平方根 PPT课件
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平方根ppt课件
在直角三角形中，直角边的平方和等 于斜边的平方。因此，斜边的平方根 是直角边的长度与另一条直角边的长 度之间的比例中项。
平方根的历史背景
平方根的早期发展
在古代文明中，人们已经意识到某些数的平方的值。例如，古埃及人和古巴比 伦人已经知道π和√2的近似值。随着数学的发展，人们对平方根的认识逐渐深 入。
电容
在计算电容时，需要使用平方根来 计算电容器容纳电荷的能力。
在日常生活中的应用
建筑测量
在建筑测量中，需要使用平方根 来计算建筑物的面积和体积。
土地测量
在土地测量中，需要使用平方根 来计算土地的面积和周长。
商业交易
在商业交易中，需要使用平方根 来计算商品的价格和利润。
05
平方根的注意事项
Chapter
平方根函数的奇偶性
平方根函数的值域
函数$y = sqrt{x}$的值域为所有非负 实数。
函数$y = sqrt{x}$是非奇非偶函数， 因为对于所有的x值，都有$sqrt{-x} neq sqrt{x}$。
平方根的几何性质
平方根与数轴的关系
在数轴上，一个数的平方根表示该数距离原点的距离。例如，4位 于2的右边，因为2是4的平方根。
平方根的除法性质
如果a和b都是正数，那么 $frac{sqrt{a}}{sqrt{b}} = sqrt{frac{a}{b}}$。
平方根的加法性质
如果a和b都是正数，那么 $sqrt{a} + sqrt{b}$不一 定等于$sqrt{a + b}$。
平方根的函数性质
平方根函数的单调性
对于函数$y = sqrt{x}$，当x的值从 负无穷增加到正无穷时，y的值也从负 无穷增加到正无穷，因此该函数是单 调递增的。
平方根的历史背景
平方根的早期发展
在古代文明中，人们已经意识到某些数的平方的值。例如，古埃及人和古巴比 伦人已经知道π和√2的近似值。随着数学的发展，人们对平方根的认识逐渐深 入。
电容
在计算电容时，需要使用平方根来 计算电容器容纳电荷的能力。
在日常生活中的应用
建筑测量
在建筑测量中，需要使用平方根 来计算建筑物的面积和体积。
土地测量
在土地测量中，需要使用平方根 来计算土地的面积和周长。
商业交易
在商业交易中，需要使用平方根 来计算商品的价格和利润。
05
平方根的注意事项
Chapter
平方根函数的奇偶性
平方根函数的值域
函数$y = sqrt{x}$的值域为所有非负 实数。
函数$y = sqrt{x}$是非奇非偶函数， 因为对于所有的x值，都有$sqrt{-x} neq sqrt{x}$。
平方根的几何性质
平方根与数轴的关系
在数轴上，一个数的平方根表示该数距离原点的距离。例如，4位 于2的右边，因为2是4的平方根。
平方根的除法性质
如果a和b都是正数，那么 $frac{sqrt{a}}{sqrt{b}} = sqrt{frac{a}{b}}$。
平方根的加法性质
如果a和b都是正数，那么 $sqrt{a} + sqrt{b}$不一 定等于$sqrt{a + b}$。
平方根的函数性质
平方根函数的单调性
对于函数$y = sqrt{x}$，当x的值从 负无穷增加到正无穷时，y的值也从负 无穷增加到正无穷，因此该函数是单 调递增的。
平方根课件(共24张PPT)八年级上册华师大版数学
思考 平方与开平方有什么关系？
平方与开平方互为逆运算
三 开平方运算
例5 将下列各数开平方：
（1）49；
（2） 4 .
25
解：（1）因为72 =49，所以 49=7，因此49的平方根为 ± 49= 7 .
（2）因为（2）2 = 4 ，所以 4 = 2 ，因此 4 的平方根为
5 25
25 5
25
4 = 2.
特殊：0 的算术平方根是 0. 记作 0=0 .
根指数
根指数为2时， 省略不写
±2 a
根号 被开方数
（a是非负数，a≥0）
例2.下列说法错误的是 ( D ) A. 5 是 25 的算术平方根 B. 0 的平方根与算术平方根都是 0 C. -1 没有平方根 D. 1 的平方根是 1
例3.下列说法正确的是( A ) A. -5 是 25 的平方根 B. 25 的平方根是 -5 C. -5 是 (-5)2 的算术平方根 D. ±5 是 (-5)2 的算术平方根
通过问题2我们发现，正数的平方根应该都有__2__个，而且互为_相__反___数
例1 求 100 的平方根.
解： 因为 102 = 100，(-10)2 = 100， 除了 10 和 -10 以外，任何数的平方都不等于 100， 所以 100 的平方根是 10 和 -10. 也可以说，100 的平方根是 ±10.
3.一个正数 x 的两个平方根是 2a - 3 与 5 - a，则 x 的值是( A )
A. 49
B. 36
C. 64
D. 81
针对训练
1.一个正数 x 的两个平方根是 2a - 3 与 5 - a，则 x 的值是( A )
A. 49
B. 36
平方与开平方互为逆运算
三 开平方运算
例5 将下列各数开平方：
（1）49；
（2） 4 .
