人教版八年级数学专题复习两个等腰直角三角形共点专题

两个等腰直角三角形共点专题

共锐角顶点直角开口方向相反

基本方法：

△ EDB 中与△ ABC 不共顶点B 的那条线段DE 平行移到另外等腰三角厶

典型例题

同侧型：

连接DC （不共顶点的两个底角点的连线 ），M 是中点，求EM,AM 的大小关系

方法：平移DE 到CF,或倍长

思路：证明△ AEB^A AFC

关键:证明/ ABE =/ ACF

方法：••• DEL BE

••• CGL BG •••/ ABE ：/ ACF 1. △ ABC 和△ AEF 是共直角顶点旋转 四边形GBCA1共斜边的两个直角三角形共圆（外垂直）

四边形ABGC 对角互补，共圆

推广：两个等腰三角形，顶角互补也可以平移，或中线倍长

G

ABC 的底边BC 的另一个点C 处的CF 。

回头

看:

2.

EM 到 MF

A

A

提高 .

如图，在等腰 Rt △ ABC 与等腰 Rt △ DBE 中，/ BDE 2 ACB=90 ,且BE 在AB 边上，取AE 的中点F,CD 的中点 G,连结 GF.

(1) FG 与DC 的位置关系是

,FG 与DC 的数量关系是 ________________ ; (2) 若将△ BDE 绕B 点逆时针旋转180 °,其它条件不变，请完成下图，并判断(1)中的结论是否仍然成立？请 证明

你的结论•

两个方法：已知：在△ ABC 中,分别以AB AC 为斜边作等腰直角三角形 ABM 和CAN P 是边BC 的中点.求证：PM

=PN

正方形

逆向

15、请阅读下列材料问题：如图，在正方形

ABCD 和平行四边形 BEFG 中，点A 、B 、E 在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连接 PG PG 探究：当PG 与PC 的夹角为多少度时，平行四边形

BEFG 是正方形？ 小聪同学的思路是：首先可以说明四边形

BEFG 是矩形；然后延长 GP 交DC 于点H,构造全等三角形，经过推理可以 探索出问题的答案。

请你参考小聪同学的思路，探究并解决这个问题。

(1) 求证：四边形 BEFG 是矩形；

(2) PG 与PC 的夹角为多少度时？四边形 BEFG 是正方形，请说明理由。

C

A

N

14、正方形ABCD和正方形CEFG M为AF的中点，连接MD ME

⑴如图①，B、C G依次在同一条直线上，求证：△ MDE等腰直角三角形；

⑵如图②，将正方形CEFG绕顶点C旋转45°.使B、C、F依次在同一条直线上，则△ MDE的形状是

圉③

反开口，两个中点变一个中点再找关系

19.如图，△ AB"A CD%为等腰三角形，且/ BAO=/ DCO=90 , M为BD的中点，MN L AC,试探究MN与AC的数量

直角坐标系中，点B( a, 0)，点C (0, b),点A在第一象限•若a, b满足(a-t ) 2+|b-t|=0 (t >0).

(1)证明：OB=OC

(2)如图1,连接AB过A作ADL AB交y轴于D,在射线AD上截取AE=AB连接CE, F是CE的中点，连接AF, OA当点A在第一象限内运动(AD不过点C)时，证明：/ OAF的大小不变；

(3)如图2 , B'与B关于y轴对称，M在线段BC上 , N在CB的延长线上，且BM=NB,连接MN交x轴于点T,

反开口模六

在直角坐标系中,直线y = x+ 4

交

x轴于

A ,

交y轴于B, △ AEF为等腰Rt△ , / AEF= 90° ,连BF, M为BF中点.

(1) 连EM OM,问0M与EM的关系是,并证明；

⑵当厶AEF绕A点旋转如图位置时，EM与0M的关系是否变化,画图并说明理由；

(3) 若P为AB中点，G为第三象限内一点，且/ AG3 90° ,求GA+GO/G的值.

反开口模型把中线位长作出来了(平行四边形，也就隐含了中点)

已知△ ABC和厶ADE分别是以AB.AE为底的等腰直角三角形，以CE,CB为边作平行四边形CEHB连DC, CH.

(1) 如图(1),当D点在AB上时，则/ DEH的度数为______ ; CH与CD的数量关系是_________ ,并说明理由，

(2) 将图(1)中的△ ADE绕A点逆时针旋转45。得图(2):则/ DEH的度数为___________, CH与CD之间的数量关系为

:-(O°＜〉＜45° )得图⑶，请探究CH与CD之间的数量关系，并给

(3) 将图(1)中的△ ADE绕A点顺时针旋转予

证明.

图

3

找隐性反开口模型

4、如图，ABCD、DFGE均为正方形，连AG，作AG的中点H，连BH。

(1)求BH : HE的值。

(2)当正方形ABCD绕点D旋转时，上述结论是否改变？画图，直接写出结论。

反开口

例1、如图，以△ ABC AB AC边构造等腰Rt△ ABD等腰Rt△ ACE M N、P分别是AD AE、BC中点，求线段PM PN的关系。

变式1:若P为DE中点，求线段BP、CP的关系;

变式2:若以△ ABC AB AC边为直角边构造Rt△ ABD Rt△ ACE且/ DAB=/ CAE=a , P为DE中点，求BP、CP的数量关系;

A

变式3:

若以△ ABC AB AC 边为斜边构造 Rt △ ABD Rt △ ACE 且/ DAB* CAE a , P 为BC 中点，求 DR EP 的数

曰.-V w 量天糸;

反开口

24.(本题10分)已知正方形 AEFG 勺边AE AG 分别在正方形 ABC 啲边AB AD 上。点0为正方形 AEFG 勺对称中

心，点M 为CE 的中点，连OB MB

(1) 如图1，求F0 C0的值，并证明；

BC

(2) 求飘的值，并证明；

0B

(3) 将图1中的正方形 AEFG^点A 旋转180°至图2的位置，请直接写出 型 的值。

0B

反开口，一中点

1. 已知，DE=DA , CA=CB ,Z DAE= / CAB , D 、A 、B 在一条直线上.

(1) 如图 1, P 、M 、N 分别为 EB 、AD 、AC 的中点，/ BAE=120° ,

①求证：BE=2MN ; ②求/ PNM 的度数.

(2) 如图 2,点 P 、M 、N 分别为 CD 、AE 、AB 的中点，/ BAE=135° ,

①求/ MNP 的度数； ②求CD 的值.

BE

A

D

B P C

D C