矩阵的应用

矩阵的应用

矩阵理论既是学习经典数学的基础，又是一门很有实用价值的数学理论。随着科学技术的发展，这一理论业已成为现代各科技领域处理大量有限维空间形式与数量关系的强有力工具，而计算机的广泛应用和MATLAB 等数学计算软件的迅猛普及为矩阵分析法提供了更为广阔的发展和应用前景。

应用一 矩阵运算的应用

1.1 矩阵加法在产品的增量问题中的应用

甲、乙两化工厂在2001年和2002年所生产的3种化工产品1A ，2A ，3A 的数量如表1（单位:万吨）所示：

表1 化工产品数量

年份

产品

工厂 2001 2002 1A 2A 3A 1A 2A 3A

甲 45 36 28 47 37 28

乙 41 32 33 42 31 35

（1）作矩阵A 和B 分别表示2001年和2002年工厂甲、乙生产各化工产品数量；

（2）计算矩阵A+B 和B-A ，并说明其经济意义。

解：（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=333241283645A ，⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=353142283747B （2）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+686383567392B A ，⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=-211012A B 矩阵A+B 说明这两年甲、乙两厂生产的3种化工产品的数量，B-A 说明甲、乙两厂在2001年比2002年生产的3种化工产品的增量。

1.2 矩阵乘法在生产中的应用

例1．某股份公司生产四种产品，各类产品在生产过程中的生产成本以及在各季度的产量分别由表2和表3给出。

表2 产品生产成本

表3 各季度产量

季度

产品 春 夏 秋 冬

A 9000 10500 11000 8500

B 6500 6000 5500 7000

C 10500 9500 9500 10000

D 8500 9500 9000 8500

在年度股东大会上，公司准备用一个单一的表向股东们介绍所有产品在各个季度的各项生产成本，各个季度的总成本，以及全年各项的总成本。此表应如何做法？

解：将表2和表3分别写成如下矩阵：

M=⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛5.07.06.03.085.09.005.18.065.07.08.05.0

N=⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛85009000950085001000095009500105007000550060006500850011000105009000 并计算：

MN=⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛180001775018150182003037530775313253070022375224002287522575

利用乘积MN 可做如下的符合题意的表4：

表4 总表

1.3.矩阵乘法在产品利润中的应用

例. 今有甲、乙两种产品销往1A ，2A 两地，已知销售量、总价值与总利润如

产品

消耗 A B C D

原材料 0.5 0.8 0.7 0.65

劳动力 0.8 1.05 0.9 0.85

经营管理 0.3 0.6 0.7 0.5

表5所示（销售量单位：吨，总价值与总利润单位：万元），求甲乙两产品的单位价格与单位利润。

表5 产品销售量、总价值与总利润

销售地

产品 1A 2A 总价值 总利润

甲 200 240 600 68

乙 350 300 870 95

解：设矩阵A 为产品的销售量，矩阵B 为甲乙两产品销往两地产品的总价值与总利润，矩阵C 为销往两地产品的单位价值与单位利润，则有

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=300350240200A ，⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=9587068600B ，B AC = ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==-1201480

71001801*

1A A A ，其中*A 是A 的伴随矩阵 所以 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==-2.05.11.02.195870686001201480710018011B A C 即甲乙两种产品的单位价格分别为1.2与1.5，甲乙两种产品的单位利润分别为0.1与0.2。

1.4 逆矩阵在密码问题中的应用

矩阵密码法是信息编码与解码的技巧，其中的一种就是基于利用可逆矩阵的方法。现在26个英文字母与数字间建立起一一对应，例如可以是：

26

2521 Z

Y B A

若要发出信息“SEND MONEY”，使用上述代码，则此信息的编码是19，5，14，4，13，15，14，5，25，其中5表示字母E 。不幸的是这种编码很容易被人破译。在一个较长的信息编码中，人们会根据那个出现的频率最高的数值二猜出它代表的是哪个字母，比如说上述编码中出现最多次的数值是5，人们会自然想到它代表的字母是E ，因为统计规律告诉我们，字母E 是英文单词中出现频率最

我们可以利用矩阵乘法来对“SEND MONEY”进行加密，让其变成“密文”后再进行传递，以增加非法用户破译的难度，而让合法用户轻松解密。如果一个矩阵A 的元素均为整数，而且其行列式1±=A ，那么由*11A A

A =-即知，1-A 的元素均为整数。我们可以利用这样的矩阵A 来对明文加密，使加密之后的密文很难破译。现在取

⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=232352121A

明文“SEND MONEY”对应的9个数值按3列排成以下矩阵：

⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=251514513514419B

矩阵乘积

⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=937781128118105494543251514513514419232352121AB

对应着将发出去的密文编码：43，105，81，45，118，77，49，128，93。合法用户用1-A 去左乘上述矩阵即可解密得到明文。

⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-251514513514419937781128118105494543114102

1119377811281181054945431A 为了构造“密钥”矩阵A ，我们可以从单位阵I 开始，有限次地使用第三类初等变换，而且只用某行的整数倍加到另一行，当然，第一类初等行变换也能使用。这样得到的矩阵A ，其元素均为整数，而且由于1±=A 可知，1-A 的元素必然均为整数。

1.5 矩阵初等变换在套利投资组合中的应用

设有一位投资者投资于三种资产上，且具有三种状态可能发生，资产的回报