广东省深圳市2018年中考数学专题专练 二次函数综合专题
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二次函数综合专题
1.如图,直线y =5x +5交x 轴于点A ,交y 轴于点C ,过A ,C 两点的二次函数y =ax 2
+4x +c 的图象交x 轴于另一点B.
(1)求二次函数的表达式;
(2)连接BC ,点N 是线段BC 上的动点,作ND⊥x 轴交二次函数的图象于点D ,求线段ND 长度的最大值; (3)若点H 为二次函数y =ax 2
+4x +c 图象的顶点,点M(4,m)是该二次函数图象上一点,在x 轴,y 轴上分别找点F ,E ,使四边形HEFM 的周长最小,求出点F ,E 的坐标.
温馨提示:在直角坐标系中,若点P ,Q 的坐标分别为P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),当PQ 平行x 轴时,线段PQ 的长度可由公式PQ =|x 1-x 2|求出;当PQ 平行y 轴时,线段PQ 的长度可由公式PQ =|y 1-y 2|求出.
2.如图,在平面直角坐标系xOy 中,抛物线y =x 2
+14
与y 轴相交于点A ,点B 与点O 关于点A 对称.
(1)填空,点B 的坐标是________;
(2)过点B 的直线y =kx +b(其中k <0)与x 轴相交于点C ,过点C 作直线l 平行于y 轴,P 是直线l 上一点,且PB =PC.求线段PB 的长(用含k 的式子表示),并判断点P 是否在抛物线上,说明理由;
(3)在(2)的条件下,若点C 关于直线BP 的对称点C′恰好落在该抛物线的对称轴上,求此时点P 的坐标.
3.已知抛物线y =ax 2
+bx -3经过(-1,0),(3,0)两点,与y 轴交于点C ,直线y =kx 与抛物线交于A ,B 两点.
(1)写出点C 的坐标并求出此抛物线的解析式;
(2)当原点O 为线段AB 的中点时,求k 的值及A ,B 两点的坐标;
(3)是否存在实数k 使得△ABC 的面积为310
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?若存在,求出k 的值;若不存在,请说明理由.
4.如图,在平面直角坐标系xOy 中,一次函数y =x 与二次函数y =x 2
+bx 的图象相交于O 、A 两点,点A(3,3),点M 为抛物线的顶点.
(1)求二次函数的表达式;
(2)长度为22的线段PQ 在线段OA(不包括端点)上滑动,分别过点P 、Q 作x 轴的垂线交抛物线于点P 1、Q 1,求四边形PQQ 1P 1面积的最大值;
(3)直线OA 上是否存在点E ,使得点E 关于直线MA 的对称点F 满足S △AOF =S △AOM ?若存在,求出点E 的坐标;若不存在,请说明理由.
5.如图,抛物线y =ax 2
+bx -3(a≠0)的顶点为E ,该抛物线与x 轴交于A,B 两点,与y 轴交于点C ,且BO =OC =3AO ,直线y =-1
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x +1与y 轴交于点D.
(1)求抛物线的解析式; (2)证明:△DBO∽△EBC;
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P ,使△PBC 是等腰三角形?若存在,请直接写出符合条件的P 点坐标;若不存在,请说明理由.
6.如图,抛物线L:y=ax2+bx+c与x轴交于A,B(3,0)两点(A在B的左侧),与y轴交于点C(0,3),已知对称轴x=1.
(1)求抛物线L的解析式;
(2)将抛物线L向下平移h个单位长度,使平移后所得抛物线的顶点落在△OBC内(包括△OBC的边界),求h的取值范围;
(3)设点P是抛物线L上任一点,点Q在直线l:x=-3上,△PBQ能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形?若能,求出符合条件的点P的坐标;若不能,请说明理由.
图(1)图(2)
7.如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(-1,0)、B(0,-3)、C(2,0),其对称轴与x轴交于点D.
(1)求二次函数的表达式及其顶点坐标;
(2)若P 为y 轴上的一个动点,连接PD ,则1
2PB +PD 的最小值为________;
(3)M(s ,t)为抛物线对称轴上的一个动点.
①若平面内存在点N ,使得以A,B,M,N 为顶点的四边形为菱形,则这样的点N 共有________个; ②连接MA,MB ,若∠AMB 不小于60°,求t 的取值范围.
8.如图,抛物线与x 轴交于点A(-5,0)和点B(3,0),与y 轴交于点C(0,5).有一宽度为1,长度足够的矩形(阴影部分)沿x 轴方向平移,与y 轴平行的一组对边交抛物线于点P 和Q ,交直线AC 于点M 和N ,交x 轴于点E 和F.
(1)求抛物线解析式.
(2)当点M 和N 都在线段AC 上时,连接MF ,如果sin ∠AMF =
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,求点Q 的坐标. (3)在矩形的平移过程中,当以点P ,Q ,M ,N 为顶点的四边形是平行四边形时,求点M 的坐标.
9.如图,已知抛物线y =13x 2
+bx +c 经过△ABC 的三个顶点,其中点A(0,1),点B(-9,10),AC ∥x 轴,点P 是直
线AC 下方抛物线上的动点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)过点P 且与y 轴平行的直线l 与直线AB 、AC 分别交于点E 、F ,当四边形AECP 的面积最大时,求点P 的坐标;
(3)当点P 为抛物线的顶点时,在直线AC 上是否存在点Q ,使得以C,P,Q 为顶点的三角形与△ABC 相似,若存在,求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.
10.如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx-8与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,直线l经过坐标原点O,与抛物线的一个交点为D,与抛物线的对称轴交于点E,连接CE,已知点A,D的坐标分别为(-2,0),(6,-8).
(1)求抛物线的函数表达式,并分别求出点B和点E的坐标;
(2)试探究抛物线上是否存在点F,使△FOE≌△FCE,若存在,请直接写出点F的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)若点P是y轴负半轴上的一个动点,设其坐标为(0,m),直线PB与直线l交于点Q.试探究:当m为何值时,△OPQ是等腰三角形.