【新整理】三角形“四心”向量形式地结论及证明(附练习问题详解)

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高考专题:平面向量中的三角形“四心”问题题型总结

高考专题:平面向量中的三角形“四心”问题题型总结

专题:平面对量中三角形“四心”问题题型总结在三角形中,“四心”是一组特别的点,它们的向量表达形式具有很多重要的性质,在近年高考试题中,总会出现一些新奇新颖的问题,不仅考查了向量等学问点,而且培育了考生分析问题、解决问题的实力.现就“四心”作如下介绍:1.“四心”的概念与性质(1)重心:三角形三条中线的交点叫重心.它到三角形顶点距离与该点到对边中点距离之比为2∶1.在向量表达形式中,设点G 是△ABC 所在平面内的一点,则当点G 是△ABC 的重心时,有GA+GB +GC =0或PG =13(PA +PB +PC )(其中P 为平面内随意一点).反之,若GA +GB +GC =0,则点G 是△ABC 的重心.在向量的坐标表示中,若G ,A ,B ,C 分别是三角形的重心和三个顶点,且分别为G (x ,y ),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),C (x 3,y 3),则有x =x 1+x 2+x 33,y =y 1+y 2+y 33.(2)垂心:三角形三条高线的交点叫垂心.它与顶点的连线垂直于对边.在向量表达形式中,若H 是△ABC 的垂心,则HA ·HB =HB ·HC =HC ·HA 或HA 2+BC 2=HB 2+CA 2=HC 2+AB 2.反之,若HA ·HB =HB ·HC =HC ·HA ,则H 是△ABC 的垂心. (3)内心:三角形三条内角平分线的交点叫内心.内心就是三角形内切圆的圆心,它到三角形三边的距离相等.在向量表达形式中,若点I 是△ABC 的内心,则有|BC |·IA +|CA |·IB +|AB |·IC =0.反之,若|BC |·IA +|CA |·IB +|AB |·IC =0,则点I 是△ABC 的内心.(4)外心:三角形三条边的中垂线的交点叫外心.外心就是三角形外接圆的圆心,它到三角形的三个顶点的距离相等.在向量表达形式中,若点O 是△ABC 的外心,则(OA +OB )·BA =(OB +OC )·CB =(OC +OA )·AC =0或|OA |=|OB |=|OC |.反之,若|OA |=|OB |=|OC |,则点O 是△ABC 的外心.2.关于“四心”的典型例题[例1] 已知O 是平面上的肯定点,A ,B ,C 是平面上不共线的三个动点,若动点P 满意OP =OA +λ(AB +AC ),λ∈(0,+∞),则点P 的轨迹肯定通过△ABC 的________心.[解析] 由原等式,得OP -OA =λ(AB +AC ),即AP =λ(AB +AC ),依据平行四边形法则,知AB +AC 是△ABC 的中线所对应向量的2倍,所以点P 的轨迹必过△ABC 的重心.[答案] 重[点评] 探求动点轨迹经过某点,只要确定其轨迹与三角形中的哪些特别线段所在直线重合,这可从已知等式动身,利用向量的线性运算法则进行运算得之.[例2] 已知△ABC 内一点O 满意关系OA +2OB +3OC =0,试求S △BOC ∶S △COA ∶S △AOB 之值.[解] 延长OB 至B 1,使BB 1=OB ,延长OC 至C 1,使CC 1=2OC ,连接AB 1,AC 1,B 1C 1,如图所示,则1OB =2OB ,1OC =3OC ,由条件,得OA +1OB +1OC =0,所以点O 是△AB 1C 1的重心.从而S △B 1OC 1=S △C 1OA =S △AOB 1=13S ,其中S 表示△AB 1C 1的面积, 所以S △COA =19S ,S △AOB =16S ,S △BOC =12S △B 1OC =12×13S △B 1OC 1=118S . 于是S △BOC ∶S △COA ∶S △AOB =118∶19∶16=1∶2∶3. [点评] 本题条件OA +2OB +3OC =0与三角形的重心性质GA +GB +GC =0非常类似,因此我们通过添加协助线,构造一个三角形,使点O 成为协助三角形的重心,而三角形的重心与顶点的连线将三角形的面积三等分,从而可求三部分的面积比.[引申推广] 已知△ABC 内一点O 满意关系λ1OA +λ2OB +λ3OC =0,则S △BOC ∶S △COA ∶S △AOB =λ1∶λ2∶λ3.[例3] 求证:△ABC 的垂心H 、重心G 、外心O 三点共线,且|HG |=2|GO |.[证明] 对于△ABC 的重心G ,易知OG =OA +OB +OC 2,对于△ABC 的垂心H ,设OH =m (OA +OB +OC ),则 AH =AO +m (OA +OB +OC )=(m -1) OA +m OB +m OC .由AH ·BC =0,得[(m -1) OA +m OB +m OC ](OC -OB )=0,(m -1) OA ·(OC -OB )+m (OC 2-OB 2)=0, 因为|OC |=|OB |,所以(m -1) OA ·(OC -OB )=0.但OA 与BC 不肯定垂直,所以只有当m =1时,上式恒成立.所以OH =OA +OB +OC ,从而OG =13OH ,得垂心H 、重心G 、外心O 三点共线,且|HG |=2|GO |.[引申推广]重心G 与垂心H 的关系:HG =13(HA +HB +HC ). [点评] 这是闻名的欧拉线,提示了三角形的“四心”之间的关系.我们选择恰当的基底向量来表示它们,当然最佳的向量是含顶点A 、B 、C 的向量.[例4] 设A 1,A 2,A 3,A 4,A 5 是平面内给定的5个不同点,则使1MA +2MA +3MA +4MA +5MA =0成立的点M 的个数为( )A .0B .1C .5D .10[解析] 依据三角形中的“四心”学问,可知在△ABC 中满意MA +MB +MC =0的点只有重心一点,利用类比的数学思想,可知满意本题条件的点也只有1个.[答案] B[点评] 本题以向量为载体,考查了类比与化归,归纳与猜想等数学思想.本题的具体解答过程如下:对于空间两点A,B来说,满意MA+MB=0的点M是线段AB的中点;对于空间三点A,B,C来说,满意MA+MB+MC=0,可认为是先取AB的中点G,再连接CG,在CG上取点M,使MC=2MG,则M满意条件,且唯一;对于空间四点A,B,C,D来说,满意MA+MB+MC +MD=0,可先取△ABC的重心G,再连接GD,在GD上取点M,使DM=3MG,则M满意条件,且唯一,不妨也称为重心G;与此类似,对于空间五点A,B,C,D,E来说,满意MA+MB+MC +MD+ME=0,可先取空间四边形ABCD的重心G,再连接GE,在GE上取点M,使EM=4MG,则M满意条件,且唯一.。

平面向量痛点问题之三角形“四心”问题(四大题型)(课件)高一数学新教材(人教A版2019必修第二册)

平面向量痛点问题之三角形“四心”问题(四大题型)(课件)高一数学新教材(人教A版2019必修第二册)

5
又 = 12 + 2 = 3,∴ = 9 ,
1
2
5
9
5
9
∵ = + = + ,∴ = = +
5
5
5
∴ + = 9 + 18 = 6.
5
,∴
18
5
5
= , = 18,
9
典型例题
题型三:外心定理
【典例3-1】(2024·吉林长春·高一东北师大附中校考阶段练习)已知点 O是△ABC的外心,AB=4,AC
2
1
则 × 4 × = × 6 × 4 × 2 + 16 ,得3 + 4 = 2②,
4
1
4
1
11
①②联立解得 = 9, = 6,所以 + = 9 + 6 = 18.故选:C.
典型例题
题型三:外心定理
【变式3-1】(2024·四川成都·高一成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考阶段练习)已知点 O是△ABC


+ ��
sin


= || ( + ) = 2|| ,
所以点在三角形的中线 上,则动点P的轨迹一定经过△ 的重心.故选:D.
典型例题
题型二:内心定理
【典例2-1】(2024·高一课时练习)已知点O是边长为 6的等边△ABC的内心,
则 + ⋅ + =
1

2
1
1
1
+ 3 ⋅ = 2 ⋅ + 3 2 = 30;
所以 2 = 45,由 = 30 2可得 = 2 10,即2 = 40;

三角形四心与向量问题

三角形四心与向量问题

三角形四心与向量的结合知识点一、四心的概念介绍(1)重心——中线的交点:重心将中线长度分成2:1; (2)垂心——高线的交点:高线与对应边垂直; (3)内心——角平分线的交点(内切圆的圆心):角平分线上的任意点到角两边的距离相等; (4)外心——中垂线的交点(外接圆的圆心):外心到三角形各顶点的距离相等。

二、四心与向量的结合(1)⇔=++0OC OB OA O 是ABC ∆的重心.证:如图 ++2=+= ∴2=∴D O A 、、三点共线,且O 分AD为2:1∴O 是ABC ∆的重心(2)⇔⋅=⋅=⋅O 为ABC ∆的垂心.证明:如图所示O 是三角形ABC 的垂心,BE 垂直AC ,AD 垂直BC , D 、E 是垂足.0)(=⋅=-⇔⋅=⋅ ⊥⇔同理⊥,⊥⇔O 为ABC ∆的垂心(3)设a ,b ,c 是三角形的三条边长,O 是∆ABC 的内心O OC c OB b OA a ⇔=++0为ABC ∆的内心. 证明:b c 、分别为AC AB 、方向上的单位向量, ∴bACc AB +平分BAC ∠, (λ=∴AO bc +),令c b a bc ++=λ ∴c b a bc ++=(bACc AB +) 化简得0)(=++++AC c AB b OA c b a∴0=++OC c OB bOA a(4==⇔O 为ABC ∆的外心。

B CDBCD一、与三角形“四心”相关的向量问题例1: O 是平面上一定点,C B A 、、是平面上不共线的三个点,动点P满足++=λ,[)+∞∈,0λ ,则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的( )A .外心B .内心C .重心D .垂心例2:O 是平面上一定点,C B A 、、是平面上不共线的三个点,动点P 满足)(++=λ,[)+∞∈,0λ ,则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的( )A .外心B .内心C .重心D .垂心例3:已知O 是平面上的一定点,A 、B 、C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足()||sin ||sin AB ACOP OA AB B AC C λ=++,[0,)λ∈+∞, 则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A. 重心B. 垂心C. 外心D. 内心例4:O 是平面上一定点,C B A 、、是平面上不共线的三个点,动点P满足+=λ,[)+∞∈,0λ ,则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的( )A .外心B .内心C .重心D .垂心例5:已知O 是平面上的一定点,A 、B 、C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足()2||cos ||cos OB OC AB ACOP AB B AC C λ+=++ , [0,)λ∈+∞, 则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A. 重心B. 垂心C. 外心D. 内心例6:三个不共线的向量,,OA OB OC 满足()||||AB CAOA AB CA ⋅+ =(||BA OB BA ⋅ +||CB CB) =()||||BC CA OC BC CA ⋅+= 0,则O 点是△ABC 的( )A. 垂心B. 重心C. 内心D. 外心例7:已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点,O 为△ABC 的外心,动点P 满足1[(1)(1)(12)]3OP OA OB OC λλλ=-+-++(,0)R λλ∈≠,则P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A. 内心B. 垂心C. 重心D. AB 边的中点例8:已知O 是△ABC 所在平面上的一点,若OA OB OC ++= 0, 则O 点是△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心例9:已知O 是△ABC 所在平面上的一点,若1()3PO PA PB PC =++(其中P为平面上任意一点), 则O 点是△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心例10:已知O 是△ABC 所在平面上的一点,若OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅,则O 点是△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心例11:已知O 为△ABC 所在平面内一点,满足2222||||||||OA BC OB CA +=+ =22||||OC AB + ,则O 点是△ABC 的( ) A. 垂心 B. 重心 C. 内心 D. 外心例12:已知O 是△ABC 所在平面上的一点,若()OA OB AB +⋅ =()OB OC BC +⋅ =()OC OA CA +⋅= 0,则O 点是△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心例13:已知O 是△ABC 所在平面上的一点,若aOA bOB cOC ++= 0,则O 点是△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心例14:已知O 是△ABC 所在平面上的一点,若aPA bPB cPCPO a b c ++=++(其中P 是△ABC 所在平面内任意一点),则O 点是△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心二、向量的基本关系(共线、垂直、夹角)例15:在△ABC 中,已知D 是AB 边上一点,若2AD DB = ,13CD CA CB λ=+,则λ=( A )A.23B.13C.13-D.23-例16:如图,在△ABC 中,点O 是BC 的 中点,过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同 的两点M 、N ,若AB mAM = ,AC nAN =,则m + n =______.例17:如图,已知点G 是△ABC 的重心,若PQ 过△ABC 的重心,记CA = a ,CB = b , CP = m a , CQ = n b , 则11m n+=__________.AB C MONEGABCMP Q答案例1.分析:分别为方向上的单位向量,∴+平分BAC ∠,∴点P 的轨迹一定通过ABC ∆的内心,即选B .例2.分析:如图所示ABC ∆,E D 、分别为边AC BC 、的中点.AD AC AB 2=+∴λ2+= += λ2=∴ AP ∴//AD∴点P 的轨迹一定通过ABC ∆的重心,即选C .例3.由已知得()||sin ||sin AB ACAP AB B AC Cλ=+, 由正弦定理知||sin ||sin AB B AC C = ,∴()||sin AP AB AC AB Bλ=+ , 设BC 的中点为D ,则由平行四边形法则可知点P 在BC 的中线AD 所在的射线上,所以动点P 的轨迹一定通过△ABC 的重心,故选A .例4.分析:如图所示AD 垂直BC ,BE 垂直AC , D 、E 是垂足.+BC ⋅++BCDC==0∴点P 的轨迹一定通过ABC ∆的垂心,即选D .例5.设BC 的中点为D ,则2OB OC OD +=,则由已知得()||cos ||cos AB ACDP AB B AC C λ=+, ∴()||cos ||cos AB BC AC BCDP BC AB B AC Cλ⋅⋅⋅=+⋅=||||cos()||||cos ()||cos ||cos AB BC B AC BC CAB B AC C πλ⋅-⋅+=(||||)BC BC λ-+ = 0 .∴DP ⊥BC ,P 点在BC 的垂直平分线上,故动点P 的轨迹通过△ABC 的外心.选C .例 6.||||AB CA AB CA +表示与△ABC 中∠A 的外角平分线共线的向量,由()||||AB CAOA AB CA ⋅+= 0知OA 垂直∠A 的外角平分线,因而OA 是∠A 的平分线,同理,OB 和OC 分别是∠B 和∠C 的平分线,故选C .例7.CP OP OC =- =1[(1)(1)2(1)]3OA OB OC λλλ-+---=1[()()]3OA OC OB OC λ--+-=1()3CA CB λ-+ , 由平行四边形法则知CA CB +必过AB 边的中点,注意到0λ≠,所以P 的轨迹在AB 边的中线上,但不与重心重合,故选D.例8.若OA OB OC ++ = 0, 则OA OB OC +=- ,以OA 、OB为邻边作平行四边形OAC 1B ,设OC 1与AB 交于点D ,则D 为AB 的中点,有1OA OB OC +=,得1OC OC =-,即C 、O 、D 、C 1四点共线,同理AE 、BF 亦为△ABC 的中线,所以O 是△ABC 的重心. 选C .例9.由已知得3PO OA OP OB OP OC OP =-+-+-,∴33PO OP OA OB OC +=++ ,即OA OB OC ++= 0,由上题的结论知O 点是△ABC 的重心. 故选C .例10.由OA OB OB OC ⋅=⋅ ,则0OA OB OB OC ⋅-⋅= ,即()0OB OA OC ⋅-=,得0OB CA ⋅= ,所以OB CA ⊥ . 同理可证OC AB ⊥ ,OA BC ⊥ . ∴O 是△ABC 的垂心. 选D.例11.由已知得2222||||||||OA OB CA BC -=-⇒()()OA OB OA OB -⋅+ =(CA - )()BC CA BC ⋅+⇒()BA OA OB ⋅+ =()CA CB BA +⋅⇒()BA OA OB AC BC ⋅+++ = 0⇒2BA OC ⋅ = 0,∴OC ⊥BA.同理OA CB ⊥ ,OB AC ⊥. 故选A .例12.由已知得: ()()OA OB OB OA +⋅- =()()OB OC OC OB +⋅- =()()OC OA OA OC +⋅- = 02222OB OA OC OB ⇔-=- =22OA OC - = 0||||||OA OB OC ⇔==. 所以O 点是△ABC 的外心. 选A .例13 ∵OB OA AB =+ ,OC OA AC =+ ,则()a b c OA bAB cAC ++++= 0,得()||||bc AB AC AO a b c AB AC =+++. 因为||AB AB 与||ACAC分别为AB 和AC 方向上的单位向量,设||||AB ACAP AB AC =+,则AP 平分∠BAC. 又AO 、AP 共线,知AO 平分∠BAC. 同理可证BO 平分∠ABC ,CO 平分∠ACB ,所以O 点是△ABC 的内心.例14 由已知得bPB cPC cPA bPA PO PA a b c +--=+++ =bAB cACPA a b c++++,∴bAB cAC AO a b c +=++ =()bc AB AC a b c c b +++ =()||||bc AB ACa b c AB AC +++, 由上题结论知O 点是△ABC 的内心. 故选B.例16 解1:取特殊位置. 设M 与B 重合,N 与C重合,则m=n=1, 所以m+n=2.解2:1122AO AB AC =+ =22m n AM AN + ,∵M 、O 、N 三点共线,∴122m n +=,∴m + n = 2.解3:过点B 作BE ∥AC, 则(1)BE NC n AN ==- ,(1)BM m AM =-.又||||||||BE BM AN AM =,∴1– m = n –1, ∴m + n = 2 .例17 23CG CM = =13a +13b =1133CP CQ m n+, ∵P 、G 、Q 三点共线,∴11133m n +=,∴11m n+= 3 .。

