高等数学第八章

第八章 向量代数与空间解析几何（数学一）

第一节 向量代数中的若干运算

一、向量的概念

1．定义：既有大小又有方向的量称为向量。 2．坐标形式：),,(z y x a a a a =

3．模与方向余弦：记a

与x 轴、y 轴、z 轴正向的夹角分别为γβα,,，则

222cos z

y

x

x a

a a a ++=

α，222cos z

y x y a

a a a ++=

β， 222cos z

y

x

z a

a a a ++=

λ

且方向余弦间满足关系1cos cos cos 2

2

2

=++γβα。

γβα,,描述了向量a 的方向，常称它们为向量的方向角（在0与π之间）

。a

的模可以表示为2

22z

y x a a a a ++=

。 向量a 同方向上的单位向量常记为︒a

。

二、向量的运算

设三个向量),,(321321a a a k a j a i a a =++=

，),,(321321b b b k b j b i b b =++= ， ),,(321321c c c k c j c i c c =++=

，常数λ。 1．和差：加法 ),,(332211b a b a b a b a +++=+

减法 ),,(332211b a b a b a b a ---=-

2．数乘：),,(321a a a a λλλλ=

3．数量积

（i ）定义：数⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋂⋅=⋅b a b a b a

,cos ，称为b a ,为数量积也称点积，记为b a ⋅。其中

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⋂b a ,为向量b a

,间夹角（在0与π之间）

。 （ii ）性质：①a a a ⋅=2；②0b a ⋅表示向量a 在向量b 上的投影，a j b a b

Pr 0=⋅；

③a b b a ⋅=⋅。

（iii ）计算：①2

32221a a a a ++= ；②332211b a b a b a b a ++=⋅ 。

例题 设a 和b

为非零向量，且1=b ，4,π=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⋂b a ，求x a b x a x

-+→0lim 。 解x a

b x a x -+→0lim )

())((lim 0a b x a x a b x a a b x a x ++++-+=→)(lim 220a b x a x a b x a x

++-+=→ a

b x a b b x b a x

++⋅+⋅=→2lim 0a b

a 22⋅=22=

练习 设c b a ,,为两两垂直的单位向量，求2

)32(c b a ++。 14

4．向量积

（i ）定义：满足条件①⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛⋂=⨯b a b a b a ,sin ；

②b a ⨯的方向按右手法则垂直于b a ,所在平面的向量称为b a

,的向量积也称叉乘，记为b a ⨯。

（ii ）性质：①a b b a ⨯-=⨯；②b a

⨯等于以b a ,为邻边的平行四边形的面积；③b a ⨯为向量，且同时垂直于b a ,。

例题 设b a A 2+=，b a k B +=，其中2,2==b a

，b a ⊥试问：（1）k 为何值时，

B A ⊥（2）k 为何值时，以向量A 、B

为邻边的平行四边形面积为12。 解（1）由0=⋅⇒⊥B A B A

，

842)()2(22+=+=+⋅+=⋅k b a k b a k b a B A

2-=⇒k 。

（2）

b a a b k b a k b a B A

⨯+⨯=+⨯+=⨯2)()2(a

b k ⨯-=)12(12412-=⋅⋅-=⨯⇒k b a k B A

2=⇒k 或1-=k 。

荐………………………………………………… （iii ）计算：3

21321b b b a a a k j i b a

=⨯。

例题 设k j i a

22+-=，k j i b 22++-=

（1）求出所有满足b c a =⨯的向量c

的坐标表达式；

（2）求出模为最小的向量c

。

解（1）设{}z y x c ,,=

，由b c a =⨯，即z

y x k

j i 221- k j i 22++-=，

得⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=+22121y x z x z y ⎪⎩

⎪

⎨⎧-=-==⇒1222x z x y x

x ))12(),22(,(--=⇒x x x c ，其中x 可取任意实数。 （2）1)23()12()22(2222+-=-+-+=

x x x x c

，故当023=-x 即3

2

=

x 时，c 最小，此时)3

1

,32,32(1=⇒=c c 。

练习 已知ABC ∆的顶点为)1,2,3(-A 、)7,4,5(-B 和)2,1,1(-C ，求AB 上的高。3

3

5 5．混合积

（i ）定义：数()c b a ⋅⨯称为向量c b a

,,的混合积，记为()c b a

,,。

（ii ）性质：()c b a

,,等于以c b a ,,为棱边的平行六面体的体积。

（iii ）计算：()

3

2

1

321

321

,,c c c b b b a a a c b a =

。 例题 求证：c b a a c c b b a

⨯⨯=+⋅+⨯+)(2)()]()[(。 解)()()()]()[(a c c b c a b a a c c b b a

+⋅⨯+⨯+⨯=+⋅+⨯+

c b a a c b c b a ⋅⨯=⋅⨯+⋅⨯)(2)()(