2018年考研数学一真题
2018-2019年考研数学一真题及答案
2018考研数学一真题及答案一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．１．若函数1cos 0(),0xx f x b x ⎧->⎪=⎪≤⎩在0x =处连续，则 （A ）12ab =（B ）12ab =-（C ）0ab =（D ）2ab = 【详解】0001112lim ()lim lim 2x x x xx f x ax ax a +++→→→-===，0lim ()(0)x f x b f -→==，要使函数在0x =处连续，必须满足1122b ab a =⇒=．所以应该选（A ） 2．设函数()f x 是可导函数，且满足()()0f x f x '>，则（A ）(1)(1)f f >- （B ）11()()f f <- （C ）11()()f f >- （D ）11()()f f <- 【详解】设2()(())g x f x =，则()2()()0g x f x f x ''=>，也就是()2()f x 是单调增加函数．也就得到()()22(1)(1)(1)(1)f f f f >-⇒>-，所以应该选（C ）3．函数22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量(1,2,2)n =的方向导数为（A ）12 （B ）6 (C ）4 （D ）2 【详解】22,,2f f fxy x z x y z∂∂∂===∂∂∂，所以函数在点(1,2,0)处的梯度为()4,1,0gradf =，所以22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量(1,2,2)n =的方向导数为()014,1,0(1,2,2)23f gradf n n∂=⋅=⋅=∂应该选（D ）４．甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：米）处，如图中，实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：米/秒），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =（单位：米/秒），三块阴影部分的面积分别为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻为0t ，则（ ） （A ）010t = （B ）01520t <<（C ）025t = （D ）025t >【详解】由定积分的物理意义：当曲线表示变速直线运动的速度函数时，21()()T T S t v t dt =⎰表示时刻[]12,T T 内所走的路程．本题中的阴影面积123,,S S S -分别表示在时间段[][][]0,10,10,25,25,30内甲、乙两人所走路程之差，显然应该在25t =时乙追上甲，应该选（C ）．5．设α为n 单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则（A ）TE αα-不可逆 （B ）TE αα+不可逆 （C ）2TE αα+不可逆 （D ）2TE αα-不可逆 【详解】矩阵Tαα的特征值为1和1n -个0，从而,,2,2T T T T E E E E αααααααα-+-+的特征值分别为0,1,1,1；2,1,1,,1；1,1,1,,1-；3,1,1,,1．显然只有T E αα-存在零特征值，所以不可逆，应该选（A ）． 6．已知矩阵200021001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，210020001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，100020002C ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（A ）,A C 相似，,B C 相似 （B ）,A C 相似，,B C 不相似 （C ）,A C 不相似，,B C 相似 （D ）,A C 不相似，,B C 不相似【详解】矩阵,A B 的特征值都是1232,1λλλ===．是否可对解化，只需要关心2λ=的情况．对于矩阵A ，0002001001E A ⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭，秩等于1 ，也就是矩阵A 属于特征值2λ=存在两个线性无关的特征向量，也就是可以对角化，也就是~A C ．对于矩阵B ，010*******E B -⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭，秩等于2 ，也就是矩阵A 属于特征值2λ=只有一个线性无关的特征向量，也就是不可以对角化，当然,B C 不相似故选择（B ）．7．设,A B 是两个随机事件，若0()1P A <<，0()1P B <<，则(/)(/)P A B P A B >的充分必要条件是（A ）(/)(/)P B A P B A > （B ）(/)(/)P B A P B A < （C ）(/)(/)P B A P B A > （D ）(/)(/)P B A P B A <【详解】由乘法公式：()()(/),()()((/)P AB P B P A B P AB P B P A B ==可得下面结论：()()()()(/)(/)()()()()1()()P AB P AB P A P AB P A B P A B P AB P A P B P B P B P B ->⇔>=⇔>- 类似，由()()(/),()()(/)P AB P A P B A P AB P A P B A ==可得()()()()(/)(/)()()()()1()()P AB P AB P B P AB P B A P B A P AB P A P B P A P A P A ->⇔>=⇔>- 所以可知选择（A ）． 8．设12,,,(2)n X X X n ≥为来自正态总体(,1)N μ的简单随机样本，若11ni i X X n ==∑，则下列结论中不正确的是（ ）（A ）21()ni i Xμ=-∑服从2χ分布 （B ）()212n X X -服从2χ分布 （C ）21()nii XX =-∑服从2χ分布 （D ）2()n X μ-服从2χ分布解：（1）显然22()~(0,1)()~(1),1,2,i i X N X i n μμχ-⇒-=且相互独立，所以21()nii Xμ=-∑服从2()n χ分布，也就是（A ）结论是正确的；（2）222221(1)()(1)~(1)nii n S XX n S n χσ=--=-=-∑，所以（C ）结论也是正确的；（3）注意221~(,)()~(0,1)()~(1)X N X N n X nμμμχ⇒-⇒-，所以（D ）结论也是正确的；（4）对于选项（B ）：22111()~(0,2)~(0,1)()~(1)2n n X X N N X X χ-⇒⇒-，所以（B ）结论是错误的，应该选择（B ）二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9．已知函数21()1f x x=+，则(3)(0)f = ．解：由函数的马克劳林级数公式：()0(0)()!n nn f f x x n ∞==∑，知()(0)!n n f n a =，其中n a 为展开式中nx 的系数． 由于[]24221()1(1),1,11n n f x x x x x x==-+-+-+∈-+，所以(3)(0)0f =．10．微分方程230y y y '''++=的通解为 ．【详解】这是一个二阶常系数线性齐次微分方程，特征方程2230r r ++=有一对共共轭的根1r =-，所以通解为12()x y e C C -=+ 11．若曲线积分221L xdx aydy x y -+-⎰在区域{}22(,)|1D x y x y =+<内与路径无关，则a = .【详解】设 2222(,),(,)11x ay P x y Q x y x y x y -==+-+-，显然 (,),(,)P x y Q x y 在区域内具有连续的偏导数，由于与路径无关，所以有1Q Pa x y∂∂≡⇒=-∂∂ 12．幂级数111(1)n n n nx ∞--=-∑在区间(1,1)-内的和函数为【详解】111121111(1)(1)()(1)1(1)n n n nn n n n n x nxx x x x ∞∞∞----===''⎛⎫⎛⎫'-=-=-== ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∑∑∑ 所以21(),(1,1)(1)s x x x =∈-+13．设矩阵101112011A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，123,,ααα为线性无关的三维列向量，则向量组123,,A A A ααα的秩为 ．【详解】对矩阵进行初等变换101101101112011011011011000A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，知矩阵A 的秩为2，由于123,,ααα为线性无关，所以向量组123,,A A A ααα的秩为2．14．设随机变量X 的分布函数4()0.5()0.52x F x x -⎛⎫=Φ+Φ ⎪⎝⎭，其中()x Φ为标准正态分布函数，则EX = ．【详解】随机变量X 的概率密度为4()()0.5()0.25()2x f x F x x ϕϕ-'==+，所以 4()()0.5()0.25()240.25()0.252(24)()22()2x E X xf x dx x x dx x dx x x dx t t dt t dt ϕϕϕϕϕ+∞+∞+∞-∞-∞-∞+∞+∞-∞-∞+∞-∞-==+-==⨯+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰三、解答题15．