【新整理】三角形“四心”向量形式的结论及证明(附练习答案)[1]2

【新整理】三角形“四心”向量形式的结论及证明(附练习答案)[1]2

三角形“四心”向量形式的充要条件应用在学习了《平面向量》一章的基础内容之后,学生们通过课堂例题以及课后习题陆续接触了有关三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件。

现归纳总结如下:一. 知识点总结 1)O 是ABC ∆的重心⇔0OC OB OA =++;若O 是ABC ∆的重心,则ABC AOB AOC BOC S 31S S S ∆∆∆∆===故0OC OB OA =++;1()3PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心. 2)O 是ABC ∆的垂心⇔OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅;若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心,则C tan B tan A tan S S S A OB A OC BOC ::::=∆∆∆ 故0OC C tan OB B tan OA A tan =++3)O 是ABC ∆的外心⇔|OC ||OB ||OA |==(或222OC OB OA ==)若O 是ABC ∆的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOCsin S S S A OB A OC BOC =∠∠∠=∆∆∆:::: 故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++4)O 是内心ABC ∆的充要条件是)|CB |CB |CA |CA (OC )|BC |BC |BA |BA (OB )ACAC |AB |AB (OA =-⋅=-⋅=-⋅引进单位向量,使条件变得更简洁。

如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ,则刚才O 是ABC ∆内心的充要条件可以写成:0)e e (O C )e e (O B )e e (O A 322131=+⋅=+⋅=+⋅O 是ABC ∆内心的充要条件也可以是0OC c OB b OA a =++ 若O 是ABC ∆的内心,则c b a S S S A OB A OC BOC ::::=∆∆∆故 0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或; ||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔ABC ∆的内心;向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线);二. 范例(一).将平面向量与三角形内心结合考查例1.O 是平面上的一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足)(ACAC ABAB OA OP ++=λ,[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的( )(A )外心(B )内心(C )重心(D )垂心ACB1e 2e PBCHA图6解析:因为ABAB 是向量AB 的单位向量设AB 与AC方向上的单位向量分别为21e e 和, 又AP OA OP =-,则原式可化为)(21e e AP +=λ,由菱形的基本性质知AP 平分BAC ∠,那么在ABC ∆中,AP 平分BAC ∠,则知选B.(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2. H 是△ABC 所在平面内任一点,HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅⇔点H 是△ABC 的垂心. 由AC HB AC HB HA HC HB HC HB HB HA ⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅00)(,同理AB HC ⊥,BC HA ⊥.故H 是△ABC 的垂心. (反之亦然(证略))例3.(湖南)P 是△ABC 所在平面上一点,若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅,则P 是△ABC 的(D ) A .外心 B .内心 C .重心 D .垂心 解析:由0=⋅-⋅⋅=⋅PC PB PB PA PC PB PB PA 得. 即0,0)(=⋅=-⋅CA PB PC PA PB 即 则AB PC BC PA CA PB ⊥⊥⊥,,同理 所以P 为ABC ∆的垂心. 故选 D.变式:若H 为△ABC 所在平面内一点,且222222AB HC CA HB BC HA +=+=+ 则点H 是△ABC 的垂心证明: 2222BC CA HB HA -=-BA CB CA BA HB HA ∙+=∙+∴)()((平方差公式) =∙--+BA CB CA HB HA )(得0 即=∙+BA HC HC )(0HC AB ⊥∴同理HB AC ⊥,HA BC ⊥ 故H 是△ABC 的垂心(三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例4. G 是△ABC 所在平面内一点,GC GB GA ++=0⇔点G 是△ABC 的重心.证明 作图如右,图中GE GC GB =+连结BE 和CE ,则CE=GB ,BE=GC ⇔BGCE 为平行四边形⇒D 是BC 的中点,AD 为BC 边上的中线.将GE GC GB =+代入GC GB GA ++=0,得EG GA +=0⇒GD GE GA 2-=-=,故G 是△ABC 的重心.(反之亦然(证略))例5. P 是△ABC 所在平面内任一点.G 是△ABC 的重心⇔)(31PC PB PA PG ++=. 证明 CG PC BG PB AG PA PG +=+=+=⇒)()(3PC PB PA CG BG AG PG +++++= ∵G 是△ABC 的重心∴GC GB GA ++=0⇒CG BG AG ++=0,即PC PB PA PG ++=3ABCE DO由此可得)(31PC PB PA PG ++=.(反之亦然(证略))例6若O 为ABC ∆内一点,0OA OB OC ++=,则O 是ABC ∆ 的( )A .内心B .外心C .垂心D .重心解析:由0OA OB OC ++= 得OB OC OA +=-,如图以OB 、OC 为相邻两边构作平行四边形,则OB OC OD +=,由平行四边形性质知12OE OD = ,2OA OE =,同理可证其它两边上的这个性质,所以是重心,选D 。

三角形四心的向量性质及应用(详细答案版)

三角形四心的向量性质及应用(详细答案版)

