线性代数与解析几何

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f (x1, x2 , x3 ) 3x12 x22 x32 2x1x2 x1x3 4x2x3
解 二次型 f 的矩阵应为3阶对称阵,
3
A 1
1 1
1 2 2
,
1
2
1
2
x1 X x2
x3 来自百度文库
f X T AX 5
例2
0
1

A
2
0
1 2 0
0
0 0 0
0
0
1
,
写出以A为矩阵的
解设
0
2
0
1 2
0
二次型.
X (x1, x2 , x3 , x4 )T
0
1
f
X T AX
(
x1
,
x2
,
x3
,
x4
)
2
0
1 2 0
0
0 0 0
0
0 1 2
x1 x2 x3 x4
x1x2 x3 x4
0
0
1 2
0
6
9.1.2 合同矩阵(化简二次型)
1.定义2 给定两个n阶方阵A和B, 如果
12
9.2.1 正交变换化实二次型为标准形
定理9.1 对任意n元实二次型 f =XTAX
可经过正交线性变换 X=PY 化为
标准型: f =1y12+ 2y22+…+ nyn2 其中1, 2,…, n是A 的n个特征值. 思考题:在正交变换下的标准形是否唯一?
P是否唯一? 不考虑系数次序时是唯一的.但P 不唯一.
13
变换矩阵P 是个正交阵,是由矩阵A的 特征向量经过Schmidt正交化得到的.
这样正交线性变换X=PY得到 f 的标准 形中,平方项的系数恰是A的特征值.
注意:对角阵中特征值的顺序和对应的 特征向量在P 中的排列顺序一致.
14
例4 试将下列二次型化为标准形
f x12 x22 x32 4x1x2 4x1x3 4x2 x3
解 (1) 二次型 f 的矩阵为
1 2 2 A 2 1 2
2 2 1
A的特征多项式为
15
(2)
1 2 2
E A 2 1 2 ( 5)( 1)2 0
2 2 1
得到A的特征值 1 5, 2 3 1
(3)对特征值1= 5 求解方程组 (5E A)X 0
4 2 2 1 0 1
a21x2 x1 a22 x22 L a2n x2 xn L L L L L L L L L L L
an1xn x1 an2 xn x2 L ann xn2
3
a11 a12 L
(x1, x2 ,L
,
xn
)
a21 M
a22 M
L
an1 an2 L
a1n x1 a2n x2 M M ann xn
所以与A既相似又合同的矩阵是(D).
9
注意到二次型的矩阵是实对称矩阵, 所以任何实二次型都可通过一个适当 的可逆线性变换以化简为只含有平方
项 xi2没有混合项 x的i x j二次型.
9.3 化实二次型为标准形
下面研究可以用三种方法化实二次型 为标准形.
10
1.问题的提出:
f =XTAX
A (实对称阵)
令X (x1, x2,L , xn )T, A (aij ), AT A
则二次型可以矩阵乘积形式表述
f (x1, x2 ,L , xn ) X T AX (2)
其中对称矩阵A称为二次型的矩阵. R(A)=二次型 f 的秩.
4
3.二次型与对称矩阵之间存在一一对应关系
例1 将三元二次型 f (x1, x2 , x3 ) 写成矩阵形式.
当系数aij都是实数时, 称为实二次型; 含有复数时,称为复二次型.
本书只讨论实二次型.
2
2.矩阵形式
如果将(1)式中的二次型展开, 有
nn
f (x1, x2,L , xn )
aij xi x j , (aij a ji )
i1 j1
a11 x12 a12 x1 x2 L a1n x1 xn
可逆方阵C, 使得
B=CTAC
则称A与B合同. 矩阵合同的定义与矩阵相似的定义很类似, 合同也是n阶方阵之间的一种等价关系,即 2.合同 等价, 合同 等秩
3.合同关系具有三性: 自反性;对称性;传递性.
7
4.实对称阵一定与对角阵合同:
而对任何实对称矩阵A, 存在一个正交 阵P, 使得 PTAP =P-1AP =对角阵. 所以任何实对称矩阵A都与对角阵合同.
8
2 0 2 例3 与矩阵 A 0 3 0 既相似又合同的
矩阵是( ). 2 0 2
1 2 3 4 (A) 1 ,(B) 3 ,(C) 4 ,(D) 3
0 0 0 0 2 0 2
解 E A 0 3 0 ( 3)( 4) 0
2 0 2
A的特征值为0,-3,4.又因为A是实对称阵,
将2 ,3施行施密特正交化,得到
《线性代数与解析几何》 第九章 二次型与二次曲面
第二十四讲
9.2 实二次型
王宝玲
哈工大数学系代数与几何教研室
1
9.2.1 二次型定义及矩阵表示
1.定义1 n个变量x1, x2, …, xn的二次齐次 多项式
nn
f (x1, x2,L , xn )
aij xi x j (1)
i1 j1
称为n元二次型, 其中aij aji ,i, j 1, 2,L , n
找可逆 C: X=CY 找可逆C : CTAC
f =YTY
CTAC = (对角阵)
目的:
•化简-- f 化为标准形
为对角阵
•保留性质--
C是可逆阵
X= CY是可逆变换
CTAC=是合同
C是正交阵
X= CY是正交变换
CTAC=是正交合同
11
2.标准二次型(标准形):
只含平方项的二次型:
f ( y1, y2 ,L , yn ) k1 y2 k2 y2 L kn y2
5E A 2 4 2 0 1 1
2 2 4 0 0 0 1
得到基础解系: 1=(1,1,1)T,
η1
1 3
1 1
16
对特征值2=-1求解方程组 E A 0
2 2 2 1 1 1 E A 2 2 2 0 0 0
2 2 2 0 0 0
得到基础解系: 2=(1,0,-1)T, 3=(0,1,-1)T
对应矩阵—对角阵, 秩—非零项个数.
3.可逆变换: 设C是可逆阵,称变量
X (x1, x2 ,L , xn )T ,Y ( y1, y2 ,L , yn )T
之间的变换 X = CY 为可逆线性变换.若C 是正交阵,称上述变换为正交(线性)变换.
4.二次型的化简:给定f =XTAX 经过可逆的
线性变换X= CY 使f =YTY 化为标准形.
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