（本题满分10分）设函数(,)f u v 具有二阶连续偏导数，(,cos )xy f e x =，求0|x dy dx=，202|x d y dx =．【详解】12(,cos )(,cos )(sin )x x x dy f e x e f e x x dx ''=+-，01|(1,1)x dyf dx='=； 2111122222122(,cos )((,cos )sin (,cos ))cos (,cos )sin (,cos )sin (,cos )x x x x x x x x x x d ye f e x e f e x e xf e x xf e x dx xe f e x xf e x ''''''=+--''''-+2011122|(1,1)(1,1)(1,1)x d yf f f dx=''''=+-．16．（本题满分10分） 求21limln 1nn k k k nn →∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑ 【详解】由定积分的定义120111201lim ln 1lim ln 1ln(1)11ln(1)24nn n n k k k k k k x x dx n n n n n x dx →∞→∞==⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=∑∑⎰⎰17．（本题满分10分）已知函数()y x 是由方程333320x y x y +-+-=． 【详解】在方程两边同时对x 求导，得2233330x y y y ''+-+= （1）在（1）两边同时对x 求导，得2222()0x y y y y y '''''+++=也就是222(())1x y y y y'+''=-+令0y '=，得1x =±．当11x =时，11y =；当21x =-时，20y = 当11x =时，0y '=，10y ''=-<，函数()y y x =取极大值11y =； 当21x =-时，0y '=，10y ''=>函数()y y x =取极小值20y =． 18．（本题满分10分）设函数()f x 在区间[]0,1上具有二阶导数，且(1)0f >，0()lim 0x f x x-→<，证明： （1）方程()0f x =在区间()0,1至少存在一个实根；（2）方程2()()(())0f x f x f x '''+=在区间()0,1内至少存在两个不同实根．证明：（1）根据的局部保号性的结论，由条件0()lim 0x f x x-→<可知，存在01δ<<，及1(0,)x δ∈，使得1()0f x <，由于()f x 在[]1,1x 上连续，且1()(1)0f x f ⋅<，由零点定理，存在1(,1)(0,1)x ξ∈⊂，使得()0f ξ=，也就是方程()0f x =在区间()0,1至少存在一个实根；（2）由条件0()lim 0x f x x-→<可知(0)0f =，由（1）可知()0f ξ=，由洛尔定理，存在(0,)ηξ∈，使得()0f η'=；设()()()F x f x f x '=，由条件可知()F x 在区间[]0,1上可导，且(0)0,()0,()0F F F ξη===，分别在区间[][]0,,,ηηξ上对函数()F x 使用尔定理，则存在12(0,)(0,1),(,)(0,1),ξηξηξ∈⊂∈⊂使得1212,()()0F F ξξξξ''≠==，也就是方程2()()(())0f x f x f x '''+=在区间()0,1内至少存在两个不同实根．19．（本题满分10分）设薄片型S 是圆锥面z =被柱面22z x =所割下的有限部分，其上任一点的密度为μ=C ．（1）求C 在xOy 布上的投影曲线的方程； （2）求S 的质量.M【详解】（1）交线C的方程为22z z x⎧=⎪⎨=⎪⎩z ，得到222x y x +=．所以C 在xOy 布上的投影曲线的方程为222.0x y xz ⎧+=⎨=⎩（2）利用第一类曲面积分，得222222(,,)1864SSx y xx y xM x y z dS μ+≤+≤=====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰20．（本题满分11分）设三阶矩阵()123,,A ααα=有三个不同的特征值，且3122.ααα=+ （1）证明：()2r A =；（2）若123,βααα=+，求方程组Ax β=的通解．【详解】（1）证明：因为矩阵有三个不同的特征值，所以A 是非零矩阵，也就是()1r A ≥． 假若()1r A =时，则0r =是矩阵的二重特征值，与条件不符合，所以有()2r A ≥，又因为31220ααα-+=，也就是123,,ααα线性相关，()3r A <，也就只有()2r A =．（2）因为()2r A =，所以0Ax =的基础解系中只有一个线性无关的解向量．由于31220ααα-+=，所以基础解系为121x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭；又由123,βααα=+，得非齐次方程组Ax β=的特解可取为111⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭；方程组Ax β=的通解为112111x k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，其中k 为任意常数．21．（本题满分11分）设二次型222123123121323(,,)2282f x x x x x ax x x x x x x =-++-+在正交变换x Qy =下的标准形为221122y y λλ+，求a 的值及一个正交矩阵Q ．【详解】二次型矩阵21411141A a -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭因为二次型的标准形为221122y y λλ+．也就说明矩阵A 有零特征值，所以0A =，故 2.a =114111(3)(6)412E A λλλλλλλ---=+=+---令0E A λ-=得矩阵的特征值为1233,6,0λλλ=-==．通过分别解方程组()0i E A x λ-=得矩阵的属于特征值13λ=-的特征向量1111ξ⎛⎫⎪=-⎪⎪⎭，属于特征值特征值26λ=的特征向量2101ξ-⎛⎫⎪=⎪⎪⎭，30λ=的特征向量3121ξ⎛⎫⎪=⎪⎪⎭， 所以()123,,0Q ξξξ⎛ == ⎝为所求正交矩阵． 22．（本题满分11分）设随机变量,X Y 相互独立，且X 的概率分布为{}10{2}2P X P X ====，Y 的概率密度为2,01()0,y y f y <<⎧=⎨⎩其他．（1）求概率P Y EY ≤（）；（2）求Z X Y =+的概率密度． 【详解】（1）1202()2.3Y EY yf y dy y dy +∞-∞===⎰⎰所以{}230242.39P Y EY P Y ydy ⎧⎫≤=≤==⎨⎬⎩⎭⎰（2）Z X Y =+的分布函数为{}{}{}{}{}{}{}[](),0,20,2,211{}2221()(2)2Z Y Y F z P Z z P X Y z P X Y z X P X Y z X P X Y z P X Y z P Y z P Y z F z F z =≤=+≤=+≤=++≤===≤+=≤-=≤+≤-=+-故Z X Y =+的概率密度为[]1()()()(2)2,012,230,Z Z f z F z f z f z z z z z '==+-≤≤⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他 23．（本题满分11分）某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做了n 次测量，该物体的质量μ是已知的，设n 次测量结果12,,,n X X X 相互独立且均服从正态分布2(,).N μσ该工程师记录的是n 次测量的绝对误差,(1,2,,)i i Z X i n μ=-=，利用12,,,n Z Z Z 估计参数σ．（1）求i Z 的概率密度；（2）利用一阶矩求σ的矩估计量； （3）求参数σ最大似然估计量． 【详解】（1）先求i Z 的分布函数为{}{}()i Z i i X z F z P Z z P X z P μμσσ⎧-⎫=≤=-≤=≤⎨⎬⎩⎭当0z <时，显然()0Z F z =；当0z ≥时，{}{}()21i Z i i X z zF z P Z z P X z P μμσσσ⎧-⎫⎛⎫=≤=-≤=≤=Φ-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭； 所以i Z的概率密度为222,0()()0,0z Z Z z f z F z z σ-⎧≥'==<⎩．（2）数学期望2220()z i EZ z f z dz ze dz σ-+∞+∞===⎰⎰令11n i i EZ Z Z n ===∑，解得σ的矩估计量122ni i Z nσ===∑．（3）设12,,,n Z Z Z 的观测值为12,,,n z z z ．当0,1,2,i z i n >=时似然函数为221121()(,)ni i nnz i i L f z σσσ=-=∑==∏，取对数得：2211ln ()ln 2ln(2)ln 22nii n L n n zσπσσ==---∑令231ln ()10n i i d L n z d σσσσ==-+=∑，得参数σ最大似然估计量为σ=2019考研数学一真题及答案一、选择题，1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.当0→x 时，若x x tan -与k x 是同阶无穷小，则=k A.1. B.2. C.3.D.4.2.设函数⎩⎨⎧>≤=,0,ln ,0,)(x x x x x x x f 则0=x 是)(x f 的A.