三角形“四心”的向量性质及其应用三角形“四心”的概念介绍(1)重心—三条中线的交点:重心将中线长度分成2:1;(2)外心—三边中垂线的交点(外接圆的圆心):外心到三角形各顶点的距离相等;(3)垂心—三条高线的交点:高线与对应边垂直;(4)内心—三条内角平分线的交点(内切圆的圆心):角平分线上的任意点到角两边的距离相等.工具:O 为ABC △内一点,则有:0+⋅+⋅∆∆∆OC S OB S OA S O O CA O BC 证明:作:OA S OA OCB ⋅=∆',OB S OB OCA ⋅=∆',S OC OAB =∆'不难得知:AOB COA BOC OC B S S OC OC OB OB S S ∆∆∆∆⋅=⋅=''''即BO C AO B CO A O C B S S S S ∆∆∆∆⋅⋅='';同理==∆∆''''O B A O A C S S ''O C B BO C AO B CO A S S S S ∆∆∆∆=⋅⋅ 从而:O 为'''C B A ∆的重心,则+'OA +'OB 0'=OC , 得:0=⋅+⋅+⋅∆∆∆OC S OB S OA S O AB O CA O BC .一、三角形的重心的向量表示及应用知识:G 是ABC △的重心⇔)(31AC AB AG +=⇔0=++GC GB GA ⇔)(31OC OB OA OG ++= (O 为该平面上任意一点)变式:已知D E F ,,分别为ABC △的边BC AC AB ,,的中点.则0=++CF BE AD . 二、三角形的外心的向量表示及应用知识:O 是ABC △的外心⇔222||||||OC OB OA OC OB OA ==⇔== 02sin 2sin 2sin =⋅+⋅+⋅⇔OC C OB B OA A略证:C B A S S S O AB O CA O BC 2sin :2sin :2sin ::=∆∆∆,得:02sin 2sin 2sin =⋅+⋅+⋅OC C OB B OA A ;常用结论:O 是ABC △的外心⇒.2|| ;2||22AC AO AC AB AO AB =⋅=⋅ 三、三角形的垂心的向量表示及应用知识:H 是ABC △的垂心⇔HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅⇔222222||||||||||||AB HC CA HB BC HA +=+=+0tan tan tan =⋅+⋅+⋅⇔HC C HB B HA A略证:C B A S S S H AB H CA H BC tan :tan :tan ::=∆∆∆,得:0tan tan tan =⋅+⋅+⋅HC C HB B HA A ; 扩展:若O 是ABC △的外心,点H 满足:OC OB OA OH ++=,则H 是ABC △的垂心. 证明:如图:BE 为直径,H 为垂心,O 为外心,D 为BC 中点;'有:为平行四边形AHCE EA CH AB EA AB CH EC AH BC EC BC AH ⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⇒⎭⎬⎫⊥⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥////进而得到:,//EC AH 且EC AH =,即:EC AH =; 又易知:OC OB OD EC +==2;故:OA OH OC OB AH -=+=,即:OC OB OA OH ++=又:OG OC OB OA ⋅=++3(G 为重心),故:OG OH ⋅=3;故:得到欧拉线:ABC △的外心O ,重心G ,垂心H 三点共线(欧拉线),且GH OG 21=.证毕. 四、三角形的内心的向量表示及应用知识:I 是ABC △的内心⇔⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎭⎫⎝⎛-⋅=⎭⎫⎝⎛-⋅=⎭⎫⎝⎛-⋅0||||0||||0||||CB CB CA CA CI BC BC BA BA BI AC AC AB AB AI ⇔⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎭⎫⎝⎛+⋅=⎭⎫⎝⎛+⋅=⎭⎫⎝⎛+⋅0||||0||||0||||CA CA BC BC CI BA BA CB CB BI AC AC BA BA AI 0=⋅+⋅+⋅⇔IC c IB b IA a c b a OCc OB b OA a OI ++⋅+⋅+⋅=⇔cb a ACc AB b AI ++⋅+⋅=⇔ 0sin sin sin =⋅+⋅+⋅⇔IC C IB B IA A 注:式子中|||,||,|AB c CA b BC a ===,O 为任一点.略证:C B A c b a S S S IAB ICA IBC sin :sin :sin ::::==∆∆∆,得之. 五.欧拉线:ABC △的外心O ,重心G ,垂心H 三点共线(欧拉线),且GH OG 21=.(前已证) 测试题一.选择题1.O 是ABC ∆所在平面上一定点,动点P 满足)(AC AB OA OP ++=λ,[)+∞∈,0λ ,则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的( )A .外心B .内心C .重心D .垂心 解析:点P 的轨迹为BC 边的中线(射线),选C2.(03全国理4)O 是ABC ∆所在平面上一定点,动点P 满足AC AB OA OP ++=λ,[)+∞∈,0λ ,则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的( )A .外心B .内心C .重心D .垂心 解析:AC AB OA OP ++=λ⇔AC AB AP +=λAC AB +必平分BAC ∠,理由如下:ADACABACACABAB=+==1111,1==,故四边形11DCAB为菱形,对角线AD平分一组对角,ADACAB=+必定平分11ACB∠,即BAC∠,从而ACABAP+=λ也平分BAC∠.故知点P的轨迹为A∠的内角平分线(射线),选 B3.O是ABC∆所在平面上一定点,动点P满足ACABOAOP++=λ,R∈λ,则点P的轨迹一定通过ABC∆的( )A.外心B.内心C.重心D.垂心解析:ACABOAOP++=λ⇔ACABAP+=λ由BCACBCABBCACBCABBCAP+=+=⋅λλ得:0|)|||(=+-=⋅BCBCBCAPλ,得BCAP⊥点P的轨迹为BC边的高线所在直线. 选D4.O是ABC∆所在平面上一定点,动点P满足ACABOAOP+=λ,[)+∞∈,0λ,则点P的轨迹一定通过ABC∆的( )A.外心B.内心C.重心D.垂心解析:由于CACCbBcBAB sin||sinsinsin||=⋅=⋅=,知点P的轨迹为BC边的中线(射线),选C5.O是ABC∆所在平面上一定点,动点P满足2cos cosOB OC AB ACOPAB B AC Cλ⎛⎫+ ⎪=++⎪⎝⎭,R∈λ,则点P的轨迹一定通过ABC△的( ).A.外心B.内心C.重心D.垂心解析:0||||=+-=+=⋅+BCBCBCACBCABBCACAB知点P的轨迹为BC边的中垂线, 选A6.O是ABC∆所在平面上一定点,动点P满足])21()1()1[(31OCOBOAOPλλλ++-+-=,*R∈λ,则点P的轨迹一定通过ABC△的( ).A.内心B.垂心C.重心D.AB边的中点解析:])21()1()1[(31OCOBOAOPλλλ++-+-=OCOD3)21(3)22(λλ++-=(D为AB边的中点)知CDP,,三点共线(因1321322=++-λλ),故知点P 的轨迹为AB 边的中线所在直线,但是0≠λ,故除去重心. 选D 7.已知O 是ABC ∆的重心,动点P 满足)22121(31OC OB OA OP ++=,则点P 一定为ABC △的( ) A .AB 边中线的中点 B .AB 边中线的三等分点(非重心)C .重心D .AB 边的中点解析:)22121(31OC OB OA OP ++=OC OD 3231+=(D 为AB 边的中点) 进而有:PC DP 2=,故为AB 边中线的三等分点(非重心), 选B8.在ABC △中,动点P 满足:CP AB CB CA ⋅-=222,则P 点轨迹一定通过△ABC 的( )A.外心 B.内心 C .重心 D .垂心解析:CP AB CB CA ⋅-=222⇔02))((222=⋅-+-=⋅--CP AB CA CB CA CB CP AB CA CB 进而有:02=⋅PD AB (D 为AB 边的中点),故知点P 的轨迹为AB 边的中垂线, 选A9.已知ABC ∆三个顶点C B A 、、及平面内一点P ,满足0=++PC PB PA ,若实数λ满足:AP AC AB λ=+,则λ的值为( )A .2B .23C .3D .6 解析:P 为重心,得)(31AC AB AP +=,故AP AC AB ⋅=+3,选C10.设点P 是ABC ∆内一点,用ABC S ∆表示ABC ∆的面积,令ABC PBC S S ∆∆=1λ,ABCPCA S S∆∆=2λ,ABC PAB S S ∆∆=3λ.定义),,()(321λλλ=P f ,若)61,31,21()(),31,31,31()(==Q f G f 则( )A .点Q 在ABG ∆内B .点Q 在BCG ∆内C .点Q 在CAG ∆内D .以上皆不对 解析:G 为重心,画图得知, 选A11.若ABC ∆的外接圆的圆心为O ,半径为1,0=++OC OB OA ,则=⋅OB OA ( )A .21 B .0 C .1 D .21- 解析:由OC OB OA -=+,平方得知, 选D12.O 是平面上一定点,C B A 、、是平面上不共线的三个点,若222OB BC OA =+222AB OC CA +=+,则O 是ABC ∆的( )A .外心B .内心C .重心D .垂心 解析:由2222CA OB BC OA +=+⇔2222BC CA OB OA -=-BA BC CA OB OA BA BC CA BC CA OB OA OB OA ⋅-=+⋅⇔+-=+-⇔)()())(())(( 0)2()(=⋅=-++⋅⇔OC BA CA BC OB OA BA ,得AB OC ⊥;同理得:AC OB ⊥,BC OA ⊥,故为垂心, 选D 13.(06陕西)已知非零向量AB 与AC 满足0||||=⋅⎭⎫⎝⎛+BC AC AC AB AB 21||||=AC AC AB AB , 则ABC ∆为( ) A .三边均不相等的三角形 B .直角三角形 C .等腰非等边三角形 D .等边三角形解析:21||||=AC AC AB AB 0||||=⋅⎭⎫⎝⎛+BC AC AC AB AB :表明A ∠的内平分线也垂直于BC (三线合一), 知ABC ∆等腰;21||||=AC AC AB AB :得到︒=∠60A ;两者结合得到ABC ∆为等边三角形. 选D 14.已知ABC ∆三个顶点C B A 、、,若CA BC CB AB AC AB AB ⋅+⋅+⋅=2,则ABC ∆为( )A .等腰三角形B .等腰直角三角形C .直角三角形D .既非等腰又非直角三角形 解析:CA BC CB AB AC AB AB ⋅+⋅+⋅=2CA BC AB CA BC CB AC AB ⋅+=⋅++⋅=2)( 得到:0=⋅CA BC ,得:︒=∠90C ,选C 二.填空题15.ABC ∆的外接圆的圆心为O ,两条边上的高的交点为H ,)(OC OB OA m OH ++=,则实数m = 1 . 解析:直接用结论16.ABC ∆中,7,3,1===BC AC AB ,O 为重心,则=⋅AC AO27. 解析:)9(31)(31)(312+⋅=+⋅=+=⋅AC AB AC AC AB AC AC AB AC AO 利用:CB AC AB =-,两边平方得.23=⋅AC AB 故27)923(31=+=⋅AC AO17.点O 在ABC ∆内部且满足032=++OC OB OA ,则:ABC S ∆=∆AOC S 3 .解析:法1:利用工具结论易知:AOB COA BOC S S S ∆∆∆=::3:2:1,得:ABC S ∆=∆AOC S 32:6= 法2:0422232=+=+++=++OD OE OC OB OC OA OC OB OA (E 为AC 的中点,D 为BC 的中点)易得:D O E ,,三点共线,且OD EO 2=,从而得到:ABC ADC AOC S S S ∆∆∆==3132. 法3:作:OA OA =',OB OB 2'=,OC OC 3'=则+'OA +'OB 0'=OC ,则O 为'''C B A ∆的重心,则:''''''O B A O A C O C B S S S ∆∆∆==.设为S又⎪⎩⎪⎨⎧======∆∆∆∆∆∆SS SS S S S S S AOB OB A COA OA C BOC OC B 236'''''' 从而得:331:13:)236(:==++=∆∆S S S S S S COA ABC . 18.点O 在ABC ∆内部且满足AC AB AO 5152+=,则:ABC S ∆=∆AOB S 5 . 解析:法1:AC AB AO 5152+=,用O 拆开得:022=+⋅+⋅OC OB OA , 'A 'B 'C O)(A BC利用工具结论易知:AO B CO A BO C S S S ∆∆∆=::1:2:2,则:ABC S ∆51:5==∆AO B S 法2:AC AD AC AB AO 51545152+=+=,(D 为AB 边的中点),得到:C O D ,,共线,且OD CO 4=, 则:ABC S ∆5:==∆OD CD S AO B . 法3:同上题中法3,此处略.19.已知ABC ∆中,6,5===BC AC AB ,I 为ABC ∆的内心,且BC AB AI μλ+=,则=+μλ1615. 解析:法1:由BC AB BC AB AB AC AB c b a AC c AB b AI ⋅+⋅=+⋅+⋅=++⋅+⋅=++⋅+⋅=165161016)(5555655法2:如图,线长易知,角平分线分线段成比例,得:3:5:=ID AI , 故)21(8585BC AB AD AI ⋅+⋅=⋅=AB +⋅=1658520.已知ABC ∆中,1,1,2-=⋅==AC AB AC AB ,O 为ABC ∆的外心,且BC y AB x AO +=,则=+y x 27. 解析:法1:由BC y AB x AO +=AC y AB y x +-=)(,由AC AB y AB y x ABBC y AB y x AB AO AB ⋅+-=⇒+-⋅=⋅22)(2))((,得:y y x --=)(42;同理22)(2))((AC y AC AB y x ACBC y AB y x AC AO AC +⋅-=⇒+-⋅=⋅,得:y y x +--=)(21;易得:34,613==y x ,得27=+y x . 法2:以},{AC AB 为基底,表示:CO BO AO ,,,利用222CO BO AO ==,得之BC y AB x AO +=AC y AB y x +-=)(,y y x y y x AO )(2)(4222--+-=; AC y AB y x AB AO BO +--=-=)1(,y y x y y x BO )1(2)1(4222---+--=; AC y AB y x AC AO CO )1()(-+-=-=,)1)((2)1()(4222----+-=y y x y y x CO ;由22BO AO =0254=--⇒⇒y x 移项做差; 由22CO AO =0142=+-⇒⇒y x 移项做差; 联立方程解得:34,613==y x ,得27=+y x .BCA MNG21.已知O 为锐角ABC ∆的外心,︒=∠30A ,若AO m B C AC C B AB 2sin cos sin cos =⋅+⋅,则=m 21. 解析:由AO m AB B CAC C B AB AB 2)sin cos sin cos (⋅=⋅+⋅⋅ 得:22||sin cos cos ||||sin cos ||AB m B CA AC ABC B AB =⋅⋅⋅+⋅得:C m C A B mc BCA b c CB c sin cos cos cos sin cos cos sin cos 22⋅=+⇒=⋅⋅⋅+⋅得到:C A C A C A C A B C m sin sin cos cos )cos(cos cos cos sin =++-=+=⋅ 得:.2130sin sin =︒==A m 22.在ABC∆中,1,==⊥AD BC AB AD ,则⋅AD AC解析:.33)(2===⋅=⋅+=⋅AD AD AD BC AD BC AB AD AC 三.解答题23. 如图,已知点G 是ABC ∆的重心,过G 作直线与AC AB ,两边分别交于N M ,两点,且AM xAB = ,AN yAC = ,求证:113x y+=.解:由N G M ,,三点共线, 得:AN t AM t AG ⋅+⋅-=)1(AC ty AB x t ⋅+⋅-=)1(--------①又G 是ABC ∆的重心得:AC AB AG ⋅+⋅=3131 ---------② 由①②得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-3131)1(ty x t ,消去t 得:113x y +=.24.设O 在ABC ∆的内部,若有正实数321,,λλλ满足:0321=⋅+⋅+⋅OC OB OA λλλ, 求证:AO B CO A BO C S S S ∆∆∆=::::321λλλ.证明:作:OA OA ⋅=1'λ,OB OB ⋅=2'λ,OC OC ⋅=3'λ 则+'OA +'OB 0'=OC ,则O 为'''C B A ∆的重心,则:''''''O B A O A C O C B S S S ∆∆∆==.设为S又⎪⎩⎪⎨⎧=⋅==⋅==⋅=∆∆∆∆∆∆SS SS S S S S S AOB OB A COA OA C BOC OC B 2!''13''32''λλλλλλ 从而得:AOB COA BOC S S S SSS∆∆∆==::::::211332321λλλλλλλλλ25.已知向量1OP ,2OP ,3OP 满足条件1OP +2OP +3OP =0,|1OP |=|2OP |=|3OP |=1,求证:321P P P ∆为正三角形. 证明:由1OP +2OP +3OP =0⇒1OP +2OP =3OP -平方得:1212112121-=⋅⇒=⋅++OP OP OP OP'A 'B 'C OABC从而得:3||21====P P同理可得:3||||1332==P P P P ,即321P P P ∆为正三角形. 26.在ABC ∆中,︒===60,5,2A AC AB ,求从顶点B A ,出发的两条中线BE AD ,的夹角的余弦值.解:设b AB a AC ==,,则,560cos 25,4,2522=︒⨯⨯=⋅==b a b a且b a BE b a AD -=+=21),(21; 则,3)8525(41)2(41)21()(2122=--=-⋅-=-⋅+=⋅b b a a b a b a BE AD2394102521|)(|21||=++==+=b a AD22116202521|)2(|21||=+-==-=b a BE 故:.919149142212393||||,cos ==⋅=>=<BE AD BEAD BE AD27.已知H 是ABC △的垂心,且||||BC AH =,试求∠A 的度数.解:设ABC △的外接圆半径为R ,点O 是ABC △的外心。

三角形“四心”向量形式的结论及证明

三角形“四心”向量形式的结论及证明

三角形“四心”向量形式的结论及证明三角形的“四心”是指三角形的重心、外心、内心和垂心。

它们的位置可以用向量的形式来描述。

本文将分别介绍三角形“四心”的向量形式以及其证明。

1.重心:重心是指三角形三个顶点的中线交点所在的点,用G表示。

假设三角形的三个顶点分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)和C(x3,y3),则重心G的坐标可以通过以下公式得到:G=(A+B+C)/3其向量形式为:OG=(OA+OB+OC)/3其中O为坐标原点。

证明:由定义可知,重心是三角形三个顶点的中线交点所在的点。

而中线的坐标可以通过两个顶点的坐标的平均值得到。

因此,重心的坐标是三个顶点坐标的平均值。

根据向量加法的性质,可以得到上述结论。

2.外心:外心是指可以通过三角形的三个顶点作为圆心,找到一个圆使得三条边都是这个圆的切线。

用O表示外心。

假设三角形的三个顶点分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)和C(x3,y3),则外心O的坐标可以通过以下公式得到:O=(a^2*A+b^2*B+c^2*C)/(a^2+b^2+c^2)其中a、b、c分别表示三角形的边长BC、AC和AB的长度。

其向量形式为:OO=(a^2*OA+b^2*OB+c^2*OC)/(a^2+b^2+c^2)其中O为坐标原点。

证明:设外心为O,连接OA、OB、OC,并设AO的长度为R,BO的长度为R',CO的长度为R''。

根据定义可知,OA,OB,OC都是截圆半径,可以得到以下关系:OA⊥BC,OB⊥AC,OC⊥AB由于OA、OB、OC是向量,因此上述关系可以写为:OA·BC=0,OB·AC=0,OC·AB=0其中“·”表示点乘。

根据向量的点乘性质可知:OA·(B-C)=0,OB·(C-A)=0,OC·(A-B)=0将向量差展开得:OA·B-OA·C=0,OB·C-OB·A=0,OC·A-OC·B=0进一步展开可得:R^2-R'^2=0,R'^2-R''^2=0,R''^2-R^2=0整理得:R^2-R'^2=R''^2-R^2移项得:2R^2=R'^2+R''^2根据圆的定义可知,外心到三角形的每个顶点的距离都相等,因此R=R'=R''。

「必修四向量」三角形“重心、垂心、内心、外心”向量结论与证明

「必修四向量」三角形“重心、垂心、内心、外心”向量结论与证明

「必修四向量」三角形“重心、垂心、内心、外心”向量结论
与证明
一、三角形的重心、垂心、内心、外心的定义
(1)重心——中线的交点:重心将中线长度分成2:1;
(2)垂心——高线的交点:高线与对应边垂直;
(3)内心——角平分线的交点(内切圆的圆心):角平分线上的任意点到角两边的距离相等;
(4)外心——中垂线的交点(外接圆的圆心):外心到三角形各顶点的距离相等。

二、三角形的四心与向量的结合的结论和性质
•三角形重心的性质:
•三角形四“心”向量形式的充要条件
三角形四心的向量结论与证明
三角形四心的向量结论的经典例题解析。

最新版:三角形“四心”的向量表示

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P的轨迹一定通过△ABC的垂心.
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例4.(2005全国Ⅰ)点O是Δ ABC所在平面上一点, 若 OA OB OB OC OC OA , 则点O是Δ ABC的( D ) A (A)三个内角的角平分线的交点 O (B)三条边的垂直平分线的交点 C B (C)三条中线的交点 (D)三条高线的交点 解: OA OB OB OC OB (OA OC) 0
例4. 2009年海南、宁夏理数卷的第9题:
(9) 已知 O, P 在 ABC 所在平面内, OA OB OC , NA NB NC 0 , N, 且 且 PA PB PB PC PC PA ,则点 O,N,P 依次是 ABC 的( C ) (A)重心、 外心、 垂心 (B)重心 、外心、 内心 (C)外心 、重心、 垂心 (D)外心 、重心、 内心
解:
PA PB PB PC PC PA, PB PA PC) PB 0; ( CA PC PB PA) PCAB 0. (
从而 AB OC (b a ) c b c a c 0,
得: c b a c b a
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O
B
同理: BC OA, CA OB.
PB CA, PC AB.