25
解：（1）因为72 =49，所以 49=7，因此49的平方根为 ± 49= 7 .
（2）因为（2）2 = 4 ，所以 4 = 2 ，因此 4 的平方根为
5 25
25 5
25
4 = 2.
特殊：0 的算术平方根是 0. 记作 0=0 .
根指数
根指数为2时， 省略不写
±2 a
根号 被开方数
（a是非负数，a≥0）
例2.下列说法错误的是 ( D ) A. 5 是 25 的算术平方根 B. 0 的平方根与算术平方根都是 0 C. -1 没有平方根 D. 1 的平方根是 1
例3.下列说法正确的是( A ) A. -5 是 25 的平方根 B. 25 的平方根是 -5 C. -5 是 (-5)2 的算术平方根 D. ±5 是 (-5)2 的算术平方根
通过问题2我们发现，正数的平方根应该都有__2__个，而且互为_相__反___数
例1 求 100 的平方根.
解： 因为 102 = 100，(-10)2 = 100， 除了 10 和 -10 以外，任何数的平方都不等于 100， 所以 100 的平方根是 10 和 -10. 也可以说，100 的平方根是 ±10.
3.一个正数 x 的两个平方根是 2a - 3 与 5 - a，则 x 的值是( A )
A. 49
B. 36
C. 64
D. 81
针对训练
1.一个正数 x 的两个平方根是 2a - 3 与 5 - a，则 x 的值是( A )
A. 49
B. 36
七级数学下册六实数平方根一新版新人教版PPT课件
．－6
D．－8
课后巩固
23．计算下列各题：
(1)(1 0.09 1 0.25) 100
；(1)23
5
(2) 196 6( 5 4 20
27
(3) 2 1 (2)2 1 9 25
；4
25
(3)7
课后巩固
24．学校小会议室面积为27 m2，小明数了一下地面 所铺的地砖，正好是300块一样大小的正方
(2)∵ 6 ＝
5
，
∴
的算
课堂导学
1. 3
对点训练一 表示3的__算__术__平__方__根_________；
2．5的算术平方根可写成_____5_____；
3．(1)4的算术平方根是____2______；
3
(2)2的算术平方根是2__________；
(3)0的算术平方根是0__________．
核心目标
了解算术平方根的概念，会用根号表示正数的算术 平方根，并了解算术平方根的非负性．
课前预习
1．如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个 正数x叫做a算的术__平__方__根________，记作a______．
2．25的算术平方根是____5____，49的算术平方根是 7________．
课堂导学
知识点：算术的平方根
【例题】求下列各数的算术平方根： (1)0.11215； (2)
25
【解析】尝试哪一个数的平方等于已知数，然后依据
算术平方根的概念进行计算．
【答案】解：(1)∵0.52＝0.25，
方根是0.5 ，＝
∴0.25的算术平
1 11
36
62 ()
36
25 25 5 25
人教版七年级数学下册《平方根》课件ppt
因此1.21的平方根是1.1与-1.1.
即± 1.21=± 1.1 .
三、平方根的数学符号表示 一个非负数的平方根的表示方法：
a 表示a的正的平方根(算术平方根)
a 表示a的负的平方根
记作 a
a﹙a≥0﹚的平方根表示为 a
说一说
7
7
7 各表示什么意义？
表示7的正 的平方根 （即算术平 方根）
121
3. 填空
（1）32= 9 ，（－3）2= 9 ；
（2）
2 3
2
4 9
，
2
2
3
4 9
；
（3）0.82= 0.64 ，（－0.8）2= 0.64 .
思考：反过来，如果已知一个数的平方，怎样求这个数？
问题 如果一个数的平方等于9，这个数是多少？
由于 3 2 =9 ，
所以这个数是3或-3.
判断下列说法是否正确，并说明理由． （1）49的平方根是7； （2）2是4的平方根； （3）-5是25的平方根； （4）64的平方根是±8； （5）-16的平方根是-4．
例1 一个正数的两个平方根分别是2a＋1和a－4，求这个数．
解：由于一个正数的两个平方根是2a＋1和a－4， 则有2a＋1＋a－4＝0，即3a－3＝0， 解得a＝1. 所以这个数为(2a＋1)2＝(2＋1)2＝9.
不正确，是 4. 不正确，是 ±4.
4. 分别求 64，4891 ，6.25的平方根.
解: 64的平方根是8与-8，4891
的平方根是
7 9
与
-
7 9
，6.25的平方根是2.5与-
2.5.