可导点，极值点.B.不可导点，极值点.C.可导点，非极值点.D.不可导点，非极值点.3.设{}n u 是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是A..1∑∞=n n nu B.nn nu 1)1(1∑∞=-. C.∑∞=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111n n n u u . D.()∑∞=+-1221n n n u u.4.设函数2),(yxy x Q =，如果对上半平面（0>y ）内的任意有向光滑封闭曲线C 都有⎰=+Cdy y x Q dx y x P 0),(),(，那么函数),(y x P 可取为A.32yx y -.B.321yx y -. C.y x 11-. D.yx 1-. 5.设A 是3阶实对称矩阵，E 是3阶单位矩阵.若E A A 22=+，且4=A ，则二次型Ax x T 的规范形为A.232221y y y ++.B.232221y y y -+.C.232221y y y --.D.232221y y y ---.6.如图所示，有3张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程)3,2,1(321==++i d z a y a x a i i i i组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为A A ,，则A..3)(,2)(==A r A rB..2)(,2)(==A r A rC..2)(,1)(==A r A rD..1)(,1)(==A r A r7.设B A ,为随机事件，则)()(B P A P =的充分必要条件是 A.).()()(B P A P B A P += B.).()()(B P A P AB P = C.).()(A B P B A P = D.).()(B A P AB P =8.设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从正态分布),(2σμN ，则{}1<-Y X PA.与μ无关，而与2σ有关.B.与μ有关，而与2σ无关.C.与2,σμ都有关. D.与2,σμ都无关.二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分. 9. 设函数)(u f 可导，,)sin (sin xy x y f z +-=则yz cosy x z cosx ∂∂⋅+∂∂⋅11= . 10. 微分方程02'22=--y y y 满足条件1)0(=y 的特解=y .11. 幂级数nn n x n ∑∞=-0)!2()1(在)0∞+，（内的和函数=)(x S . 12. 设∑为曲面)0(44222≥=++z z y x 的上侧，则dxdy z x z⎰⎰--2244= .13. 设），，（321αααA =为3阶矩阵.若 21αα，线性无关，且2132ααα+-=，则线性方程组0=x A 的通解为 .14. 设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=，其他，020,2)(x xx f ）（x F 为X 的分布函数，X E 为X 的数学期望，则{}=->1X X F P E ）（ . 三、解答题：15~23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本题满分10分）设函数)(x y 是微分方程2'2x e xy y -=+满足条件0)0(=y 的特解.（1）求)(x y ；（2）求曲线)(x y y =的凹凸区间及拐点.16.（本题满分10分）设b a ,为实数，函数222by ax z ++=在点（3，4）处的方向导数中，沿方向j i l 43--=的方向导数最大，最大值为10.（1）求b a ,；（2）求曲面222by ax z ++=（0≥z ）的面积.17.求曲线)0(sin ≥=-x x e y x与x 轴之间图形的面积.18.设dx x x a n n ⎰-=121，n =（0，1，2…）（1）证明数列{}n a 单调减少，且221-+-=n n a n n a （n =2，3…） （2）求1lim-∞→n nn a a .19.设Ω是锥面())10()1(2222≤≤-=-+z z y x 与平面0=z 围成的锥体，求Ω的形心坐标.20.设向量组TT T a )3,,1(,)2,3,1(,)1,2,1(321===ααα，为3R 的一个基，T)1,1,1(=β在这个基下的坐标为Tc b )1,,(.（1）求c b a ,,.（2）证明32,a a ，β为3R 的一个基，并求,,32a a β到321,,a a a 的过度矩阵.21.已知矩阵⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----=20022122x A 与⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-=y B 00010012相似（1）求y x ,.（2）求可可逆矩阵P ，使得.1B AP P =-22.设随机变量X 与Y 相互独立，X 服从参数为1的指数分布，Y 的概率分布为{}{}),10(,11,1<<-===-=p p Y P p Y P 令XY Z =（1）求z 的概率密度.（2）p 为何值时，X 与Z 不相关. （3）X 与Z 是否相互独立?23.（本题满分11分） 设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<≥--=,0,2)(),(222μμσσA σx x u x e x f 其中μ是已知参数，0>σ是未知参数，A 是常数，n X …X X ，，21来自总体X 的简单随机样本.（1）求A ；（2）求2σ的最大似然估计量参考答案1.C2.B3.D4.D5.C6.A7.C8.A9.yx x y cos cos + 10.23-xe 11.x cos 12.332 13. ，T)1,2,1(-k k 为任意常数. 14.3215. 解：（1）)()()(2222c x ec dx e ee x y x xdxx xdx+=+⎰⎰=---⎰，又0)0(=y ，故0=c ，因此.)(221x xe x y -=（2）22221221221)1(x x x ex ex ey ----=-='，222221221321221)3()3()1(2x x x x ex x e x x xex xey -----=-=---=''，令0=''y 得3,0±=x所以，曲线)(x y y =的凹区间为)0,3(-和),3(+∞，凸区间为)3,(--∞和)3,0(,拐点为)0,0(，)3,3(23---e，)3,3(23-e .16. 解：（1）)2,2(by ax z =grad ，)8,6()4,3(b a z =grad ，由题设可得，4836-=-ba ，即b a =，又()()108622=+=b a z grad ，所以，.1-==b a（2）dxdy y z x z S y x ⎰⎰≤+∂∂+∂∂+=22222)()(1=dxdy y x y x ⎰⎰≤+-+-+22222)2()2(1 =dxdy y x y x ⎰⎰≤+++22222441 =ρρρθπd d ⎰⎰+202241=20232)41(1212ρπ+⋅=.313π 17.18.19.由对称性，2,0==y x ，⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--===ΩΩ102102101)1()1(dz z dz z z dxdy dz dxdy zdz dv zdv z zzD D ππ=.4131121)1()1(1212==--⎰⎰dz z dz z z20.（1）123=b c βααα++即11112311231b c a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 解得322a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩.（2）()23111111=331011231001ααβ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，，所以()233r ααβ=，，，则23ααβ，，可为3R 的一个基.()()12323=P αααααβ，，，，则()()1231231101=0121002P ααβααα-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，，，，.21.（1）A 与B 相似，则()()tr A tr B =，A B =，即41482x y x y -=+⎧⎨-=-⎩，解得32x y =⎧⎨=-⎩（2）A 的特征值与对应的特征向量分别为1=2λ，11=20α⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；2=1λ-，22=10α-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；3=2λ-，31=24α-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 所以存在()1123=P ααα,,，使得111212P AP -⎡⎤⎢⎥=Λ=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.B 的特征值与对应的特征向量分别为1=2λ，11=00ξ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；2=1λ-，21=30ξ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；3=2λ-，30=01ξ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭.