最新2017届高考数学大一轮总复习-第六章-不等式、推理与证明-6.7-数学归纳法课件-理汇编教学讲
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A．n＝6时该命题不成立 B．n＝6时该命题成立 C．n＝4时该命题不成立 D．n＝4时该命题成立
解析 因为当n＝k(k∈N＋)时命题成立，则当n＝k＋1时，命题也成 立。现n＝5时，命题不成立，故n＝4时命题也不成立。
答案 C
4．用数学归纳法证明等式(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈
)
A．1
1 B.5
C．1＋12＋13＋14＋15
D．非以上答案
解析 ∵f(n)＝1＋12＋13＋…＋6n1－1， ∴f(1)＝1＋12＋13＋…＋6×11－1＝1＋12＋13＋14＋15。 答案 C
3．某个命题与自然数n有关，若n＝k(k∈N＋)时命题成立，那么可推得 当n＝k＋1时该命题也成立，现已知n＝5时，该命题不成立，那么可以推得 ()
则当 n＝k＋1 时， 1－12＋13－14＋…＋2k1－1－21k＋2k＋1 1－2k＋1 2 ＝k＋1 1＋k＋1 2＋…＋21k＋2k＋1 1－2k＋1 2 ＝k＋1 2＋k＋1 3＋…＋2k＋1 1＋2k＋1 2。 ＝k＋11＋1＋k＋11＋2＋…＋2k1＋1＋2k＋1 1 即当 n＝k＋1 时，等式也成立。 综合(1)，(2)可知，对一切 n∈N＋，等式成立。
数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n取 第1个值n0(n0∈N＋) 时命题成立； (2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N＋)时命题成立，证明当n＝ k＋1时 命题也成立。 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都 成立。上述证明方法叫做数学归纳法。
变式训练1 f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)。 求证：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n·[f(n)－1](n≥2，n∈N＋)。 证明 (1)当 n＝2 时，左边＝f(1)＝1。
右边＝2(1＋12－1)＝1，左边＝右边，等式成立。
(2)假设 n＝k 时，结论成立，即 f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(k)－1]， 那么，当 n＝k＋1 时， f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k) ＝k[f(k)－1]＋f(k)＝(k＋1)f(k)－k ＝(k＋1)[f(k＋1)－k＋1 1]－k ＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1) ＝(k＋1)[f(k＋1)－1]， ∴当 n＝k＋1 时结论仍然成立。 ∴f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n·[f(n)－1](n≥2，n∈N＋)。
N＋)，从“k 到 k＋1”左端需增乘的代数式为( )
A．2k＋1
B．2(2k＋1)
2k＋1 C. k＋1
2k＋3 D. k＋1
解析 n＝k＋1时，左端为(k＋2)(k＋3)…[(k＋1)＋(k－1)]·[(k＋1)＋ k](2k＋2)＝(k＋1)(k＋2)…(k＋k)·(2k＋1)·2，∴应增乘2(2k＋1)。
基础自测
[判一判] (1) 用 数 学 归 纳 法 证 明 问 题 时 ， 第 一 步 是 验 证 当 n ＝ 1 时 结 论 成 立 。 (× ) 解析 错误。第一步验证当n取初始值n0时结论成立，但是n0不一定 为1。 (2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明。( × ) 解析 错误。不一定。 (3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用。(× ) 解析 错误。归纳假设必须用。
答案 B
R 热点命题 深度剖析
考点一 用数学归纳法证明等式
【例 1】 n∈N＋，求证：1－12＋13－14＋…＋2n1－1－21n＝n＋1 1＋n＋1 2 ＋…＋21n。
【证明】 (1)当 n＝1 时，左边＝1－12＝12， 右边＝1＋1 1＝12。左边＝右边。
(2)假设 n＝k 时等式成立，即 1－12＋13－14＋…＋2k－1 1－21k＝k＋1 1＋k＋1 2 ＋…＋21k，