5.求下列各式的值：
（1） 144 （2） 0.81
算术平方根课件
直接开平法
对于形如a^(1/2)的算术平方根， 可以直接开平方得到结果。
迭代法
通过不断逼近的方式求得算术平方 根的值。
算术平方根的运算性质
非负性
有序性
算术平方根的结果总是非负的，即对 于任意实数a，其算术平方根√a≥0。
对于任意两个实数a和b（a≥0，b≥0 ），如果a≥b，那么√a≥√b。
唯一性
进行因式分解或化简。
几何学
在几何学中，算术平方根用于计 算图形的边长、面积和体积等， 例如，求圆的半径、矩形的宽或
长等。
数学分析
在数学分析中，算术平方根用于 研究函数的单调性、极值和积分
等。
算术平方根在物理中的应用
力学
在力学中，算术平方根用于计算速度、加速度和力的关系，例如 ，根据牛顿第二定律计算物体的加速度。
在此添加您的文本16字
题目：计算 $sqrt{25}$。
在此添加您的文本16字
答案：5
在此添加您的文本16字
解析：同样根据算术平方根的定义，$sqrt{25}$ 的解为 5 。
进阶练习题
题目：计算 $sqrt{16}$。
解析：进阶题目需要理解平方根的性质，$sqrt{16}$ 的 解为 4。 答案：9
电磁学
在电磁学中，算术平方根用于计算与电场、磁场相关的物理量，例 如，计算带电粒子的洛伦兹力。
热学
在热学中，算术平方根用于计算热量、温度和压力等物理量的关系 ，例如，计算热容和热传导系数。
算术平方根在日常生活中的应用
1 2 3
建筑学
在建筑学中，算术平方根用于计算建筑物的横梁 、立柱和地基等结构的尺寸和强度。
03
答案
约等于 1.73205（四舍五入到小数点后五位 ）
实数 (平方根)ppt课件
16
解：设长方形纸片的长为3x cm，宽为2x cm ． 根据边长与面积的关系得
3x·2x＝300， 2x2＝300， x2＝50，
x 50 .
因此长方形纸片的长为3 50 cm ． 因为50＞49，所以 50 ＞7．
由上可知3 50 ＞21，即长方形纸片的长应该大于
21 cm ．
因为 400 ＝20，所以正方形纸片的边长只有20cm.
23
再见！
24
所以大正方形的边长是 2 dm.
小正方形的对角线 的长是多少呢？
7
8
9
探究
2 有多大呢？
因为12＝1，22＝4， 所以1＜ 2 ＜2； 因为1.42＝1.96，1.52＝2.25， 所以1.4＜ 2 ＜1.5； 因为1.412＝1.988 1，1.422＝2.016 4， 所以1.41＜ 2 ＜1.42； 因为1.4142＝1.999 396，1.4152＝2.002 225， 所以1.414＜ 2 ＜1.415； ……
即
（2）因为
7
2
49 ，所以
49 7 ； 8 64
49 的算术平方根是
.012＝0.000 1，所以0.000 1的算术平方
根是 0.01，即 0.0001 ＝0.01．
从例１可以看出：被开方数越大，对应的算术平 方根也越大．这个结论对所有正数都成立．
5
探究
计算器
12
例 2 用计算器求下列各式的值：
（1） 3136 ；
（2） 2（精确到0.001）．
解：（1）依次按键 显示：56． ∴ 3136 ＝56．
3 136 ＝ ，
（2）依次按键 2 ＝ ， 显示：1.414 213 562． ∴ 2 ≈1.414．
解：设长方形纸片的长为3x cm，宽为2x cm ． 根据边长与面积的关系得
3x·2x＝300， 2x2＝300， x2＝50，
x 50 .
因此长方形纸片的长为3 50 cm ． 因为50＞49，所以 50 ＞7．
由上可知3 50 ＞21，即长方形纸片的长应该大于
21 cm ．
因为 400 ＝20，所以正方形纸片的边长只有20cm.
23
再见！
24
所以大正方形的边长是 2 dm.
小正方形的对角线 的长是多少呢？
7
8
9
探究
2 有多大呢？
因为12＝1，22＝4， 所以1＜ 2 ＜2； 因为1.42＝1.96，1.52＝2.25， 所以1.4＜ 2 ＜1.5； 因为1.412＝1.988 1，1.422＝2.016 4， 所以1.41＜ 2 ＜1.42； 因为1.4142＝1.999 396，1.4152＝2.002 225， 所以1.414＜ 2 ＜1.415； ……
即
（2）因为
7
2
49 ，所以
49 7 ； 8 64
49 的算术平方根是
.012＝0.000 1，所以0.000 1的算术平方
根是 0.01，即 0.0001 ＝0.01．
从例１可以看出：被开方数越大，对应的算术平 方根也越大．这个结论对所有正数都成立．
5
探究
计算器
12
例 2 用计算器求下列各式的值：
（1） 3136 ；
（2） 2（精确到0.001）．
解：（1）依次按键 显示：56． ∴ 3136 ＝56．
3 136 ＝ ，
（2）依次按键 2 ＝ ， 显示：1.414 213 562． ∴ 2 ≈1.414．
算术平方根课件ppt
负数不存在算术平方根，即当 a 0 时， a 无意义。
如： 6 无意义 ； 8是64的算术平方根或 64 8
（3） 是算术平方根的运算符号
综合训练（一） 细细辨别
(1) - 4
(2) - 4
(4) - （- 4）2 (5) - 42
(3) - - 4
(6)( - 4)2
例1 求下列各数的算术平方根：
④-64的算数平方根是8. ×(
)
2.填空题
①
正数的算术平方根是
正
数，0的算术平方根是 0 ，
算术平方根等于它本身的数是 0和1
② 42的算术平方根是 4
1
③ 1 的算术平方根的相反数的绝对值是 7
49
3.回答下列各数的算术平方根
0.000 001
0.001
2 1 4
3
2
9
3
4.求 1 7 的值
∵52=25
∴正方形画框的边 长为5分米
正方形 1 的面积
9
16
36
4
25
边长 1
3
4
6
2
5
a a2
上面的问题，实 际上是已知一个
正数的平方，
求这个正数的问 题.