所以存在()2123=P ξξξ,,，使得122212P AP -⎡⎤⎢⎥=Λ=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 所以112211=P AP P AP --=Λ，即1112112B P P APP P AP ---== 其中112111212004P PP --⎡⎤⎢⎥==--⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 22.解：（I ）Z 的分布函数(){}{}{}{}(){},1,11F z P XY z P XY z Y P XY z Y pP X z p P X z =≤=≤=-+≤==≥-+-≤从而当0z ≤时，()zF z pe =；当0z >时，()()()()1111z z F z p p e p e --=+--=--则Z 的概率密度为()(),01,0zzpez f z p e z -⎧<⎪=⎨->⎪⎩. （II ）由条件可得()()()()()()()()()22E XZ E X E Z E X E Y E X E Y D X E Y -=-=，又()()1,12D X E Y p ==-，从而当12p =时，(),0Cov X Z =，即,X Z 不相关.（III ）由上知当12p ≠时，,X Z 相关，从而不独立；当12p =时，121111111111,,,,2222222222112P X Z P X XY P X X P X X F e -⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫≤≤=≤≤=≤≥-+≤≤⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎛⎫⎛⎫==- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭而12112P X e -⎧⎫≤=-⎨⎬⎩⎭，121111112222222P Z P X P X e -⎛⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫≤=≤+≥-=-⎨⎬⎨⎬⎨⎬ ⎪⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎝⎭，显然1111,2222P X Z P X P Z ⎧⎫⎧⎫⎧⎫≤≤≠≤≤⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭，即,X Z 不独立. 从而,X Z 不独立. 23. 解：（I ）由()2221x Aedx μσμσ--+∞=⎰t =2012t e dt +∞-==⎰，从而A =（II ）构造似然函数()()22112212,,1,2,,,,,,0,ni i n x i n A e x i nL x x x μσμσσ=--⎧∑⎛⎫⎪≥= ⎪=⎨⎝⎭⎪⎩其他，当,1,2,,i x i nμ≥=时，取对数得()22211ln ln ln 22nii n L n A x σμσ==---∑，求导并令其为零，可得()22241ln 1022ni i d L n x d μσσσ==-+-=∑，解得2σ的最大似然估计量为()211n i i x n μ=-∑.。
考研真题【2018考研数学(一)真题+答案解析】2018年考研数学一真题及答案解析
2018年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷及答案解析一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的（1）下列函数中，在0x =处不可导的是（）(A)()sin f x x x =(B)()f x x =(C)()cos f x x =(D)()f x =【答案】（D）【解析】根据导数的定义：（A）sin limlim0,x x x x x x x x→→== 可导；（B）0,x x →→==可导；（C）1cos 12limlim0,x x xx xx→→--==可导；（D）000122lim lim,x x x xx x→→→-==极限不存在，故选D。
（2）过点()()1,0,0,0,1,0，且与曲面22z x y =+相切的平面为（）(A)01z x y z =+-=与(B)022z x y z =+-=与2(C)1x y x y z =+-=与(D)22x y x y z =+-=与2【答案】（B）【解析】()()221,0,0,0,1,0=0z z x y =+过的已知曲面的切平面只有两个，显然与曲面相切，排除C 、D22z x y =+曲面的法向量为(2x,2y,-1),111(1,1,1),,22x y z x y +-=-==对于A选项,的法向量为可得221.z x y x y z z A B =++-=代入和中不相等，排除，故选（3）()()23121!nn n n ∞=+-=+∑（）(A)sin1cos1+(B)2sin1cos1+(C)2sin12cos1+(D)2sin13cos1+【答案】（B）【解析】00023212(1)(1)(1)(21)!(21)!(21)!nn nn n n n n n n n ∞∞∞===++-=-+-+++∑∑∑0012=(1)(1)cos 2sin1(2)!(21)!nn n n l n n ∞∞==-+-=++∑∑故选B.（4）设()(2222222211,,1,1x x xM dx N dx K dx x e ππππππ---++===++⎰⎰⎰则（）(A)M N K >>(B)M K N >>(C)K M N >>(D)K N M>>【答案】（C）【解析】22222222222(1)122=(1).111x x x x M dx dx dx x x x πππππππ---+++==+=+++⎰⎰⎰22222111(0)11xx xxx e x N dx dx Meeπππππ--+++<≠⇒<⇒=<=<⎰⎰2222=11K dx dx M πππππ--+>==⎰⎰（,K M N >>故应选C 。
考研数学一(参数估计与假设检验)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)
考研数学一（参数估计与假设检验）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．[2018年] 设总体X服从正态分布X～N(μ，σ2)其中σ2已知．X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单随机样本，对总体均值μ进行检验，假设H0：μ=μ0，H1：μ≠μ0．则( )．A．若显著性水平α=0．05时拒绝H0，则在检验水平α=0．01时也拒绝H0B．若显著性水平α=0．05时接受H0，则在检验水平α=0．01时拒绝H0 C．若显著性水平α=0．05时拒绝H0，则在检验水平α=0．01时接受H0 D．若显著性水平α=0．05时接受H0，则在检验水平α=0．01时也接受H0正确答案：D解析：如图所示，Zα/2表示标准正态分布的上分位数，即图中阴影部分的面积为．区间(一Zα/2，Zα/2)是在显著性水平α下的接受域．若显著性水平α=0．05时接受H0，即表示检验统计量的观察值落在接受域(一Z0.025，Z0.025)内．区间(一Z0.005，Z0.005)包含(一Z0.025，Z0.025)，因此其观察值也落在区间(一Z0.005，Z0.005)内，即落在接受域内，所以选项D正确，B错误．α=0．05时拒绝H0，即Z的观察值落在拒绝域(一∞，一Z0.025]∪[Z0.025，+∞)内；但区间(一∞，一Z0.005]∪[Z0.005，+∞)包含于(一∞，一Z0.025]∪[Z0.025，+∞)，因此无法判断观察值是否落在区间(一∞，一Z0.005]∪[Z0.005，+∞)内，选项A、C无法确定．故选D．知识模块：参数估计与假设检验填空题2．[2009年] 设X1，X2，…，Xm为来自-N分布总体B(n，p)的简单随机样本，和S2分别为样本均值和样本方差，若+kS2为np2的无偏估计量，则k=______．正确答案：一1解析：由题设有E(+kS2)=np2，而E(X2+kS2)=E()+kE(S2)=E(X)+kD(X)=np+knp(1一p)，故np+kn(1-p)=np2，即k(1一p)=p-1，亦即k=一1．知识模块：参数估计与假设检验3．[2014年] 设总体X的概率密度为其中θ是未知参数，X1，X2，…，Xn为来自总体的简单样本，若是θ2的无偏估计，则c=______．正确答案：解析：由无偏估计的定义得到，因而故知识模块：参数估计与假设检验4．[2016年] 设x1，x2，…，xn为来自总体N(μ，σ2)的简单随机样本，样本均值．=9．5，参数μ的置信度为0．95的双侧置信区间的置信上限为10．8，则μ的置信度为0．95的双侧置信区间为______．正确答案：(8．2，10．8)解析：因，则故其中α=0．05，故μ的置信度为0．95的双侧置信区间为因μ的置信区间的置信上限为10．8，且，则所以μ的双侧置信区间为(9．5—1．3，9．5+1．3)=(8．2，10．8)．知识模块：参数估计与假设检验5．[2003年] 已知一批零件的长度X(单位：cm)服从正态分布N(μ，1)，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40(cm)，则μ的置信度为0．95的置信区间是______．(注：标准正态分布函数值ф(1．96)=0．975，ф(1．645)=0．95)正确答案：(39．51，40．49)解析：因1一α=0．95，即α=0．05，故uα/2=u0.025，1—0．025=0．975=ф(1．96)，则uσ/2=1．96．于是由，得到将=40，σ=1，n=16代入上式，即得μ的置信度为0．95的置信区间(40一(1／4)×1．96，40+(1／4)×1．96)=(39．51，40．49)．知识模块：参数估计与假设检验解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2018年考研数学(一)真题与答案解析(完整版)
