期权定价中的蒙特卡洛模拟方法

,为独立同分布的随机变量序列，若,1,2,

k μ<∞=则有p 显然，若12,,,n ξξξ是由同一总体中得到的抽样，那么由

此大数定律可知样本均值1

1n

k n ξ=∑

,为独立同分布的随机变量序列，若,[2,

D μξ<∞则有k =∑其等价形式为1

lim

)exp(2x

π

-∞

=

⎰

η，并计算样本均值

,,

n

Kolmogorov

。因此，当n充分大时，可用

,

,)]T S ，,,)T S 是关于标的资产价格路径的预期

由此可知，计算期权价格即就是计算一个期望值，蒙特卡洛方法便是用于估计期望值，n t T <<=，~i z N 并根据无风险利

2,)n，

1,2,n），则如果用日数据计算波动率，

（每年的交易日数）1/2

从表可看出，由蒙特卡洛方法模拟的认购权证价格的模拟值比由Black-Scholes公式计算的理论值更接近实际值。为了更直观的比较，由蒙特卡洛方法模拟的认股权证价格与Black-Scholes模型的精确值和市场价格比较的结果如下图。

+

0)()(f x x '+，并令其解为

()

()n n n f x f x -'

2,)

2,,}k，跳跃尺度的最终观测值，

()

2()(,)

()!N t W S r N t λτλτσ-

exp(λλμ=，()(exp()1)(Y N t r r λμτ=--+2

1

()

Y N t σσστ=+。

例2. 标的资产价格遵从跳扩散过程如下

◆无形资产——专利池的期权定价模问题

专利池的市场价值V 依赖于企业使用专利池技术前后生产产品所获得的收益S 和成本C 及时间t ，这三个变量均可用跳扩散模型：

()(1)dX

dt dW Y dN X

μλνσ=-++-

通过构造由V 和它所依赖的两个变量S 、C 组成的资产组合，利用带跳的伊藤引理获得V 与S 、C 所遵循的带跳的随机微分方程，并根据实际情况在一些假设条件下给出该方程的终边值条件，最终获得V 的求解公式。

构造无风险资产组合S S C V V S V C ∏=--

一方面V

∏的微分的期望为：()()V S C E d r V V S V C dt ∏=--

另一方面，

2222

11()()22

((,,)(,,))S t S SS C CC S C SC S S S S S E d V S V C V SCV dt

E V Y S C t V S C t dt v V Sdt

σσσσλλ∂∏=+

+++-- 新产品发明专利池的市场价值V 所遵循的方程为

年,根据市场需求,计划建成一条年生产100吨的生产线,其20年的成本,包括设备的直接制造成本和运营期间的管理费、工资等。若在期初计划投资1000万,以后20年每年的生产量不变,生产成本按每年的通货胀率 10%递增。假设在初期预计该项技术20年总收益为4000万,其收益率为25%,方差为20%。

1.3()0.02,25%,10%,0.6S S C S t t r Y λμμ=====

(0)4000,(0)1000,4000,0.005S C n t ===∆=

新产品发明专利池的市场价值 V=8050

●在一次付清许可费用情况下的价格模型： 新产品发明专利池的价格P 所遵循的方程为：

2222

11()22

((,,)(,,))0

t S S S C S SS C CC

S C SC S S P r v P S rP C S P C P SCP E P Y S C t P S C t rP λσσσσλ+-+++++--=

(,,)max((()()),0)(,,)0 as 0

(,,)0 as C (,,) as P S C T S T C T P S C t S P S C t P S C t S S αα=-→→→→∞

→→∞

在一次付清许可费用情况下的新产品发明专利池的价格为：(,,)(,,)P S C t V S C t α=

1.3()0.02,25%,10%,0.5,0.6

(0)4000,(0)1000,4000,0.005

S S C S t t r Y S C n t λμμα=========∆=

在一次付清许可费用情况下新产品发明专利池的价格 P=5450。

●在首付加每期按收益固定比率支付许可费用情况下的价格模型

新产品发明专利池技术产生的收益S 遵循模型

()(1)S S S S S S S dS

q dt dW Y dN S

μλνσ=--++- 引进新产品发明专利池技术后的成本 C 遵循模型C

C dC dt dW

C

μ

σ=+

构造无风险资产组合P

S C P P S P C ∏

=--

(,SY N μσ期权的价格公式：,)S N C t α

=∑

,,,S q Se C ττ-

在首付加每期按收益固定比率支付许可费用情况下新产品发明专利池的价格P=855。

§6. 最小二乘蒙特卡洛模拟与美式期权定价

运用最小二乘蒙特卡洛模拟方法为美式期权定价的基本原理与蒙特卡洛模拟方法基本相同，并且用最小二乘回归同时还可解决各样本时点上继续持有期权价值的确定和各样本路径的最优停时的确定。其基本思路是：在期权的有效期内，将其标的资产价格过程离散化，随机模拟出标的资产价格的多条样本路径，从而得到每个时刻资产价格的截面数据。选取以某时刻资产价格为变量的一组基函数作为解释变量，下一时刻期权价值的贴现值作为被解释变量，进行最小二乘法回归求得该时刻期权的持有价值，并与该时刻期权的内在价值作比较，若后者较大，则应该立即执行期权，否则，就应继续持有期权。

最小二乘蒙特卡洛模拟方法定价的基本实现步骤：首