曲线运动经典专题复习修改版

曲线运动专题
时间2015.4.15
知识要点：
1、曲线运动
物体做曲线运动的条件：一定受到与速度方向不在同一条直线上的合外力的作用。

（1）作曲线运动质点的速度方向是时刻改变的，质点在某一位置速度的方向就在曲线上该点的切线方向上。

（2）曲线运动一定是具有加速度的变速运动，有时，它的加速度只改变速度方向(如匀速圆周运动)，有时，它的加速度能同时改变速度的方向和大小(如平抛运动等)．
（3）如果合外力方向与速度方向在同一条直线上，那么合外力所产生的加速度就只能改变速度大小，不能时刻改变速度的方向了．
（4）做曲线运动的物体的速度大小可能是不变的，如匀速圆周运动等．做曲线运动的物体加速度的大小、方向也可能是不变的，如抛体运动等．速度的大小和方向、加速度的大小和方向都变化的曲线运动也是屡见不鲜的。

2、匀速圆周运动
质点沿圆周运动，且在相等的时间内通过的圆弧长度相等，这种运动叫做匀速圆周运动． 描述匀速圆周运动快慢的物理量
T r t s v π2==； T t πϕω2==；
f T 1=； v=ωr ； 转数（转/秒）n=f 同一转动物体上，角速度相等；同一皮带轮连接的轮边缘上线速度相等。

（1）线速度可以反映匀速圆周运动的快慢．它的大小用单位时间内通过的弧长来定义，即：v=s/t
线速度大，表示单位时间通过的弧长长，运动得就快．这里的s 不是位移，而是弧长．这与匀速直线运动速度的定义式是不同的。

线速度也是矢量．圆周上某一点线速度的方向，就在该点的切线方向上．由匀速圆周运动的定义可知，匀速圆周运动线速度的大小是不变的，但它的方向时刻改变，所以匀速圆周运动并不是匀速运动而是变速运动。

（2）角速度也可反映匀速圆周运动的快慢．角速度是用半径转过的角度φ与所用时间t 的比值来定义的，即：ω=φ/t(这里的角度只能以弧度为单位)．
角速度大，表示在单位时间内半径转过的角度大，运动得也就快．在某一确定的匀速圆周运动中，角速度是恒定不变的．角速度的单位是rad ／s ．
（3）周期也可描述匀速圆周运动的快慢．做匀速圆周运动物体运动一周所需的时间叫周期．周期的符号是T ，单位是s 。

周期长，表示运动得慢；周期短，表示运动得快．
（4）有时也用转数n 来表示匀速圆周运动的快慢．转数就是每秒钟转过的圈数，它的单位是转／秒．ω=2πn ．
设质点沿圆周运动了一周，我们可根据这些物理量的定义式推导出它们之间有如下关系：v=2πr/T ，ω=2π/T ，v =ωr ，T=1/f ，T=1/n
3、向心加速度、向心力
r f r T r r v a 222
22)2(4ππω====
r f m r T m r m r v m ma F 222
22)2(4ππω=====
向心加速度是描述线速度方向变化快慢的物理量，产生向心加速度的力叫向心力。

向心力和向心加速度都时刻在改变（圆周运动一定是非匀变速运动）。

ω相同时，a 与r 成正比；v 相同时，a 与r 成反比；r 相同时，a 与ω2成正比，与v2成反比。

一、绳拉小船问题
例：绳拉小船
汽车通过绳子拉小船，则（ B D ）
A 、汽车匀速则小船一定匀速
B 、汽车匀速则小船一定加速
C 、汽车减速则小船一定匀速
D 、小船匀速则汽车一定减速 练习1：如图一辆汽车沿水平面向右以速度v 匀速运动，通过定滑轮将重物A 吊起，在吊起重物的过程中，绳子的拉力为F T ，说法中不正确的是（ C ）
A ．F T 大于A 的重力大小
B ．A 的最大速度不可能等于v 的大小
C ．F T 小于A 的重力大小
D ．A 向上加速运动，加速度逐渐减小
二、小船过河问题
例：小船匀速横渡一条小河，问，怎样过河时间最短？怎样过河，过河位移最短？
练习1：小船匀速横渡一条小河，当船头垂直于河岸航线时，出发10min 到达对岸下游120m 处。

若船头保持与河岸成α角航行，在出发后12.5min 到达正对岸，求：
（1）水流速度 （2）船在静水中的速度 （3）河的宽度 （4）船头与河岸的夹角α
三、平抛与斜面
例：求下面三种情况下平抛时间（思考斜面提供了什么已知条件）
（1）以v 0平抛的物体垂直落在对面倾角为θ的斜面上
（2）从倾角为θ的斜面顶端以v 0平抛的物体落在斜面上
（2）从倾角为θ的斜面顶端以v 0平抛的物体离斜面最远时
练习1：（2010全国理综1）如左图一水平抛出的小球落到一倾角为θ的斜面上时，其速度方向与斜面垂直，运动轨迹如右图中虚线所示。