【规律方法】 用数学归纳法证明等式应注意的问题 (1)用数学归纳法证明等式问题是常见题型，其关键点在于弄清等式两 边的构成规律，等式两边各有多少项，以及初始值n0的值。 (2)由n＝k到n＝k＋1时，除考虑等式两边变化的项外还要充分利用n＝k 时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以 证明。
考点二 用数学归纳法证明不等式
【例2】 设实数c>0，整数p>1，n∈N*。 (1)证明：当x>－1且x≠0时，(1＋x)p>1＋px； 【证明】 用数学归纳法证明。 ①当p＝2时，(1＋x)2＝1＋2x＋x2>1＋2x，原不等式成立。 ②假设p＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式(1＋x)k>1＋kx成立。 当p＝k＋1时，(1＋x)k＋1＝(1＋x)(1＋x)k>(1＋x)(1＋kx)＝1＋(k＋1)x＋ kx2>1＋(k＋1)x。 所以p＝k＋1时，原不等式也成立。 综合①②可得，当x>－1且x≠0时，对一切整数p>1，不等式(1＋x)p>1 ＋px均成立。
1时，左边式子应为1＋2＋22＋23。( √) 解析 正确。
1．在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为12n(n－3)条时，第一步
检验 n 等于( )
A．1
B．2
C．3
D．0
解析 边数最小的凸多边形是三角形。 答案 C
2．若 f(n)＝1＋12＋13＋…＋6n1－1(n∈N＋)，则 f(1)为(
[练一练] (4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1 时，项数都增加了一项。( × ) 解析 错误。由 n＝k 到 n＝k＋1 时，项数不一定增加一项，如用数学
归纳法证明：1＋2＋3＋…＋n2＝n4＋2 n2时，当 n＝k＋1 时，左端应在 n＝k
的基础上增添的代数式为(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2。 (5)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝
2017届高考数学大一轮总复习第六章-不等式、推理与证明6.7-数学归纳法课件-理汇编
第六章 不等式、推理与证明
第七节 数学归纳法
基础知识 自主学习
热点命题 深度剖析
思想方法 感悟提升
最新考纲 1.了解数学归纳法的原理；2.能用数学归纳法证明一些简单 的数学命题。
J 基础知识 自源自文库学习
知识梳理
解析 因为当n＝k(k∈N＋)时命题成立，则当n＝k＋1时，命题也成 立。现n＝5时，命题不成立，故n＝4时命题也不成立。
答案 C
4．用数学归纳法证明等式(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈
)
A．1
1 B.5
C．1＋12＋13＋14＋15
D．非以上答案
解析 ∵f(n)＝1＋12＋13＋…＋6n1－1， ∴f(1)＝1＋12＋13＋…＋6×11－1＝1＋12＋13＋14＋15。 答案 C
3．某个命题与自然数n有关，若n＝k(k∈N＋)时命题成立，那么可推得 当n＝k＋1时该命题也成立，现已知n＝5时，该命题不成立，那么可以推得 ()
则当 n＝k＋1 时， 1－12＋13－14＋…＋2k1－1－21k＋2k＋1 1－2k＋1 2 ＝k＋1 1＋k＋1 2＋…＋21k＋2k＋1 1－2k＋1 2 ＝k＋1 2＋k＋1 3＋…＋2k＋1 1＋2k＋1 2。 ＝k＋11＋1＋k＋11＋2＋…＋2k1＋1＋2k＋1 1 即当 n＝k＋1 时，等式也成立。 综合(1)，(2)可知，对一切 n∈N＋，等式成立。
数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n取 第1个值n0(n0∈N＋) 时命题成立； (2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N＋)时命题成立，证明当n＝ k＋1时 命题也成立。 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都 成立。上述证明方法叫做数学归纳法。
变式训练1 f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)。 求证：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n·[f(n)－1](n≥2，n∈N＋)。 证明 (1)当 n＝2 时，左边＝f(1)＝1。
右边＝2(1＋12－1)＝1，左边＝右边，等式成立。
