分布列及其数学期望的解答题

分布列及其数学期望的解答题

1．某品牌汽车的4S店，对最近100位采用分期付款的购车者进行了统计，统计结果如下表所示：已知分3期付款的频率为0.2，且4S店经销一辆该品牌的汽车，顾客分1期付款，其利润为1万元；分2期或3期付款其利润为1.5万元；分4期或5期付款，其利润为2万元．用η表示经销一辆汽车的利润.

付款方式分1期分2期分3期分4期分5期

频数4020 a 10b

(1)若以频率作为概率，求事件A：“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有1位采用分3期付款”的概率P(A)；

(2)求η的分布列及其数学期望E(η)．

2．如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：

时间(分钟)10～2020～3030～4040～5050～60

L

的频率0.10.20.30.20.2

1

L

的频率00.10.40.40.1

2

(1)为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？

(2)用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对(1)的选择方案，求X的分布列和数学期望．

3．某省示范高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一年级开始，在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座．(规定：各科达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座)统计数据表明，各学科讲座各天的满座的概率如下表：

(1)

(2)设周三各辅导讲座满座的科目数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．

4．某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位游客游览这3个景点的概率分别是0.4、0.5、0.6，且游客是否游览哪个景点互不影响，用X表示该游客离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值．

(1)求X的分布列及期望；

(2)记“f(x)＝2Xx＋4在[－3，－1]上存在x0，使f(x0)＝0”为事件A，求事件A的概率．

答案：

1、解析 (1)由题意可知“购买该品牌汽车的3位顾客中有1位采用分3期付款”的概率为0.2，所以

P(A)＝0.83＋C1

3

×0.2×(1－0.2)2＝0.896.

(2)由

a

100

＝0.2得a＝20，

∵40＋20＋a＋10＋b＝100，∴b＝10. 记分期付款的期数为ξ，依题意得：

P(ξ＝1)＝

40

100

＝0.4，P(ξ＝2)＝

20

100

＝0.2，P(ξ＝3)＝

20

100

＝0.2，P(ξ＝4)

＝10

100

＝0.1，

P(ξ＝5)＝

10

100

＝0.1.

由题意知η的可能取值为：1,1.5,2(单位：万元)．

P(η＝1)＝P(ξ＝1)＝0.4，

P(η＝1.5)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝0.4；

P(η＝2)＝P(ξ＝4)＋P(ξ＝5)＝0.1＋0.1＝0.2.

∴η的分布列为：

∴η的数学期望E(η)＝1×0.4＋1.5×0.4＋2×0.2＝1.4(万元)．

2、解析(1)A i表示事件“甲选择路径L i时，40分钟内赶到火车站”，B i表示事件“乙选择路径L i时，50分钟内赶到火车站”，i＝1,2.

用频率估计相应的概率可得

P (A 1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P (A 2)＝0.1＋0.4＝0.5， ∵P (A 1)＞P (A 2)，∴甲应选择L 1；

P (B 1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P (B 2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9， ∵P (B 2)＞P (B 1)，∴乙应选择L 2.

(2)A ，B 分别表示针对(1)的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站， 由(1)知P (A )＝0.6，P (B )＝0.9，又由题意知，A ，B 独立， ∴P (X ＝0)＝P (AB )＝P (A )P (B )＝0.4×0.1＝0.04，

P (X ＝1)＝P (A B ＋A B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B ) ＝0.4×0.9＋0.6×0.1＝0.42，

P (X ＝2)＝P (AB )＝P (A )P (B )＝0.6×0.9＝0.54. ∴X 的分布列为

∴E (X )

3、解析 (1)设数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座为事件A ， 则P (A )＝⎝ ⎛

⎭⎪⎫1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝118.

(2)ξ的可能取值为0,1,2,3,4,5.

P (ξ＝0)＝⎝ ⎛

⎭⎪⎫1－124×⎝ ⎛⎭

⎪⎫1－23＝148

；

P (ξ＝1)＝C 14×12

×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－123×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫1－124

×23＝18

；

P (ξ＝2)＝C 2

4

×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×⎝

⎛⎭⎪⎫1－122×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋C 14×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－123×23＝724； P (ξ＝3)＝C 3

4

×⎝ ⎛⎭⎪⎫123×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋C 2

4×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×⎝

⎛⎭⎪⎫1－122×23＝13；