斯托克斯公式

z
P y P zfyco d sS
o x
D
x
y
y C
cos 1 ,
1fx2fy2
cos fy ,
1fx2fy2
fy
cos cos
3
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因此 P d x P y P zc c o oc s so d S s
P zco s P yco sdS P zdzdx P ydxdy
2(1),(3) ; 3(1);
4 (2) ;
6
补充题: 证明
(1 ) ( u)0 (即 rot(g u)ra0)d
(2 ) ( A ) 0(即 d(irv o A ) t0 )
24
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同理可证 Q d y Q xdxdy Q zdydz R d x R ydydz R xdzdx
三式相加, 即得斯托克斯公式 ;
4
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情形2 曲面 与平行 z 轴的直线交点多于一个, 则可 通过作辅助线面把 分成与z 轴只交于一点的几部分, 在每一部分上应用斯托克斯公式, 然后相加, 由于沿辅助 曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消, 所以对这 类曲面斯托克斯公式仍成立. 证毕
(P c o Q sc o R sc o )d s s
13
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令 A(P ,Q ,R ), 引进一个向量
i jk
( R y Q z)( , P z R x )( , Q x P y )
x
y
z
记作 rotA
PQ R
于是得斯托克斯公式的向量形式 :
:z f(x ,y ),(x ,y ) D x y
为确定起见, 不妨设 取上侧 (如图).
o x
D
x
y
y C
2
简介 目录 上页 下页 返回 结束
则 P d x CP(x,y,z(x,y)d )x
D xy yP (x,y,z(x,y)d )xdy(利用格林公式)
n
D xy P y P z y zdxdy
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2. 空间曲线积分与路径无关的充要条件 设 P, Q, R 在内具有一阶连续偏导数, 则
PdxQdyRdz在内与路径无关 在内处处有
Q R , z y
R P , x z
P Q y x
在内处处有
i jk
ro (P ,tQ ,R )x
y
z
0
PQ R
21
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3. 场论中的三个重要概念
设
uu(x,y,z),A ( P ,Q ,R ), x,y, z,
则
梯度:
gradu
ux,
uy,
u z
u
散度: diA vPx Q y Rz A
i jk
旋度: roAtx
y
z
A
PQ R
22
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思考与练习 设 rx2y2z2,则
d ( g r i r ) a v 2 r d ; r( g o rr ) a t0d .
x P
y Q
z
dS PdxQ dyRdz
R
6
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例1. 利用斯托克斯公式计算积分
zdxxdyydz
其中为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形的整个
边界, 方向如图所示.
z
1
解: 记三角形域为, 取上侧, 则
zdxxdyydz
dydz dzdx dxdy
例5. 设 A(2y,3x,z2), :x2y2z24,n 为
的外法向量,计算 I roAtndS.
i jk
解:
rot A
x
y
z
(0,0,1)
2y 3x z2
n (c ,c o o s ,cso ) s
I cosdS 2Dxy dxdy8
17
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*四、向量微分算子
x
y
z
z
x
y
o
1y
1
x Dxy
dydzdzdxdxdy3 dxdy 3
利用对称性Dxy
2
7
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例2. 为柱面 x2y22y 与平面 y = z 的交线,从 z
轴正向看为顺时针, 计算 I y2dxxd yyxd zz.
解: 设为平面 z = y 上被 所围椭圆域 , 且取下侧,
y
z
故有
d u P d x Q d y R d z
(3)(4) 若(3)成立, 则必有
uP, uQ , uR
x
y
z
因P, Q, R 一阶偏导数连续, 故有
P 2u Q y x y x
同理
QR, RP
证毕
z y x z
11
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例3. 验证曲线积分 (y z )d x (z x )d y (x y )d z
具有连续一阶偏导数, 则下列四个条件相互等价: (1) 对G内任一分段光滑闭曲线 , 有
PdxQ dyRdz0 (2) 对G内任一分段光滑曲线 , PdxQdyRdz
与路径无关
(3) 在G内存在某一函数 u, 使 d u P d x Q d y R d z
(4) 在G内处处有
P y Q x, Q z R y, R x P z
向量场 A 产生的旋度场
的环流量
穿过 的通量
注意 与 的方向形成右手系!
例4.
求电场强度 E
q r3
r
的旋度 .
i jk
解:
rot E
x
y
z
(0,0,0) (除原点外)
qx qy qz
r3 r3 r3
这说明, 在除点电荷所在原点外, 整个电场无旋.
