几何条件代数化与代数运算几何化

几何条件代数化与代数运算几何化

——突破解析几何难点之两方法

解析几何解题方向：找关系。（1）找12,k k 关系，设直线方程；（2）找12,x x 关系，找解题方向；（3）找所设两变量关系（如找k 与m 关系，找12x x +与12x x 关系等），进行消元。方法：代数运算几何化。

几何条件代数化：把题目中的几何条件转化为代数关系（一般是坐标关系）。

所谓“代数运算几何化”是指：执行代数运算时，要结合几何条件。毕竟，解析几何研究的是几何问题。常见文字表述是“点在曲线上”，通过代数运算可找到“两变量之间的关系”，达到“消元目标”。这是种“消元意识”。大多数同学解析几何题解不出，缺的就是这种“运算能力和消元意识”。

其它重要意识：几何条件代数化；一般问题特殊化；最值问题多样化；去除思维模式化。 下面以春期周考数学理科解析几何题来说明。 1、（第一次周考）

21. 设椭圆C ：22

221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ，过点F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，

B 两点，直线l 的倾斜角为60o ，2AF FB = .

（1）求椭圆C 的离心率；（2）如果|AB|=

15

4

，求椭圆C 的方程. 分析：1、几何条件代数化：2AF FB =

本质特征：,,F A B 且2AF FB =；代数关系：122y y -=或122()c x x c -=-. |AB|=

15

4

代数关系：弦长公式。 解题方向：联立直线和椭圆方程解题。

（21）解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由题意知1y ＜0，2y ＞0.

（Ⅰ）直线l 的方程为

()y x c -

，其中c =

联立2222),

1

y x c x y a

b ⎧=-⎪

⎨+=⎪⎩

得22224(3)30a b y cy b ++-=

解得22122222

(2)(2)

,33c a c a y y a b a b

+-==++ 因为2AF FB = ，所以122y y -=. 即

2= 23c e a ==. ……6分

（Ⅱ）因为21AB y =-

15

4=. 由23c a =

得b =

. 所以51544a =，得a=3

，b = 椭圆C 的方程为

22

195

x y +=. ……12分 2、（第二次周考）

21.设1122(,),(,)A x y B x y 是椭圆22

221(0)y x a b a b

+=>>上的两点，已知向量11(,),x y m b a =

22(,)x y n b a = ，若0m n ⋅=

且椭圆的离心率2

e =，短轴长为2，O 为坐标原点。

（1）若直线AB 过椭圆的焦点F （0，c ）（c 为半焦距），求直线AB 的斜率k 的值。 （2）试问：AOB ∆的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由。 分析：1、几何条件代数化：平面向量条件0m n ⋅= 本质特征：m 与n

垂直；代数关系：

1212

220x x y y b a +=. A O B ∆的面积 代数关系：弦长公式和点到直线的距离公式。

2、一般问题特殊化 直线AB 分斜率存在与不存在讨论。

3、代数运算几何化 利用0m n ⋅=

找,k b 关系，2224,b k =+把二元转化为一元。

解题方向：联立直线和椭圆方程解题。

21.（1）

22,1,c b b e a =∴====

，解得a=2, 所求椭圆的方程为2

214

y x += 知

c =设直线AB

的方程为y kx =+

22

1,4

y kx y x ⎧=+⎪

⎨+=⎪⎩

消元，得221122(4)10,(,),(,)k x A x y B x y ++-= 则

1212

21

4

x x x x k -+=

=+。 由已知0m n ⋅=

得

2121212121212222

213

((1))444

413()0,444

x x y y k x x kx kx x x x x b a k k k +=++=+++++=-++==+解得

（2）①当直线AB 斜率不存在时，即1212,,x x y y ==-则联立，得0m n ⋅=

整理，得

22

11

0,4y x -=又点A 11(,)x y 在椭圆上，故22

1114y x +=

，解得11|||x y ==AOB ∆的面积1121111

||||||2||122

S x y y x y =

-=⨯= ②当直线AB 斜率存在时，设AB 的方程为y=kx+b ,联立，得22

,

1,4

y kx b y x =+⎧⎪

⎨+=⎪⎩整理，得 222

(4)240k x kbx b +++-=，由0m n ⋅= 得12120,4

y y x x +=

即1212()()04kx b kx b x x +++=，将12122222,44

kb kb

x x x x k k --+==++代入整理，得

2224,b k =+AOB ∆

的面积1

||||2

S AB b =

=

=22

||142b b k b ==+

∴三角形的面积为定值1。

2、（第三次周考）

20.已知O 为坐标原点，F 为椭圆C ：2

2

12

y x +=在y 轴正半轴上的焦点， 过F

且斜率为l 与C 交与A 、B 两点，点P 满足=++. (1)证明：点P 在C 上；

(2)设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上.

分析：1、几何条件代数化：=++ 本质特征：()OP OA OB =-+

；代

数关系：312312(),()1,2

x x x y y y =-+=-

=-+=-. A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上 本质特征：找圆心，PQ 与AB 垂直平分线交于圆