边形的内角和
定理：n边形的内角和等于(n－2)·180°(n为不小于 3的整数)．
证明多边形内角和公式：
方法：
图1
图2
(1)如图1，从n边形的一个顶点出发作对角线；
(1)
(2)
(1)如图(1)，连接AC，能推得四边形的内角和吗？ 多边形中连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形 的对角线(diagonal of polygon)，这里的AC是四边 形ABCD的一条对角线.
(2)如图(2)，在四边形内任取一点O，连接OA，OB， OC，OD，也能推得四边形内角和吗？ 四边形的内角和等于__3_6_0_°__.
5、一个人在科学探索的道路上，走过弯 路，犯 过错误 ，并不 是坏事 ，更不 是什么 耻辱， 要在实 践中勇 于承认 和改正 错误。 ——爱 因斯坦 6、瓜是长大在营养肥料里的最甜，天才 是长在 恶性土 壤中的 最好。 ——培 根 7、发光并非太阳的专利，你也可以发光 。
8、人们常用“心有余而力不足”来为自 己不愿 努力而 开脱， 其实， 世上无 难事， 只怕有 心人， 积极的 思想几 乎能够 战胜世 间的一 切障碍 。 9、如果你希望成功，当以恒心为良友， 以经验 为参谋 ，以当 心为兄 弟，以 希望为 哨兵。 ——爱 迪生