4-泊松过程

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一、泊松（Poisson）过程的定义
对于一随机质点流，令 N (t ) 表示在时间段 [0, t ), t 0 内随机质点出现（或到达）的个数， 则 {N (t ), t T [0, )}是一随机过程。 [计数过程]若随机过程 {N (t ), t 0}满足如下条件： （1 ） N (t ) 0，并取非负整数值； （2）对于任意两个时刻 0 t1 t2，应有N (t1 ) N (t2 )； （3）对于任意两个时刻 0 t1 t2，增量 N (t1 , t2 )
N (t2 ) N (t1 )等于在时间间隔 [t1 , t 2 )内出现或
到达的随机质点个数。 则称随机过程 {N (t ), t 0} 为一计数过程。
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[定义4.1.1]（泊松过程的定义1）
设 {N (t ), t T [0, )}为一计数过程，若满足条件 增量 （1） N (0) 0； 零初值性 平稳 性或 （2）对任意的 s t 0, t 0，增量 N (s t ) 齐次 N (t t ) 与 N (s) N (t )具有相同的分布函数； 性 （3）对任意的正整数 n ，任意的非负实数 0 t0 t1 tn ，增量 N (t1 ) N (t0 ), N (t2 ) N (t1 ), , N (tn ) N (tn1 ) 相互独立； 增量独立性 （4）对于足够小的时间 t ， P( N (t ) 1) t o(t ), P( N (t ) 0) 1 t o(t ) P( N (t ) 2) o(t ), （ 0 是常数） 则称{N (t ), t T [0, )}是强度为 的泊松过程。 7
2 2 3. 均方值函数 2 ( t ) E [ N ( t )] t ( ) N
4. 自相关函数
RN (t1, t2 ) E( N (t1 ) N (t2 )) min(t1, t2 ) 2t1t2
5. 自协方差函数 CN (t1, t2 ) min(t1, t2 )
[ (t2 t1 )]k ( t2 t1 ) e , k 0,1, 2, k!
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( t ) t P( N (t ) k ) e , k 0,1, 2, k!
[定义4.1.2]（泊松过程的定义2）
设 {N (t ), t T [0, )}为一计数过程，若满足条件 （1） N (0) 0； 零初值性 增量独立性 （2）N (t ) 是独立增量过程； （3）对任意的 t1 t2 [0, )，对应的增量 N (t1 , t2 ) 增量平 服从参数为 (t2 t1 )的泊松分布，即 N ( t ) N ( t ) 2 1 稳性或 k [ ( t t )] ( t t ) 齐次性 P( N (t , t ) k ) 2 1 e , k 0,1, 2,（ 0 ） 1 2
[例1] 设 N (t )为[0,t)时段内某电话交换台收到的
呼叫次数， t [0, )，N (t ) 的状态空间为 {0,1, 2,}，
且具有如下性质： （1） N (0) 0，即初始时刻未收到任何呼叫； （2）在[t,s)这段时间内收到的呼叫次数只与 时间间隔s-t有关，而与时间起点t无关； （3）在任意多个不相重叠的时间间隔内收到
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关于 t 求导，可得 t 0 时其概率密度函数为：
d t n 1 (t )k f n (t ) [e ] dt k! k 0 2 n 1 d t ( t ) ( t ) [e (1 t )] dt 2! (n 1)! 2 n 1 ( t ) ( t ) e t (1 t )
2! (n 1)!
n2 ( t ) e t ( 2 t ) (n 2)!
e
t
( t ) (n 1)!
