用样本的数字特征估计总体的数字特征(导学案)

§２.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征

学习目标：

（1）正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差。 （2）能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如

平均数、标准差），并做出合理的解释。

（3）会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征。 （4）形成对数据处理过程进行初步评价的意识。 学习重点与难点

1．重点：用样本平均数和标准差估计总体的平均数与标准差。 2．难点：能应用相关知识解决简单的实际问题。

一、新课探究

1.众数、中位数、平均数的概念。

①众数： 。 ②中位数： 。（当数据个数为奇数时，中位数是按从小到大的顺序排列中间的那个数．当数据个数为偶数时，中位数是按从小到大的顺序排列的最中间两个数的两个数的平均数）．

③平均数：n x x x x x n

++++= (321)

求下列各组数据的众数、中位数、平均数

（1）1 ，2，3，3，3，4，6，7，7，8，8，8 （2）1 ，2，3，3，3，4，6，7，8，9，9

2.如何从频率分布直方图中估计众数、中位数、平均数呢？

①众数在样本数据的频率分布直方图中，就是最高矩形的中点的横坐标。 ②中位数就是频率分布直方图面积的一半所对应的值 ③平均数则是每组频率的中间值乘频数再相加

3.标准差、方差的概念。

(1)样本方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．一般用2s 表示。 一般地，设样本的数据为123,,,

n x x x x ，样本的平均数为x ，则定义

2s = ，

（２）2

S 算术平方根，，即为样本标准差。

其计算公式为：

显然，标准差较大，数据的离散程度较大；标准差较小，数据的离散程度较小。在刻画样本数据的分散程度上，方差和标准差是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差。

二、典型例题

1.如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数

])()()[(1

22221x x x x x x n

s n ++++-=

据，可以估计众数与中位数,平均数分别是多少？

2在某中学举行的电脑知识竞赛中，将九年级两个班参赛的学生成绩（得分均为整数)进行整理后分成五组，绘制如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频率分别是。0.30，0.15，0.10，0.05，第二小组的频数是40．

(1)求第二小组的频率，并补全这个频率分布直方图;

(2)求这两个班参赛的学生人数是多少？

(3)这两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第几小组内？(不必说明理由)

3某市统计局就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示．(每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示

[1 000，1 500))

(1)求居民收入在[3 000,3 500)的频率；

(2)根据频率分布直方图算出样本数据的中位

数；

4：从甲、乙两种玉米苗中各抽10株，分别测得它们的株高如下(单位：cm)：

甲：25 41 40 37 22 14 19 39 21 42

乙：27 16 44 27 44 16 40 40 16 40

问：(1)哪种玉米苗长得高？

(2)哪种玉米苗长得齐？

5某次运动会甲、乙两名射击运动员成绩如下：

甲：9.4，8.7，7.5，8.4，10.1，10.5，10.7，7.2，7.8，10.8；

乙：9.1，8.7，7.1，9.8，9.7，8.5，10.1，9.2，10.1，9.1；

（1）用茎叶图表示甲，乙两个成绩；

（2）分别计算两个样本的平均数和标准差s，并根据计算结果估计哪位运动员的成绩比较稳定．

6某工厂甲、乙两个车间分别制作一种零件，在自动包装传送带上每隔10分钟抽取一件产

品，测其质量，分别记录抽查的数据如下: 甲：102，101，99，98，103，98，99 乙：105，102，97，92，96，101，107. （1）这种抽样方法是什么抽样？

（2）估计甲、乙两个车间产品质量的平均值与方差，并分析哪个车间的产品质量较稳定； 7若一组数据12,,

n x x x 的平均数为4，方差为2，则1262,62,,62n x x x --- 的平均

数为 ，标准差为 ．

８.在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下： 90 89 90 95 93 94 93 去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（ ） A.92 ,2 B.92,2.8 C.93 ,2 D.93 , 2.

９．甲、乙两个班级各随机选出15名同学进行测验，成绩的茎叶图如图，则甲班、乙班的最高成绩各是 ，从图中看 班的平均成绩较高。 甲 乙 6 4 8 5 7

9 4 1 6 2 5 9 8 7 5 4 2 1 7 2 5 7 8 9 7 4 4 8 1 4 4 7 9

6

9

2.3 变量间的相关关系

【目标展示】

1、会画散点图，利用散点图判断两变量的线性相关关系；

2、了解最小二乘法的思想；

3、会求回归直线方程。

知识点1、变量之间的相关关系

1、变量与变量之间的关系常见的有两类：一类是确定性关系，如函数关系；另一类是不确定性关系，即当自变量的取值一定，因变量取值带有一定的随机性，这样的两个变量之间的关系称为____________。 知识点

2、散点图

2、将样本中的几个数据点描在平面直角坐标系中所得的图形叫做 ；

从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为 ，点散布在从左上角到右下角的区域内，两个变量相关关系为_ . 知识点3、两个变量的线性相关

3.如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有 关系，这条直线叫做_ ，回归直线对应的方程叫回归直线方程,它的方程简称 。 通过求_____________________________Q =

的最小值，即使得样本数据的点到回归直线的距

离的平方和最小的求回归直线的方法叫做 ，

设回归方程为a x b y +=，则有1122211

()()()________________

n n

i i i i i i n n i i i i x x y y x y nx y b x x x nx a ====⎧

---⎪⎪==⎨--⎪⎪

=⎩∑∑∑∑ ，