人教版八年级下册数学17.1勾股定理优质课件

A． 3
B．3
C． 5
D．5
课堂检测
基础巩固题
1. 若一个直角三角形的两边长分别为3和4，
则第C三边的长为（ ）
A.7或1
13B.
7 C. 5或
D2.若.1一5或个直12角三角形的斜边长为17，一条直角边长为15，则另
一直角边长为（ A ）
A.8
B.40
C.50
D.36
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，若a︰b=3︰4，c=100，则
人教版 数学 八年级 下册
17.1 勾股定理
第一课时 第二课时 第三课时
第一课时
勾股定理
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导入新知
数学家曾建议用这个图作为与“外星人”联系的信号.
你知道这是 为什么吗？
素养目标
3. 通过利用勾股定理解决简单问题，体会数形结 合的思想.
2. 能用勾股定理解决一些简单问题.
1. 了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理 的内容，会用面积法证明勾股定理.
∴a2 +b2 =c2.
探究新知
美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.
如图，图中的三个三角形都是直角三角形，
求证：a2 + b2 = c2.
a
证明：
∵
S梯形
1 (a b)(a b) 2
bc
S梯形
1 2
ab
1 2
ab
1 2
c2
c a
∴a2 + b2 = c2.
b
探究新知
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别
a c2 b2
b2 =c2-a2
b c2 a2
C
B
a
c a2 b2
巩固练习
1.求下列图中字母所表示的正方形的面积.
A=625 225
400
81
B=144 225
探究新知 小贴士
在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”， 下半部分称为“股”.我国古代学者把直角三角形较短的直角边 称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.
解：本题斜边不确定，需分类讨论：
当AB为斜边时，如图，BC 42 32 7;
当BC为斜边时，如图，BC 42 32 5.
B
B
4 4
图 C 3 A 图 A 3 C 提示：当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边
时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，这种情况下
一定要进行分类讨论，否则容易丢解.
素养目标
3. 从实际问题中构造直角三角形解决生产、生活中 的有关问题.
2. 能应用勾股定理解决简单的实际问题.
1. 能应用勾股定理计算直角三角形的边长.
百度文库
探究新知 知识点 1 勾股定理解决线段长度问题
一个门框的尺寸如图所示，一块 长3 m，宽2.2 m的长方形薄木板能否 从门框内通过？为什么？
已知条件有哪些？
(2)
因此设a=x,c=2x,根据勾股定理建立方程得 (2x)2-x2=152，
解得
x 5 3（舍去）
提示：已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两边时，
要运用方程思想设未知数，根据勾股定理列方程求解.
巩固练习
3.求出下列直角三角形中未知边的长度：
x
6
5
8
解：（1）由勾股定理得：
x2=62+82 =36+64 =100
勾股
勾2+股2=弦2
探究新知 素养考点 1 利用勾股定理求直角三角形的边长
例1 如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°.
B
（1）若a=b=5,求c;
（2）若a=1,c=2,求b.
a
解：(1)据勾股定理得
C
c a2 b2 52 52 50 5 2;
(2)据勾股定理得
c bA
b c2 a2 22 12 3.
答：梯子底端B也外移约0.77米.
巩固练习
2.我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题，原文是：今
有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，
水深、葭长各几何？请用学过的数学知识回答这个问题.
译：有一个水池，水面是一个边 长为10尺的正方形，在水池正中
B
C
央有一根芦苇，它高出水面一尺.
如果把这根芦苇拉向水池一边的
以木板能从门框内通过．
巩固练习
1.如图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方向成直角的AC 方向上一点，测得BC=60 m，AC=20m.求A，B两点间的距
离（结果取整数）.
解: AB BC2 AC2 602 202
40 2
≈57m
探究新知
知识点 2 勾股定理解决线段移动问题
如图，一架2.6米长的梯子AB 斜靠在一竖直的墙 AO上，这时AO 为2.4米． （1）求梯子的底端B距墙角O多少米？ （2）如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5 米，那么梯子底端B也外移0.5米吗？
课堂检测
拓广探索题
已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4.求CD的长.