n 1
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n 的概率密度函数为： 可见， (t ) n 1 t
x 1 ( ) e 其中， 0 x dx 。由于 (n 1) n!，
均每10分钟到达5位乘客，试求： （1）在20分钟之内到达汽车站至少有2位乘客的
概率；
（2）60分钟内平均到达车站的乘客数。
[例4] 设顾客依泊松过程到达某商店，平均每小时
到达4人。已知商店上午9：00开门，试求： 至9：30仅到一位顾客而11：30时总计已到达5位 顾客的概率。
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[思考] 设 {N (t ), t 0}是强度为 的泊松过程，对 t2 t1 0 和 m, n 两非负整数，试证明：
e , t 0 f n (t ) (n 1)! 0 t0 回顾：参数为 , 的 分布，概率密度函数为： 1 x x e , x0 ( , ) : f ( x) ( ) 0 x0
于是，当 t 0 时有： ( t ) k t F n (t ) P{ n t} P{N (t ) n} e k! k n k n 1 (t ) t 故而 e t 0 1
F n (t )
k 0
k! 0
t0
第四章 泊松过程
§4.1 泊松过程概念
§4.2 随机质点的到达时间与 时间间隔 §4.3 复合泊松过程与非平稳 泊松过程
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本章基本要求
了解泊松过程的概念，掌握泊松过程的
一维分布、增量的分布，及数字特征，
了解其一维特征函数;
会用定义2证明泊松过程;
掌握随机质点的到达时间及时间间隔分
布;
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了解复合泊松过程及其特征函数，会求 其均值函数、方差函数; 了解非齐次泊松过程概念，会求其均值 和方差函数;
的呼叫次数相互独立；
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（4）在足够小的时间间隔 t 内，
P(t时间间隔内无呼叫) P( N (t ) 0) 1 t o(t ) P(t时间间隔内有一呼叫) P( N (t ) 1) t o(t ) P(t时间间隔内收到2次以上呼叫) P( N (t ) 2) o(t ) 则计数过程{N (t ), t 0}是强度为 的泊松过程。
证明：略。 注：该定理指明了泊松过程的一维分布，即， 在每个固定时刻t，N(t)服从泊松分布。 下面考察增量 N (t1 , t2 ) N (t2 ) N (t1 ), 0 t1 t2的分布： 由增量平稳性，N (t2 ) N (t1 ) 与 N (t2 t1 ) 同分布，
利用定理1，P( N (t1 , t2 ) k ) P( N (t2 t1 ) k )
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§4.1 泊松过程概念 泊松过程是研究随机质点流的 计数性质的基本数学模型之一， 是一类重要的随机过程。在通信 工程、服务行业、生物学、物理 学、公用事业等领域的许多问题 都可以用泊松过程来描述。如： 商店接待的顾客流，数字通信中 已编码信号的误码流等。
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随机质点流：质点（或事件）陆续地随机到达 （或随机发生），则形成一个随机质点流． 例如：商店接待的顾客流、 等车的乘客流、 数字通信中已编码信号的误码流、 经过中国上空的流星流、 放射性物质所放射出的粒子流、 要求在机场降落的飞机流，等等。 随机质点流的强度：通常称单位时间内平均 出现的质点的个数为随机质点流的强度，记 为 ．
[ (tn tn1 )]kn kn1 e (tn tn1 ) (t1 )k1 e t1 [ (t2 t1 )]k2 k1 e (t2 t1 ) k1 ! (k2 k1 )! (kn kn1 )!

k e t t1k (t2 t1 )k k (tn tn1 )k
P{N (t1 ) N (0) k1, N (t2 ) N (t1 ) k2 k1,, N (tn ) N (tn1 ) kn kn1}
P{N (t1 ) N (0) k1} P{N (t2 ) N (t1 ) k2 k1} P{N (tn ) N (tn 1 ) kn kn 1}
P( N (t1 ) m, N (t2 ) m n) e t2 m n
问：如何利用定义2去证明一过程是泊松过程？
步骤：（1）验证零初值性； （2）验证增量的独立性； （3）验证增量的分布为 ( (t2 t1 )) ，或 ( t2 t1 )[ ei 1] 增量的特征函数为 e 。 注：步骤（3）也可分成验证增量的平稳性，及 t [ ei 1] 一维分布为 (t ) 或一维特征函数为 e 。
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则称{N (t ), t T [0, )}是强度为 的泊松过程。
k!
试利用定理1说明上述两个泊松过程定义 的等价性。
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• 泊松过程的样本曲线是条阶梯曲线。 • 泊松过程的n维分布如下: 对 0 t1 t2 tn ， P{N (t1 ) k1 , N (t2 ) k2 ,, N (tn ) kn }
[例2] 设粒子按平均率为4个/分钟的泊松过程到达
某计数器，N (t ) 表示在[0,t)内到达计数器的粒子 个数，试求： （1）N (t ) 的均值、方差、自相关函数和自协方差
函数；
（2）在第3分钟至第5分钟之间到达计数器的粒
子个数的概率分布。
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[例3] 设到达某汽车站的乘客数为一泊松过程，平
注:(4)中实际上假设了在足够小的时间间隔 内出现一个质点的概率与时间间隔成正比，而 出现质点数不少于2的概率是关于时间间隔的 高阶无穷小——这一般是与实际情况相吻合的。
思考：试举个例子是计数过程而不是泊松过程。
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[定理1]设 {N (t ), t T [0, )}是一强度为 的泊 松过程，则对任意固定的 t 0，N (t ) 服从泊松 一维分布 分布 (t ) ，即 k