第二讲 数的整除(2)

第二讲数的整除(2)

【典型例题1】一个素数的3倍与另一个素数的2倍之和是100，求这两个素数。

解析：100是一个偶数，一个素数的2倍必定是偶数，则另一个素数的3倍

也应为偶数，则这个素数应为2，另一个素数为1006

47

2

-

=

点评：此题对应的方法，分析易错点，考查知识点，注意点

【知识点】

1、素数和合数

一个数，如果只有１和它本身两个因数，这样的数叫做素数，也叫质数．

一个数，如果除了１和它本身以外还有别的因数，这样的数叫合数．

分解素因数

把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数

【基本习题限时训练】

1填空：在正整数中，既不是素数也不是合数的数是________，既是素数又是偶数的数是____________。

【解】在正整数中，既不是素数也不是合数的数是1，既是素数又是偶数的数是2

2 在14＝2×7中，2和7都是14的（）。

（A）素数（B）互素数（C）素因数（D）公因数

【解】C

3 将下列各数分解素因数，并用连乘的形式表示结果。（1）48；（2）120 【解】（1）4822223

=⨯⨯⨯⨯；（2）12022235

=⨯⨯⨯⨯。

4、39、47、57、83中为素数的有（）

（A） 39，47 (B) 47，57 （C）57，97 （D）47，83 【解】D

5、12的素因数是（）

（A）1，2，3，4 （B）2，3 （C）2，2，3 （D）1，2，3，4，6，12 【解】C

6、下列分解素因数正确的是（）

（A）42＝2×21 （B）48＝1×2×2×2×2×3

（C）24＝4×6 （D）62＝2×31

【解】D

7、下列说法中正确的是（）

（A）自然数包括素数和合数两类 (B）不存在最小的素数

（C）1既不是素数，也不是合数（D）2是最小的合数

【解】C

8、两个素数相乘的积一定是（）

（A）奇数（B）偶数（C）素数（D）合数

【解】D

9、根据要求填空：在1，2，9，21，43，51，59，64这八个数中，

（1）是奇数又是素数的数是（）；

（2）是奇数不是素数的数是（）；

（3）是素数而不是奇数的数是（）；

（4）是合数而不是偶数的数是（）；

（5）是合数而不是奇数的数是（）．

【解】（1）43，59 （2）1，9，21，51 （3）2 （4）9，21，51（5）64

10、把下列各数写成几个素因数乘积的形式．

（1）18；（2）35；（3）45．

【解】（1）18=2×3×3 （2）35=5×7 （3）45=3×3×5

11、把以下各数分解素因数

（1）189；（2）72；（3）238；（4）338．

【解】（1）189=3×3×3×7（2）72=2×2×2×3×3（3）238=2×7×17（4）338=2×13×13

12、将20写成两个质数之和，这两个质数最大乘积是多少？

【解】20=3+17=7+13 7×13=91 因此这两个质数的积最大是91．

【拓展题】

2、一个素数,是两个数字组成的两位数,两个数字之和是8,两个数字之差是2,那么这个素数是几?

解析：解法一因为（8＋2）÷2=5 （8-2）÷2=3 所以这个两位数是35或53,又因为这个数是素数,所以35不符合题意．解法二设这个两位数中，其中一个数字为x，那么另一个数字为（8－x）．由题意得：x-（8－x）=2 解得 x=3 另一个数字 8－x=5 所以这个两位数是35或53,又因为这个数是素数,所以35不符合题意．

点评：此题介绍了考查了素数的概念，并介绍了方程思想。

3、用最小的素数，最小的奇数，最小的合数和0组成一个四位数，其中能够被2和5同时整除的最大四位数是几？只能被2整除的最小四位数是几？

解析：最小的素数是2，最小的奇数是1，最小的合数是4，由2，1，4，0组成的能够被2和5同时整除的最大四位数是4210，只能被2整除的最小四位数是1024．

点评：本题考查了奇数、合数、素数和能被2、5整除的数的特征。

4、将40分成六个素数之和，要求最小素数尽量大，那么最小的素数是几？

解析：因为7×6=42＞40，所以不能是7，只能是5．40=5+5+5+5+7+13 答：最小的素数是5．

点评：本题考查了素数的概念。

5、有两个素数，它们的和是小于100的奇数，并且也是17的倍数．求这两个素数．

解析：两个素数的和是奇数，所以必有一个素数是2，而小于100的17的奇数倍有17，51，85三个，17，51与2的差都不是素数，所以另一个素数是85-2=83 答：这两个素数是2和83．

点评：本题考查素数的概念和倍数的概念。

6、已知a×b＋3=x，其中a、b均为小于1000的素数，x是奇数，那么x的最大

值是________。

解析 3是一个奇数，而最终的和还是一个奇数，因此a、b两数的积为偶数，则

其中必定有一个数为2，1000以内最大的素数为997，因此x的最大值为1997。

【典型例题2】根据要求填空：

a能被b整除，则a、b两数的最大公因数是（）．

a是b的倍数，则a、b两数的最大公因数是（）．

a、b两数互素，则a、b两数的最大公因数是（）．

a是b的因数，则a、b两数的最大公因数是（）．

a、b是两个连续的正整数，则a、b两数的最大公因数是（）．

解析：根据最大公因数概念来解决，考虑问题时可以先从具体的数入手．

解（1）b；（2）b；（3）1：（4）a；（5）1

点评：两个整数中，如果某个数是另一个数的因数，那么这个数就是这两个数的

最大公因数，如果两个数互素，那么它们的最大公因数就是1．

【典型例题3】求下列各组数的最大公因数：

（1）30和42 （2）16和80 （4）4、12和18

解析：会合理使用列举法、分解素因数法和短除法求两个数的最大公因数，常用

的方法是短除法

解：略

【知识点】

1、互素数

两个数的公因数只有1，那么这两个数是互素数．

2、公因数和最大公因数

几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个，叫做这几个数的

最大公因数．

【基本习题限时训练】

1、已知9的因数是1，3，9；12的因数是1，2，3，4，6，12，那么下列说法

正确的是（）

(A) 9和12有1个公因数（B）9和12有3个公因数

（C）9和12最大公因数为3 （D）9和12的最大公因数是9 【解】C

2、16和24的公因数有（）

(A) 2，4，6，8，12 （B）2，4，8，12

（C）1，2，4，6 （D）1，2，4，8

【解】D

3、下面各组数中两个数为互素数的是（）

（A）12和65 （B）115和70 （C）119和17 （D）36和45