2018年高考理科数学考纲解读与题型示例 (3)不等式
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2018年高考理科数学考纲解读与题型示例 (3) 不等式
【2018年高考考纲解读】 高考对本内容的考查主要有：
(1)一元二次不等式是C 级要求，线性规划是A 级要求．
(2)基本不等式是C 级要求，理解基本不等式在不等式证明、函数最值的求解方面的重要应用．试题类型可能是填空题，同时在解答题中经常与函数、实际应用题综合考查，构成中高档题. 【重点、难点剖析】 1．不等式的解法
(1)求解一元二次不等式的基本思路：先化为一般形式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)，再求相应一元二次方程
ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的根，最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解
集．
(2)解含参数不等式的难点在于对参数的恰当分类，关键是找到对参数进行讨论的原因．确定好分类标准、层次清楚地求解． 2．基本不等式
(1)基本不等式a 2
＋b 2
≥2ab 取等号的条件是当且仅当a ＝b .
(2)几个重要的不等式：①ab ≤⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22
(a ，b ∈R )．
②
a 2＋
b 22≥
a ＋b
2
≥ab ≥
2ab
a ＋b
(a ＞0，b ＞0)．
③a ＋1
a
≥2(a ＞0，当a ＝1时等号成立)．
④2(a2＋b2)≥(a＋b)2(a，b∈R，当a＝b时等号成立)．
(3)最值问题：设x，y都为正数，则有
；
①若x＋y＝s(和为定值)，则x＝y时，积xy取得最大值s2
4
②若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2p.
3．不等式的恒成立、能成立、恰成立问题
(1)恒成立问题
若不等式f(x)>A在区间D上恒成立，则等价于在区间D上f(x)min>A；
若不等式f(x) (2)能成立问题 若在区间D上存在实数x使不等式f(x)>A成立，则等价于在区间D上f(x)max>A； 若在区间D上存在实数x使不等式f(x) (3)恰成立问题 若不等式f(x)>A在区间D上恰成立，则等价于不等式f(x)>A的解集为D； 若不等式f(x) 4．使用基本不等式以及与之相关的不等式求一元函数或者二元函数最值时，基本的技巧是创造使用这些不等式的条件，如各变数都是正数，某些变数之积或者之和为常数等，解题中要根据这个原则对求解目标进行适当的变换，使之达到能够使用这些不等式求解最值的目的．在使用基本不等式求函数的最值、特别是求二元函数最值时一定要注意等号成立的条件，尽量避免二次使用基本不等式． 5．平面区域的确定方法是“直线定界、特殊点定域”，二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的半平面的交集．线性目标函数z ＝ax ＋by 中的z 不是直线ax ＋by ＝z 在y 轴上的截距，把目标函数化为y ＝－a b x ＋z b ，可知z b 是直线ax ＋by ＝z 在y 轴上的截距，要根据b 的符号确定目标函数在什么情况下取得最大值、什么情况下取得最小值. 【题型示例】 题型1、等式的解法及应用 【例1】【2017浙江，4】若x ，y 满足约束条件03020x x y x y ≥⎧⎪ +-≥⎨⎪-≤⎩，则y x z 2+=的取值范围是 A ．[0，6] B ．[0，4] C ．[6，)∞+ D ．[4，)∞+ 【答案】D 【解析】如图，可行域为一开放区域，所以直线过点(2,1)时取最小值4，无最大值，选D ． 【变式探究】【2016高考新课标1卷】若,则( ) （A ） （B ） （C ） （D ） 【答案】 C 101a b c >><<， c c a b 【解析】用特殊值法，令，，得，选项A 错误，，选项B 错 误，，选项C 正确，，选项D 错误，故选C ． 【感悟提升】(1)对于和函数有关的不等式，可先利用函数的单调性进行转化；(2)求解一元二次不等式的步骤：第一步，二次项系数化为正数；第二步，解对应的一元二次方程；第三步，若有两个不相等的实根，则利用“大于在两边，小于夹中间”得不等式的解集；(3)含参数的不等式的求解，要对参数进行分类讨论． 【举一反三】(2015·江苏，7)不等式2x 2－x ＜4的解集为________． 解析 ∵2x 2 －x ＜4＝22 ，∴x 2 －x ＜2，即x 2 －x －2＜0，解得－1 答案 {x |－1＜x ＜2}