一般地，如果一个正数x的平方等于a,
即 x 2 a ,那么这个正数x叫做a的算术平方根。
a的算术平方根记为： a
读作：“根号a”, a叫做被开方数。
判断：
（1）5是25的算术平方根；
对
（2）6-6是 36 的算术平方根； 错
（3）0的算术平方根是0；
对
（4）0.01是0.1的算术平方根； 错
（5）-5是-25的算术平方根。 错
如： 6 无意义 ； 8是64的算术平方根或 64 8
（3） 是算术平方根的运算符号
综合训练（一） 细细辨别
(1) - 4
(2) - 4
(4) - （- 4）2 (5) - 42
(3) - - 4
(6)( - 4)2
例1 求下列各数的算术平方根：
④-64的算数平方根是8. ×(
)
2.填空题
①
正数的算术平方根是
正
数，0的算术平方根是 0 ，
算术平方根等于它本身的数是 0和1
② 42的算术平方根是 4
1
③ 1 的算术平方根的相反数的绝对值是 7
49
3.回答下列各数的算术平方根
0.000 001
0.001
2 1 4
3
2
9
3
4.求 1 7 的值
∵52=25
∴正方形画框的边 长为5分米
正方形 1 的面积
9
16
36
4
25
边长 1
3
4
6
2
5
a a2
上面的问题，实 际上是已知一个
正数的平方，
求这个正数的问 题.
一般地，如果一个正数x的平方等于a,
即 x 2 a ,那么这个正数x叫做a的算术平方根。
a的算术平方根记为： a
读作：“根号a”, a叫做被开方数。
判断：
（1）5是25的算术平方根；
对
（2）6-6是 36 的算术平方根； 错
（3）0的算术平方根是0；
对
（4）0.01是0.1的算术平方根； 错
（5）-5是-25的算术平方根。 错
平方根PPT市公开课一等奖省优质课获奖课件
t 4 2(秒) 答：铁球到达地面需要2秒
第7页
本节课你学习了哪些知识？
1，什么叫算术平方根。 2，什么叫平方根。 3，在什么情况下二次根式有意义。
第8页
1、81算术平方根是 9 ；
81算术平方根是 3 。
2、算术平方根是3数是 3
。
3、（ 9）2算术平方根等于
3。
第9页
4、以下各式中x满足什么条件
第4页
以下各式中哪些有意义？ 哪些无意义？为何？
5, 3, (3)2
答：有意义是
5 32
无意义是
3
第5页
第6页
例2 自由下落物体高度h（米） 与下落时间t(秒)关系为 h=4.9t2.有一铁球从19.6 米 高建筑物上自由下落，抵达 地面需要多长时间 ？
解 : 将h 19.6代入公式h 4.9t 2,得： 19.6 4.9t 2 t2 4
若 3x 有意义，则x（ ≤0 ）
若 2 x 有意义，则x（≤2 ）
若 若
1
2x
x
2
2
有意义，则x（ 全体实数）
x 有意义，则x（ ≤2，≥0）
若 x - 2 2 x 有意义，则x（ =2 ）
第10页
5、若 x 3 4 y2 3z 0，
求 x 2y yz 值
第11页
一个正方形面积变为原来4倍，其 边长变为原来多少倍？
一个正数x平方等于a,即x2=a，这个正数x叫做a 算术平方根
算术平方根符号为： a
我们要求0算术平方根是0，即：
0 0
第2页
以下式子表示什么意思？你能求 出它们值吗？（ Nhomakorabea） 64
（2） 0.81
（3）2 1
第7页
本节课你学习了哪些知识？
1，什么叫算术平方根。 2，什么叫平方根。 3，在什么情况下二次根式有意义。
第8页
1、81算术平方根是 9 ；
81算术平方根是 3 。
2、算术平方根是3数是 3
。
3、（ 9）2算术平方根等于
3。
第9页
4、以下各式中x满足什么条件
第4页
以下各式中哪些有意义？ 哪些无意义？为何？
5, 3, (3)2
答：有意义是
5 32
无意义是
3
第5页
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例2 自由下落物体高度h（米） 与下落时间t(秒)关系为 h=4.9t2.有一铁球从19.6 米 高建筑物上自由下落，抵达 地面需要多长时间 ？
解 : 将h 19.6代入公式h 4.9t 2,得： 19.6 4.9t 2 t2 4
若 3x 有意义，则x（ ≤0 ）
若 2 x 有意义，则x（≤2 ）
若 若
1
2x
x
2
2
有意义，则x（ 全体实数）
x 有意义，则x（ ≤2，≥0）
若 x - 2 2 x 有意义，则x（ =2 ）
第10页
5、若 x 3 4 y2 3z 0，
求 x 2y yz 值
第11页
一个正方形面积变为原来4倍，其 边长变为原来多少倍？
一个正数x平方等于a,即x2=a，这个正数x叫做a 算术平方根
算术平方根符号为： a
我们要求0算术平方根是0，即：
0 0
第2页
以下式子表示什么意思？你能求 出它们值吗？（ Nhomakorabea） 64
（2） 0.81
（3）2 1
平方根ppt课件
81
与 - 79 ，6.25的平方根是2.5与-2.5.