2018年考研数学一试题与答案解析（完整版)1.下列函数中不可导的是（）。
A.()sin()f x x x =B.()f x x =C.()cos f x x=D.()f x =【答案】D 【解析】【解析】A 可导：()()()()-0000sin sin sin sin 0lim lim 0,0lim lim 0x x x x x x x x x x x xf f x x x x--+++→→→→⋅⋅''=====B 可导：()()-000sin 0lim lim 0,0lim lim 0x x x x x x f f x x--+++→→→→-⋅⋅''=====C 可导：()()22-000011cos -1cos -1220lim lim 0,0lim lim 0x x x x x x x x f f x x--+++→→→→--''=====D 不可导：()()()()()-000-11-11220lim lim 0lim lim -2200x x x x x x f f x x f f --+++→→→→+--''====''≠2.过点(1,0,0)与(0,1,0)且与22z x y =+相切的平面方程为A.0z =与1x y z +-= B.0z =与222x y z +-=一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.C.y x =与1x y z +-=D.y x =与222x y z +-=【答案】B【解析】因为平面过点(1,0,0)与(0,1,0)，故C 、D 排除，22(2,2,1),(1,0,0)2(1)20(0,1,0)z x y x y x X yY Z x y=+--+-==曲面的法向量为因为平面过，则平面方程为，又因为平面过，故由此，取特殊值；令x=1,则法向量为(2,2,1)-，故B 选项正确。
2018年考研管数学真题
2018MBA管理类联考综合数学答案解析1。
学科竞赛设一等奖、二等奖、三等奖。
比例为1：3:8,获奖率为30％，已知10人获一等奖，则参加竞赛的人数为A 300B 400C 500D 550E 6002. 为了解某公司员工的年龄结构，按男女的比例进行随机检查，结果如下：根据表中数据估计，该公司男员工的平均年龄与全体员工的平均年龄分别是（单位：岁）A 32，30 B 32，29。
5 C 32，27 D 30，27 E 29.5,273。
某单位采取分段收费的方式收取网络流量(单位；GB）费用；每月流量20（含）以内免费。
流量20—30(含）的每GB收费1元，流量30到40(含)的每GB收费3元，流量40以上的每GB收费5元。
小王这个月用了45GB的流量，则他应该交费A.45 B 65 C 75 D 85 E 1354。
如图,圆O是三角形的内切圆,若三角形ABC的面积与周长的大小之比为1：2，则圆O 的面积为Aπ B 2π C 3π D4π E5π6、有96位顾客至少购买了甲、乙、丙三种商品中的一种，经调查：同时购买了甲、乙两种商品的有8位，同时购买了甲、丙两种商品的有12位，同时购买了乙、丙两种商品的有6位,同时购买了三种商品的有2位，则购买一种商品的顾客有A 70位B 72位C 74位D 76位E 82位7.如图,四边形A1B1C1D1，A2 ,B2，C2 ，D2分别是A1B1C1D1四边形的中点，A3 ，B3，C3，D3 分别是四边形，A2 ，B2，C2 ，D2 四边的中点，依次下去,得到四边形序列A nB nC nD n(n=1,2,3，...），设A n B n C n D n的面积为Sn，且S1=12，则S1+S2+S3+.。
..= A 16 B 20 C 24 D 28E 308。
将6张不同的卡片2张一组分别装入甲，乙丙3个袋中,若指定的两张卡片要在同一组，则有不同的装法有A 12种B 18种C 24种D 30种E 36种9。
2018考研数学一真题+答案
2018全国研究生入学考试考研数学一试题本试卷满分150，考试时间180分钟一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1. 下列函数不可导的是： A.x x y sin =B.x x y sin =C.xy cos =D.x y cos=2.过点（1,0,0）与（0,1,0）且与22y x z +=相切的平面方程为 A.10=-+=z y x z 与 B.2220=-+=z y x z 与 C.1=-+=z y x x y 与 D.222=-+=z y c x y 与 3.)!12(32)1(0n ++-∑∞=n n n=A.1cos 1sin +B.1cos 1sin 2+C.1cos 1sin +D.1cos 21sin 3+4.dx xx M ⎰-++=22221)1(ππ， dx e x N x ⎰+=22-1ππ， dx x K ⎰+=22-cos 1ππ）（，则M,N,K 的大小关系为：A.K N M >>B.N K M >>C.N M K >>D.K M N >>5. 下列矩阵中，与矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100110011相似的为________.A.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1001101-11B.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-100110101C.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100010111D.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1000101016.设A,B 为n 阶矩阵，记)(r X 为矩阵X 的秩，）（Y X 表示分块矩阵，则A.)A ()AB A (r r =B.)A ()BA A (r r =C.)}B (),A ({max )B A (r r r =D.)B A (r )B A (r TT= 7.设随机变量X 的概率密度)(x f 满足6.0)(),1()1(2=-=+⎰dx x f x f x f ，则}0{p ＜x = 。
2018考研数学一真题和答案与解析
WORD 格式整理版2017 年考研数学一真题及答案解析跨考教育数学教研室一、选择题：1～ 8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 .．．．1 cos x （ 1）若函数f ( x)ax, x 0在 x0 处连续，则（）b, x0( A)ab 1B ab1 22(C) ab 0D ab2【答案】 A1cos x 1 x111.选A.【解析】lim lim2, f (x) 在x0 处连续b abx0ax x 0ax2a2a2（ 2）设函数 f ( x) 可导，且f (x) f'( x)0 ，则（）( A) f (1) f (1)B f (1) f (1)(C ) f (1) f ( 1)D f (1) f ( 1)【答案】 C【解析】 f ( x) f ' ( x) 0, f (x)0(1)或 f ( x)0(2) ，只有C选项满足(1)且满足(2)，所以选C。
f '(x)0 f '(x)0（ 3）函数f (x, y, z)x2 y z2在点(1,2,0)处沿向量 u1,2,2的方向导数为（）(A)12(B)6(C)4(D)2【答案】 D【解析】gradf{2 xy, x2 ,2 z},gradf (1,2,0) {4,1,0}f gradf u{4,1,0} {1,2,2} 2.u| u |333选 D.（ 4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位： m）处，图中实线表示甲的速度曲线v v1 (t )（单学习指导参考Born to win!精勤求学 自强不息位： m / s ），虚线表示乙的速度曲线 v v 2 (t ) ，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为t 0 （单位： s ），则（）v(m / s)10 200 5 10 15 20 25 30t ( s)( A)t 0 10(B)15 t 0 20 (C)t 0 25 ( D )t 0 25【答案】 B0 到t 0t 0v 1 t 0【解析】从这段时间内甲乙的位移分别为(t)dt, v 2 (t)dt,则乙要追上甲，则t 0 v 1 (t)dt 10 ，当 t 0 25时满足，故选 C.v 2 (t)（ 5）设是 n 维单位列向量，E 为 n 阶单位矩阵，则（）(A)ET不可逆B E T不可逆(C)E 2T不可逆 D E 2T不可逆【答案】 A【解析】选项 A, 由 ( ET) 0 得 ( ET) x 0 有非零解，故 ET0。
2018年考研数学一试题与答案解析(完整版)
1 1 1
6.设 A, B 为 n 阶矩阵，记 r ( X ) 为矩阵 X 的秩， ( X Y ) 表示分块矩阵，则 A. r ( A AB ) r ( A). C. r ( A B ) max{r ( A)，r ( B )}. 【答案】A. 【解析】根据矩阵的运算性质， r ( E , B ) n r ( A, AB ) r[ A( E , B )] r ( A) ,故 A 正确. 若A B. r ( A BA) r ( A). D. r ( A B ) r ( A B ).