三角形四心的向量性质练习.doc

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三角形“四心”的向量一、三角形的重心的向量表示及应用命题一已知 A,B,C是不共线的三点,G是△ABC内一点,若uuur uuur uuur0.则 G 是△ABC 的重心.GA GB GCuuur uuur uuur证明:如图 1 所示,因为GA GB GC 0,所以uuur uuur uuur GA (GB GC) .uuur uuur以 GB , GC 为邻边作平行四边形 BGCD ,uuur uuur uuur uuur uuur则有 GD GB GC ,所以 GD GA .又因为在平行四边形BGCD 中, BC 交GD 于点E,uuur uuur uuur uuur所以 BE EC,GE ED .所以 AE 是△ABC的边BC的中线.故G是△ABC的重心.点评:①解此题要联系重心的定义和向量加法的意义;②把平面几何知识和向量知识结合起来解决问题是解此类问题的常用方法.例 1uuur uuurb ,如图 2 所示,△ABC的重心为G,O为坐标原点,OA a , OBuuur uuurOC c ,试用 a, b, c 表示 OG .解:设 AG交 BC于点M,则M是 BC的中点,a OG GAb OG GBc OG GC图 2a b c OG GA GB GC而 a b c 3OG0a b cOG3变式:已知 D ,E ,F分别为 △ABC 的边 BC ,AC ,AB 的中点.则uuur uuur uuur AD BE CF0.证明:如图的所示,AD3GA2BE3 GB 2 CF3 GC2AD BE CF3 (GA GB GC)2GA GB GC 0uuur uuur uuurAD BE CF 0 ..图 3变式引申:如图 4,平行四边形 ABCD 的中心为 O ,P 为该平面上任意一点,uuur 1 uuur uuur uuur uuur 则 PO ( PA PB PC PD).4uuur 1 uuur uuur uuur 1 uuur uuur 证明: Q PO (PA PC) , PO 2 (PB PD) ,2uuur 1 uuur uuur uuur uuurPO 4 (PA PB PC PD) .点评:( 1)证法运用了向量加法的三角形法则,证法 2 运用了向量加法的平行四边形法则. ( 2)若 Puuur uuur uuur uuur与 O 重合,则上式变为 OA OB OC OD 0.例 2. 已知 O 是平面内一点,A, B,C 是平面上不共线的三点,动点 P 满足OP1 ,0,,则动点 P 的轨迹一定通过ABC 的OAABBC2A. 重心B. 垂心C. 外心D. 内心题 2:已知 O 是平面上一定点, A、B、 C 是平面上不共线的三个点,动点P 满uuur uuur uuur uuur[0, ) .则P点的轨迹一定通过△ABC的( ) 足 OP OA (AB AC),A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心uuur uuur uuur解:由已知得 AP (AB AC ) ,设BC的中点为D,则根据平行四边形法则知点 P 在 BC的中线 AD 所在的射线上,故 P 的轨迹过△ ABC的重心,选 C.题 3:已知 O 是平面上的一定点, A、B、C 是平面上不共线的三个点,动点Puuur uuuruuur uuur( uuurABuuurAC) ,[0, ) ,则动点P的轨迹一定通过满足OP OA| AB | sin B| AC | sin C△ABC的()A. 重心B. 垂心C. 外心D. 内心uuuruuur uuur( uuurABuuurAC) ,解:由已知得 AP| AB | sin B | AC | sin Cuuur uuur uuuruuur uuur uuur由正弦定理知 | AB | sin B | AC | sin C ,∴ AP ( AB AC) ,| AB |sin B设 BC的中点为 D,则由平行四边形法则可知点 P 在 BC 的中线 AD 所在的射线上,所以动点 P 的轨迹一定通过△ ABC的重心,故选 A .题 7:已知 A、B、C 是平面上不共线的三点, O 为△ ABC的外心,动点 P 满足uuur uuur(1 uuur(1 2uuurR, 0) ,则P的轨迹一定OP 1 [(1 )OA )OB )OC] (3通过△ ABC的( )A. 内心B. 垂心C. 重心D. AB 边的中点uuur uuur uuur 1 uuur uuur2(1 uuur解: CP OP OC = [(1 )OA (1 )OB )OC]31 uuur uuur uuur uuur 1 uuur uuur= [( OA OC) (OB OC)] = (CA CB) ,由平行四边形法则3 3uuur uuur0 ,所以 P 的轨迹在 AB 边的中线上,知 CA CB 必过 AB 边的中点,注意到但不与重心重合,故选 D.uuur uuur uuur题 8:已知 O 是△ ABC 所在平面上的一点,若 OA OB OC =0, 则 O 点是△ABC的 ()A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心uuur uuur uuur uuur uuuruuur uuur uuur解:若 OA OB OC =0, 则 OA OBOC ,以 OA 、 OB 为邻边作平行四边形 OAC 1 ,设 1 与 交于点 ,则为的中点,有 uuur uuur uuuur , AB D AB OA OB OC 1 B OC Duuuur uuur 得 OC 1 OC ,即 C 、O 、D 、 C 1 四点共线,同理 AE 、BF 亦为△ ABC 的中线,所以 O 是△ABC 的重心 . 选 C .uuur1 uuur uuur uuur题 9:已知 O 是△ ABC 所在平面上的一点,若 PO(PAPBPC)(其中 P 为平面上任意一点 ), 则 O 点是△ ABC 的()3A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心uuur uuuruuur uuur uuuruuur uuur 解:由已知得 3POOA OP OB OPOC OP ,uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur∴ 3PO 3OP OA OB OC ,即 OA OB OC = 0,由上题的结论知 O 点是△ ABC 的重心 . 故选 C .例 4. 证明:三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍。

专题06 三角形“四心”向量形式的充要条件 -高中数学经典二级结论解读与应用训练(解析版)

专题06 三角形“四心”向量形式的充要条件 -高中数学经典二级结论解读与应用训练(解析版)

ABC 的重心,且满足3sin 2sin 0AB A GA C GC +⋅+⋅=,则cos _______是ABC 的重心,所以0GA GB GC ++=,因为3sin 2sin 0AB A GA C GC +⋅+⋅=,由正弦定理可得320AB a GA c GC +⋅+⋅=,()320GB GA a GA c GC ⋅-+⋅+⋅=,即(32)220a b GA bGB cGC -++=, 232c a b =-,则4,3c b a b ==,则由余弦定理可得22222216294232b b ba b c b ab b -+-==⨯⨯+.ABC 中,点2GH OG = 0GA GB GC ++=C .OH OA OB OC =++D .OA OB OC == 【答案】ABC 【分析】根据欧拉线定理、外心、垂心和重心的性质以及平面向量的线性运算对四个选项逐个分析可得答案. 【详解】如图:根据欧拉线定理可知,点O 、H 、G 共线,且2GH OG =对于A ,因为2GH OG =,所以2GH OG =,故A 正确;对于B ,取BC 的中点为D ,则2GA GB GC GA GD ++=+0=,故B 正确;对于C ,33()OH OG AG AO ==-23()3AD AO =-23AD AO =-2()3AO OD AO =+-2OD AO =-OB OC OA =++,故C 正确;对于D ,OA OB OC ==显然不正确.2.(多选题)已知ABC 是边长为2的正三角形,该三角形重心为点G ,点P 为ABC 所在平面内任一点,下列等式一定成立的是( ) A .||2AB AC += B .2AB AC ⋅=C .3PA PB PC PG ++=D .||||AB BC AB CB +=+【答案】BC 【分析】根据平面向量的数量积的定义以及运算律,可判断出A 不正确;故B 正确;D 不正确;根据三角形重心的性质,结合向量的线性运算可知C 正确. 【详解】因为ABC 是边长为2的正三角形,所以||AB AC +=()2AB AC+222AB AB AC AC=+⋅+142224232=+⨯⨯⨯+=,故A 不正确;1||||cos 2222AB AC AB AC BAC ⋅=⋅∠=⨯⨯=,故B 正确;根据重心的性质可得21()32AG AB AC =⋅+1()3AB AC =+,所以33PG PA PB PA PC PA -=-+-, 所以3PG PA PB PC =++,故C 正确;因为||||2AB BC AC +==,||AB CB +()2AB CB=+222AB CB AB CB =++⋅1442222=++⨯⨯⨯23=,故D 不正确. 3.设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,点G 为ABC ∆的重心且满足向量BG CG ⊥,若tan sin a A c B λ=,则实数λ=( )A .3B .2C .12D .23【答案】C【解析】如图,连接AG ,延长交AG 交BC 于D ,由于G 为重心,故D 为中点,12CG BG DG BC ⊥∴=,, 由重心的性质得,3AD DG =,即32AD BC =, 由余弦定理得,22222222AC AD CD AD CD cos ADC AB AD BD AD BDcos ADB =+-⋅⋅∠=+-⋅∠,,222222ADC BDC CD BD AC AB BD AD π∠+∠==∴+=+,,,2222219522AC AB BC BC BC ∴+=+=, 2225b c a ∴+= ,可得:222224222b c a a a cosA bc bc bc+-===,tan sin a A c B λ=,22212sin 2asinA a a a c BcosA bccosAbc bcλ∴====⋅.故选D . 4.过△OAB 的重心G 的直线与边OA ,OB 分别交于点P ,Q ,设OP =h·OA ,OQ =k OB ,则11h k+=____. 【答案】3【解析】延长OG 交边AB 与M ,且M 为AB 的中点.所以111111()()2222OM OA OB OP OQ OP OQ h k h k=+=+=+,又32OM OG = ,所以1133OG OP OQ h k =+,且P 、Q 、G 三点共线,且OP 、OQ 不共线.所以11133h k +=,即113h k +=,ABC 的重心,角__________. ABC 的重心,可得0GA GB GC ++=,由题设可知的大小.【详解】是ABC 的重心可得0GA GB GC ++=,又0578a b c GA GB GC ++=,所以由余弦定理可得222564491cos 802b B ac -+-==又0B π<<,则3B π=。

三角形四心向量形式的结论及证明附练习答案

三角形四心向量形式的结论及证明附练习答案

三角形“四心”向量形成的充耍条件应用在学习了《平面向量》一章的基础容之后,学生们通过课堂例题以员课后习题陆续接触了有关三角形重心、垂心、外心、心向量形式的充要条件。

现旧纳总结如下:一.知识点总结____________________1 ) 0 是AABC 的重心 <=> OA+OB + OC=0若0 是AABC 的重° , | SaBOC = SaaOC = SaaOB = 3 Smbc jj OA+OB+OC = 0 PG = ^(PA + PB + PC) OG为AABCtf}重心.2)o 是AABC的垂心<=>OA 6B = OB OC = OC OA若0 是AABC(非直角三角形)的垂心,U| S ABOC5S AAOCS S AZ\OB =tan A:tan B:tan C故tan AOA + tan BOB + tan COC = 63 )0 是AABC 的外心<=> IOAI=IOBI=IOCI(或=而2 =疋2)若0是AABC的外心则S ABOC:S AAOC: S M()B = slnZBOC:sinZAOC :sinZAOB = sin2A : sln2B : sin2C故sin2AOA + sln2BOB + sin2COC = 64)0是心AABC的充要条件是贰(亘-亘)=而(亘-匹)=显(亘-JL)=oIABI AC I BA I IBCI I CAI ICBI引IS单位向量,使条件变鶴更简洁。

如果记入瓦说,不的单位向量为兀瓦恳,则刚才0是AABC 心的充要条件可以写成:OA.(e[+e^) = OB.(e[ + e^) = OC.(e^ + e^) = 00是AABC心的充要条件也可以是aOA + bOB + cOC = 0若0 是AABC 的心,则S AB()c:S AA<)c: Su()B=a: b: c故aOA + bOB + cOC = OggsinAOA + slnBOB + sinCOC = 6.\AB\PC+\BC\PA+\CA\PB = O^ P ^ABC的心;向量兄(輕+姿)(几工0)所在直线il AABC的心(是ABAC的角平分线IABI IACI所在直线);(-).将平面向量与三角形心结合考查例1・0是平面上的一罡点,ABC是平面上不共线的三f点,动点P满竺+丝),几w[o,p )则P 点的珈迷一定通11MBC 的( KI(A )外心(B )心(C )重心(D )垂心解析:因为丝是向量丽的单位向量设丽与疋方向上的单位向量分别为勺和J, JHI 一〜OP-dA = AP原式可化为AP = A (e { +勺),由菱形的基本性质知AP 平分ABAC, SI )么在A4BC中,AP 平分Z3AC,则知选B.点评:2ii®给人的M 象当然是“新颖、陌生J 首先箔是什么?没见过!想想,一个非零M向量除以它的模不就是单位向量?此题所用的部必须是简单的基本知识,如向量的加减法、向量 的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等,若十分熟悉,乂能迅速地wtiiffg 到一起, 解fiiii-^rnjg 也没有。

向量中的三角形_四心_问题

向量中的三角形_四心_问题

1 3
1 解: CP OP OC = [(1 )OA (1 )OB 2(1 )OC ] 3
=
1 1 (CA CB) , [(OA OC ) (OB OC )] = 3 3
由平行四边形法则知 CA CB 必过 AB 边的中点,注意到 0 ,所以 P 的 轨迹在 AB 边的中线上,但不与重心重合,故选 D. 题 8:已知 O 是△ABC 所在平面上的一点,若 OA OB OC = 0, 则 O 点是 △ABC 的( A. 外心 ) B. 内心 C. 重心 D. 垂心
1
(2)∵G 为重心
1 ∴ OG AG AD (OA OB OC) ,利用(1)结论 3
∴ GH 2OG
1 ∴ OG OA 3
例 3 (2005 全国) △ABC 的外接圆的圆心为 O, 两边上的高的交点为 H,
OH m(OA OB OC) ,则 m=

解法一(定理 2 的证明) 解法二(特殊值法)当△ABC 为等腰直角三角形时,O 为 AC 中点,AB、 BC 边上的高的交点 H 与 B 重合, OA OB OC OB OH , ∴m=1。 三、动点过“心” 例 4 O 为平面上一定点,A、B、C 为平面上不共线的三点 ①(2003 全国)若动点 P 满足 OP OA ( 点 P 一定过 △ABC 的( )
AB | AB | AC

