因式分解综合应用(讲义及答案)

因式分解综合应用（讲义）
? 课前预习
1. 因式分解的基本方法有______________________________．
因式分解是有顺序的，需记住口诀：“___________________”．
其中“查”指的是“检查”，特别需要检查的是分解是否彻底．
2. 把下列各式因式分解．
（1） x2 y2 ? x4 ； （2） ?2a2 ?12a ?16 ；




（3） x2 ? 2xy ? y2 ? 2x ? 2y ?1； （4） x4 ? 6x2 ? 27 ．





? 知识点睛
1. _____________、__________、___________、__________是因式分解的四种
基本方法，换元、添项拆项是复杂多项式进行因式分解的常用技巧，通过对
复杂多项式的处理，最终都转化为___________________．
①换元：当多项式中的某一部分________________时，我们会___________
将其替换，从而简化式子的形式．
②添项拆项：其目的是使多项式能够用__________________进行因式分
解，这种方法技巧性强，需要充分关注多项式的__________________．

? 精讲精练
1. 把下列各式因式分解．
（1） (x2 ? 2x)2 ? 7(x2 ? 2x) ?8；




（2） (x2 ? 4x ? 2)(x2 ? 4x ? 6) ? 4；







（3） (a ?1)(a ? 3)(a ? 5)(a ? 7) ?15 ；







（4） (x ?1)(x ? 2)(x ? 3)(x ? 4) ? 24 ；







（5） a2 ? b2 ? 4a ? 2b ? 3； （6） x3 ? 6x2 ?11x ? 6 ；







（7） x4 ? 4 ； （8） x3 ?1；





（9） x3 ? 9x ? 8 ； （10） m3 ? 7m ? 6 ．







2. 基本事实：若 ab=0，则 a ? 0 或b ? 0 ．对于方程 x2 ? x ? 2 ? 0 ，可通过因式
分解，化为 (x ? 2)(x ?1) ? 0 ，由基本事实得，
x ? 2 ? 0 或 x ?1 ? 0 ，即方程的解为 x ? 2 或 x ? ?1．利用上述基本事实，可
求得方程 2x2 ? x ? 0 的解为______________．

3. 若 (x2 ? y2 )(x2 ? y2 ?1) ? 2 ? 0 ，则 x2 ? y2 ? _____________．

4. 已知 a，b，c 分别是三角形的三边长，且满足
a2 ?16b2 ? c2 ? 6ab ?10bc ? 0 ，则 2b ? a ? c ? ____________．

5. 阅读下面的学习材料：
已知多项式 2x3 ? x2 ? m 有一个因式是 2x ?1，求 m 的值．
解法：设 2x3 ? x2 ? m ? (2x ?1)(x2 ? ax ? b) ，
则 2x3 ? x2 ? m ? 2x3 ? (2a ?1)x2 ? (a ? 2b)x ? b ，
?
?a ? ?1
?2a ?1 ? ?1 ?
? ? 1
比较系数得 ?a ? 2b ? 0 ，解得 ?b ? ，
2

?b ? m ?
? ? 1
m ?
?? 2
1
∴ m ? ．
2
根据以上学习材料，解答下面的问题．
已知多项式 x3 ? 4x2 ? mx ? 5 有因式 x ?1，求 m 的值．






6. 对于多项式 x3 ? 5x2 ? x ?10 ，如果我们把 x ? 2 代入此多项式，发现多项式
x3 ? 5x2 ? x ?10 ? 0 ，这时可以断定多项式中有因式 x ? 2（注：把 x ? a 代入
多项式能使多项式的值为 0，则多项式含有因式 x ? a ），于是我们可以把多
项式写成：
x3 ? 5x2 ? x ?10 ? (x ? 2)(x2 ? mx ? n) ．
（1）式子中 m=_______，n=_______；
（2）以上这种因式分解的方法叫试根法，用试根法将多项式
x3 ? 2x2 ?13x ?10 因式分解．












7. 将下图中的 1 个正方形和 3 个长方形拼成一个大长方形，并观察这 4 个图形
的面积与拼成的大长方形的面积有什么关系．你能据此将 x2 ? ( p ? q)x ? pq
因式分解吗？

q q
x x
p x p











8. （1）有若干块长方形和正方形硬纸片如图 1 所示，用这样的硬纸片拼成一
个新的矩形，如图 2．
a 1

a

1
a
a 1 1 a 1
图 1 图 2
①用两种不同的方法，计算图 2 中矩形的面积；







②由此，你可以得到一个等式为______________________．


（2）有若干块长方形和正方形硬纸片如图 3 所示，


a

a b b
图 3
①请用拼图的方法推出一个完全平方式，并画出你的拼图；
②请用拼图的方法推出 2a2 ? 5ab ? 2b2 因式分解的结果，并画出你的拼图．







【参考答案】
? 课前预习
1. 提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法
一提二套三分四查
2. （1） x2 (y ? x)(y ? x)
（2） ?2(a ? 2)(a ? 4)
（3） (x ? y ?1)2
（4） (x ? 3)(x ? 3)(x2 ? 3)
? 知识点睛
1. 提公因式法、公式法

、分组分解法、十字相乘法；基本方法
① 重复出现，设元
② 分组分解法，式子结构
? 精讲精练
1. （1） (x ?1)2 (x ? 4)(x ? 2)
（2） (x ? 2)4