解：由勾股定理可得
A
AB2=AC2+BC2=25，即 AB=5.
D
根据三角形面积公式，
3
∴ ∴
1 2
AC×BC=
CD=
12 5
.
1 2
AB×CD.
C
4
B
提示：由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的
积等于斜边与斜边上高的积，它常与勾股定理联合使用．
1.（2018•东营）如图所示，圆柱的高AB=3，底面直径BC=3，
现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它
爬行的最短距离是（ C ）
A．3 1
B．3
2
C．3
4 2 2
D．3
1 2
解析：把圆柱侧面展开，展开图如图所示，点A、C的最短距离
为线段AC的长．在Rt△ADC中，∠ADC=90°，CD=AB=3，AD
C A
B
结论：图1中三个正方形A，
图1
B，C的面积之间的数量关系
是:
SA+SB=SC
（图中每个小方格是1个单位面积）
探究新知
【讨论】2. SA+SB=SC在图2中还成立吗？
A的面积是 16 个单位面积．
B的面积是 9 个单位面积． C的面积是 25 个单位面积． A
C
你是怎样得到
正方形C的面积
B
的？与同伴交 流交流．
探究新知
【思考】1.三个正方形A，B，C 的面积有什么关系？
SA+SB=SC
2.由这三个正方形A，B，
C的边长构成的等腰直 角三角形三条边长度之 间有怎样的特殊关系？
AB C
探究新知 【讨论】1.三个正方形A，B，C 的面积有什么关系？
A中含有__9__个小方格，即 A的面积是 9个单位面积． B的面积是 9 个单位面积． C的面积是 18 个单位面积．
x=10
x
13
（2）由勾股定理得： ∵ x2+52=132 ∴ x2=132-52 =169-25 =144 x=12
巩固练习
连接中考 1.（2018•滨州）在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦
为（ A ）
A．5
B．6
C．7
D．8
2.（2019•毕节市）如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若
EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为（ B）
a= _6_0___，b = __8_0___.
课堂检测
基础巩固题
4．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角
形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A，B，C，D的面
积之和为_____4_9_____cm2 ．
C D
B A
7cm
课堂检测
能力提升题
在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.
探究新知
A C O BD
解：（1）在Rt△AOB中，根据勾股定理， OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1. OB=1.
答：梯子的底端B距墙角O为1米. （2）在Rt△COD中，根据勾股定理，
OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15.
OD 3.15 1.77
BD OD OB 1.77 1 0.77
中点，它的顶端恰好到达池边的
水面。这个水池的深度与这根芦
苇的长度分别是多少？
A
巩固练习
解：设AB=x,则AC=x+1， 有 AB2+BC2=AC2，
B
C
可列方程，得 x2+52=（x＋1）2 ，
解方程得x=12.
因此x+1=13
答：这个水池的深度是12尺，
这根芦苇的长度是13尺.
A
巩固练习
连接中考
探究新知 知识点 1
勾股定理的认识与证明
系案同角朋达
？
， 看 看 你 能 发 现 什 么 数 量 关
学 们 ， 我 们 也 来 观 察 一 下 图
三 角 形 三 边 的 某 种 数 量 关 系 ，
友 家 用 砖 铺 成 的 地 面 反 映 直
哥 拉 斯 去 朋 友 家 作 客 ， 发 现
相 传 两 千 五 百 年 前 ， 一 次 毕
为底面半圆弧长，AD=1.5π，所以AC= 32 (3 )2 3 4 2 ，
2
2
故选：C．
巩固练习
连接中考
2.（2019•南京）无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长 为20cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至 少有___5__cm．
解析：由题意可得：杯子内的筷子长度最长为： 122 92 ＝15， 则筷子露在杯子外面的筷子长度最少为：20﹣15＝5（cm）．
ac
b
c b
探究新知
素养考点 2 勾股定理和方程相结合求直角三角形的边长
例2 在Rt△ABC中， ∠C=90°. （1）若a：b=1：2 ，c=5,求a;（2）若b=15，∠A=30°,求a,c.