AC | AC |
) 0, ,则动
②若动点 P 满足 OP OA ( 一定过 △ABC 的( )
AB | AB | sin B AB

| AC | sin c AC
) 0, ,则动点 P

平面向量痛点问题之三角形“四心”问题(解析版)--高一数学微专题

平面向量痛点问题之三角形“四心”问题(解析版)--高一数学微专题

平面向量痛点问题之三角形“四心”问题【题型归纳目录】题型一:重心定理题型二:内心定理题型三:外心定理题型四:垂心定理【知识点梳理】一、四心的概念介绍:(1)重心:中线的交点,重心将中线长度分成2:1.(2)内心:角平分线的交点(内切圆的圆心),角平分线上的任意点到角两边的距离相等.(3)外心:中垂线的交点(外接圆的圆心),外心到三角形各顶点的距离相等.(4)垂心:高线的交点,高线与对应边垂直.二、三角形四心与推论:(1)O 是△ABC 的重心:S △BOC :S △COA :S △A 0B =1:1:1⇔OA +OB +OC =0.(2)O 是△ABC 的内心:S △B 0C :S △COA :S △AOB =a :b :c ⇔aOA +bOB +cOC =0.(3)O 是△ABC 的外心:S △B 0C :S △COA :S △AOB =sin2A :sin2B :sin2C ⇔sin2AOA +sin2BOB +sin2COC =0 .(4)O 是△ABC 的垂心:S △B 0C :S △COA :S △AOB =tan A :tan B :tan C ⇔tan AOA +tan BOB +tan COC =0.【方法技巧与总结】(1)内心:三角形的内心在向量AB AB +ACAC所在的直线上.AB ⋅PC +BC ⋅PC +CA⋅PB =0 ⇔P 为△ABC 的内心.(2)外心:PA =PB =PC⇔P 为△ABC 的外心.(3)垂心:PA ⋅PB =PB ⋅PC =PC ⋅PA⇔P 为△ABC 的垂心.(4)重心:PA +PB +PC =0⇔P 为△ABC 的重心.【典型例题】题型一:重心定理1(2024·重庆北碚·高一西南大学附中校考阶段练习)如图所示,已知点G 是△ABC 的重心,过点G 作直线分别与AB ,AC 两边交于M ,N 两点(点N 与点C 不重合),设AM =xAB ,AN =yAC ,则1x +1y的值为()A.3B.4C.5D.6【答案】A【解析】设MG =λMN ,则AG =AM +MG =AM +λMN =AM +λAN -AM=1-λ AM +λAN =x 1-λ AB +yλAC,又因为G 是△ABC 的重心,故AG =13AB +13AC,所以有x 1-λ =13yλ=13⇒1x +1y =31-λ +3λ=3.故选:A2(2024·全国·高一随堂练习)已知△ABC 中,点G 为△ABC 所在平面内一点,则“AB +AC -3AG=0”是“点G 为△ABC 重心”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】依题意AB +AC -3AG =AG +GB +AG +GC -3AG =GA +GB +GC =0,则G 是△ABC 重心,即充分性成立;若G 是△ABC 重心时,GA +GB +GC =0,可得GA +GB +GC =AG +GB +AG +GC -3AG =AB +AC -3AG =0所以AB +AC -3AG =0 ,必要性成立,故选:C .3(2024·全国·高一专题练习)已知O 是三角形ABC 所在平面内一定点,动点P 满足OP =OA+λAB AB sin B +AC AC sin C λ≥0 ,则P 点轨迹一定通过三角形ABC 的()A.内心 B.外心C.垂心D.重心【答案】D【解析】记E 为BC 的中点,连接AE ,作AD ⊥BC ,如图,则AB sin B =AC sin C =AD ,AB +AC =12AE ,因为OP =OA +λAB AB sin B +ACAC sin C,所以AP =OP -OA =λAB AB sin B +ACACsin C=λ|AD |(AB +AC )=λ2|AD |AE,所以点P 在三角形的中线AE 上,则动点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心.故选:D .题型二:内心定理1(2024·全国·高一专题练习)在△ABC 中,cos ∠BAC =13,若O 为内心,且满足AO =xAB +yAC ,则x +y 的最大值为.【答案】3-32【解析】延长AO 交BC 于D ,设BC 与圆O 相切于点E ,AC 与圆O 相切于点F ,则OE =OF ,则OE ≤OD ,设AD =λAO =λxAB +λyAC ,因为B 、C 、D 三点共线,所以λx +λy =1,即x +y =1λ=AO AD =AO AO +OD ≤AO AO +OE =11+OE OA=11+OF OA =11+sin A 2,因为cos A =1-2sin 2A 2=13,0<A <π,0<A 2<π2,所以sin A 2=33,所以x +y ≤11+33=3-32.故答案是:3-322(2024·江苏南通·高一如皋市第一中学期末)已知点P 为△ABC 的内心,∠BAC =23π,AB =1,AC =2,若AP =λAB +μAC,则λ+μ=.【答案】9-372【解析】在△ABC ,由余弦定理得BC =AC 2+AB 2-2AC ⋅AB cos ∠BAC =7,设O ,Q ,N 分别是边AB ,BC ,AC 上的切点,设AN =AO =x ,则NC =QC =2-x ,BO =BQ =1-x ,所以BC =BQ +QC =1-x +2-x =7⇒x =3-72,由AP =λAB +μAC 得,AP ⋅AB =λAB +μAC ⋅AB ,即AO ⋅AB =λAB 2+μAC ⋅AB ⇒AO =λ-μ,①同理由AP ⋅AC =λAB +μAC ⋅AC⇒2AN =-λ+4μ,②联立①②以及AN =AO =x 即可解得:λ+μ=3x =3×3-72=9-372,故答案为:9-3723(2024·广西柳州·高一统考期末)设O 为△ABC 的内心,AB =AC =5,BC =8,AO =mAB +nBCm ,n ∈R ,则m +n =【答案】56【解析】取BC 中点D ,连接AD ,作OE ⊥AB ,垂足分别为E ,∵AB =AC ,∴AD 为∠BAC 的角平分线,∴O ∈AD ;又AB =5,BD =12BC =4,∴sin ∠BAD =45,则tan ∠BAD =43;∵△ABC 周长L =5+5+8=18,面积S =12BC ⋅AD =12×8×52-42=12,∴△ABC 内切圆半径r =OE =2S L =2418=43,∴AE =rtan ∠BAD=1,又OA =12+r 2=53,∴AO =59AD ,∵AD =AB +BD =AB +12BC ,∴AO =59AD =59AB +518BC ,∴m =59,n =518,∴m +n =59+518=56.故答案为:56.题型三:外心定理1(2024·吉林长春·高一东北师大附中校考阶段练习)已知点O 是△ABC 的外心,AB =4,AC =2,∠BAC 为钝角,M 是边BC 的中点,则AM ⋅AO=.【答案】5【解析】如图所示,取AB 的中点E ,连接OE ,因为O 为△ABC 的外心,则OE ⊥AB ,所以AB ⋅AO =|AB ||AO |cos <AB ,AO >=|AB |×12|AB |=12×42=8,同理:AC ⋅AO =12|AC |2=12×22=2,所以AM ⋅AO =12(AB +AC )⋅AO =12AB ⋅AO +12AC ⋅AO =12×8+12×2=5.故答案为:5.2(2024·安徽六安·高一六安市裕安区新安中学校考期末)已知O 是平面上一定点,A 、B 、C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足OP =OA +OB 2+λCA CA cos A +CBCB cos B ,λ∈R ,则P 的轨迹一定经过△ABC 的.(从“重心”,“外心”,“内心”,“垂心”中选择一个填写)【答案】外心【解析】如图所示:D 为AB 中点,连接CD ,CA CA cos A +CB CB cos B⋅BA =CA ⋅BA CA cos A +CB ⋅BACB cos B=BA -BA =0,OP -OA +OB 2=OP -OD =DP ,故DP ⋅BA =λCA CA cos A +CB CBcos B ⋅BA =0,即DP ⊥BA ,故P 的轨迹一定经过△ABC 的外心.故答案为:外心3(2024·四川遂宁·高一射洪中学校考阶段练习)已知△ABC 中,∠A =60°,AB =6,AC =4,O 为△ABC 的外心,若AO =λAB +μAC,则λ+μ的值为()A.1 B.2C.1118D.12【答案】C【解析】由题意可知,O 为△ABC 的外心,设外接圆半径为r ,在圆O 中,过O 作OD ⊥AB ,OE ⊥AC ,垂足分别为D ,E ,则D ,E 分别为AB ,AC 的中点,因为AO =λAB +μAC ,两边乘以AB ,即AO ⋅AB =λAB 2+μAC ⋅AB ,AO ,AB 的夹角为∠OAD ,而cos ∠OAD =AD AO=62r =3r ,则r ×6×3r =36λ+μ×4×6×12,得6λ+2μ=3①,同理AO =λAB +μAC 两边乘AC ,即AO ⋅AC =λAB ⋅AC +μAC 2,cos ∠OAC =2r,则r ×4×2r =λ×6×4×12+16μ,得3λ+4μ=2②,①②联立解得λ=49,μ=16,所以λ+μ=49+16=1118.故选:C .题型四:垂心定理1(2024·江苏泰州·高一统考期末)已知△ABC 的垂心为点D ,面积为15,且∠ABC =45°,则BD ⋅BC=;若BD =12BA +13BC ,则BD=.【答案】 3025【解析】如图,AH 是△ABC 的BC 边上的高,则AH ⋅BC =0;设AD =λAH ,因为∠ABC =45°,面积为15,所以12BABC sin45°=15,即BA BC =302;BD ⋅BC =BA +AD ⋅BC =BA +λAH ⋅BC =BA ⋅BC +λAH ⋅BC =BA BCcos45°=30.由第一空可知BD ⋅BC =30,所以BD ⋅BC =12BA+13BC ⋅BC =12BA ⋅BC +13BC 2=30;所以BC 2=45,由BA BC =302可得BA =210,即BA 2=40;因为BD =12BA +13BC ,所以BD 2=14BA 2+19BC 2+13BA ⋅BC =14BA 2+19BC2+10=10+5+10=25;故答案为:30 25.2(2024·湖北黄冈·高一校联考期末)若O 为△ABC 的垂心,2OA +3OB +5OC =0 ,则S△AOB S △AOC=,cos ∠BOC =.【答案】 53-217/-1721【解析】因为2OA +3OB +5OC =0,所以2OA +OC =-3OB +OC ,设M 为AC 的中点,N 为BC 的中点,则OA +OC =2OM ,OB +OC =2ON,所以2OM =-3ON ,所以MN 为△ABC 的中位线,且OM ON=32,所以O 为CD 的中点,所以S △AOC =S △AOD ,又OM AD =12,ON DB =12,所以AD DB =32,所以S △AOD S △BOD =32,所以S △AOB S △AOC=53,同理可得S △BOC S △AOC=23,所以S △AOB S △ABC =12,S △AOC S △ABC =310,又O 为△ABC 的垂心,OD =OC ,设OD =x ,OB =y ,则OC =x ,OE =3y7,所以cos ∠BOD =x y =cos ∠COE =3y7x ,即x 2=37y 2,所以x 2y 2=37,则x y =217所以cos ∠BOD =217,所以cos ∠BOC =cos π-∠BOD =-217,故答案为:53;-2173(2024·山西·高一校联考阶段练习)已知H 为△ABC 的垂心(三角形的三条高线的交点),若AH=13AB+25AC ,则sin ∠BAC =.【答案】63/136【解析】因为AH =13AB +25AC,所以BH =BA +AH =-23AB+25AC ,同理CH =CA +AH =13AB -35AC ,由H 为△ABC 的垂心,得BH ⋅AC =0,即-23AB+ 25AC ⋅AC =0,可知25AC 2=23ACAB cos ∠BAC ,即cos ∠BAC =3AC5AB ,同理有CH ⋅AB =0,即13AB - 35AC ⋅AB =0,可知13AB 2=35ACAB cos ∠BAC ,即cos ∠BAC =5AB 9AC,所以cos 2∠BAC =13,sin 2∠BAC =1-cos 2∠BAC =1-13=23,又∠BAC ∈0,π ,所以sin ∠BAC =63.故答案为:63.【过关测试】一、单选题1(2024·全国·高一专题练习)在直角三角形ABC 中,A =90°,△ABC 的重心、外心、垂心、内心分别为G 1,G 2,G 3,G 4,若AG i =λi AB +μi AC(其中i =1,2,3,4),当λi +μi 取最大值时,i =()A.1 B.2C.3D.4【答案】B【解析】直角三角形ABC 中,A =90°,D 为BC 中点,△ABC 的重心为G 1,如图所示,AG 1 =23AD =23×12AB +AC =13AB+13AC ,则λ1=μ1=13,λ1+μ1=23;直角三角形ABC 中,A =90°,△ABC 的外心为G 2,则G 2为BC 中点,如图所示,AG 2 =12AB +AC ,则λ2=μ2=12,λ2+μ2=1;直角三角形ABC 中,A =90°,△ABC 的垂心为G 3,则G 3与A 点重合,AG 3 =0,则λ3=μ3=0,λ3+μ3=0;直角三角形ABC 中,A =90°,△ABC 的内心为G 4,则点G 4是三角形内角平分线交点,直角三角形ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,设内切圆半径为r ,则S △ABC =12bc =12a +b +c r ,得r =bca +b +c,AG 4 =bc a +b +c ⋅AB AB +bc a +b +c ⋅AC AC =bc a +b +c ⋅AB c +bc a +b +c ⋅ACb =b a +b +cAB +ca +b +cAC ,λ=b a +b +c ,μ=c a +b +c ,λ+μ=b a +b +c +c a +b +c =b +ca +b +c <1.λ2+μ2=1最大,所以当λi +μi 取最大值时,i =2.故选:B .2(2024·黑龙江牡丹江·高一牡丹江一中校考阶段练习)若O 是△ABC 所在平面上一定点,H ,N ,Q 在△ABC 所在平面内,动点P 满足OP =OA +λAB AB +ACAC,λ∈0,+∞ ,则直线AP 一定经过△ABC 的心,点H 满足HA = HB = HC ,则H 是△ABC 的心,点N 满足NA +NB +NC=0,则N 是△ABC 的心,点Q 满足QA ·QB =QB ·QC =QC ·QA ,则Q 是△ABC 的心,下列选项正确的是()A.外心,内心,重心,垂心B.内心,外心,重心,垂心C.内心,外心,垂心,重心D.外心,重心,垂心,内心【答案】B【解析】OP =OA +λAB AB +AC AC ,变形得到AP =λAB AB +ACAC,其中AB AB ,ACAC 分别代表AB ,AC 方向上的单位向量,故AB AB +ACAC所在直线一定为∠BAC 的平分线,故直线AP 一定经过△ABC 的内心,HA = HB = HC,即点H 到△ABC 三个顶点相等,故点H 是△ABC 的外心,因为NA +NB +NC =0 ,所以NA +NB =-NC ,如图,取AB 的中点D ,连接ND ,则NA +NB =2ND ,所以NC =-2ND ,故C ,N ,D 三点共线,且CN =2ND ,所以N 是△ABC 的重心,由QA ·QB =QB ·QC 可得QA ·QB -QB ·QC =QA -QC ·QB =CA ·QB=0,故CA ⊥QB ,同理可得CB ⊥QA ,BA ⊥QC ,故Q 为△ABC 三条高的交点,Q 为△ABC 的垂心.故选:B 二、多选题3(2024·河南郑州·高一校联考期末)点O 为△ABC 所在平面内一点,则()A.若OA +OB +OC =0 ,则点O 为△ABC 的重心B.若OA ⋅AC AC -AB AB =OB ⋅BC BC -BABA=0,则点O 为△ABC 的垂心C.若OA +OB ⋅AB =OB +OC ⋅BC=0.则点O 为△ABC 的垂心D.在△ABC 中,设AC 2 -AB 2 =2AO ⋅BC,那么动点O 的轨迹必通过△ABC 的外心【答案】AD【解析】A .由于OA =-OB +OC =-2OD ,其中D 为BC 的中点,可知O 为BC 边上中线的三等分点(靠近线段BC ),故O 为△ABC 的重心;选项A 正确.B .向量AC AC ,ABAB,分别表示在边AC 和AB 上取单位向量AC 和AB ,它们的差是向量B C,当OA ⋅AC AC-AB AB =0,即OA ⊥B C 时,则点O 在∠BAC 的平分线上,同理由OB ⋅BC BC -BABA =0,知点O 在∠ABC 的平分线上,故O 为△ABC 的内心;选项B 错误.C .OA +OB 是以OA ,OB 为边的平行四边形的一条对角线的长,而AB 是该平行四边形的另一条对角线的长,OA +OB ⋅AB =0表示这个平行四边形是菱形,即OA =OB ,同理有OB =OC,故O 为△ABC 的外心.选项C 错误.对于D ,设M 是BC 的中点,AC 2-AB 2=AC +AB ⋅AC -AB =2AO ⋅BC =2AM ⋅BC,即AO -AM ⋅BC =MO ⋅BC =0,所以MO ⊥BC ,所以动点O 在线段BC 的中垂线上,故动点O 的轨迹必通过△ABC 的外心.选项D 正确.故选:AD .4(2024·内蒙古呼和浩特·高一呼市二中校考阶段练习)设点M 是△ABC 所在平面内一点,则下列说法正确的是()A.若AM =12AB +12AC ,则点M 是边BC 的中点B.若AM =2AB -AC ,则点M 是边BC 的三等分点C.若AM =-BM -CM ,则点M 是边△ABC 的重心D.若AM =xAB +yAC ,且x +y =13,则△MBC 的面积是△ABC 面积的23【答案】ACD【解析】对于A 中,根据向量的平行四边形法则,若AM =12AB +12AC =12(AB +AC),则点M 是边BC 的中点,所以A 正确;对于B 中,由AM =2AB -AC ,则AM -AB =AB -AC ,即BM =CB,则B 为CM 的中点,所以B 错误;对于C 中,如图所示,由AM =-BM -CM ,可得AM +BM +CM =0,取BC 的中点D ,可得MA =-2MD,则点M 为△ABC 的重心,所以C 正确;对于D 中,由AM =xAB +yAC ,且x +y =13,所以3AM =3xAB +3yAC且3x +3y =1,设AN =3AM ,可得AN =3xAB +3yAC ,且3x +3y =1,所以N ,B ,C 三点共线,因为AN =3AM ,所以M 为AN 的一个三等分点(靠近A ),如图所示,所以S △MBC =23S △ABC ,即则△MBC 的面积是△ABC 面积的23,所以D 正确.故选:ACD .5(2024·山东枣庄·高一校考阶段练习)数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,此直线被称为三角形的欧拉线,该定理则被称为欧拉线定理.设点O 、G 、H 分别是△ABC 的外心、重心、垂心,且M 为BC 的中点,则()A.OH =OA +OB +OCB.S △ABG =S △BCG =S △ACGC.AH =3OMD.AB +AC =4OM +2HM【答案】ABD【解析】A . ∵OG =12GH ,∴OG =13OH ,∵G 为重心,所以GA +GB +GC =0,所以OA -OG +OB -OG +OC -OG =0 ,所以OG =13(OA +OB +OC ),∴13OH=13(OA +OB +OC ),所以OH =OA +OB +OC ,所以该选项正确.B .S △BCG =12×BC ×h 1,S △ABC =12×BC ×h 2,由于G 是重心,所以h 1=13h 2,所以S △BCG =13S △ABC ,同理S △ABG =13S △ABC ,S △ACG =13S △ABC ,所以S △ABG =S △BCG =S △ACG ,所以该选项正确.C .AH =AG +GH =2GM +2OG =2(OG +GM )=2OM,所以该选项错误.D .OH =3OG ,∴MG =23MO +13MH ,∴GM =23OM +13HM ,所以AB +AC =2AM =6GM =623OM +13HM =4OM +2HM ,所以该选项正确.故选:ABD6(2024·安徽池州·高一统考期末)已知△ABC 的重心为O ,边AB ,BC ,CA 的中点分别为D ,E ,F ,则下列说法正确的是()A.OA +OB =2ODB.若△ABC 为正三角形,则OA ⋅OB +OB ⋅OC +OC ⋅OA=0C.若AO ⋅AB -AC=0,则OA ⊥BC D.OD +OE +OF =0【答案】ACD【解析】对于A ,因为D 为△OAB 中AB 的中点,所以OA +OB =2OD ,所以A 正确;对于B ,因为△ABC 为正三角形,所以OA ⋅OB =OA 2cos120°=-12OA 2,所以OA ⋅OB +OB ⋅OC +OC ⋅OA =-32OA2,所以B 不正确;对于C ,因为AO ⋅AB -AC =AO ⋅CB=0,所以OA ⊥BC ,所以C 正确;对于D ,因为O 为△ABC 的重心,D ,E ,F 分别为边AB ,BC ,CA 的中点,所以CO =2OD ,即2OD +OC =0 ,所以OD +OE +OF =12OA +OB +12OB +OC +12OA+OC=OA +OB +OC =2OD +OC =0 ,所以D 正确.故选:ACD .7(2024·广东广州·高一校考期末)下列命题正确的是()A.若A ,B ,C ,D 四点在同一条直线上,且AB =CD ,则AB =CDB.在△ABC 中,若O 点满足OA +OB +OC =0,则O 点是△ABC 的重心C.若a =(1,1),把a 右平移2个单位,得到的向量的坐标为(3,1)D.在△ABC 中,若CP =λCA |CA |+CB|CB |,则P 点的轨迹经过△ABC 的内心【答案】BD【解析】对于A ,依题意如图,但AB ≠CD,故选项A 错误;对于B ,设BC 的中点为D ,由于OA +OB +OC =0 ,即OA =-(OB +OC ),所以OA =-2OD ,所以O 点是△ABC 的重心,故选项B 正确;对于C ,向量平移后不改变方向和模,为相等向量,故选项C 错误;对于D ,根据向量加法的几何意义知,以CA |CA |和CB|CB |为邻边的平行四边形为菱形,点P 在该菱形的对角线上,由菱形的对角线平分一组对角,故P 点的轨迹经过△ABC 的内心,故选项D 正确.故选:BD8(2024·新疆·高一兵团第三师第一中学校考阶段练习)点O 在△ABC 所在的平面内,则下列结论正确的是()A.若OA ⋅OB =OB ⋅OC =OC ⋅OA ,则点O 为△ABC 的垂心B.若OA +OB +OC =0 ,则点O 为△ABC 的外心C.若2OA +OB +3OC =0,则S △AOB :S △BOC :S △AOC =3:2:1D.