静电场4-习题课、静电场的环路定理、电势

单位正电荷自ab 过程中电场力作的功。
二、电势的叠加原理
1. 点电荷的电势 （取无穷远处为参考点）
q r P
uP
P
E dl
q 1 0 0 E r dl dr r 2 4 0 r 沿电场线方向为积分路径
（球对称）
b
q dr 2 4 0 r r 4 0 r
dE 2 0 ( x x ')
？
dx '
P
x x

——整个圆柱面单位长度带电量
dl
dl ' ——单位长度、dl 宽度带电量 2 R
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——单位长度、单位弧长宽度带电量 2 R
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§10.4 静电场的环流定理 电势能 一、静电场力做功特点
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§10.4 静电场的环流定理 电势能
说明
(1) 电势能应属于q0 和产生电场的源电荷系统共有。 (2) 电荷在某点电势能的值与零点选取有关,而两点的差值 与零点选取无关。 即：电势能是相对的，电势能差是绝对的。 (3) 选势能零点原则： • 当(源)电荷分布在有限范围内时，势能零点一般选 在无穷远处。 • 无限大带电体，势能零点一般选在有限远处一点。 • 实际应用中取大地、仪器外壳等为势能零点。
P
x
x
E dE
dx ' 4 0 ( x x ') 2
第十章 -- 静电场
表示场中某点空 间位臵的变量
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习题课
3）物理模型. 例 均匀带电半圆弧，半径 R，电荷线密度 λ， 求 圆心 O 点电场强度。 解 在θ处取一小段圆弧 dl，张角dθ y dl θ
1. 点电荷的电场
B
qq0 r dl 3 4π 0r
dA q0 E dl
rB
q
dr
dl

r dl rdl cos
rdr
r
rA
A
E
qq0 dr dA q0 E dl 2
4 π 0 r
q0
qq0 A dA 4 π 0
P
U
"0"
P
"0" ( Ei ) d l P Ei d l Ui
i
i
i
i
注意：电势零点P0必须是共同的。 对点电荷系：
U 4 0 ri qi ，U 0
对连续电荷分布： U 4 r， U 0 0 q
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习题课
计算电场强度的方法 对称场： 高斯定理 （简单体） 一般方法：库仑定理＋场的叠加原理
dE
注意
dq 0 r 2 4 π 0 r
dV 0 E dE r 2 V 4 π r 0
1）矢量积分.
2）积分变量. O
dx '
x'
表示源电荷空间 位臵的变量
（2）电势是位臵坐标的单值函数，是标量。
（3）电势是相对量，与参考点的选取有关。 同一问题中，电势零参考点需同电势能零参考点一致。
• 负电荷电场中电势不一定为负； 正电荷电场中电势不一定为正。 第十章 -- 静电场 2014-4-12 西安电子科技大学 12
§10.5 电势 电势差
b W a W b Aab E dl • 电势差 uab a q0 q0 q0
L
b
L1 L2
aL1b
bL2 a
q0
aL1b
E dl q0
L
E dl 0 aL b
2
a
即
E dl 0
——静电场的安培环路定理
在静电场中，场强沿任意闭合路径的线积分恒等于零。 在静电场中，电荷沿任意闭合路径运动一周，静电力 做功为零。
Aab q0 E dl Wa Wb
b a
2.电势能
取势能零点
令：Wb = 0
电荷q0自该点 “势能零点” 过程中电场力 作的功。
"0"
q0在电场中某点a 的电势能：
Wa Aa "0"
a
q0 E dl
即：电荷在电场中某点的电势能，在数值上等于把该电 荷从该点移动到电势能零参考点时，静电力作的功。
Aab

b
a(L)
b
b F d l q0 E d l
a(L)
a
L
a(L)
n
q 0 ( Ei ) d l
n i 1
b
q rai 1
•
rbi
q2
qi q0 1 1 ( ) q 0 Ei d l a(L) rbi i 4 0 rai i 1
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§10.5 电势 电势差
一、电势
• 电势定义 单位正电荷在该点具有的电势能
Wa ua q0
"0 " Aa "0" ua E dl a q0
单位正电荷自该点“势能零点”过程中电场力作的功。 （1）电势与试验电荷q0无关，仅取决于电场的性质。
dq dS r d d r
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习题课
例 无限长均匀带电平面，电荷面密度σ 无限长带电平面可看作是无数无限 长带电直线的集合
dl
O
x'
dq dl dx ' dl
无限长均匀带电柱面，电荷线密度为λ

rB
rA
dr qq0 1 1 ( ) 2 r 4 π 0 rA rB
结论: A 仅与q0 的始末位臵有关，与路径无关.
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§10.4 静电场的环流定理 电势能
2. 任意带电体的电场 电荷系q1、q2、…的电场中，移动q0，有 b •
c d
a d
b c
E
E1dl E2 dl
a c
b
d
E1 ab E 2 cd 0
不是静电场
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§10.4 静电场的环流定理 电势能
三. 电势能
任何力做功都会引起能量的变化. 重力场 静电场 1.电势能的差 定义：q0 在电场中a、b 两点电势能 之差等于把 q0 自 a 点移至 b 点过 程中电场力所作的功。 保守力场 保守场 引入势能 引入静电势能


dl
q
R为参考零点
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ua
R
a
E dl

r
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1 1 ( ) dr 2 4 0 r b 4 0 r
q
q
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§10.5 电势 电势差
2. 任意带电体的电势 "0" 由 u E d l 及 E Ei ， 得：
L L
dl
与静电场的环路定理矛盾
E
(2) 静电场是有源、无旋场，可引进电势能。 (3)只适用于静电场 。
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§10.4 静电场的环流定理 电势能
思考： 电场线平行但不均匀分布，是否静电场的电场线?
b c E dl a E dl b E dl d a E dl E dl
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§10.4 静电场的环流定理 电势能
E dl
L
( E ) dS
s
E 的旋度
讨论
E dl 0
L
E 0 静电场是无旋场
(1) 环路定理要求电场线不能闭合。 反证法： E dl E cos dl 0
dq Rd dE 2 4 0 R 4 0 R 2
dq dl R d
O dE dEx dE cos dE y dE sin
x
若为半圆盘，电荷面密度σ。 在θ 处取一小扇形，张角dθ 在 r 处取一小面积，径向宽度 dr，可视为点电荷
b
E
q0
Aab q0 E dl Wa Wb
b a
a
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§10.4 静电场的环流定理 电势能
电势能增量： W
Wb Wa
Aab W
Aab 0 , Wa Wb 电场力做正功，电势能减小 Aab 0 , Wa Wb 电场力做负功，电势能增大
dq
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结论 电场力作功只与始末位臵有关，与路径无关。 静电力是保守力，静电场是保守力场。
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qi qn
qn 1
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§10.4 静电场的环流定理 电势能 二、静电场环路定理
任意静电场中，单位正检验电荷沿闭合路 径运动一周，静电力所作的功为： A q0 E dl q0 E dl q0 E dl