2018年考研数学一试题答案

2017考研数学一答案及解析

一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。

（1

）若函数1(),0,0f x x ax

b x ⎧-⎪

=>⎨⎪≤⎩

在0x =连续，则（ ）。 A. 12ab = B. 1

2

ab =-

C. 0ab =

D. 2ab = 【答案】A 【解析】

由连续的定义可得-+

lim ()lim ()(0)x x f x f x f →→==，而

+++

2

0001

12lim ()lim lim 2x x x f x ax a

→→→===，-0lim ()x f x b →=，因此可得12b a =，故选择A 。

（2）设函数()f x 可导，且()'()0f x f x >，则（ ）。 A. (1)(1)f f >- B. (1)(1)f f <- C. |(1)||(1)f f >- D. |(1)||(1)f f <- 【答案】C

【解析】令2

()()F x f x =，则有'()2()'()F x f x f x =，故()F x 单调递增，则(1)(1)F F =-，即2

2[(1)][(1)]f f >-，即|(1)||(1)f f >-，故选择C 。

（3）函数22

(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量(1,2,0)n =的方向导数为（ ）。 A.12 B.6 C.4 D.2 【答案】D

【解析】2

{2,,2}gradf xy x z =，因此代入(1,2,0)可得(1,2,0)|{4,1,0}gradf =，则有

122

{4,1,0}{,,}2||333

f u grad u u ∂=⋅==∂。 （4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处，图中，实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：m/s ），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位：s ），则（ ）。

A. 010t =

B. 01520t <<

C. 025t =

D. 025t > 【答案】C

【解析】从0到0t 时刻，甲乙的位移分别为0

10

()t v t dt ⎰

与0

20

()t v t dt ⎰，由定积分的几何意义

可知，

25

210

(()()201010v t v t dt -=-=⎰

，因此可知025t =。

（5）设α为n 维单位列向量，E 为n 维单位矩阵，则（ ）。

A. T E αα-不可逆

B. T E αα+不可逆

C. 2T E αα+不可逆

D. 2T E αα-不可逆 【答案】A

【解析】因为T αα的特征值为0（n-1重）和1，所以T E αα-的特征值为1（n-1重）和0，故T E αα-不可逆。

（6）已知矩阵200210100021,020,020*********A B C ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦

，则（ ）。 A.A 与C 相似，B 与C 相似 B. A 与C 相似，B 与C 不相似 C. A 与C 不相似，B 与C 相似 D. A 与C 不相似，B 与C 不相似 【答案】B

【解析】A 和B 的特征值为2,2,1，但是A 有三个线性无关的特征向量，而B 只有两个，所依A 可对角化，B 不可，因此选择B 。

（7）设A ，B 为随机事件，若0()1,0()1P A P B <<<<，且(|)(|)P A B P A B >的充分必要条件是（ ）。 A. (|)(|)P B A P B A > B. (|)(|)P B A P B A < C. (|)(|)P B A P B A > D. (|)(|)P B A P B A < 【答案】A 【解析】

由(|)(|)P A B P A B >得()()()()

()1()()

P AB P AB P A P AB P B P B P B ->=

-，即()()()P AB P A P B >，因此选择A 。 （8）设12,,

(2)n X X X n ≥来自总体(,1)N μ的简单随机样本，记1

1n

i i X X n ==∑，则下列

结论中不正确的是（ ）。 A.

21()n

i

i X

μ=-∑服从2χ分布

B. 211

2

()n

n

i X

X =-∑服从2χ分布

C.

1

()n

i

i X

X =-∑服从2χ分布

D. 2

()n X μ-服从2χ分布

【答案】B

【解析】~(0,1)i X N μ-，故

221

()~()n

i

i X

n μχ=-∑，1~(0,2)n X X N -，因

此

~(0,1)N ，

故22~(1)χ，故B 错误，由2

211()1n i i S X X n ==--∑可得，2

221

(1)()~(1)n

i i n S X X n χ=-=--∑，1

~(0,)X N n μ-

)~(0,1)X N μ-，因

此22

()~(1)n X μχ-。

二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上。 （9）已知函数2

1()1f x x

=+，则(3)

(0)f =_________。 【答案】0

【解析】246222

1

()1()(1)1n

n n n n f x x x x x x x

∞∞

====-+-+=-=-+∑∑，因此

230

'''()(1)2(21)(22)n n n f x n n n x ∞

-==---∑，代入可得(3)(0)0f =。