若AO ⋅AB AB =AO ⋅AC AC 且CO ⋅CA CA =CO ⋅CB CB ,则点O 是△ABC 的内心【答案】ACD【解析】对A :如图所示,OA ⋅OB =OB ⋅OC =OC ⋅OA,则(OA -OC )⋅OB =CA ⋅OB =0,(OB -OC )⋅OA =CB ⋅OA =0,(OB -OA )⋅OC =AB ⋅OC =0,∴OB ⊥CA ,OA ⊥CB ,OC ⊥AB ,∴O 为△ABC 的垂心,A 正确;对B :如图,取AB 的中点D ,连接OD ,由OA +OB +OC =0 ,则OA +OB =2OD =-OC ,∴O ,D ,C 三点共线,又CD 是△ABC 的中线,且|OC |=2|OD |,∴O 为△ABC 的重心,B 错误;对C :如图:D ,E 分别是AC ,BC 的中点,由2OA +OB +3OC =0 ,∴2(OA +OC )+(OB +OC )=0 ,∴4OD +2OE =0 ,∴OE =-2OD ,∴OD =13DE =16AB ,OE =23DE =13AB ,则S △AOC =16S △ABC ,S △BOC =13S △ABC ,S △AOB =12S △ABC ,则S △AOB :S △BOC :S △AOC =3:2:1,C 正确;对D :如图,∵AO ⋅AB |AB |=AO ⋅AC|AC |,∴|AO ||AB |cos ∠BAO |AB |=|AO ||AC |cos ∠CAO |AC|,∴cos ∠BAO =cos ∠CAO ,∴∠BAO =∠CAO ,即AO 为∠BAC 的平分线,同理由CO ⋅CA |CA |=CO ⋅CB|CB|得∠ACO =∠BCO ,即CO 为∠ACB 的平分线,∴O 为△ABC 的内心,D 正确.故选:ACD 三、填空题9(2024·甘肃武威·高一校联考期末)记△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若O 为△ABC 的重心,OB ⊥OC ,3b =4c ,则cos A =.【答案】56【解析】连接AO ,延长AO 交BC 于D ,由题意得D 为BC 的中点,OB ⊥OC ,所以OD =BD =CD =12a ,AD =32a .因为∠ADB +∠ADC =π,所以cos ∠ADB +cos ∠ADC =94a 2+14a 2-c 22×32a ×12a +94a 2+14a 2-b 22×32a ×12a =0,得b 2+c 2=5a 2.故cos A =b 2+c 2-a 22bc=b 2+c 2-15b 2-15c 22bc=25b c +c b=25×34+43 =56.故答案为:56.10(2024·全国·高一专题练习)点O 是平面上一定点,A 、B 、C 是平面上△ABC 的三个顶点,∠B 、∠C 分别是边AC 、AB 的对角,以下命题正确的是(把你认为正确的序号全部写上).①动点P 满足OP =OA +PB +PC,则△ABC 的重心一定在满足条件的P 点集合中;②动点P 满足OP =OA +λAB |AB |+AC|AC |(λ>0),则△ABC 的内心一定在满足条件的P 点集合中;③动点P 满足OP =OA +λAB |AB |sin B +AC|AC|sin C(λ>0),则△ABC 的重心一定在满足条件的P 点集合中;④动点P 满足OP =OA+λAB |AB |cos B +AC|AC|cos C(λ>0),则△ABC 的垂心一定在满足条件的P 点集合中;⑤动点P 满足OP =OB +OC 2+λAB |AB |cos B +AC|AC|cos C(λ>0),则△ABC 的外心一定在满足条件的P 点集合中.【答案】①②③④⑤【解析】对于①,因为动点P 满足OP =OA +PB +PC,∴AP =PB +PC ,则点P 是△ABC 的重心,故①正确;对于②,因为动点P 满足OP =OA+λAB |AB |+AC |AC |(λ>0),∴AP =λAB |AB |+AC |AC |(λ>0),又AB |AB |+AC |AC |在∠BAC 的平分线上,∴AP与∠BAC 的平分线所在向量共线,所以△ABC 的内心在满足条件的P 点集合中,②正确;对于③,动点P 满足OP =OA +λAB |AB |sin B +AC|AC|sin C(λ>0),∴AP =λAB |AB |sin B +AC|AC|sin C,(λ>0),过点A 作AD ⊥BC ,垂足为D ,则|AB |sin B =|AC|sin C =AD ,AP =λAD(AB +AC ),向量AB +AC 与BC 边的中线共线,因此△ABC 的重心一定在满足条件的P 点集合中,③正确;对于④,动点P 满足OP =OA +λAB |AB |cos B +AC|AC|cos C(λ>0),∴AP =λAB |AB |cos B +AC|AC|cos C(λ>0),∴AP ⋅BC =λAB |AB |cos B +AC|AC|cos C⋅BC =λ(|BC |-|BC |)=0,∴AP ⊥BC ,所以△ABC 的垂心一定在满足条件的P 点集合中,④正确;对于⑤,动点P 满足OP =OB +OC 2+λAB |AB |cos B +AC|AC|cos C(λ>0),设OB +OC2=OE,则EP =λAB |AB |cos B +AC|AC|cos C,由④知AB |AB |cos B +AC|AC|cos C⋅BC =0,∴EP ⋅BC=0,∴EP ⊥BC ,∴P 点的轨迹为过E 的BC 的垂线,即BC 的中垂线;所以△ABC 的外心一定在满足条件的P 点集合,⑤正确.故正确的命题是①②③④⑤.故答案为:①②③④⑤.11(2024·辽宁·高一校联考期末)某同学在学习和探索三角形相关知识时,发现了一个有趣的性质:将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧(劣弧)沿着三角形的边进行翻折,则三条圆弧交于该三角形内部一点,且此交点为该三角形的垂心(即三角形三条高线的交点).如图,已知锐角△ABC外接圆的半径为2,且三条圆弧沿△ABC三边翻折后交于点P.若AB=3,则sin∠PAC=;若AC:AB:BC=6:5: 4,则PA+PB+PC的值为.【答案】74234/5.75【解析】设外接圆半径为R,则R=2,由正弦定理,可知ABsin∠ACB=3sin∠ACB=2R=4,即sin∠ACB=34,由于∠ACB是锐角,故cos∠ACB=74,又由题意可知P为三角形ABC的垂心,即AP⊥BC,故∠PAC=π2-∠ACB,所以sin∠PAC=cos∠ACB=7 4;设∠CAB=θ,∠CBA=α,∠ACB=β,则∠PAC=π2-β,∠PBA=π2-θ,∠PAB=π2-α,由于AC:AB:BC=6:5:4,不妨假设AC=6,AB=5,BC=4,由余弦定理知cosθ=62+52-422×6×5=34,cosα=42+52-622×4×5=18,cosβ=42+62-522×4×6=916,设AD,CE,BF为三角形的三条高,由于∠ECB+∠EBC=π2,∠PCD+∠CPD=π2,故∠EBC=∠CPD ,则得∠APC=π-∠CPD=π-∠EBC=π-∠ABC,所以PCsinπ2-β=PAsinπ2-θ=ACsin∠APC=ACsin∠ABC=2R=4,同理可得PBsinπ2-α=ABsin∠APB=ABsin∠ACB=2R=4,所以PA+PB+PC=4cosθ+cosα+cosβ=434+18+916=234,故答案为:74;23412(2024·宁夏银川·高一银川唐徕回民中学校考期末)已知P 为△ABC 所在平面内一点,有下列结论:①若P 为△ABC 的内心,则存在实数λ使AP =λAB |AB |+AC|AC |;②若PA +PB +PC =0 ,则P 为△ABC 的外心;③若PA =PB =PC ,则P 为△ABC 的内心;④若AP =13AB +23AC ,则△ABC 与△ABP 的面积比为2:3.其中正确的结论是.(写出所有正确结论的序号)【答案】①【解析】设AB 中点D ,对于①若P 为△ABC 的内心,所以P 在∠BAC 的角平分线上,因为AB |AB |为AB 方向上的单位向量,AC|AC |为AC 方向上的单位向量,令AE =AB |AB |+AC|AC |,所以AE 在∠BAC 的角平分线上,即AE 与AP共线,所以存在实数λ使AP =λAE ,即AP =λAB |AB |+AC|AC |,故①正确;对于②,若PA +PB +PC =0,则2PD +PC =0 ,所以P 在中线CD 上且CP =2PD ,即P 为三角形重心,故②错误;对于③,PA =PB =PC,所以P 为△ABC 的外心,故③错误;若AP =13AB +23AC ,则13(AB -AP )+23(AC -AP )=0 ,即PB +2PC =0 ,所以P 为BC 上靠近C 的三等分点,所以BP =2PC ,故△ABC 与△ABP 的面积比为3:2,故④错误.故答案为:①13(2024·广西河池·高一校联考阶段练习)在△ABC 中,已知AB =5,AC =3,A =2π3,I 为△ABC 的内心,CI 的延长线交AB 于点D ,则△ABC 的外接圆的面积为,CD =.【答案】 49π3/493π;372/327.【解析】由余弦定理得BC 2=25+9-2×5×3×-12=49,∴BC =7.设三角形的外接圆的半径为R , 所以732=2R ,∴R =733,所以△ABC 的外接圆的面积为π×7332=493π.由余弦定理得cos ∠ACB =49+9-252×7×3=1114=1-2sin 2∠ACD ,所以sin ∠ACD =2114,cos ∠ACD =5714.所以sin ∠ADC =sin (∠A +∠ACD )=32×5714-12×2114=217.由正弦定理得3217=CD 32,∴CD =327.故答案为:49π3;372.14(2024·四川遂宁·高一遂宁中学校考阶段练习)已知O 是平面上的一定点,A ,B ,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足OP =OB +OC 2+λAB AB cos B +ACAC cos C ,λ∈0,+∞ ,则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的(填序号).①内心 ②垂心 ③ 重心 ④外心【答案】④【解析】设BC 的中点为D ,∵OP =OB +OC 2+λAB AB cos B +AC AC cos C,∴OP =OD +λAB AB cos B +ACAC cos C ,即DP =λAB AB cos B +ACAC cos C,两端同时点乘BC ,∵DP ⋅BC =λAB ⋅BC AB cos B +AC ⋅BCAC cos C =λAB ⋅BC cos π-B AB cos B +AC ⋅BC cos C ACcos C=λ-BC +BC=0,所以DP ⊥BC ,所以点P 在BC 的垂直平分线上,即P 经过△ABC 的外心故答案为:④.15(2024·高一课时练习)已知O 为△ABC 的内心,∠BAC =π3,且满足AO =xAB +yAC ,则x +y 的最大值为.【答案】23【解析】如图,延长AO 交BC 于D ,设BC ,AC 分别与圆切于点E ,F ,则OE =OF ,OE ≤OD ,设AD =λAO ,则AD =λxAB +λyAC ,因为B ,D ,C 三点共线,所以λx +λy =1,x +y =1λ=AO AD =AO AO +OD ≤AO AO +OE =11+OE AO =11+OF AO =11+sin A 2=11+sin π6=23,当且仅当D ,E 重合时等号成立.所以x +y 的最大值为23.故答案为:23.16(2024·高一课时练习)已知A ,B ,C 是平面内不共线的三点,O 为ΔABC 所在平面内一点,D 是AB 的中点,动点P 满足OP =132-2λ OD +1+2λ OCλ∈R ,则点P 的轨迹一定过△ABC 的(填“内心”“外心”“垂心”或“重心”).【答案】重心【解析】根据已知条件判断P ,C ,D 三点共线,结合重心的定义,判断出P 的轨迹过三角形ABC 的重心.∵点P 满足OP =132-2λ OD +1+2λ OC λ∈R ,且132-2λ +131+2λ =1,∴P ,C ,D 三点共线.又D 是AB 的中点,∴CD 是边AB 上的中线,∴点P 的轨迹一定过ΔABC 的重心.故答案为:重心17(2024·高一课时练习)已知点O 是ΔABC 的内心,若AO =37AB +17AC,则cos ∠BAC =.【答案】16【解析】因为-OA =37OB -OA +17OC-OA ,即OC =-3OA +OB ,取AB 中点D ,连接OD ,则OA +OB =2OD ,故OC =-6OD,故点C ,O ,D 共线,又∠ACO =∠BCO ,故AC =BC ,且CD ⊥AB ,所以cos ∠BAC =DA CA=OD OC =16.故答案为:16.18(2024·四川成都·高一成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考阶段练习)已知点O 是△ABC 的外心,AB =6,BC =8,B =2π3,若BO =xBA +yBC ,则3x +4y =.【答案】7【解析】如图,∵AB =6,BC =8,B =2π3,且BO =xBA +yBC ,∴BO ⋅BA =|BO |⋅|BA |⋅cos ∠ABO =12|BA |2=18,BO ⋅BC =|BO ||BC |⋅cos ∠CBO =12|BC |2=32,BA ⋅BC =6×8×-12 =-24,∴BO ⋅BA =xBA 2+yBA ⋅BC BO ⋅BC =xBA ⋅BC +yBC2 ,∴18=36x -24y 32=-24x +64y ,整理得,6x -4y =38y -3x =4 ,∴(6x -4y )+(8y -3x )=3x +4y =7.故答案为:719(2024·湖北武汉·高一期末)△ABC 中,AB =2,BC =26,AC =4,点O 为△ABC 的外心,若AO =mAB +nAC ,则实数m =.【答案】45/0.8【解析】由BC =AC -AB 可得BC 2=AC -AB 2=AC 2+AB 2-2AB ⋅AC =4+16-2AB ⋅AC =24,所以,AB ⋅AC =-2,同理可得BA ⋅BC =6,CA ⋅CB =18,故AB AC cos A <0即cos A <0,而A ∈0,π ,故A 为钝角.如下图所示:取线段AC 的中点E ,连接OE ,由垂径定理可得OE ⊥AC ,则AO ⋅AC =AE +EO ⋅AC =AE ⋅AC +EO ⋅AC =12AC 2,同理可得AO ⋅AB =12AB 2,因为AO =mAB +nAC ,则AO ⋅AC =mAB +nAC ⋅AC =mAB ⋅AC +nAC 2=-2m +16n =12AC 2=8;AO ⋅AB =mAB +AC ⋅AB =mAB 2+nAB ⋅AC =12AB 2,即4m -2n =2,故m =45故答案为:45.20(2024·湖北·高一校联考阶段练习)在△ABC 中,已知AB =2,AC =5,∠BAC =60°,P 是△ABC 的外心,则∠APB 的余弦值为.【答案】1319【解析】BC 2=AB 2+AC 2-2AB ⋅AC cos60°=4+25-10=19,故BC =19,设△ABC 的外接圆半径为R ,则R =BC 2sin60°=573,△APB 中,cos ∠APB =R 2+R 2-42R 2=1-2R 2=1319.故答案为:1319.21(2024·四川达州·高一达州中学校考阶段练习)设O 为△ABC 的外心a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 的对边,若b =3,c =5,则OA ⋅BC =.【答案】8【解析】如图所示,因为O 为△ABC 的外心,取AB 中点E ,则OE ⊥AB ,则AO ⋅AB =OA AB cos ∠OAB =AB OA cos ∠OAC =AB ⋅12AB =12c 2=252,同理AO ⋅AC =12b 2=92,所以OA ⋅BC =OA ⋅AC -AB =-AO ⋅AC -AB =-AO ⋅AC +AO ⋅AB =-92+252=8.故答案为:822(2024·广东汕头·高一金山中学校考期末)已知O 为△ABC 的外心,若AO ⋅BC =4BO ⋅AC ,则cos A 最小值.【答案】34【解析】∵O 为△ABC 的外心,若AO ⋅BC =4BO ⋅AC ,∴AO ⋅AC -AB =4BO ⋅BC -BA ,∴AO ⋅AC -AO ⋅AB =4BO ⋅BC -4BO ⋅BA ,∴12AC 2-12AB 2=4×12BC 2-4×12BA 2,即b 2-c 2=4a 2-4c 2,即b 2+3c 2=4a 2,∴cos A =b 2+c 2-a 22bc =b 2+c 2-b 2+3c 242bc=3b 2+c 28bc ≥23bc 8bc=34,当且仅当3b =c 时取等号,∴cos A 的最小值为34.故答案为:34.23(2024·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考期末)某同学在查阅资料时,发现一个结论:已知O 是△ABC 内的一点,且存在x ,y ,z ∈R ,使得xOA +yOB +zOC =0 ,则S △AOB :S △AOC :S △COB =z :y :x .请以此结论回答:已知在△ABC 中,∠A =π4,∠B =π3,O 是△ABC 的外心,且AO =λAB +μAC λ,μ∈R ,则λ+μ=.【答案】33/133【解析】如图,因为O 是△ABC 的外心,所以∠BOC =2∠BAC =π2,∠AOC =2∠ABC =2π3,∠BOA =2∠BCA =5π6,由结论可得S △BOC ⋅OA +S △AOC ⋅OB +S △BOA ⋅OC =0 ,即12R 2sin ∠BOC ⋅OA +12R 2sin ∠AOC ⋅OB +12R 2sin ∠BOA ⋅OC =0 ,可得sin π2⋅OA +sin 2π3⋅OB +sin 5π6⋅OC =0 ,即OA +32OB +12OC =0 .因为AO =λAB +μAC =λ(OB -OA )+μ(OC -OA ),所以(1-λ-μ)OA +λOB +μOC =0 ,所以λ1-λ-μ=32μ1-λ-μ=12 ,即λ+μ1-λ-μ=3+12,即1-(λ+μ)λ+μ=3-1,解得λ+μ=33.故答案为:33.24(2024·辽宁大连·高一育明高中校考期末)已知点P 在△ABC 所在的平面内,则下列各结论正确的有①若P 为△ABC 的垂心,AB ⋅AC =2,则AP ⋅AB =2②若△ABC 为边长为2的正三角形,则PA ⋅PB +PC 的最小值为-1③若△ABC 为锐角三角形且外心为P ,AP =xAB +yAC 且x +2y =1,则AB =BC④若AP =1AB cos B +12 AB +1AC cos C +12AC ,则动点P 的轨迹经过△ABC 的外心【答案】①③④【解析】对于①,若P 为△ABC 的垂心,则AB ⋅PC =0,又AB ⋅AC =2,所以AP ⋅AB =AB ⋅AC +PC =AB ⋅AC +AB ⋅PC =2+0=2,①正确;对于②,取CB 的中点O ,连接OA ,以O 为坐标原点,BC ,OA 所在直线分别为x 轴,y 轴,建立空间直角坐标系,则B -1,0 ,C 1,0 ,A 0,3 ,设P m ,n ,则PA ⋅PB +PC =-m ,3-n ⋅-2m ,-2n =2m 2+2n 2-23n =2m 2+2n -32 2-32,故当m =0,n =32时,PA ⋅PB +PC =2m 2+2n -32 2-32取得最小值,最小值为-32,②错误;对于③,有题意得AP =xAB +yAC =1-2y AB +yAC ,则AP -AB =y -2AB +AC ,即BP =y BA +BC ,如图,设D 为AC 的中点,则BA +BC =2BD ,故BP =2yBD ,故B ,P ,D 三点共线,因为P 是△ABC 的外心,所以BD 垂直平分AC ,所以AB =BC ,③正确;对于④,AP =AB AB cos B +AC AC cos C +12AB +AC ,AP ⋅BC =AB ⋅BC AB cos B +AC ⋅BC AC cos C +12AB +AC ⋅BC=AB ⋅BC cos π-B AB cos B +AC ⋅BC cos C AC cos C +12AB +AC ⋅BC =-BC +BC +12AB +AC ⋅BC =12AB +AC ⋅BC ,所以2AP ⋅BC =AB +AC ⋅BC ,如图,设E 是BC 的中点,则AB +AC =2AE ,故2AP ⋅BC =2AE ⋅BC ,即AP -AE ⋅BC =EP ⋅BC =0,故则动点P 的轨迹经过△ABC 的外心,④正确.故答案为:①③④25(2024·全国·高一专题练习)(1)已知O 是平面上的一定点,A ,B ,C 是平面上不共线的三个动点,若动点P 满足OP =OA +λ(AB +AC ),λ∈(0,+∞),则点P 的轨迹一定通过△ABC 的(填“内心”“外心”“重心”或“垂心” ).(2)已知O 是平面上的一定点,A ,B ,C 是平面上不共线的三个动点,若动点P 满足OP =OA +λAB |AB |+AC |AC |,λ∈(0,+∞),则点P 的轨迹一定通过△ABC 的.(填“内心”“外心”“重心”或“垂心” )【答案】 重心内心【解析】空1:由已知,AP =λ(AB +AC ),根据平行四边形法则,设△ABC 中BC 边的中点为D ,知AB +AC =2AD ,∴AP =2λAD ,∴AP ⎳AD ,则A ,P ,D 三点共线,∴点P 的轨迹必过△ABC 的重心;空2:由已知,AP =λAB |AB |+AC |AC |,而AB |AB |表示与AB 同向的单位向量,AC |AC |表示与AC 同向的单位向量,∴AP 在∠BAC 的角平分线上,∴点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心.故答案为:重心;内心.四、解答题26(2024·全国·高一专题练习)已知△ABC 中,过重心G 的直线交边AB 于P ,交边AC 于Q ,设△APQ 的面积为S 1,△ABC 的面积为S 2,AP =pPB ,AQ =qQC .(1)求GA +GB +GC ;(2)求证:1p +1q=1.(3)求S 1S 2的取值范围.【解析】(1)延长AG 交BC 于D ,则D 为BC 中点,∴GB +GC =2GD ,∵G 是重心,∴GA =-2GD ,∴GA +GB +GC =-2GD +2GD =0 ;(2)设AB =a ,AC =b ,∵AP =pPB ,∴AP =p 1+p a ,∴a =1+p p AP ∵AQ =qQC ,∴AQ =q 1+q b ,∴b =1+q q AQ ∵AG =23AD =23⋅12(AB +AC )=13a +b =13⋅1+p p AP +13⋅1+q qAQ 且P ,G ,Q 三点共线,∴13⋅1+p p +13⋅1+q q =1,∴1p +1 +1q+1 =3即1p +1q =1;(3)由(2)AP =p 1+p AB ,AQ =q 1+q AC ,∴S 1S2=12AP ⋅AQ ⋅sin ∠BAC 12AB ⋅AC ⋅sin ∠BAC =AP ⋅AQ AB ⋅AC =p 1+p ⋅q 1+q ,∵1 p +1q=1,q=pp-1,可知p>1,∴S1S2=p1+p⋅q1+q=p1+p⋅p2p-1=p22p2+p-1=1-1p2+1p+2=1-1p-122+94,∵p>1,∴0<1p<1,则当1p=12时,S1S2取得最小值49,当1p=1时,S1S2取得最大值12,∵1 p ≠1,则S1S2的取值范围为49,12.。