感谢聆听
112=121
122=144
162=256
132=169
172=289
142=196 152=225
182=324 192=361
=
的算术平方根是
=
=3
=
=
=
=
=
=
1
算术平方根——算术平方根的定义
例题1 填空
=
2
①④⑤
1.下列说法正确的是_________
① -3是9的平方根; ②25的平方根是5; ③ -36
的平方根是-6; ④平方根等于0的数是0;
⑤64
的算术平方根是8.
B
2.下列说法不正确的是______
A.0的平方根是0
B. 22 的平方根是2
C.非负数的平方根互为相反数
D.一个正数的算术平方根一定大于这个数的相反数
？
= −
Cc
负数没有算术平方根
1
算术平方根——算术平方根的定义
有
. = .
有
没有
=
=
有
有
=
有
= =
非平方数的算术平方根
只能用根号表示
笔记区
算术平方根判断：
正数的算术平方根为正数
Cc
0的算术平方根是0
负数没有算术平方根
当堂练习
16
（1）已知4 =16，则_______叫做_______的算术平方根，记做_________________.
4
25的算数平方根
与 - 79 ，6.25的平方根是2.5与-2.5.
感谢聆听
112=121
122=144
162=256
132=169
172=289
142=196 152=225
182=324 192=361
=
的算术平方根是
=
=3
=
=
=
=
=
=
1
算术平方根——算术平方根的定义
例题1 填空
=
2
①④⑤
1.下列说法正确的是_________
① -3是9的平方根; ②25的平方根是5; ③ -36
的平方根是-6; ④平方根等于0的数是0;
⑤64
的算术平方根是8.
B
2.下列说法不正确的是______
A.0的平方根是0
B. 22 的平方根是2
C.非负数的平方根互为相反数
D.一个正数的算术平方根一定大于这个数的相反数
？
= −
Cc
负数没有算术平方根
1
算术平方根——算术平方根的定义
有
. = .
有
没有
=
=
有
有
=
有
= =
非平方数的算术平方根
只能用根号表示
笔记区
算术平方根判断：
正数的算术平方根为正数
Cc
0的算术平方根是0
负数没有算术平方根
当堂练习
16
（1）已知4 =16，则_______叫做_______的算术平方根，记做_________________.
4
25的算数平方根
14.1 平方根 - 第1课时课件(共20张PPT)
-3
-
-1
0
1
3
...
x2
...
...
一个正数有两个平方根，它们互为相反数.0只有一个平方根，是0本身.负数没有平方根.
平方根的性质：
归纳：
平方根的表示方法：正数a的正的平方根记作： 读作“根号a”.正数a的负的平方根记作： 读作“负根号a”.正数a的两个平方根记作：
2.某正数的两个不同的平方根是2a－1与－a＋2，则这个数是( )A．1 B．3 C．－3 D．93.7的平方根是________．
Dห้องสมุดไป่ตู้
4.求下列各数的平方根:（1）64；（2）1.21；（3）2
拓展提升
1.若一个数的平方等于5，则这个数等于________．2.
C
3.若3x-2和5x+6是一个正数a的平方根，求这个正数a的值.
新知引入
做一做
定义：
一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根.
一起探究
1.填写下表：2.观察填写后的表格，探究：（1）正数的平方根有几个，它们之间有什么关系？（2）0有平方根吗？如果有，它是什么数？（3）负数有平方根吗？
x
...
归纳小结
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
被开方数
读作：正、负根号a
观察框图，说一说求一个数的平方运算和求一个数的平方根运算具有怎样的关系.
谈一谈
我们把求一个数的平方根的运算，叫做开平方.
对于正数来说，开平方与平方互为逆运算.
例1 求下列各数的平方根：（1）81；（2）；（3）0.04.
例题解析
随堂练习
-
-1
0
1
3
...
x2
...
...
一个正数有两个平方根，它们互为相反数.0只有一个平方根，是0本身.负数没有平方根.
平方根的性质：
归纳：
平方根的表示方法：正数a的正的平方根记作： 读作“根号a”.正数a的负的平方根记作： 读作“负根号a”.正数a的两个平方根记作：
2.某正数的两个不同的平方根是2a－1与－a＋2，则这个数是( )A．1 B．3 C．－3 D．93.7的平方根是________．
Dห้องสมุดไป่ตู้
4.求下列各数的平方根:（1）64；（2）1.21；（3）2
拓展提升
1.若一个数的平方等于5，则这个数等于________．2.
C
3.若3x-2和5x+6是一个正数a的平方根，求这个正数a的值.
新知引入
做一做
定义：
一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根.