T T
0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 ,B ， 则 BA ， 所 以 r ( A BA) r 2, 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0
r ( A) 1. 排除 B. 1 2 0 0 若A ,B , 那么r A B 0 0 3 4 所以C排除. 1 2 0 0 r 2, r A 1, r B 1, 0 0 3 4
1 0 1 B. 0 1 1 0 0 1 1 0 1 D. 0 1 0 0 0 1
1 1 0 令 Q 0 1 1 ，特征值为 1,1,1， r E Q 2 0 0 1 1 1 1 0 1 1 选项 A：令 A 0 1 1 ， A 的特征值为 1,1,1， r E A r 0 0 1 2 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 选项 B：令 B 0 1 1 ， B 的特征值为 1,1,1， r E B r 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 选项 C：令 C 0 1 0 ， C 的特征值为 1,1,1， r E C r 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0
2018数一真题解析与答案
2018年全国硕士研究生入学统一考试数学一试卷一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。
1、下列函数中，在0x =处不可导的是（）（A ）()||sin ||f x x x =（B）()||sin f x x =（C ）()cos ||f x x =（D）()f x =【答案】：（D ）【分析】因为对选项（A ），2200000()(0)||sin ||||lim lim lim lim lim 0(0)x x x x x f x f x x x x x f x x x x →→→→→-'======对选项（B ），000()(0)lim lim lim lim 0(0)x x x x f x f f x →→→→-'===（无穷小乘以有界量）对选项（C ），200001||()(0)cos ||112lim lim lim lim 0(0)2x x x x x f x f x x f x x x →→→→--'=====对选项（D ），0000()(0)1||2lim lim lim lim2x x x x f x f x x x x→→→→-===不存在因此选择（D ）2、过点(1,0,0)与(0,1,0)，且与22z x y =+相切的平面方程为（）（A ）0z =与1x y z +-=（B ）0z =与222x y z +-=（C ）y x =与1x y z +-=（D ）y x =与222x y z +-=【答案】：（B ）【分析】设切点坐标为(,,)x y z ，则法向量为{2,2,1}x y -，故切平面的方程为2()2()()0x X x y Y y Z z -+---=，因为平面过点(1,0,0)与(0,1,0)，故法向量与向量{1,1,0}-垂直，因此有220x y -=，即y x =…………………………………………①将y x =带入22z x y =+中，有22z x =…………………………………………………②将点(1,0,0)带入平面方程有222220x x y z --+=……………………………………③由①②③可得0,0,0x y z ===或者1,1,2x y z ===带回2()2()()0x X x y Y y Z z -+---=中，可确定平面方程为0Z =或者222X Y Z +-=。
2018年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)真题及解析
2018年硕士研究生入学考试数学一 试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.（1） 下列函数不可导的是：()()()()sin sin cos cosA y x xB y xC y xD y====（2）22过点（1，0，0）与（0，1，0）且与z=x 相切的平面方程为y + ()()()()0与10与222与x+y-z=1与222A zx y z B z x y z C y x D yx c y z =+-==+-===+-=（3）023(1)(2n 1)!nn n ∞=+-=+∑()()()()sin 1cos 12sin 1cos 1sin 1cos 13sin 12cos 1A B C D ++++（4）22222222(1x)1xN= K=(11xM dx dx x e ππππππ---++=++⎰⎰⎰），则M,N,K的大小关系为()()()()A M N K B M K N C K M N D NM K>>>>>>>>（5）下列矩阵中，与矩阵110011001⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭相似的为______. A.111011001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ B.101011001-⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭ C.111010001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ D.101010001-⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭（6）.设A ，B 为n 阶矩阵，记()r X 为矩阵X 的秩，（X Y ） 表示分块矩阵，则A.()()r A AB r A =B.()()r A BA r A =C.()max{(),()}r A B r A r B =D.()()TT r A B r A B =（7）设()f x 为某分部的概率密度函数，(1)(1)f x f x +=-，20()d 0.6f x x =⎰，则{0}p X = .A. 0.2B. 0.3C. 0.4D. 0.6 （8）给定总体2(,)XN μσ，2σ已知，给定样本12,,,n X X X ，对总体均值μ进行检验，令0010:,:H H μμμμ=≠，则A . 若显著性水平0.05α=时拒绝0H ，则0.01α=时也拒绝0H . B. 若显著性水平0.05α=时接受0H ，则0.01α=时拒绝0H . C. 若显著性水平0.05α=时拒绝0H ，则0.01α=时接受0H . D. 若显著性水平0.05α=时接受0H ，则0.01α=时也接受0H .二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.（9）1sin 01tan lim ,1tan kxx x e x →-⎛⎫= ⎪+⎝⎭则k =（10）()y f x =的图像过（0,0），且与x y a =相切与（1,2），求1'()xf x dx =⎰（11）(,,),(1,1,0)F x y z xy yz xzk rot F εη=-+=求（12）曲线S 由22210x y z x y z ++=++=与相交而成，求xydS =⎰ （13）二阶矩阵A 有两个不同特征值，12,αα是A 的线性无关的特征向量，21212()(),=A A αααα+=+则（14）A,B 独立，A,C 独立，11,()()(),()24BC P A P B P AC ABC P C φ≠===，则=三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）.求不定积分2x e ⎰（16）.一根绳长2m ，截成三段，分别折成圆、三角形、正方形，这三段分别为多长是所得的面积总和最小，并求该最小值。
2018考研数学真题及答案
2018考研数学真题及答案考研对于许多学子来说，是一场知识与毅力的较量。
而数学作为其中的重要科目，更是备受关注。
下面就让我们一起来回顾一下 2018 年考研数学的真题，并探讨一下相应的答案。