小球在竖直方向下落的距离与在水平方向通过的距离之比为（ ）
A ．1tan θ
B ．12tan θ
C ．tan θ
D ．2tan θ
四、等效平抛、类平抛
练习 如图，滑斜面长为l 1，宽为l 2，倾角为θ，一物体从斜面左上方P 点水平射入，从斜面右下方Q 点离开斜面，求入射速度
v
v v 1 d v v v 1 d v v 2 v 1 d θ θ P Q
l 1 l 2
θ
五、皮带传动
练习 所示装置中，三个轮的半径分别为r 、2r 、4r ，b 点到圆心的距离为r ，求图中a 、b 、c 、d 各点的线速度之比、角速度之比、加速度之比。

六、表针问题
练习：机械手表中的分针与秒针可视为匀速转动，分针与秒针从重合至第二次重合，中间经历的时间为（ ）
A ．1 min
B ．6059min
C ．5960
D ．6061
min
七、圆周运动的动力学模型和临界问题
1、转盘问题
练习1：如图所示，一圆盘可绕一通过圆心O 且垂直盘面的竖直轴转动。

在圆盘上放置一与圆盘的动摩擦因数为μ，距圆心O 为R 的木块，随圆盘一起作匀速转动，求转盘的最大角速度？
练习2：物体m 用线通过光滑的小孔与砝码M 相连，并且正在做匀速圆周运动，物体与圆盘间的动摩擦因数为μ，圆周半径为r ，求圆盘转动的角速度范围？
2、圆周摆、和漏斗
练习1：两个质量不同的小球，被长度不等的细线悬挂在同一点，并在
同一水平面内作匀速圆周运动，如图所示。

则两个小球的（ AC ）
A 、运动周期相等
B 、运动线速度相等
C 、运动角速度相等
D 、向心加速度相等
练习2：一个内壁光滑的圆锥形筒的轴线垂直水平面，圆锥筒固定。

有
质量相等的两个小球A 、B ，分别沿着筒的内壁在水平面内作匀速圆周运动。

如图所示。

A 的运动半径较大，则（ C ）
A 、A 球的角速度必小于
B 球的角速度
B 、A 球的线速度必小于B 球的线速度
C 、A 球的运动周期必大于B 球的运动周期
D 、A 球对筒壁的压力必大于B 球对筒壁的压力
3、拱桥和凹地模型
练习1：半径为R 的光滑半圆球固定在水平面上，顶部有一小物体m 如图所示，今给小物体一个水平初速度gR v 0，则物体将：（ D ）
A 、沿球面滑至M 点；
B 、先沿球面滑至某点N 再离开球面做斜下抛运动；
C 、按半径大于R 的新圆弧轨道运动；
D 、立即离开半圆球作平抛运动．
练习2如图，质量为m 的滑块滑到弧形底端时速率为v ，已知圆弧形轨道的半径
为R ，则滑块在圆弧形轨道最低点时对轨道的压力大小为＿＿＿＿。

4、绳模型和杆模型
练习1在长绳的一端系一个质量为m 的小球，绳的长度为L ，用绳拉着小球在竖直面内做圆周运动。

若小球恰能通过最高点，则在最高点的速度为 ；若绳能够承受的最大拉力为7mg ，则小球到达最低点速度的不得超过 。

练习2：细杆的一端与一小球相连，可绕过O 点的水平轴自由转动，细杆的长度为L 。

现给小球一初速度，使它做圆周运动， a 、b 分别表示小
球轨道的最高点和最低点，则在a 点，当v gL ，（填“大于” “等
于”或“小于”），杆对球没有作用力。

当v
gL ，杆对球的作用力为 ；（填“拉力”或“推力”）当v gL ，杆对球的作
用力为 ；在b 点，杆对球的作用力为 。

5、圆轨道和圆管模型
练习1：如图过山车模型，小球从h 高处由静止开始滑下，若小球经过光滑轨道上最高点不掉下来， 求h 的最小值？
练习2如图，倾斜轨道AC 与有缺口的圆轨道BC 相切于C ，圆轨道半径为R ，两轨道在同一竖直平面内，D 是圆轨道的最高点，缺口DB 所对的圆心角为90°，把一个小球从倾斜轨道上某处由静止释放，它下滑到C 点后便进入圆轨道，要想使它上升到D 点后再落到B 点，不计摩擦，则下面说法正确的是( D ) A 、释放点须与D 点等高
B 、释放点须比D 点高R/4
C 、释放点须比
D 点高R/2 D 、使小球经D 点后再落到B 点时不可能的 R
h A B
C D a b O L。