用向量解决三角形“四心”问题

用向量解决三角形“四心”问题

用向量解决三角形“四心”问题外心,内心,重心,垂心是三角形的四个重要几何特征,这里简称为“四心”,而向量是一个具有代数和几何双重身份的数学工具。

因此,掌握有关结论,对于处理有关“心”的问题非常有益。

性质 设O 为ABC ∆所在平面内一点,,BC a CA b AB c ===,则(1)O 为ABC ∆的外心OA OB OC ⇔==;(2)O 为ABC ∆的内心aOA bOB cOC O ⇔++=;(3)O 为ABC ∆的重心OA OB OC O ⇔++=(4)O 为ABC ∆的垂心0OA BC OB CA OC AB ⇔⋅=⋅=⋅=这一组性质的应用在历年高考与竞赛中屡见不鲜,现例举如下: 1. 内心例题1(2003年全国卷)O 是平面上一定点,,,A B C 是平面上不共线的三点,且满足(),[0,)AB AC OP OA AB ACλλ=++∈+∞.则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的( ).(A) 内心 (B) 外心 (C) 重心 (D) 垂心解析:由已知,(),AB AC AP OP OA AB AC λ=-=+ 而向量,AB ACAB AC λλ构成了菱形的两条邻边,点P 一定在和向量上,即BAC ∠的角平分线上,故选(A ).2. 重心例题2.(2004年全国高中数学联赛试题)如图1,设O 为ABC ∆内一点,且满足230OA OB OC ++=,则ABC ∆的面积与AOC ∆的面积之比为( ).(A) 2 (B)32 (C) 3 (D) 53解析:如图2,延长OB 至1B ,使12OB OB =;延长OC 至1C ,使13OC OC =.则11230OA OB OC OA OB OC ++=++=, 故O 为11AB C ∆的重心.11111111111139112611618AOC AOC AB C AOB AOB AB C BOC B OC AB C S S S S S S S S S ======三式相加,得1113ABCAB C S S = .故应选 (C). 3.垂心例题3.(2003年山东省高中数学竞赛试题)设P 为ABC ∆内任一点,求证:AB 1B1CB CO 图2A BCO 图10AP BC BP CA CP AB ⋅+⋅+⋅=.解析:由欲证结论的特点,不难联想到三角形垂心的向量特征。

三角形“四心”向量形式的综合应用

三角形“四心”向量形式的综合应用

三角形“四心”向量形式的应用结论1:若点G 为△ABC 所在的平面内一点,0GA GB GC →→→→++=⇔点G 为△ABC 的重心。

证明:由0GA GB GC →→→→++=,得。

设BC 边中点为M ,则,所以,即点G 在中线AM 上。

设AB 边中点为N ,同理可证G 在中线CN 上,故点G 为△ABC 的重心。

结论2:若点G 为△ABC 所在的平面内一点,⇔点G 为△ABC 的重心。

证明:由,得,得0GA GB GC →→→→++=。

练习:1.已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点,O 是△ABC 的外心,动点P 满足))]()21()1()1[(31R ∈++-+-=λλλλ,则P 的轨迹一定通过△ABC 的( D )A .内心B .垂心C .外心D .重心分析:取AB 边的中点M ,则OM OB OA 2=+,由))]()21()1()1[(31R ∈++-+-=λλλλ可得 )21(3)(223λλ++=-++=,所以MC MP 321λ+=)(R ∈λ,即点P 的轨迹为三角形中AB 边上的中线,故选D 。

2.已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点,O 是三角形ABC 的重心,动点P 满足OP = 13(12OA +12OB +2OC),则点P 一定为三角形ABC 的 ( B )A.AB 边中线的中点B.AB 边中线的三等分点(非重心)C.重心D.AB 边的中点3.已知O 是平面上一 定点,A 、B 、C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足:)(++=λ,则P 的轨迹一定通过△ABC 的 (C )A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心4.已知O 是平面上的一定点,A 、B 、C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足()||sin ||sin AB ACOP OA AB B AC Cλ=++,[0,)λ∈+∞, 则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( A ) A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心解:由已知得()||sin ||sin AB ACAP AB B AC Cλ=+,由正弦定理知||sin ||sin AB B AC C = ,∴()||sin AP AB AC AB Bλ=+ , 设BC 的中点为D ,则由平行四边形法则可知点P 在BC 的中线AD 所在的射线上,所以动点P 的轨迹一定通过△ABC 的重心,故选A .结论3:若点O 为△ABC 所在的平面内一点,⇔点O 为△ABC 的垂心。

高一三角形“四心”的向量性质及其应用(含解析)

高一三角形“四心”的向量性质及其应用(含解析)
∆ABC ∆PBC ∆ABC ∆PCA ∆PAB 1 2 3 ∆ABC ∆ABC
1 1 1 1 1 定义 f ( P) = (λ , λ , λ ) ,若 f (G) = ( 1 , , ), f (Q) = ( , , ) 则( ) 3 3 3 2 3 6 A.点 Q 在 ∆ABG 内 B.点 Q 在 ∆BCG 内 C.点 Q 在 ∆CAG 内 D.以上皆不对 解析: G 为重心,画图得知 例 8. 如图,已知点 G 是 ∆ABC 的重心,过 G 作直线与 AB, AC 两边分别交于 M , N 两点,
=
1 5
2 1 AB + AC ,用 O 拆开得: 2 ⋅ OA + 2⋅ OB + OC = 0 , 法 2: AO = 5 5
由奔驰定理可得: S
∆BOC
: S ∆COA : S ∆AOB = 2 : 2 : 1
,则 S
∆ABC
: S ∆AOB = (2 + 2 + 1) : 1 = 5 .
A
2 1 4 1 AB + AC = AD + AC , 法 3: AO = 5 (取 D 为 AB 边的中点) , 5 5 5
∆ABC ∆ABC
∆AOC ∆ABC
⋅ AB +
S ∆AOB ⋅ AC S ∆ABC
A
O B C
两边乘以 S 整理可得: − S 移项整理为 (S − S − S 即得 S ⋅ OA + S ⋅ OB + S 注:若简记三个面积: S = S , S
∆ABC ∆AOC ∆OBC ∆OCA ∆OBC A
A