2018 年考研数学一真题涵盖了高等数学、线性代数、概率论与数理统计等多个方面的知识点。
在高等数学部分，函数、极限、连续的相关题目要求考生对基本概念和定理有深入的理解。
比如，有一道关于函数极限存在性的证明题，需要考生熟练运用极限的定义和性质进行推理。
导数与微分的题目则注重考查考生对导数定义和计算方法的掌握，以及运用导数解决函数单调性、极值和凹凸性等问题的能力。
例如，通过求导判断函数在某个区间内的单调性，并求出极值点。
积分的题目类型多样，包括定积分的计算、不定积分的求解以及利用积分解决几何和物理问题等。
线性代数部分，矩阵、向量和线性方程组是重点。
有题目涉及矩阵的运算、矩阵的秩以及向量组的线性相关性。
要求考生能够灵活运用矩阵的初等变换和线性方程组的解法来解决问题。
概率论与数理统计部分，随机变量及其分布、数字特征以及参数估计等内容均有考查。
像计算随机变量的概率密度、期望和方差，以及利用样本数据进行参数估计等。
接下来，我们看一下对应的答案和解题思路。
对于高等数学中函数极限存在性的证明题，首先要明确极限的定义，然后通过适当的放缩和不等式的运用来逐步推导。
在导数与微分的题目中，要准确计算导数，注意复合函数求导法则的应用。
对于积分的题目，熟练掌握积分公式和换元积分法、分部积分法等技巧是关键。
在线性代数中，处理矩阵的运算要细心，注意矩阵乘法的规则。
判断向量组的线性相关性时，可以通过构造矩阵并求秩来得出结论。
在概率论与数理统计部分，计算概率密度要确定分布类型和参数，运用相应的公式进行计算。
参数估计的题目则要根据给定的样本数据，选择合适的估计方法。
总的来说，2018 年考研数学真题难度适中，既考查了基础知识的掌握，又注重对考生综合运用能力和解题技巧的检验。
2018年考研真题数学
2018年考研真题数学在2018年的考研真题数学部分中，涵盖了多个知识领域和题型，考察了考生的数学思维和解题能力。
本文将对2018年考研真题数学进行详细分析和解答，帮助考生更好地理解和应对这一部分的考试内容。
第一部分：选择题2018年考研数学选择题主要分为数学一和数学二两个版本。
数学一版本涵盖了线性代数、概率统计和高等数学等知识点，而数学二版本则重点考察了实分析、复分析和常微分方程等专业数学知识。
其中，数学一部分的选择题考察了对数学知识的掌握和运用能力。
以线性代数为例，考生需要熟悉矩阵的性质、行列式的计算和特征值特征向量等内容，并能够将其应用于实际问题的解答中。
在概率统计方面，考生需要掌握概率计算、参数估计和假设检验等基本方法，并能够运用这些方法解决实际问题。
对于数学二的选择题部分，考生需要具备扎实的数学基础和相关专业知识。
实分析方面，题目主要涵盖了实数的性质、极限、连续性和可测性等概念，考察了考生对这些基本概念的理解和运用。
复分析方面，则考察了复数函数的性质、解析函数的概念和留数定理等内容。
在常微分方程部分，考生需要熟悉常微分方程的基本知识和解法，并能够运用这些方法解决具体问题。
第二部分：填空题填空题是2018年考研数学部分的重点考察内容之一。
填空题考察了考生的运算能力和解题思路。
在填空题中，考生需要根据题目给出的信息进行推理和计算，并填写正确的答案。
填空题的题型多样，包括求导、积分、概率计算和矩阵运算等。
考生需要熟练掌握各种数学方法和技巧，并能够准确地应用到填空题的解答中。
同时，考生还需要注意题目中的关键信息和要求，避免出现计算错误或理解偏差。
第三部分：解答题解答题是考研数学部分的重点和难点。
在2018年的考研真题中，解答题主要考察了考生的数学思维和解题能力。
题目涵盖了线性代数、概率统计、实分析、复分析和常微分方程等多个领域的知识，考生需要综合运用各种数学方法和技巧解决复杂的问题。
解答题要求考生具备扎实的数学基础和相关专业知识，同时需要具备较强的思维逻辑能力和数学建模能力。
2018年考研数学一二三真题解析及点评(史上最强版)
证明数列收敛只有唯一的方法：证明数列单调有界。 《金讲》17页予以重要说明并给出两道难度高于本题 的同型例题详解，本题再不济，直接用第一问的结论 求出第二问的结果应该是一丝难度都没有。
数一第20题 数三第20题 数二第22题
《金讲》403-405页不仅给出了通用性齐次 方程组的详细解题过程，还给予具体具体方 程解析示例，详细程度超越市面任何一本数 学参考书，足以解答任何复杂齐次方程组。
本质 一样
数一第18题
(Ⅰ)是简单一阶微分方程求解，直接套公式即得， 送分题；(Ⅱ)不定积分函数与变现积分函数的灵活 转换，需要对两者关系有较深度地掌握方可轻易转 换，稍有难度，本题完整证明出来的同学应该不超 过万分之一。
较 难 题
考查不等式的证明，具有天然的难题属性。但 《金讲》在142页对这类题型设了一个专题给予 了本质性的总结，任何不等式证明本质都可以归 结到两类情况，每类情况的证明有唯一思路，因 此，不等式证明对于《金讲》读者不太可能成为 难题，但《金讲》以外，没有任何参考书做过这 种深度总结，因此本道题对于有些人是难题。
数二第18题
数三第18题
简单函数的级数展开并求通项。展开部分直接套公 式，属于送分。求通项虽偶有难度，但任何求通项 都可以通过适当展开进行归纳这一万能方法，在 《金讲》 中有强调，所以也属于半送分。《金讲》 254页至259页用了一个重点专题予以详解本考点， 足以解决任何函数的展开式。
数一第19题 数三第19题 数二第21题
数二第20题
考查微分的基本应用，将题目 内容用数学式子表示出来，问 题就转化为了最简单的微分或 积分问题，本题几乎是《金 讲》配套暑期集训讲义中的原 题。
数一第11题
考查旋度公式的记忆，直接用 旋度公式计算即得答案。旋度 公式的详细计算公式参见《金 讲》288页，属送分题。
考研历年数一真题答案解析
考研历年数一真题答案解析考研是中国大学生中的一场严峻考试，这场考试能够决定一个学生是否能够进入心仪的研究生院校。
考研的核心就是题目的解析，而历年数一真题的解析对于考生们来说尤为重要。
本文将通过对历年考研数一真题的解析，帮助读者更好地理解和掌握相关知识点。
首先，我们来看看2017年数一真题。
这份题目中，有一道关于极限和导数的题目。
对于这类问题，我们要注意抓住核心点，即使用导数的定义和极限的性质来求解。
在这道题中，如果我们能够将极限转化为导数计算，就能够得到正确答案。
接下来，我们看一下2018年数一真题。
其中有一道关于微分方程的题目。
微分方程作为数学中的重要概念之一，在考研中占有很大的比重。
解决微分方程的关键是找到适当的变量代换和积分变换，从而得到方程的解。
再来看看2019年数一真题。
这份题目中，有一道关于多元函数积分的题目。
多元函数积分是数学中的一项重要内容，在积分中与单变量积分相比，需要考虑多个自变量的影响。
对于这类问题，我们需要考虑到变量之间的相关性，以及如何将多元积分化简为一元积分。
最后，我们来看看2020年数一真题。
其中一道关于级数的题目，对于这类题目的解析，我们需要掌握级数收敛的条件和方法。
通过研究级数的性质，我们可以确定级数的收敛与发散性质，并求得其和。
通过以上对历年数一真题的解析，我们可以发现考研数学的核心在于掌握基本概念和解题方法。
在解决问题的过程中，我们要从多个角度进行思考，善于利用已知条件和理论工具，通过合理的方法和步骤推导解题思路，从而得出正确的答案。
然而，光解析历年真题还远远不够，复习中还需要大量的练习和总结。
只有通过大量的练习，才能够真正提高解题的能力和水平。
在练习的过程中，我们还要注重总结和归纳，分析经典题目的解法和思路，总结出解题的一般步骤和方法，为解决其他类似问题提供参考。
总之，历年数一真题的解析对于考研复习来说至关重要。
通过对历年真题的反复研究，可以帮助考生们更好地掌握数学的基本概念和解题技巧，提高解题的能力和水平。
2018考研真题专项训练---线性代数(1)-试题
1 a 1 2 0 0 【类似】矩阵 a b a 与 0 b 0 相似的充分必要条件为（ ） 1 a 1 0 0 0
a 0, b 2 （B） （A） a 2, b 0 （D） a 0, b为任意常数 （C） a 2, b为任意常数
3 . 3
(B)
3. (C)
1 . 3
(D) )
3.
a b 2. 设 A = c d
b c d a d c ，则| A |=( ). d a b c b a
(B) (a b c d ) .