解：(1)设a=x,b=2x,根据勾股定理建立方程得
x2+(2x)2=52， 解得
x （5 舍去）
课堂小结
内容 勾股定理 证 明
注意
在Rt△ABC中， ∠C=90°,a,b为
直角边，c为斜边，则有a2+b2=c2.
在直角三角形中
看清哪个角是直角 已知两边没有指明是直角边还 是斜边时一定要分类讨论
第二课时
构造直角三角形解决实际问题
返回
导入新知
波平如镜一湖面，3尺高处出红莲. 亭亭多姿湖中立，突遭狂风吹一边. 离开原处6尺远，花贴湖面像睡莲. 请君动脑想一想，湖水在此深几尺？ 这节课我们就来学习用勾股定理解决实际问题.
探究新知
【思考】 1.木板能横着或竖着从门框通过吗？
不能 2.这个门框能通过的最大长度是多少？
小于AC即可 3.怎样判定这块木板能否通过木框？
求出斜边的长，与木板的宽比较.
探究新知
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理， AC2=AB2+BC2=12+22=5． AC= 5 ≈2.24． 因为AC大于木板的宽2.2 m，所
探究新知
毕达哥拉斯证法：请先用手中的四个全等的直角三角形按图 示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧.
探究新知
a b
ac b
b ca
cb
证明：∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab,
S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形 =4× 12ab+c2 =c2+2ab，
a
∴a2+b2+2ab=c2+2ab，
图2
小组活动：仿照课本中赵爽的思路，只剪两刀，将两个连体正方
形，拼成一个新的正方形.
探究新知 剪、拼过程展示：
b
a ca
朱实
b
朱实 黄实朱实
ba
c 〓b
朱实
a
M a P bb
N
探究新知 “赵爽弦图”
c
朱实
b
朱实
黄实 朱实
a
朱实
证明：∵S大正方形＝c2， S小正方形＝(b-a)2,
∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
这就需要我们对一般的直角三角形进行证明．下面我们就一
起来探究，看一看我国古代数学家赵爽是怎样证明这个命题的．
探究新知
赵爽拼图证明法： 以直角三角形的两条直角边a、b为边作两个正方形，把两
个正方形如图1连在一起，通过剪、拼把它拼成图2的样子.你能 做到吗？试试看.
c
朱实
c
朱实 黄实 朱实
ba
图1
朱实
图2
结论：仍然成立。
（图中每个小方格是1个单位面积）
探究新知
至此，我们在网格中验证了:直角三角形两条直角边上的
正方形面积之和等于斜边上的正方形面积，即SA+SB=SC 问题1 去掉网格结论会改变吗？
问题2 式子SA+SB=SC能用直角三
角形的三边a、b、c来表示吗?
a2 + b2 = c2 问题3 去掉正方形结论会改变吗？
问题4 那么直角三角形三边a、b、
A aB
C c
a Bb c
Cb A
c之间的关系式是:
a2 + b2 = c2
探究新知
猜想：
命题1：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b,斜边长为c，
那么a2+b2=c2.
c a
拼图证明
b
是不是所有的直角三角形都具有这样的结论呢？光靠实验和
猜想还不能把问题彻底搞清楚.
为a、b,斜边为c，那么
ac
a2 b2 c2 B
即直角三角形两直角边的平方和等于 斜边的平方.
勾a
b
弦
c
表示为：Rt△ABC中，∠C=90°
C 股b A
则 a2 b2 c2
探究新知
A
公式变形
勾股定理给出了直角三角形三边之间的关
系，即两直角边的平方和等于斜边的平方.
a2 + b2 =c2
b
c a2=c2－b2
巩固练习
2. 设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c.
（1）已知a=6，c=10，求b；
解：由勾股定理得62+b2=102 b=8
a
（2）已知a=5，b=12，求c；
解：由勾股定理得52+122=c2 c=13
（3）已知c=25，b=15，求a. 解：由勾股定理得a2+152=252 a=20