一起探究
1.填写下表：2.观察填写后的表格，探究：（1）正数的平方根有几个，它们之间有什么关系？（2）0有平方根吗？如果有，它是什么数？（3）负数有平方根吗？
x
...
归纳小结
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
被开方数
读作：正、负根号a
观察框图，说一说求一个数的平方运算和求一个数的平方根运算具有怎样的关系.
谈一谈
我们把求一个数的平方根的运算，叫做开平方.
对于正数来说，开平方与平方互为逆运算.
例1 求下列各数的平方根：（1）81；（2）；（3）0.04.
例题解析
随堂练习
《算术平方根》课件
06 总结与回顾
本课重点回顾
01
02
03
04
算术平方根的定义：非负实数 的平方根。
平方根的性质：正数有两个平 方根，互为相反数；0的平方 根是0；负数没有实数平方根
。
平方根的表示方法：使用 “√”符号表示，读作“根号
”。
平方根的运算性质：平方根具 有交换律、结合律和分配律。
学习心得分享
掌握了算术平方根的基本概念 和性质，能够正确判断一个数 的平方根。
平方根近似值的实际应用
大数开方
在处理大数时，直接计算其平方 根可能超出计算机的表示范围， 此时需要使用近似值进行计算。
科学计算
在物理、工程、金融等领域中，经 常需要计算平方根，近似值可以满 足实际应用的需求。
数学建模
在数学建模中，平方根的近似值可 以用于解决一些实际问题，如求解 线性方程、优化问题等。
开方运算的性质
开方运算具有非负性，即对于任何实数a，其算术平方根√a都是非负的。此外， 开方运算还具有正值性，即对于任何正实数a，其算术平方根√a都是正的。
开方运算的规则
开方运算的运算法则
在进行开方运算时，需要注意运算法则的运用。首先，对于 任何实数a，都有√(a^2) = |a|。此外，对于任何实数a和b， 都有√(a^2 + b^2) = √(a + b)^2 = |a + b|。
通过实例练习，加深了对平方 根运算的理解和应用。
在学习过程中，遇到了一些困 难，但通过与同学讨论和请教 老师，最终克服了困难。
下一步学习计划
深入学习平方根的性质和应用， 掌握更多关于平方根的运算技巧
。
学习其他与数学相关的内容，如 乘方、开方等，以扩展数学知识
平方根ppt课件
别
取值范
正数的算术平方根
正数的平方根是一
围不同
一定是正数
正一负
感悟新知
知3－讲
续表：
算术平方根
具有包
联 含关系
平方根
平方根包含算术平方根，算术平方根是
平方根中正的那个(0除外)
系 存在条 平方根和算术平方根都只有非负数才有，
件相同
0的平方根与算术平方根都是0
感悟新知
知3－讲
特别提醒
1. 任何一个数的平方都是非负数，所以求算术平方根时，被开
C. ±6是36的平方根： ＝±6
D. －2是4的负的平方根： ＝－2
感悟新知
知3－练
6-2. 求下列各式的值：
(1) ；
(2)－
；
解： 1 600＝40.
－
14
2 ＝－
25
(3)± (－)；± (－2)2＝±2.
(4) . .
0.003 6＝0.06.
解：因为152＝225，所以225的算术平方根是15.
(2)72；
72的算术平方根是7.
感悟新知
知3－练
(3)(－6)2；
解：因为(－6)2＝36＝62，所以(－6)2的算术平方根是6.
(4) .
因为 16＝4＝22，所以 16的算术平方根是 2.
感悟新知
知3－练
例 5 已知a的算方：根据平方根的性质，找出两个平方根
之间的关系列方程求值.
感悟新知
知2－练
(1)一个正数的两个平方根分别是3a－5 和a－3，则这个正
数是多少？
解：根据题意，得(3a－5)＋(a－3)＝0，
解得a＝2，所以这个正数为(3a－5)2＝(3×2－5)2＝1.
