研究生数值分析(15)---插商与牛顿(Newton)插值多项式
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记为 Nn (x) ，即 Nn(x) a0 a1(x x0) a2(x x0)(x x1) an(x x0) (x xn1) ⑧ 其中系数 ai, (i 0,1, ,n) 可由插值条件
Nn(xi) yi, (i 0,1, ,n) 确定。
为此我们引入差商概念：
定义1 设函数f(x)在点 x0 , x1, x2 , 上的值依次为
x1 f [x1]
f [x1, x2 ]
f [ x0 , x1, x2 ]
f [x0 , x1, x2 , x3 ]
x2 f [x2 ]
f [x1, x2 , x3 ]
f [x2 , x3 ]
x3 f [x3 ]
差商有如下性质：
性质1 k阶差商 f [x0, x1, , xk ] 是由函数值
f (x0 ), f (x1), , f (xk ) 线性组合而成的，即
试用牛顿线性插值与抛物线插值求 115 的近似值，并估计截断误差。
解：先构造差商表，取 x0 100, x1 121, x2 144, x3 169
x x 一阶差商 二阶差商
100 10
三阶差商
0.047619
121 11
-0.00009411
0.043478
0.0000003138
144 12
-0.00007246
0.040000
169 13
由差商表，牛顿插值多项式的系数依次为
f [x0 ] 10, f [x0, x1] 0.047169, f [x0, x1, x2] 0.00009411,
牛顿线性插值多项式为
N1(x) 10 0.047169(x 100)
所求近似值为
115 N1(115) 10 0.047169(115 100) 10.7143
牛顿抛物线插值多项式为
N2(x) 10 0.047169(x 100) 0.00009411(x 100)(x 121)
所求近似值为
115 N2(115) 10 0.047169(115100) 0.00009411(115100)(115121) 10.7228
, xm ] f [x0, x1, xm x0
, xm1]
为 f(x) 在点 x0 , x1, , xm 处的m阶差商。
特别地，规定零阶差商 f [xi ] f (xi )
为便于应用，通常采用差商表，例如
xk f [xk ] 一阶差商
x0 f [x0 ]
f [x0 , x1]
二阶差商
三阶差商
xk xi
为f(x)在 xi , x j , xk 处的二阶差商，记为 f [xi , x j , xk ]
即
f [xi , xj , xk ]
f [xj , xk ] f [xi , xj ] xk xi
一般地，称 m-1 阶差商的差商
f [x0 , x1,
, xm ] f [x1, x2 ,
的n次牛顿插值多项式为
Nn (x) f [x0] f [x0, x1](x x0) f [x0, x1, x2](x x0)(x x1) f [x0, x1, , xn ](x x0)(x x1) (x xn1)
例3 已知函数表
x … 100 121 144 169 …
x … 10 11 12 13 …
f (k) (x) 之间有如下重要关系：
f (k ) ( )
f [x0 , x1, , xk ] k !
(min{x0, x1, , xk}, max{x0, x1, , xk})
有了差商的概念和性质后，我们就可以用差商 来表示牛顿差值多项式中的系数。
Nn(x) a0 a1(x x0) a2(x x0)(x x1) an(x x0) (x xn1)
f
(x2 ) x2
f (x0 ) x0
f
[ x0 ,
x1]
x2 x1
f [x0, x2 ] f [x0, x1] x2 x1
f [x1, x0, x2 ]
f [x0, x1, x2 ]
一般地，可以证明有 于是，满足插值条件
ak f [x0 , x1, , xk ]
Nn (xi ) f (xi ), (i 0,1, 2, , n)
插商与牛顿(Newton)插值多项式
构造拉格朗日插值多项式
n
Ln (x) yklk (x)
k 0
yk
(x x0) (xk x0 )
(x xk1)(x xk1) (xk xk1)(xk xk1)
(x xn ) (xk xn )
其形式具有对称性，即便于记忆，又便于应
用与编制程序。
f [x0, x1,
k
, xk ] j0 (xj x0 )
f (xj) (xj xj1)(xj xj1)
(xj xk )
性质2 差商具有对称性，即在k阶差商
f [x0, x1, , xk ] 中任意调换2个节点 xi 和 x j
的顺序，其值不变。
性质3 k阶差商 f [x0 , x1, , xk ]和 k 阶导数
f (x0 ), f (x1), f (x2 ),
称 f (xj ) f (xi ) (i j)为f(x)在点 x j xi
xi , x j 处的一阶差商，记为 f [xi , x j ] ，即
f [xi , x j ]
f (x j ) f (xi ) x j xi
称一阶差商的差商 f [x j , xk ] f [xi , x j ] （i, j, k 互异）
由于公式中的 lk (x), (k 0,1, , n)
都依赖于全部插值节点在增加或减少节点时，
来自百度文库
必须全部重新计算。
为克服这个缺点，把插值多项式构造成如下形式
a0 a1(x x0) a2(x x0)(x x1) an (x x0) (x xn1)
这种形式的插值多项式称为n次牛顿插值多项式。
由插值条件 Nn (x0 ) f (x0 ) ，可得
a0 f (x0 ) f [x0 ]
由插值条件 Nn (x1) f (x1) ，可得
a1
f (x1) f (x0 ) x1 x0