2 2 2 2 2
T
T
T = .
【类 类似】设 为 n 维单位列 列向量， E 为 n 维单位矩 矩阵，则（ ） 。
(A A). E T 不可逆； (B). E T 不可逆 (C C). E 2 T 不可逆; (D). E 2 T 不可逆 逆
二、选择（每题 题 4 分） 1.设 设矩阵 A ( aij ) 3 3 满足 足 A A ， 其中 A 是 A 的伴随矩阵 阵， A 为 A 的转置矩阵 阵. 若
* T * T
a11 , a12 , a13 为三 三个相等的正 正数，则 a11 为 ( )
历年考研数学真题及答案
历年考研数学真题及答案1. 简介在考研数学备考过程中，了解和掌握历年的考研数学真题是非常重要的。
通过研究历年真题，可以了解考试的难度和趋势，掌握考点和解题技巧，提高备考的效果。
本文将为大家提供一些历年考研数学真题及其答案，希望对大家的备考有所帮助。
2. 具体内容2.1 2019年考研数学真题题目：1. 已知曲线C是函数y=2sin(2x)的图像，D是由C以y轴为对称轴得到的图像，求D与x轴所围成的图形的面积。
答案：首先求出C与x轴的交点，即解方程2sin(2x)=0，得到x=0和x=π/4。
在区间[0,π/8]上，y≥0；在区间[π/8,π/4]上，y≤0。
根据题目中的对称性，D与x轴所围成的图形可以看作C与x轴所围成图形的两倍。
所以，D与x轴所围成的图形的面积为等于2倍的[0,π/8]上的曲线C的图形面积，即S=2∫[0,π/8]2sin(2x)dx=1/2。
2.2 2018年考研数学真题题目：1. 设函数f(x)=(ax+b)/(cx+d)，其中a、b、c、d为常数，abcd不全为0，若对于任意的x1、x2，都存在y1、y2，使得f(x1)f(x2)=f(y1)f(y2)，则下列选项中正确的是（）。
A. a=b=c=dB. a+b+c+d=0C. (a+d)(b+c)=0D. ad-bc=0答案：根据题意，选择x1=x2=0，则有f(0)f(0)=f(y1)f(y2)。
代入函数f(x)，化简得f(0)^2=f(y1)f(y2)。
又因为a、b、c、d为常数，所以f(0)只可能等于0。
所以，选项C.(a+d)(b+c)=0是正确的。
3. 总结通过以上两道历年考研数学真题的解析，我们可以发现备考考研数学时，理解题意、掌握解题技巧非常重要。
同时，还需要熟悉各年份的真题，了解考试的难度和变化趋势，有针对性地进行备考。
希望本文提供的历年考研数学真题及答案对大家备考有所帮助，祝愿大家取得好成绩！。
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2018年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷
一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的
（1）下列函数中，在0x =处不可导的是（ ）
(A)()sin f x x x = (B) (
)f x x =
(C) ()cos f x x = (D) (
)f x =
（2）过点()()1,0,0,0,1,0，且与曲面22z x y =+相切的平面为（ ）
(A)01z x y z =+-=与 (B) 022z x y z =+-=与2
(C) 1x y x y z =+-=与 (D) 22x y x y z =+-=与2
（3）()()023
121!n n n n ∞=+-=+∑（ ）
(A) sin1cos1+ (B) 2sin1cos1+
(C) 2sin12cos1+ (D) 2sin13cos1+
（4）设(
)(22222222
11,,1,1x x x M dx N dx K dx x e ππ
π
πππ---++===
+⎰⎰⎰则（ ）
(A)M N K >> (B)M K N >>
(C)K M N >> (D)K N M >>
（5）下列矩阵中与矩阵110011001⎛
⎫
⎪
⎪ ⎪⎝⎭
相似的为（ ）
(A) 111011001-⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B) 101011001-⎛⎫
⎪
⎪ ⎪⎝⎭
(C) 111010001-⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (D) 101010001-⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
（6）()(),A B n r X X X Y 设、为阶矩阵，记为矩阵的秩，表示分块矩阵，则（ ）
(A) ()(),r A AB r A = (B) ()(),r A BA r A =
()()(){}()T T
(A) 0.2 (B)0.3 (C)0.4 (D)0.5
（8）设总体()2
12,,,,,n
X N X X X X μσL 服从正态分布是来自总体的简单随机样本，据此样本检测： 0010=H H μμμμ≠假设：：，：，则（ ）
(A) 00=0.05=0.01H H αα如果在检验水平下拒绝，那么在检验水平下必拒绝
(B) 00=0.05=0.01H H αα如果在检验水平下拒绝，那么在检验水平必接受
(C) 00=0.05=0.01H H αα如果在检验水平下接受，那么在检验水平下必拒绝
(D) 00=0.05=0.01H H αα如果在检验水平下接受，那么在检验水平下必接受
二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。
（9）1sin 01tan lim ,1tan kx x x e k x →-⎛⎫== ⎪+⎝⎭若则__________.
（10）()()()()20,021,2x f x y f x y ==设函数具有阶连续导数，若曲线过点且与曲线在点处
()1
0xf x dx ''=⎰相切，则__________. （11）()(,,),1,1,0F x y z xyi yz j zxk rotF =-+=r r r 设则 .
（12）22210L
L x y z x y z xyds ++=++==⎰Ñ设为球面与平面的交线，则 . （13）()21212122,=A A A αααααα++设阶矩阵有两个不同特征值，是的线性无关的特征向量，且满足， A =则 .
（14）=A B A C BC ∅设随机事件与相互独立，与相互独立，，若
()()()11,,24
P A P B P AC AB C ====U ()P C =则 .
三、解答题：15~23小题，共94分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（15）（本题满分10分）
2.x e ⎰求不定积分
2m 将长为的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形.三个图形的面积之和是否存在最小值？.若存在，求出最小值
（17）（本题满分10分）
()33=2.
x I xdydz y dzdx z dxdy ∑∑=+++⎰⎰设是曲面
（18）（本题满分10分）
(),().y y f x f x R '+=已知微分方程其中是上的连续函数
（I ）(),f x x =若求方程的通解；
（II ）()f x T T 若是周期为的函数，证明：方程存在唯一的以为周期的解.
（19）（本题满分10分）
{}{}110,1(1,2,),lim .n n x x n n n n n x x x e e n x x +→∞
>=-=L 设数列满足：证明收敛，并求
2221231232313(,,)(,)()(),.f x x x x x x x x x ax a =-+++++设实二次型其中是参数
(I) 123(,,)0f x x x =求的解；
(II) 123(,,)f x x x 求的规范形.
（21）（本题满分11分）
1212=130=011.27111a a a A B a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
已知是常数，且矩阵可经初等列变换化为矩阵
(I) ;a 求
(II) .AP B P =求满足的可逆矩阵
（22）（本题满分11分）
{}{}111,2
X Y X P X P X Y λ===-=设随机变量与相互独立，的概率分布为服从参数为的泊松分布. .Z XY =令
(I) (),;Cov X Z 求
(II) .Z 求的概率分布
（23）（本题满分11分）
µ121(,),,2(0,),,,..x n X f x e x X X X X σσ
σσσ
-=-∞<<+∞∈+∞L 设总体的概率密度为
其中为未知参数，为来自总体的简单随机样本记的最大似然估计量为 (I) ˆσ求；
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