《平方根》课件ppt
总结词
掌握平方根加减运算法则
详细描述
介绍平方根的加减运算规则，例如，对同一个平方根的加减运算，可以将这个平 方根放在括号外面，然后进行加减运算，而对于不同的平方根的加减运算，则需 要分别将每个平方根放在括号外面，再进行加减运算。
平方根的乘除运算
总结词
掌握平方根乘除运算法则
详细描述
介绍平方根的乘除运算规则。例如。对于乘法运算。可 以将两个平方根相乘。即 $(a \times b) \sqrt{c} \times \sqrt{d} = (a \times b \times c \times d) \sqrt{c \times d}$ 。而对于除法运算。可以将除数的 平方根放在分母上。再将分子分母同时乘以这个除数的 平方根
主讲教师
具有丰富的教学经验和专业的背景，能够准确把握学生的学 习特点和需求，擅长运用多种教学方法和手段，深受学生喜 爱。
辅导教师
具有高度的责任心和敬业精神，能够及时解决学生在学习中 遇到的问题，帮助学生更好地掌握知识和技能。
02
平方根的概念及性质
平方根的引入
介绍生活中的例子，如求解正方形的面积，从而引出平方根的概念。 引出平方根的符号“√”和读法“平方根”。
利用平方根理解算数平方根和平方根的关系
算术平方根的概念
非负数的平方根叫算术平方根。
平方根和算术平方根的关系
平方根和算术平方根是互为相反数的关系，即正数的平方根有两个，而算术 平方根只有一个。
05
课程总结与展望
本课程学习内容总结
平方根的概念和性质 平方根的应用举例
平方根的运算规则 平方根与算术平方根的区别
学习方法总结
注重数学思想的渗透
对比学习法——平方根与立方根 的对比
掌握平方根加减运算法则
详细描述
介绍平方根的加减运算规则，例如，对同一个平方根的加减运算，可以将这个平 方根放在括号外面，然后进行加减运算，而对于不同的平方根的加减运算，则需 要分别将每个平方根放在括号外面，再进行加减运算。
平方根的乘除运算
总结词
掌握平方根乘除运算法则
详细描述
介绍平方根的乘除运算规则。例如。对于乘法运算。可 以将两个平方根相乘。即 $(a \times b) \sqrt{c} \times \sqrt{d} = (a \times b \times c \times d) \sqrt{c \times d}$ 。而对于除法运算。可以将除数的 平方根放在分母上。再将分子分母同时乘以这个除数的 平方根
主讲教师
具有丰富的教学经验和专业的背景，能够准确把握学生的学 习特点和需求，擅长运用多种教学方法和手段，深受学生喜 爱。
辅导教师
具有高度的责任心和敬业精神，能够及时解决学生在学习中 遇到的问题，帮助学生更好地掌握知识和技能。
02
平方根的概念及性质
平方根的引入
介绍生活中的例子，如求解正方形的面积，从而引出平方根的概念。 引出平方根的符号“√”和读法“平方根”。
利用平方根理解算数平方根和平方根的关系
算术平方根的概念
非负数的平方根叫算术平方根。
平方根和算术平方根的关系
平方根和算术平方根是互为相反数的关系，即正数的平方根有两个，而算术 平方根只有一个。
05
课程总结与展望
本课程学习内容总结
平方根的概念和性质 平方根的应用举例
平方根的运算规则 平方根与算术平方根的区别
学习方法总结
注重数学思想的渗透
对比学习法——平方根与立方根 的对比
11.算数平方根PPT课件(华师大版)
归纳
算术平方根具有双重非负性，被开方数是非 负数，它的算术平方根也是非负数．
1 (2015·滨州)数5的算术平方根为( ) A. 5 B．25 C．±25 D．± 5
2 下列说法错误的是( ) A. 3 表示3的平方根 B. 3 表示3的算术平方根 C. 3 表示3的正平方根 D．± 3表示3的平方根
总结
(1) 求一个数的算术平方根时，第一要弄清是求哪个 数的算术平方根，分清求 81 与81的算术平方根 的不同意义，不要被表面现象迷惑．
(2) 求一个非负数的算术平方根常借助于平方运算， 因此熟记常用平方数对求一个数的算术平方根十 分有用．
1 (中考·日照) 4 的算术平方根是( )
A．2
B．±2
1 设a－2是一个数的算术平方根，那么( )
A．a≥0
B．a＞0
C．a＞2
D．a≥2
2 下列算式有意义的是( )
A. 5
B．
2
5
C． 52
D. 52
平方根与算数平方根的区分
名称关系
算术平方根
平方根
定义不同 区
别 个数不同
表示方 法不同 取值范 围不同
正数a的正的平方根， 叫做a的算术平方根
一个正数的算术平 方根只有一个
(2)2 1
4
因为
3 2
2
＝
9 4
＝2
1 4
，所以2
1 4
的算术平方根是
Байду номын сангаас
3 2
.
(3)0.36 因为0.62＝0.36，所以0.36的算术平方根是0.6.
(4) 412-402 . 因为 412-402 81, 又因为92＝81， 所以 81＝9，而32＝9，所以 412-402 的算术平方根是3.
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问题：学校要举行美术作品
比赛，小鸥很高兴，他想裁出 一块面积为25dm2的正方形画布， 画上自己的得意之作参加比赛， 这块正方形画布的边长应取多 少？
一般地，如果一个正数x的平方等于
a,即 x 2 =a,那么这个正数x叫做a的
算术平方根。a的算术平方根记为 a ， 读作“根号a”，a叫做被开方数。
即 ：x2 a（x 0） ， x叫 做a的算 术平 方根 ，
记作 ：x a
特殊：0的算术平方根是0。记 作 ： 0 0
例1 求下列各数的算术平方根：
（1）100 （2）6449
（3）0.0001
解：（1）因为 10 2 =100，所以100的算术平方根为10，
即 100 =10。
2
2
（2）因为 7 = 49 ，所以 49 的算术平方根是
（ 1）0.002 5 （ 2）1.12 （ 3）0.0001 （ 4）（2.6）2 （ 5）61
4
探究 a
1. a表示a的算术平方根。
2.双 重 非 负a性 0；： a0；
也就是说，非负数的“算术”平方根是非负数。
负数不存在算术平方根，即当 a0时， a 无意义。
3. 是算术平x，则
x 2 =2.