,S S
∆AOB ∆ABC

,S S

高考专题:平面向量中的三角形“四心”问题题型总结

高考专题:平面向量中的三角形“四心”问题题型总结

专题:平面向量中三角形“四心”问题题型总结在三角形中,“四心”是一组特殊的点,它们的向量表达形式具有许多重要的性质,在近年高考试题中,总会出现一些新颖别致的问题,不仅考查了向量等知识点,而且培养了考生分析问题、解决问题的能力.现就“四心”作如下介绍:1.“四心”的概念与性质(1)重心:三角形三条中线的交点叫重心.它到三角形顶点距离与该点到对边中点距离之比为2∶1.在向量表达形式中,设点G 是△ABC 所在平面内的一点,则当点G 是△ABC 的重心时,有GA +GB +GC =0或PG =13(PA +PB +PC )(其中P 为平面内任意一点).反之,若GA +GB +GC =0,则点G 是△ABC 的重心.在向量的坐标表示中,若G ,A ,B ,C 分别是三角形的重心和三个顶点,且分别为G (x ,y ),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),C (x 3,y 3),则有x =x 1+x 2+x 33,y =y 1+y 2+y 33. (2)垂心:三角形三条高线的交点叫垂心.它与顶点的连线垂直于对边.在向量表达形式中,若H 是△ABC 的垂心,则HA ·HB =HB ·HC =HC ·HA 或HA 2+BC 2=HB 2+CA 2=HC 2+AB 2.反之,若HA ·HB =HB ·HC =HC ·HA ,则H 是△ABC 的垂心.(3)内心:三角形三条内角平分线的交点叫内心.内心就是三角形内切圆的圆心,它到三角形三边的距离相等.在向量表达形式中,若点I 是△ABC 的内心,则有|BC |·IA +|CA |·IB +|AB |·IC =0.反之,若|BC |·IA +|CA |·IB +|AB |·IC =0,则点I 是△ABC 的内心.(4)外心:三角形三条边的中垂线的交点叫外心.外心就是三角形外接圆的圆心,它到三角形的三个顶点的距离相等.在向量表达形式中,若点O 是△ABC 的外心,则(OA +OB )·BA =(OB +OC )·CB =(OC +OA )·AC =0或|OA |=|OB |=|OC |.反之,若|OA |=|OB |=|OC |,则点O 是△ABC 的外心.2.关于“四心”的典型例题[例1] 已知O 是平面上的一定点,A ,B ,C 是平面上不共线的三个动点,若动点P 满足OP =OA +λ(AB +AC ),λ∈(0,+∞),则点P 的轨迹一定通过△ABC 的________心.[解析] 由原等式,得OP -OA =λ(AB +AC ),即AP =λ(AB +AC ),根据平行四边形法则,知AB +AC 是△ABC 的中线所对应向量的2倍,所以点P 的轨迹必过△ABC 的重心.[答案] 重[点评] 探求动点轨迹经过某点,只要确定其轨迹与三角形中的哪些特殊线段所在直线重合,这可从已知等式出发,利用向量的线性运算法则进行运算得之.[例2] 已知△ABC 内一点O 满足关系OA +2OB +3OC =0,试求S △BOC ∶S △COA ∶S △AOB 之值.[解] 延长OB 至B 1,使BB 1=OB ,延长OC 至C 1,使CC 1=2OC ,连接AB 1,AC 1,B 1C 1,如图所示,则1OB =2OB ,1OC =3OC ,由条件,得OA +1OB +1OC =0,所以点O 是△AB 1C 1的重心.从而S △B 1OC 1=S △C 1OA =S △AOB 1=13S ,其中S 表示△AB 1C 1的面积,所以S △COA =19S ,S △AOB =16S ,S △BOC =12S △B 1OC =12×13S △B 1OC 1=118S . 于是S △BOC ∶S △COA ∶S △AOB =118∶19∶16=1∶2∶3. [点评] 本题条件OA +2OB +3OC =0与三角形的重心性质GA +GB +GC =0十分类似,因此我们通过添加辅助线,构造一个三角形,使点O 成为辅助三角形的重心,而三角形的重心与顶点的连线将三角形的面积三等分,从而可求三部分的面积比.[引申推广] 已知△ABC 内一点O 满足关系λ1OA +λ2OB +λ3OC =0,则S △BOC ∶S △COA ∶S △AOB =λ1∶λ2∶λ3.[例3] 求证:△ABC 的垂心H 、重心G 、外心O 三点共线,且|HG |=2|GO |.[证明] 对于△ABC 的重心G ,易知OG =OA +OB +OC 2,对于△ABC 的垂心H ,设OH =m (OA +OB +OC ),则 AH =AO +m (OA +OB +OC )=(m -1) OA +m OB +m OC .由AH ·BC =0,得[(m -1) OA +m OB +m OC ](OC -OB )=0,(m -1) OA ·(OC -OB )+m (OC 2-OB 2)=0, 因为|OC |=|OB |,所以(m -1) OA ·(OC -OB )=0.但OA 与BC 不一定垂直,所以只有当m =1时,上式恒成立.所以OH =OA +OB +OC ,从而OG =13OH ,得垂心H 、重心G 、外心O 三点共线,且|HG |=2|GO |.[引申推广]重心G 与垂心H 的关系:HG =13(HA +HB +HC ). [点评] 这是著名的欧拉线,提示了三角形的“四心”之间的关系.我们选择恰当的基底向量来表示它们,当然最佳的向量是含顶点A 、B 、C 的向量.[例4] 设A 1,A 2,A 3,A 4,A 5 是平面内给定的5个不同点,则使1MA +2MA +3MA +4MA +5MA =0成立的点M 的个数为( )A .0B .1C .5D .10[解析] 根据三角形中的“四心”知识,可知在△ABC 中满足MA +MB +MC =0的点只有重心一点,利用类比的数学思想,可知满足本题条件的点也只有1个.[答案] B[点评] 本题以向量为载体,考查了类比与化归,归纳与猜想等数学思想.本题的详细解答过程如下:对于空间两点A ,B 来说,满足MA +MB =0的点M 是线段AB 的中点;对于空间三点A ,B ,C 来说,满足MA +MB +MC =0,可认为是先取AB 的中点G ,再连接CG ,在CG 上取点M ,使MC =2MG ,则M 满足条件,且唯一;对于空间四点A ,B ,C ,D 来说,满足MA +MB +MC +MD =0,可先取△ABC 的重心G ,再连接GD ,在GD 上取点M ,使DM =3MG ,则M 满足条件,且唯一,不妨也称为重心G ;与此类似,对于空间五点A ,B ,C ,D ,E 来说,满足MA +MB +MC +MD +ME =0,可先取空间四边形ABCD 的重心G ,再连接GE ,在GE 上取点M ,使EM =4MG ,则M 满足条件,且唯一.。

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三角形“四心”向量形式的充要条件应用在学习了《平面向量》一章的基础容之后,学生们通过课堂例题以及课后习题陆续接触了有关三角形重心、垂心、外心、心向量形式的充要条件。

现归纳总结如下:一. 知识点总结 1)O 是ABC ∆的重心⇔0OC OB OA =++;若O 是ABC ∆的重心,则ABC AOB AOC BOC S 31S S S ∆∆∆∆===故0OC OB OA =++;1()3PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心.2)O 是ABC ∆的垂心⇔OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅;若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心,则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ::::=∆∆∆ 故C tan B tan A tan =++3)O 是ABC ∆的外心⇔|OC ||OB ||OA |==(或222==)若O 是ABC ∆的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=∆∆∆:::: 故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++4)O 是心ABC ∆的充要条件是|CB ||CA ||BC ||BA |AC|AB |=-⋅=-⋅=-⋅引进单位向量,使条件变得更简洁。

如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ,则刚才O 是ABC ∆心的充要条件可以写成:0)e e ()e e ()e e (322131=+⋅=+⋅=+⋅ O 是ABC ∆心的充要条件也可以是0OC c OB b OA a =++ 若O 是ABC ∆的心,则c b a S S S AOB AOC BOC ::::=∆∆∆故 0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或; ||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔ABC ∆的心;向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆的心(是BAC ∠的角平分线所在直线);二. 例(一).将平面向量与三角形心结合考查例1.O 是平面上的一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足++=λ,[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的( )BCHA图6(A )外心(B )心(C )重心(D )垂心 解析:因为ABAB 是向量AB 的单位向量设AB 与AC 方向上的单位向量分别为21e e 和,又AP OA OP =-,则原式可化为)(21e e AP +=λ,由菱形的基本性质知AP 平分BAC ∠,那么在ABC ∆中,AP 平分BAC ∠,则知选B.点评:这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”,首先ABAB 是什么?没见过!想想,一个非零向量除以它的模不就是单位向量? 此题所用的都必须是简单的基本知识,如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等,若十分熟悉,又能迅速地将它们迁移到一起,解这道题一点问题也没有。

(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2. H 是△ABC 所在平面任一点,HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅⇔点H 是△ABC 的垂心. 由AC HB AC HB HA HC HB HC HB HB HA ⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅00)(,同理AB HC ⊥,BC HA ⊥.故H 是△ABC 的垂心. (反之亦然(证略))例3.()P 是△ABC 所在平面上一点,若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅,则P 是△ABC 的(D ) A .外心 B .心 C .重心 D .垂心 解析:由0=⋅-⋅⋅=⋅PC PB PB PA PC PB PB PA 得.即0,0)(=⋅=-⋅CA PB PC PA PB 即 则AB PC BC PA CA PB ⊥⊥⊥,,同理 所以P 为ABC ∆的垂心. 故选D.点评:本题考查平面向量有关运算,及“数量积为零,则两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等相关知识.将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零,则两向量所在直线垂直” 等相关知识巧妙结合。

变式:若H 为△ABC 所在平面一点,且222222AB HC CA HB BC HA +=+=+ 则点H 是△ABC 的垂心证明: 2222BC CA HB HA -=-BA CB CA BA HB HA •+=•+∴)()( =•--+BA CB CA HB HA )(得0即=•+BA HC HC )(0HC AB ⊥∴同理HB AC ⊥,HA BC ⊥ 故H 是△ABC 的垂心(三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例4. G 是△ABC 所在平面一点,GC GB GA ++=0⇔点G 是△ABC 的重心. 证明 作图如右,图中GE GC GB =+连结BE 和CE ,则CE=GB ,BE=GC ⇔BGCE 为平行四边形⇒D 是BC 的中点,AD 为BC 边上的中线.将GE GC GB =+代入GC GB GA ++=0,得EG GA +=0⇒GD GE GA 2-=-=,故G 是△ABC 的重心.(反之亦然(证略))例5. P 是△ABC 所在平面任一点.G 是△ABC 的重心⇔)(31PC PB PA PG ++=. 证明 CG PC BG PB AG PA PG +=+=+=⇒)()(3PC PB PA CG BG AG PG +++++= ∵G 是△ABC 的重心∴GC GB GA ++=0⇒CG BG AG ++=0,即PC PB PA PG ++=3 由此可得)(31PC PB PA PG ++=.(反之亦然(证略))例6若O 为ABC ∆一点,0OA OB OC ++= ,则O 是ABC ∆ 的( ) A .心 B .外心 C .垂心 D .重心解析:由0OA OB OC ++=得OB OC OA +=-,如图以OB 、OC 为相邻两边构作平行四边形,则OB OC OD +=,由平行四边形性质知12OE OD =,2OA OE =,同理可证其它两边上的这个性质,所以是重心,选D 。

点评:本题需要扎实的平面几何知识,平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质:重心是三角形中线的分点,所分这比为21λ=。

本题在解题的过程中将平面向量的有关运算与平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质等相关知识巧妙结合。

变式:已知D E F ,,分别为ABC △的边BC AC AB ,,的中点.则AD BE CF ++=0. 证明:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-=-=GC CF GBBE GA AD 232323 )(23GC GB GA CF BE AD ++-=++∴0=++GC GB GA AD BE CF ∴++=0..变式引申:如图4,平行四边形ABCD 的中心为O ,P 为该平面上任意一点, 则1()4PO PA PB PC PD =+++.证明:1()2PO PA PC =+,1()2PO PB PD =+, 1()4PO PA PB PC PD ∴=+++.点评:(1)证法运用了向量加法的三角形法则,证法2运用了向量加法的平行四边形法则.(2)若P 与O 重合,则上式变OA OB OC OD +++=0.(四).将平面向量与三角形外心结合考查例7若O 为ABC ∆一点,OA OB OC ==,则O 是ABC ∆ 的( )A .心B .外心C .垂心D .重心解析:由向量模的定义知O 到ABC ∆的三顶点距离相等。

故O 是ABC ∆ 的外心 ,选B 。

点评:本题将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质等相关知识巧妙结合。

(五)将平面向量与三角形四心结合考查例8.已知向量1OP ,2OP ,3OP 满足条件1OP +2OP +3OP =0,|1OP |=|2OP |=|3OP |=1, 求证 △P 1P 2P 3是正三角形.(《数学》第一册(下),复习参考题五B 组第6题)证明 由已知1OP +2OP =-3OP ,两边平方得1OP ·2OP =21-, 同理 2OP ·3OP =3OP ·1OP =21-,∴|21P P |=|32P P |=|13P P |=3,从而△P 1P 2P 3是正三角形.反之,若点O 是正三角形△P 1P 2P 3的中心,则显然有1OP +2OP +3OP =0且|1OP |=|2OP |=|3OP |. 即O 是△ABC 所在平面一点,1OP +2OP +3OP =0且|1OP |=|2OP |=|3OP |⇔点O 是正△P 1P 2P 3的中心.例9.在△ABC 中,已知Q 、G 、H 分别是三角形的外心、重心、垂心。

求证:Q 、G 、H 三点共线,且QG:GH=1:2。

【证明】:以A 为原点,AB 所在的直线为x 轴,建立如图所示的直角坐标系。

设A(0,0)、B (x 1,0)、C(x 2,y 2),D 、E 、F 分别为AB 、BC 、AC 的中点,则有:112222,0)(,)(,)22222x x x y x y E F +D (、、由题设可设1324,)(,)2x Q y H x y (、,122(,33x x y G +212243(,)(,)222x x y AH x y QF y ∴==--, 212(,)BC x x y =-2212422142()0()AH BCAH BC x x x y y x x x y y ⊥∴•=-+=-∴=-212223221232(()0222()22QF ACx x yQF AC x y y x x x y y y ⊥∴•=-+-=-∴=+121221224323()(,),22x x x x x x y QH x y y --∴=--=--2(22y2112212221232122122122122()(,),)3233223()23()1 (,)(,)6321=3x x x y x x y x x x y QG y x x x x x y x x x x x y QH+--∴=--=------=--=--222(62y 66y 22y即=3QH QG ,故Q 、G 、H 三点共线,且QG :GH =1:2【注】:本例如果用平面几何知识、向量的代数运算和几何运算处理,都相当麻烦,而借用向量的坐标形式,将向量的运算完全化为代数运算,这样就将“形”和“数”紧密地结合在一起,从而,很多对称、共线、共点、垂直等问题的证明,都可转化为熟练的代数运算的论证。

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