(2)假设 n＝k 时，结论成立，即 f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(k)－1]， 那么，当 n＝k＋1 时， f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k) ＝k[f(k)－1]＋f(k)＝(k＋1)f(k)－k ＝(k＋1)[f(k＋1)－k＋1 1]－k ＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1) ＝(k＋1)[f(k＋1)－1]， ∴当 n＝k＋1 时结论仍然成立。 ∴f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n·[f(n)－1](n≥2，n∈N＋)。
N＋)，从“k 到 k＋1”左端需增乘的代数式为( )
A．2k＋1
B．2(2k＋1)
2k＋1 C. k＋1
2k＋3 D. k＋1
解析 n＝k＋1时，左端为(k＋2)(k＋3)…[(k＋1)＋(k－1)]·[(k＋1)＋ k](2k＋2)＝(k＋1)(k＋2)…(k＋k)·(2k＋1)·2，∴应增乘2(2k＋1)。
基础自测
[判一判] (1) 用 数 学 归 纳 法 证 明 问 题 时 ， 第 一 步 是 验 证 当 n ＝ 1 时 结 论 成 立 。 (× ) 解析 错误。第一步验证当n取初始值n0时结论成立，但是n0不一定 为1。 (2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明。( × ) 解析 错误。不一定。 (3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用。(× ) 解析 错误。归纳假设必须用。
答案 B
R 热点命题 深度剖析
考点一 用数学归纳法证明等式
【例 1】 n∈N＋，求证：1－12＋13－14＋…＋2n1－1－21n＝n＋1 1＋n＋1 2 ＋…＋21n。
【证明】 (1)当 n＝1 时，左边＝1－12＝12， 右边＝1＋1 1＝12。左边＝右边。
(2)假设 n＝k 时等式成立，即 1－12＋13－14＋…＋2k－1 1－21k＝k＋1 1＋k＋1 2 ＋…＋21k，
【规律方法】 用数学归纳法证明等式应注意的问题 (1)用数学归纳法证明等式问题是常见题型，其关键点在于弄清等式两 边的构成规律，等式两边各有多少项，以及初始值n0的值。 (2)由n＝k到n＝k＋1时，除考虑等式两边变化的项外还要充分利用n＝k 时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以 证明。
考点二 用数学归纳法证明不等式
【例2】 设实数c>0，整数p>1，n∈N*。 (1)证明：当x>－1且x≠0时，(1＋x)p>1＋px； 【证明】 用数学归纳法证明。 ①当p＝2时，(1＋x)2＝1＋2x＋x2>1＋2x，原不等式成立。 ②假设p＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式(1＋x)k>1＋kx成立。 当p＝k＋1时，(1＋x)k＋1＝(1＋x)(1＋x)k>(1＋x)(1＋kx)＝1＋(k＋1)x＋ kx2>1＋(k＋1)x。 所以p＝k＋1时，原不等式也成立。 综合①②可得，当x>－1且x≠0时，对一切整数p>1，不等式(1＋x)p>1 ＋px均成立。
1时，左边式子应为1＋2＋22＋23。( √) 解析 正确。
1．在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为12n(n－3)条时，第一步
检验 n 等于( )
A．1
B．2
C．3
D．0
解析 边数最小的凸多边形是三角形。 答案 C
2．若 f(n)＝1＋12＋13＋…＋6n1－1(n∈N＋)，则 f(1)为(
[练一练] (4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1 时，项数都增加了一项。( × ) 解析 错误。由 n＝k 到 n＝k＋1 时，项数不一定增加一项，如用数学
归纳法证明：1＋2＋3＋…＋n2＝n4＋2 n2时，当 n＝k＋1 时，左端应在 n＝k
的基础上增添的代数式为(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2。 (5)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝
2017届高考数学大一轮总复习第六章-不等式、推理与证明6.7-数学归纳法课件-理汇编
第六章 不等式、推理与证明
第七节 数学归纳法
基础知识 自主学习
热点命题 深度剖析
思想方法 感悟提升
最新考纲 1.了解数学归纳法的原理；2.能用数学归纳法证明一些简单 的数学命题。
J 基础知识 自源自文库学习
知识梳理