集合覆盖近似算法

cx
xS
k i 1
(ui1
ui ) | Si
(S1
1 S2
... Si1 ) |
• 注意到|Si - (S1∪S2∪···∪Si-1)|≥ |S - (S1∪S2∪···∪Si-1)| =ui-1,
•
因为贪心算法中对 元素。由此可得：
Si
的选择保证了Si比任意集合
S
覆盖更多的
cx
xS
k
(ui1
i 1
ui
)
1 ui1
10
集合覆盖近似度的证明（6）
• （6）由前式可得：
11
集合覆盖近似度的证明（7）
• Corollary 35.5 • GREEDY-SET-COVER is a polynomial-
time (ln |X|+ 1)-approximation algorithm. • Proof Use inequality (A.14) and Theorem
优解DS，近似度为(ln |X|+ 1)。 • （2）利用Steiner Tree算法将前面所得的
近似最优解DS连成一个连通的点集，即得 到一个较好的连通支配集CDS。
14
• 再见
再见
15
1 cx | Si (S1 S2 ... Si1 ) |
6
集合覆盖近似度的证明（2.2）
• 一个计算cx的示例。例如按顺序选择S1、S2、S3，则分 配给a、e、f、h的代价分别为1/4，分配给b、d、g的代价 为1/3，分配给c的代价为1。总代价∑cx为3。若按其它顺 序选择不同集合（如最优解的某个顺序），则cx可能会重 复，因此这种选择下的∑cx一定大于等于3。
• 分配给最优覆盖的代价为： cx SC*xS
• 由于每一个x∈X都至少在一个集合S∈C*中，因
此有：
cx cx
SC*xS
xX
• 将上面的两个不等式组合起来，有： | C | cx SC*xS 8
集合覆盖近似度的证明（4）
• （4）证明的余下部分关键在于以下的不等 式，稍后再对其进行证明。对属于F的任何
集合覆盖问题
• 许多问题如点覆盖，支配集等都是集合覆 盖问题的特例。
X a b c d e f g h
S1 1
11
1
S 2
1
1
1 1
S3
1
1
S4 1
1
1 1
S5 1
1
S 6
11
1
1
集合覆盖问题
• Set-Cover • 下图中，F={S1, S2, S3, S4, S5, S6}，一
个最小的集合覆盖为C={S3, S4, S5}。可用 矩阵表示每个子集能覆盖的元素个数。
集合S，有： cx H (| S |) xS
• 根据前面的式子可得：
| C | H (| S |) | C* | H (max{| S |: S F}) SC*
9
集合覆盖近似度的证明（5）
•
（(S设S并S中251k且,∪）.仍为.S.S,考中未使S2 虑k共被∪u中k任有覆·=的··意u盖∪0某i-的集1的S一-i最)合元|u个为小iS素个所∈下贪的元覆F标心个，素盖，集数和首。因合。i次对=此覆被定于1S盖,S义i 2中算=i所,u的1法.覆.0,.,每选=2盖|,C|一择S.。|.。.|个,于S为k设元1，是,S：S素中有有2u,至元i：u.=.少i.素-,1|SS被≥的i-uS后个i，1，,数。
X a b c d e f g h
cx
1/ 4 1/ 3 1 1/ 3 1/ 4 1/ 4 1/ 3 1/ 4
S1 1
11
1
S 2
1
1
1
1
S3 S4 1
1 1
1
1 1
S5 1
1
S 6
1
1
1

7
集合覆盖近似度的证明（3）
• （3）在算法的每一步中，要产生1个代价，因此
有： | C | cx xX
35.4.
12
集合覆盖近似算法思考题
• Exercises 35.3-4 • Show that the following weaker form of
Theorem 35.4 is trivially true:
| C || C* | max{| S |: S F}
13
集合覆盖的应用
• 求连通支配集 • （1）用GSC算法求得一个支配集的近似最
5
集合覆盖近似度的证明（2.1）
• （2）设Si表示由GSC算法所选出的第i个子 集；在将Si加入C时要产生代价1。将这个 选择Si的代价平均分布于首次被Si覆盖的元 素之上。设cx表示分配给元素x的代价， x∈X。对每一个元素只分配一次代价，即 当它首次被覆盖时分配一个代价。如果x首 次被Si覆盖，则有：
2
Greedy-Set-Cover近似算法
• 在每一阶段都选出能覆盖最多的，未被覆
盖的元素的集合S。 X a b c d e f g h
S1 1
S 2
1
11
1
1
1 1
S3 S4 1
1 1
1
1 1
S5 1
1
S 6
11
1
3
GSC的近似度
• Theorem 35.4 • GREEDY-SET-COVER 是一个多项式时间
的ρ(n)-近似算法，其中
(n) H (max{|S |: S F})
• Corollary 35.5 • GREEDY-SET-COVER是一个多项式时间
的 (ln |X|+ 1)-近似算法。
4
集合覆盖近似度的证明（1）
• 证明： • （1）为了证明其是一个ρ(n)-近似算法，对
每一个由该算法选出的集合赋予一个代价1， 将这一代价平分到初次被覆盖的元素上， 在利用这些代价来导出一个最优集合覆盖 C*的规模和由该算法得到的集合覆盖C的规 模之间的关系。