西南交通大学信号处理期末作业

1、考虑两个谐波信号x(t)和y(t) ，其中x(t) Acos(w c t ), y(t) B cos(w c t) 式中A和w c 为正的常数, 为均匀分布的随机变量，其概率密度函数为

1

,0 2

f( ) 2 ,

0,其他

而 B 是一个具有零均值和单位方差的标准高斯随机变量，即其分布函数为

12

f B (b) exp( b2/2), b

2

(1)求x(t) 的均值u x (t ) 、方差2x (t) 、自相关函数R x( ) 和自协方差函数c x( )。

(2)若与B 为相互统计独立的随机变量，求x(t)和x(t)的互相关函数R xy( )与互协方差函数c xy( ) 。解：

(1)

x(t) 的均值u x (t) 为：

121

u x E( x( t)) E(Acos(w c t )) 2Acos(w c t )d 2 Asin( w c t )

方差2x(t) 为：

2 2 2 2 x2 E (x2(t)) E(A2cos2(w c t )) A E(1 cos(2w c t

2 )) A A E (cos(2 w c t 2 )) A

2 2 2 2

自相关函数R x( ) 为：

R x( ) E(Acos(w c t )Acos(w c t+w c )) A2E(cos(w c t )cos(w c t+w c ))

A2A2A2A2

E(cos(2w c t +2w c 2 ) cos(w c )) cos(w c ) E(cos(2w c t+2w c 2 )) cos(w c )

2 c c c2c2 c c2 c 自协方差函数c x ( ) 为：

c x( ) R x ( ) A2 cos(w c )

(2) y(t) 的均值为：

u y(t) E B(y(t)) E B(Bcos(w c t)) E( B)cos( w c t) 0,所以 E ( B)=0 由互相关函数的定义可知：

R xy ( ) E( Acos(w c t ) B cos(w c t w c )) 由题意知道与 B 为相互统计独立的随机变量，所以有

R xy( ) E ( A cos(w c t )E(Bcos(w c t w c )) AE(cos(w c t ) E(B)cos( w c t w c )) A 0 0 cos(w c t w c) 0

互协方差函数c xy ( )

c xy( ) R xy ( ) 0

2. 接收信号由下式给出：y i Acos( c i ) i,i 1,2,..., N ，式中i ~ N(0,1)即i是零均值和单位方差的高斯噪声， c 为载波角频率，而是未知的相位。假设1, 2,... N 相互独立，

求未知相位的最大似然估计ML 。解：由于1, 2,... N 相互独立，所以y1,.. y N 也相互独立并且服从高斯分布，可以得到

y1,..y N 与的联合概率密度函数分布

N[ y i Acos( c i )] 2 f ( y1,.. y N | )( 21)N e

由此，可以得到似然函数

N 2

N 1

L ln(2 ) [ y i Acos( c i )]

2 2 i 1i c

该似然函数对 求偏导，并令该偏导函数为零，即可得到如下公式：

L N

[ y i Acos( c i )]sin( c i ) 0

i1

^

因此，最大似然估计 ML 为上述函数的零点值。 则

N ^ ^ N ^

Acos( c i ML )sin( c i ML )

y i sin( c i ML )

i 1

i1

该函数为非线性方程，不容易求解，若忽略双倍频率 2 c ，则可简化到如下式子：

N^

y i sin( c i ) 0

i1

根据三角公式分解得到如下式子：

^ N ^ N

sin ML

y i cos( c i)

cos ML y i sin( c i)

i 1 i1

由此，可以得到如下公式

N

^

y i sin c i

tan

ML N y i cos( c i)

i1

所以相位的最大似然估计如下：

N

^ y i sin( c i )

ML

arctan( i N 1

)

y i cos( c i )

i1

3. 离散时间的二阶 AR 过程由差分方程 x(n) a 1x(n 1) a 2 x(n 2) w(n) 描述，式中 w(n)

是一零均值、方差为

w 2

的白噪声。证明 x(n) 的功率谱为

P x ( f)

1 a 1

2 a 22 2a 1(1 a 2 )cos(2 f) 2a 2 cos(4 f )

证明：

由 AR 过程的功率谱公式知

其中

1 a1e j

2 f a2e j4 f (1 a1e j2 f a2e j4 f )(1 a1e j2 f a2e j4 f ) 1 a12

a22 a2(e j4 f e 4 f )

a1a2e j2 f a1a2e j2 f

a1(e j2 f

e j2

f

)

1 a 1

2 a 22 2a 1 (1 a 2 )cos(2 f ) 2a 2 cos(4 f )

将其带入第一个公式可得：

4、信号的函数表达式为： x t sin(2 100t) 1.5sin(2 300t) A t sin(2 200t ) dn t n t ， 其中， A t 为

一随时间变化的随机过程， dn t 为经过 390-410Hz 带通滤波器后的高斯白噪 声，n t 为高斯白噪声， 采样频率为 1kHz ，采样时间为 2.048s 。分别利用周期图谱、 ARMA 、 Burg 最大熵方法估计信号功率谱，其中

ARMA 方法需要讨论定阶的问题。

解：由题意知采样点数一共为： 1000× 2.048=2048 个数据点。 A t 为一随时间变化的 随机过程，由于随机过程有很多类型，如维纳过程、正态随机过程，本文采用了均值为

0，

方差为 1 的正态随机过程来作为演示，来代替 A t ，高斯白噪声采用强度为 2 的高斯白噪 声代替

n t ，其带通滤波后为 dn t 。其中滤波器采用的是契比雪夫数字滤波器。 可得到 x (t) 如下图所

2

w

2

P x (f)

1 a 1e j

2 f

j 4 f

a 2e

P x ( f )

1 a 1

2 a 22 2a 1 2

(1 a 2 )cos(2 f) 2a 2 cos(4 f )