第八讲 复数项级数

证 明 思 路
如果 成立。
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收敛，则
也收敛，且不等
实级数
及 从而由定理二可得，
收敛 收敛 或
定义 如果
收敛，则称级数
绝对收敛。
非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数。
因此,
绝对收敛的充要条件是
和
绝对收敛。
定理一 复数列
收敛于 α
定理二 级数
收敛
级数
和
都收敛。
定理三
如果 成立。
收敛，则
也收敛，且不等式
例 下列数列是否收敛? 如果收敛, 求出其极限。
5
[解] 1) 因
，故
而 所以数列 2) 由于
收敛，且有
因此,
当 n 时, n 。所以 n 发散。
2. 级数概念
设
为一复数列, 表达式
称为无穷级数, 其前n项和 称为级数的部分和。 如果部分和数列{sn}收敛, 则称级数 且极限 收敛， 不
[解] 1)
2) 3)
定理一 复数列
收敛于 α
定理二 级数
收敛
级数
和
都收敛。
定理三
如果 成立。
收敛，则
也收敛，且不等式
注
绝对收敛的充要条件是
和
绝对收敛。
复数项级数
收敛的必 要条件是
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下节提问问题：
判断下列级数的敛散性
假设α=a+ib为一确定的复数。若 0, N N ( ) Z，使当n N 时， n } n时的极限, 记作 则α称为复数列 { n当 lim n
此时也称复数列{ n } 收敛于α。
n
定理一
复数列
收敛于 α 的
充要条件是
证 明 思 路
提问问题：
1、写出柯西积分公式. 2、写出高阶导数公式.
3、求 I
f ( z)dz 型积分的步骤：
被积函数在闭曲线及其内部解析？ 被积函数在闭曲线上解析，在闭曲线内有奇点？
第四章 级数
§1 复数项级数 §2 幂级数 §3 泰勒级数 §4 洛朗级数
1. 复数列的极限
设 {n }(n 1,2, ) 为一复数列, 其中αn=an+ibn , 又
注
绝对收敛的充要条件是
和
绝对收敛。
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例 下列级数是否收敛? 是否绝对收敛?
[解] 1)
发散。
发散；
收敛, 故原级数
2) 因
, 由
收敛知，原级数收敛，
且绝对收敛。 3) 因 又由于 收敛； 也收敛,故原级数收敛。
为条件收敛, 所以原级数非
绝对收敛，即原级数条件收敛。
例 下列级数是否收敛? 是否绝对收敛?
称为级数的和。如果数列 发散。
收敛，则称级数
定理二 级数 和
证 明 思 路
收敛的充要条件是级数
都收敛。
由定理一, {sn}有极限存在的充要条件是{ An}和 { Bn}的极限存在, 即级数 和 都收敛。
注 由实数项级数
和 和
收敛的必要条件
可得
要条件是
，从而复数项级数
收敛的必
判断级数发散
定理三
式