由算术平方根的意义可知
小正方形 的对角线 的长是多 少呢？
x= 2
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
你知道 2 有多大吗?
1 222 2 21.4142 1
1 22 无限不循环小数
逼 1 .4 2 2 1 .5 2 近 法 1.4 21.5
8 64
64
7
8 ，即
49 64
7
=8
（3）因为 0.012 =0.0001,所以0.0001的算术平方
根为0.01,即 0.0001 =0.01。
例2： 求 下 列 各 数 的 算方术根平， （1）121 （2）32 （3）81 （4） （25）2 （5）2 1
4
练习：求下列各术 数平 的方 算根，
你能根据等式：12 2 =144说出 144的算术平方根是多少吗？ 并用等式表示出来。
下列式子表示什么意思？你 能求出它们的值吗？
25
0.81
0
判断： （1）5是25的算术平方根； （2）-6是 36 的算术平方根； （3）0的算术平方根是0； （4）0.01是0.1的算术平方根； （5）-5是-25的算术平方根。
例3： 求 下 列 各 式 的 值 ，
（1）1 （2） 9 （3）22 （4）36 25
（5）62 82 （6）61 （7）（7）2 4
探究： 怎样用两个面积为1的小正方形拼
成一个面积为2的大正方形？
如图，把两个小正方形沿对角线剪开，
将所得的4个直角三角形拼在一起，就
得到一个面积为2的大正方形。你知道
思考：
1.下列各式哪些有意义，哪些没
有意义？
（1）- 4
（3） 32
（2） 4
（4）
2
3
作业: 书本p167 1，2
课后思考题：
试用“逼近法”确定 的3大小？
1 .42 1 2 1 .422
1.4 1 21.42
1 .42 1 2 4 1 .42 1 5
1.41421.415
补充练习：
1.81的算术平方根 是 ； 81的算术平方根 是 。
2.算术平方9的 根数 是 是 。
3. 36的算术平方根 是 。
4. （3）2的算术平方根 等 于 。
比赛，小鸥很高兴，他想裁出 一块面积为25dm2的正方形画布， 画上自己的得意之作参加比赛， 这块正方形画布的边长应取多 少？
一般地，如果一个正数x的平方等于
a,即 x 2 =a,那么这个正数x叫做a的
算术平方根。a的算术平方根记为 a ， 读作“根号a”，a叫做被开方数。
即 ：x2 a（x 0） ， x叫 做a的算 术平 方根 ，
记作 ：x a
特殊：0的算术平方根是0。记 作 ： 0 0
例1 求下列各数的算术平方根：
（1）100 （2）6449
（3）0.0001
解：（1）因为 10 2 =100，所以100的算术平方根为10，
即 100 =10。
2
2
（2）因为 7 = 49 ，所以 49 的算术平方根是
（ 1）0.002 5 （ 2）1.12 （ 3）0.0001 （ 4）（2.6）2 （ 5）61
4
探究 a
1. a表示a的算术平方根。
2.双 重 非 负a性 0；： a0；
也就是说，非负数的“算术”平方根是非负数。
负数不存在算术平方根，即当 a0时， a 无意义。
3. 是算术平x，则
x 2 =2.
由算术平方根的意义可知
小正方形 的对角线 的长是多 少呢？
x= 2
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
你知道 2 有多大吗?
1 222 2 21.4142 1
1 22 无限不循环小数
逼 1 .4 2 2 1 .5 2 近 法 1.4 21.5
8 64
64
7
8 ，即
49 64
7
=8
（3）因为 0.012 =0.0001,所以0.0001的算术平方
根为0.01,即 0.0001 =0.01。
例2： 求 下 列 各 数 的 算方术根平， （1）121 （2）32 （3）81 （4） （25）2 （5）2 1
4
练习：求下列各术 数平 的方 算根，
你能根据等式：12 2 =144说出 144的算术平方根是多少吗？ 并用等式表示出来。
下列式子表示什么意思？你 能求出它们的值吗？
25
0.81
0
判断： （1）5是25的算术平方根； （2）-6是 36 的算术平方根； （3）0的算术平方根是0； （4）0.01是0.1的算术平方根； （5）-5是-25的算术平方根。
例3： 求 下 列 各 式 的 值 ，
（1）1 （2） 9 （3）22 （4）36 25
（5）62 82 （6）61 （7）（7）2 4
探究： 怎样用两个面积为1的小正方形拼
成一个面积为2的大正方形？
如图，把两个小正方形沿对角线剪开，
将所得的4个直角三角形拼在一起，就
得到一个面积为2的大正方形。你知道
思考：
1.下列各式哪些有意义，哪些没
有意义？
（1）- 4
（3） 32
（2） 4
（4）
2
3
作业: 书本p167 1，2
课后思考题：
试用“逼近法”确定 的3大小？
1 .42 1 2 1 .422
1.4 1 21.42
1 .42 1 2 4 1 .42 1 5
1.41421.415
补充练习：
1.81的算术平方根 是 ； 81的算术平方根 是 。
2.算术平方9的 根数 是 是 。
3. 36的算术平方根 是 。
4. （3）2的算术平方根 等 于 。