f [x0 , x1]
由插值条件 Nn (x2 ) f (x2 ) ，可得
a2
f (x2 ) f (x0 ) f [x0, x1](x2 x0 ) (x2 x0 )(x2 x1)
Nn(xi) yi, (i 0,1, ,n) 确定。
为此我们引入差商概念：
定义1 设函数f(x)在点 x0 , x1, x2 , 上的值依次为
x1 f [x1]
f [x1, x2 ]
f [ x0 , x1, x2 ]
f [x0 , x1, x2 , x3 ]
x2 f [x2 ]
f [x1, x2 , x3 ]
f [x2 , x3 ]
x3 f [x3 ]
差商有如下性质：
性质1 k阶差商 f [x0, x1, , xk ] 是由函数值
f (x0 ), f (x1), , f (xk ) 线性组合而成的，即
试用牛顿线性插值与抛物线插值求 115 的近似值，并估计截断误差。
解：先构造差商表，取 x0 100, x1 121, x2 144, x3 169
x x 一阶差商 二阶差商
100 10
三阶差商
0.047619
121 11
-0.00009411
0.043478
0.0000003138
144 12
-0.00007246
0.040000
169 13
由差商表，牛顿插值多项式的系数依次为
f [x0 ] 10, f [x0, x1] 0.047169, f [x0, x1, x2] 0.00009411,
牛顿线性插值多项式为
N1(x) 10 0.047169(x 100)
所求近似值为
115 N1(115) 10 0.047169(115 100) 10.7143
牛顿抛物线插值多项式为
N2(x) 10 0.047169(x 100) 0.00009411(x 100)(x 121)
所求近似值为
115 N2(115) 10 0.047169(115100) 0.00009411(115100)(115121) 10.7228
, xm ] f [x0, x1, xm x0
, xm1]
为 f(x) 在点 x0 , x1, , xm 处的m阶差商。
特别地，规定零阶差商 f [xi ] f (xi )
为便于应用，通常采用差商表，例如
xk f [xk ] 一阶差商
x0 f [x0 ]
f [x0 , x1]
二阶差商
三阶差商
xk xi
为f(x)在 xi , x j , xk 处的二阶差商，记为 f [xi , x j , xk ]
即
f [xi , xj , xk ]
f [xj , xk ] f [xi , xj ] xk xi
一般地，称 m-1 阶差商的差商
f [x0 , x1,
, xm ] f [x1, x2 ,
的n次牛顿插值多项式为
Nn (x) f [x0] f [x0, x1](x x0) f [x0, x1, x2](x x0)(x x1) f [x0, x1, , xn ](x x0)(x x1) (x xn1)
例3 已知函数表
x … 100 121 144 169 …
x … 10 11 12 13 …
f (k) (x) 之间有如下重要关系：
f (k ) ( )
f [x0 , x1, , xk ] k !
(min{x0, x1, , xk}, max{x0, x1, , xk})
有了差商的概念和性质后，我们就可以用差商 来表示牛顿差值多项式中的系数。
Nn(x) a0 a1(x x0) a2(x x0)(x x1) an(x x0) (x xn1)
f
(x2 ) x2
f (x0 ) x0
f
[ x0 ,
x1]
x2 x1
f [x0, x2 ] f [x0, x1] x2 x1
f [x1, x0, x2 ]
f [x0, x1, x2 ]
一般地，可以证明有 于是，满足插值条件
ak f [x0 , x1, , xk ]
Nn (xi ) f (xi ), (i 0,1, 2, , n)
插商与牛顿(Newton)插值多项式
构造拉格朗日插值多项式
n
Ln (x) yklk (x)
k 0
yk
(x x0) (xk x0 )
(x xk1)(x xk1) (xk xk1)(xk xk1)
(x xn ) (xk xn )
其形式具有对称性，即便于记忆，又便于应
用与编制程序。
f [x0, x1,
k
, xk ] j0 (xj x0 )
f (xj) (xj xj1)(xj xj1)
(xj xk )
性质2 差商具有对称性，即在k阶差商
f [x0, x1, , xk ] 中任意调换2个节点 xi 和 x j
的顺序，其值不变。
性质3 k阶差商 f [x0 , x1, , xk ]和 k 阶导数
f (x0 ), f (x1), f (x2 ),
称 f (xj ) f (xi ) (i j)为f(x)在点 x j xi
xi , x j 处的一阶差商，记为 f [xi , x j ] ，即
f [xi , x j ]
f (x j ) f (xi ) x j xi
称一阶差商的差商 f [x j , xk ] f [xi , x j ] （i, j, k 互异）
由于公式中的 lk (x), (k 0,1, , n)
都依赖于全部插值节点在增加或减少节点时，
来自百度文库
必须全部重新计算。
为克服这个缺点，把插值多项式构造成如下形式
a0 a1(x x0) a2(x x0)(x x1) an (x x0) (x xn1)
这种形式的插值多项式称为n次牛顿插值多项式。
由插值条件 Nn (x0 ) f (x0 ) ，可得
a0 f (x0 ) f [x0 ]
由插值条件 Nn (x1) f (x1) ，可得
a1
f (x1) f (x0 ) x1 x0
f [x0 , x1]
由插值条件 Nn (x2 ) f (x2 ) ，可得
a2
f (x2 ) f (x0 ) f [x0, x1](x2 x0 ) (x2 x0 )(x2 x1)