16
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9
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证: (4)(1) 由斯托克斯公式可知结论成立;
(1)(2) (自证)
(2)(3) 设函数
u (x ,y ,z )(x ,y ,z ) P d x Q d y R d z (x 0 ,y 0 ,z 0 )
则
u x
lim
x0
u(xx,y,z)u(x,y,z) x
点, 建立坐标系如图,则
(0,0,), r(x,y,z)
z l M
点 M 的线速度为
i jk
vr 0 0
o
r y
( y,x,0 ) x
xy z
i jk
rov t
x
y z
y x 0
(0,0,2)2
(此即“旋度”一词的来源)
15
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斯托克斯公式①的物理意义:
(rA o )ntdSA ds 为向量场 A 沿
lim 1(x x ,y ,z )P d x Q d y R d z
x 0 x(x ,y ,z )
lx im 0 1xxxxPdx lx i0 m p(x x,y,z)
P(x,y,z)
10
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同理可证 u Q(x, y,z), u R(x, y,z)
定义向量微分算子:
xiyjzk
它又称为▽( Nabla )算子, 或哈密顿( Hamilton ) 算子. (1 )设 u u (x ,y,z)则,
u u xi u yj u zkgraud 2uugraud
x2u2 2yu2 2zu2 u
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( 2 ) A P ( x , y , z ) i Q ( x , y , z ) j R ( x , y , z ) k , 则 APxQ yRz diA v
PdxQ dyRdz
设曲面 的法向量为 n (c,c oo s ,cso ) s 曲线 的单位切向量为 (c ,c o o s ,cs o ) s
则斯托克斯公式可写为
R y Q z c o P z R x c s o Q x P y s c d o S
与路径无关, 并求函数
u ( x ,y ,z ) ( ( 0 x , , 0 y ,0 ,z ) )( y z ) d x ( z x ) d y ( x y ) d z
解: 令 P y z ,Q z x ,R x y
P1Q, y x
Q 1 R, R 1 P z y x y
第七节
第十章
斯托克斯公式
环流量与旋度
一、斯托克斯公式 *二、空间曲线积分与路径无关的条件 三、环流量与旋度 *四、向量微分算子
1
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一、 斯托克斯( Stokes ) 公式
定理1. 设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线, 的
侧与 的正向符合右手法则, P,Q,R在包含 在内的一
则其法线方向余弦
cos0,cos
1, 2
cos
1 2
z
利用斯托克斯公式得
o
c oc so c so s x
2y
I
x y
z
dS 1 2
(yz)dS 0
y2 xy xz
8
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*二、空间曲线积分与路径无关的条件
定理2. 设 G 是空间一维单连通域, 函P 数 ,Q,R在 G 内
注意: 如果 是 xoy 面上的一块平面区域,则斯托克斯 公式就是格林公式,故格林公式是斯托克斯公式的特例.
5
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为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:
d ydz dzdx dxd y
x
y
z PdxQ dyRdz
P
Q
R
或用第一类曲面积分表示:
cos cos cos
积分与路径无关, 因此
z
x
y
z
(x, y,z)
u(x,y,z) 0 d x x d y (x y) d z o
0
0
0
x y(xy)z
(x,0,0)
y
x (x,y,0)
x y y z zx
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三、 环流量与旋度
斯托克斯公式
( R y Q z ) d y d z ( P z R x ) d z d x ( Q x P y ) d x d y
i jk
A
x
斯公式可写成:
Adv A ndS
( A )ndSA ds
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内容小结
1. 斯托克斯公式
dydz dzdx dxdy
PdxQdyRdz
x
y
z
P Q R
cos cos cos
x
y
z
dS
P Q R
20
提示: gradr x , y , z
rrr
x
(
x r
)
r
x
x r
r2
z
(
z r
)
r2z2 r3
i
r 2 x2 r3
,
y
(
y) r
r2 y2 r3
三式相加即得di(vgrard)
jk
ro(grt ar)dx
y
z
(0,0,0)
xyz rrr
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作业
P183 1 (1),(3),(4) ;
ro A tndSA ds
或
(rA o )ntdSA ds ①
定义: P d x Q d y R d z A d s称为向量场A
沿有向闭曲线 的环流量. 向量 rot A 称为向量场 A 的 旋度 .
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旋度的力学意义:
设某刚体绕定轴 l 转动,角速度为 , M为刚体上任一
个空间域内具有连续一阶偏导数, 则有
R y Q z d y d z P z R x d z d x Q x P y d x d y
PdxQ dyRdz(斯托克斯公式)
证: 情形1 与平行 z 轴的直线只交于 z
n
一点, 设其方程为